Division euclidienne (nombres entiers)

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Valentine Christelle Monette
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1 I) Critère de divisibilité 1) Vocabulaire : Division euclidienne (nombres entiers) Définition : multiple- divisible - diviseur avec des nombres : 15 = 5 x.. 3 =. x.. o on dit que 15 est un multiple de 5 car c est le produit de 5 par le nombre entier 3 o 15 est aussi un multiple de 3 car c est le produit de 3 par le nombre entier 5 o on dit que 15 est divisible par 5 ou 5 est un diviseur de 15 o 15 est aussi divisible par 3 ou 3 est un diviseur de 15 Avec des lettres : Soit a un nombre entier, La phrase : «un nombre entier est un multiple de a» signifie que ce nombre est le produit de a par un nombre entier o Si c = b x a avec a, b et c des nombres entiers c est un multiple de a car c est le produit de a par le nombre entier «b» ex 1 p 46 c est aussi un multiple de b car c est le produit de b par un nombre entier «a» on dit que c est divisible par a ou a est un diviseur de c c est aussi divisible par b ou b est un diviseur de c 1p50 4p50 Règles : (1) un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8 (2) un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0, 5 (3) un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple par 3 (4) un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 (5) un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4 exemples : divisible par 2 (1) pas par 5 (2) ni par3 (3) ni par 9 (4) ni par 4 (5) par par 2, 3, par 2, 3, 4, 9 Calul rapide : multiplier par 0,5 revient à diviser par 2 multiplier par 0,25 revient à diviser par 4 exercice : calculer rapidement : M = 0,25 x 9,02 x 4 N = 0,5 x 321 x 6 R = 64 x 0,5 S = 480 x 0,5 T = 20,4 x 0,25 U = 64 x 0,25 E = 480 x 0,25

2 II ) Division Exemple 1 : Comment partager équitablement entre 3 personnes la somme de 84 (en pièces de 1 )? 1) Méthode Division de 84 par 3 : Déterminer le nombre de 1 seul car 8 < 3 chiffres qu'il faut prendre au dividende Dividende Diviseur 84 3 Reste Quotient Déterminer le premier chiffre du quotient. Table des = 6 et 3 3 = 9 9 > 8 On choisit 2 Dividende Diviseur On abaisse le x 8 = 24 3 x 9 = > 25 on choisit Quotient 0 PREUVE : Reste

3 28 3 = 84 [on calcule] Donc : 84 : 3 = 28 Chaque personne recevra 28. Déterminer le nombre cle chiffres qu'il faut prendre au dividende. On prend 123 car 12 est inférieur à 45. déterminer le premier chiffre du quotient. «En 121 combien cle fois 45?» 45 x 2 = x 3 = 135 C est donc 2 Effectuer Remarque : On n'est pas obligé de faire apparaître la soustraction où encore plus rapide «En 12 combien de fois 4?» 3 fois, mais 3 x 45 = 135, c'est trop grand donc on essaie 2. 2 x 45 = 90 on soustrait x 5 = 10 pour aller à 13 il reste 3 2 x 4 = 8 et 1 dizaine de retenue 9 pour aller à 12 il reste 3 Abaisser le chiffre suivant du dividende. Déterminer le 2 ème chiffre du quotient, comme on l'a fait pour le 1 er Quand il n'y a plus de chiffre au dividende

4 on s'arrête. On écrit : 1234 = 45 x Exercice : Retrouver et corriger les erreurs dans les calculs ci-dessous 2 ) Vocabulaire Définition : Effectuer une division euclidienne c est trouver deux nombres entiers le quotient et le reste dividende = diviseur x quotient + reste le reste est toujours inférieur au diviseur Avec des lettres on écrit : a = b x q + r On ne peut jamais diviser par 0 Avec des lettres : Soient a un nombre entier et b un nombre entier non nul (différent de zéro), la division euclidienne de a (dividende) par b (diviseur) donne un nombre q pour quotient et un nombre r pour reste (inférieur à b). On écrit : a = b x q + r Si le reste est égal à zéro = 5 x = 17 x 5 donc 0 5

5 0 On dit que 85 est divisible par 5 et que 17 est le quotient de 85 par 5 85 est divisible par 17 et que 5 est le quotient de 85 par 17 3 ) Problèmes Égalités a) 15 x = 242 b) 35 x = 242 c) 15 x = 242 d) 20 x = 242 Monsieur Roy principal de collège n'a que 245 pour acheter des calculatrices à 15 et des dictionnaires à 20. Il a envisagé plusieurs possibilités. Pour chacune, il a écrit une égalité, mais il ne sait plus laquelle. 1) Par simple lecture des tableaux ci-dessus, aider Monsieur Roy à retrouver l'égalité correspondant à chacune des quatre suppositions. Répondre aux questions qu'il se pose. 2) l égalité (a) montre que 16 est le quotient entier de 242 par 15 avec un reste de 40 Que montre l égalité (b)? L égalité (c)? 3) L égalité (c) montre-t-elle que 13 est le quotient entier de 242 par 15? Pourquoi? Suppositions 1) Si je n'achète que treize calculatrices,combien restera-t-il d'argent? 2) Si j'achète le plus de calculatrices possible, combien en aurai-je? Combien restera-t-il d'argent? 3) Si j'achète le plus de dictionnaires possible, combien en aurai-je? Combien restera-t-il d'argent? 4) Si j'achète six calculatrices et six dictionnaires, combien restera-t-il d'argent?

6 Exemple2 Faire la division euclidienne de 1234 par 45 en détail Déterminer le nombre de chiffres qu'il faut prendre au dividende. déterminer le premier chiffre du quotient. «En 123 combien cle fois 45?» où encore plus rapide Effectuer Remarque : On n'est pas obligé de faire apparaître la soustraction Abaisser le chiffre suivant du dividende. Déterminer le 2 ème chiffre du quotient, comme on l'a fait pour le 1 er. Quand il n'y a plus de chiffre au dividende on s'arrête. Ici le quotient est 27 et le reste 19 il y va donc

7 2) vocabulaire Retrouver et corriger les erreurs dans les calculs ci-dessous 3 ) Problèmes Égalités a) 15 x = 242 b) 35 x = 242 c) 15 x = 242 d) 20 x = 242 Monsieur Roy principal de collège n'a que 245 pour acheter des calculatrices à 15 et des dictionnaires à 20. Il a envisagé plusieurs possibilités. Pour chacune, il a écrit une égalité, mais il ne sait plus laquelle. 1) Par simple lecture des tableaux ci-dessus, aider Monsieur Roy à retrouver l'égalité correspondant à chacune des quatre suppositions. Répondre aux questions qu'il se pose. 2) l égalité (a) montre que 16 est le quotient entier Suppositions 1) Si je n'achète que treize calculatrices,combien restera-t-il d'argent? 2) Si j'achète le plus de calculatrices possible, combien en aurai-je? Combien restera-t-il d'argent? 3) Si j'achète le plus de dictionnaires possible, combien en aurai-je? Combien restera-t-il d'argent?

8 de 242 par 15 avec un reste de 40 Que montre l égalité (b)? L égalité (c)? 3) L égalité (c) montre-t-elle que 13 est le quotient entier de 242 par 15? Pourquoi? 4) Si j'achète six calculatrices et six dictionnaires, combien restera-t-il d'argent? Combien de chiffres après la virgule a/ J'achéte 2,470 kg cle viande à 13,5 le kilo.,)e paie à l'aicle d'un chéque. Quel nomhre récliger sur mon chèque sachant que le boucher me dit cl'arronclir la somme à l euro près? b/ Loic désire partager une planche de 1400 mm en trois planches cle longucur égale. Quellc sera la longueur de chaque planche? cl) Stéphane constate qu'il a fait les 7 tours du stade en 492 secondes. En supposant qu'il a toujours couru à la même vitesse quel temps a-t-il mis pour effectuer un tour, à la seconcle près?

9 I ) Division Exemple 1 : Comment partager équitablement entre 3 personnes la somme de 84 (en pièces de 1 )? 1) Méthode Division de 84 par 3 : Déterminer le nombre de seul car < chiffres qu'il faut prendre au dividende Déterminer le premier chiffre du quotient. Table des 3 3 =. et 3 = > On choisit On abaisse le x. =. 3 x. =.... >.. on choisit

10 PREUVE : 28 3 = [on calcule] Donc : 84 :. =. Chaque personne recevra. Critère de divisibilité: Règles : (1) un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8 (2) un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0, 5 (3) un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (4) un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 (5) un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4 exemples : divisible par 2 (1) pas par 5 (2) ni par3 (3) ni par 9 (4) ni par 4 (5) par par 2, 3, par 2, 3, 9, 4

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