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1 Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur du petit arc AB est égal au rayon R du cercle. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. B R AB = α R α radians C O R A Page sur 0

2 Correspondance entre mesures en degré et en radian Degré x Radian 0 α Pour convertir les unités de mesure d angle, on utilise la formule 80α = x, soit avec α mesure en radian et x mesure en degré. α = 80 x. Orientations d un cercle Sens direct Sens indirect. Cercle trigonométrique Un cercle trigonométrique est de rayon et est orienté positivement dans le sens direct. + Page sur 0

3 II. Angles orientés. Angle orienté de deux vecteurs unitaires Soient u et v deux vecteurs unitaires. Le couple ( u, v) orienté. On a u = et v = de ces vecteurs définit un angle B v u A u v A ce couple de vecteurs, nous pouvons associer un arc orienté AB.. Angle orienté de deux vecteurs non nuls Soient u et v deux vecteurs non nuls. On note u le vecteur unitaire colinéaire à u et de même sens que u et on note v le vecteur unitaire colinéaire à v et de même sens que v. u, v u, v. L angle ( ) est par définition égal à l angle ( ). Mesure principale en radian d un angle orienté Soient u et v deux vecteurs unitaires. Soient M et P les points du cercle trigonométrique de centre O tels que OM = u et OP = v. On note a la mesure en radian de l angle MOP. La mesure principale de l angle orienté des vecteurs ( u, v) l intervalle ] ; ] est le réel α appartenant à + tel que α = a et dont le signe est défini de la manière suivante : Page sur 0

4 P v α = a u M v u α = a M P v α = u M P Si le sens de M vers P sur le petit arc MP est le sens direct, alors α = a Si le sens de M vers P sur le petit arc MP est le sens indirect, alors α = a Si l angle MOP est plat, alors α = Exemple : ABC est un triangle équilatéral direct A C B ( AB; AC) = ( BA; BC) = ( CA; CB) = Si les vecteurs ne sont pas unitaires : La mesure principale d un angle orienté de deux vecteurs non nuls u et u, v avec u et v qui v est la mesure principale de l angle orienté ( ) sont les vecteurs unitaires colinéaires respectivement à u et v et de même sens que ces vecteurs. u, v = u, v v v ( ) ( ) u u Page sur 0

5 Page 5 sur 0. Mesures principales d angles sur le cercle trigonométrique Remarque importante : Si θ est une mesure (en radians) d un angle de vecteurs ( ), u v, toutes les autres mesures de cet angle sont de la forme : k. θ + avec k Z Parmi toutes ces mesures, une seule appartient à l intervalle ] ] ;, c est la mesure principale En rouge : mesure principale En vert : la plus petite mesure positive

6 Explication : représente une rotation complète sur le cercle, si on rajoute à une mesure d angle, on retrouve donc la même mesure. Exemples : Donner toutes les mesures des angles dont la mesure principale est α, puis donner la plus petite mesure positive : 5 α = 5 Toutes les mesures de cet angle sont la forme : x = + k. avec k Z Si k =, x = + = = Si k =, x = +. = = La plus petite mesure positive de l angle est 7. α = Toutes les mesures de cet angle sont la forme : x = + k. avec k Z Si k =, x = + = = + Si k =, x = +. = = La plus petite mesure positive de l angle est Propriétés des angles orientés Colinéarité et orthogonalité : o Si u et v sont colinéaires et de même sens : u, v = 0 + k. avec k Z ( ) v u o Si u et v sont colinéaires et de sens contraires u, v = + k. avec k Z ( ) v u Page sur 0

7 o Si u et v sont orthogonaux ( u, v) = + k. avec k Z ou ( u, v) = + k. avec k Z v u v u Egalité entre deux angles : Deux angles de vecteurs ( u, v) = θ = θ sont égaux si : θ = θ + k. avec k Z et ( u, v ) Exemple : ( u, v) = 0 =. Ces deux angles sont-ils égaux? et ( u, v ) 0 + = + = Les deux angles sont égaux. Relation de Chasles : La relation de Chasles pour les angles de vecteurs se définit ainsi : ( u, v ) + ( v, w ) = ( u, w ) Exemple : Soient vecteurs u, v et w 7 non nuls et tels que ( u, v) = Démontrer que les vecteurs u et w sont orthogonaux. et ( v, w) = Solution : D après la relation de Chasles, on sait que : ( u, w) = ( u, v) + ( v, w) = + = = =, = + donc u et w sont orthogonaux. Donc ( u, w) ( u w) Page 7 sur 0

8 Egalités remarquables : o Angles égaux : ( u, v) = ( u, v) u v v u o Angles opposés : ( u, v) = ( v, u) v u u v = u v + o Angles supplémentaires : (, ) (, ) u v ( u, v ) u u v = u v + v et (, ) (, ) v u III. Cosinus et sinus d un angle orienté. Définition important, c est-à- Remarque préliminaire : Nous travaillerons dans une base orthonormée directe ( i, j) dire que ( i, j) = (dans une base indirecte, on a ( i, j) = ) Soit un angle de vecteurs et M le point du cercle trigonométrique tel que ( OA; OM ) Par définition, on a : cosθ = abscisse de M sinθ = ordonnée de M = θ Page 8 sur 0

9 j M sin θ O θ c o s θ i A Remarquons également queom = i cosθ + j sinθ Remarquons qu on retrouve les définitions du sinus et du cosinus dans le triangle rectangle : côté adjacent cosθ = = côté adjacent car OM =. hypothénuse côté opposé sinθ = = côté opposé car OM =. hypothénuse Remarque : Si θ est une mesure (en radians) d un angle de vecteurs ( u, v) Donc : cos x = cos( x + k. ) avec k Z sin x = sin( x + k. ) avec k Z, on a : θ = θ + k. avec k Z. Formules essentielles important cos x + sin x = cos x sin x Page 9 sur 0

10 . Signes et valeurs particulières de cos x et sin x 5 0 En rouge : valeurs de x x 0 cos x sin x Tableau de signe : x - 0 cos x sin x sin x - cos x Page 0 sur 0

11 IV. Calculs trigonométriques. Angles associés cos( x) = cos x cos( x) = cos x cos( + x) = cos x cos x = sin x sin( x) = sin x sin( x) = sin x sin( + x) = sin x sin x = cos x Exemples d utilisation : Calculons des valeurs particulières de cos x et sin x à partir de valeurs connues (cf. III..) : cos = cos = cos = 5 sin = sin = sin = 7 cos = cos + = cos = 7 cos = cos = cos = cos =. Formules d addition cos( a + b) = cos a.cos b sin a.sin b cos( a b) = cos a.cosb + sin a.sin b sin( a + b) = sin a.cosb + cos a.sin b sin( a b) = sin a.cos b cos a.sin b Page sur 0

12 Remarque : on peut retrouver toutes les formules à partir de la ème formule (la plus simple) : cos( a b) = cos a.cosb + sin a.sin b Retrouvons cos( a + b) : cos( a + b) = cos( a ( b)) = cos a.cos( b) + sin a.sin( b) cos( a + b) = cos a.cosb + sin a.( sin b) cos( a + b) = cos a.cos b sin a.sin b Retrouvons sin( a + b) : sin( a + b) = cos ( a + b) = cos a b sin( a + b) = cos a cos b sin a sin b sin( a + b) = sin a.cosb cos a.sin b Retrouvons sin( a b) : sin( a b) = sin( a + ( b)) = sin a.cos( b) + sin( b).cos a sin( a b) = sin a.cos b sin b.cos a Exemples d utilisation : Trouver les valeurs exactes de cos et sin. Solution : Essayons de décomposer cos et sin en valeurs que nous connaissons : On sait que = Donc cos = cos = cos.cos + sin.sin +. cos =. +. = + cos = Page sur 0

13 sin = sin = sin.cos cos.sin sin =.. =. Formules de duplication Pour retrouver la formule : sin a = sin( a + a) = sin a.cos a + cos a.sin a sin a =.sin a.cos a cos a = cos ² a sin ² a Pour retrouver la formule : cos a = cos( a + a) = cos a.cos a sin a.sin a = cos ² a sin ² a cos a = sin ² a cos a = cos ² a car sin ² a + cos ² a =. Formules de linéarisation cos a sin ² a = + cos a cos ² a = Pour retrouver les formules : cos a cos a = sin ² a donc sin ² a = cos a donc sin ² a = cos a + cos a = cos ² a donc cos ² a = cos a + donc cos ² a = Page sur 0

14 Utilisation de ces formules : Calculer la valeur exacte de cos et sin en utilisant les formules de linéarisation. Solution : D après les formules de linéarisation, on sait que : + cos + + cos + cos = donc cos + = = = = De plus, on sait que 0 < < donc cos > 0. On peut «passer sous la racine» l égalité précédente : + cos = donc + cos = Calculons maintenant sin : D après les formules de linéarisation, on sait que : cos cos sin = = = = = De même, on sait que 0 < < donc sin > 0. On peut «passer sous la racine» l égalité précédente : sin = Autre exemple d utilisation des formules de linéarisation : Factoriser les expressions suivantes : A( x) = + cos x + cos x B( x) = cos x + sin x x C( x) = + cos x + cos D( x) = + cos x + sin x Page sur 0

15 Solutions : D après les formules de linéarisation : Donc A( x) = cos x( cos x + ) D après les formules de linéarisation : Donc B( x) = sin x( sin x + ) ( ) = cos + cos A x x x ( ) = sin + sin B x x x x x x C( x) = + cos x + cos = cos + cos car x x C( x) = cos + cos + cos x cos ² x = donc x + cos x cos ² = x D( x) = + cos x + sin x = cos + sin x x x x Or sin x = sin =.sin.cos x x x x x x Donc D( x) = cos +.sin.cos = cos cos + sin V. Equations trigonométriques. Equation du type cos A(x) = cos B(x) Théorème cos A( x) = cos B( x) signifie que B( x) = A( x) + k ou B( x) = A( x) + k avec k Z j a + k cos( a + k ) = cos( a + k ) 0 a -a i a + k Page 5 sur 0

16 Exemples d utilisation du théorème Résoudre dans ] ; ] () cos x = 0 () cos x = () cos x = () cosx = les équations suivantes : Solutions : () cos x = 0 Cette équation équivaut à cos x = cos. Donc la solution est x = + k ou x = + k avec k Z. Si on prend k = 0 pour se placer dans ] ; ], on obtient x = ou Donc S = ; x = () cos x = Cette équation équivaut à cos x = cos. Donc la solution est x = + k ou x = + k avec k Z. Si on prend k = 0 pour se placer dans ] ; ], on obtient x = ou Donc S = ; x = () cos x = Cette équation équivaut à cos x = cos 0. Donc la solution est x = k avec k Z. Donc x = k Pour k = 0, on a x = 0 et pour k =, on a x = S = 0; Donc { } Page sur 0

17 () cosx = Cette équation équivaut à cosx = cos0. Donc la solution est x = k avec k Z. k Soit x = Pour k =, on a x =. Pour k = 0, on a x = 0. Pour k =, on a x =. Donc S = ;0;. Equation du type sin A(x) = sin B(x) Théorème sin A( x) = sin B( x) signifie que B( x) = A( x) + k ou B( x) = A( x) + k avec k Z a + k j a a + k 0 a i Exemples d utilisation du théorème Résoudre dans ] ; ] () sin x = 0 () sin x = () sin x = les équations suivantes : Page 7 sur 0

18 Solutions : () sin x = 0 équivaut à sin x = sin 0 Donc, d après le théorème précédent, x = 0 + k ou x = 0 + k On obtient x = k ou x = + k = (k + ) Si k = 0, on a x = 0 ou x = Si k =, on a x = ou x = Si k =, on a x = ou x = 5 La solution de l équation est donc x = k, et dans ] ; ] on a S = { 0; } () sin x = équivaut à sin x = sin On obtient x = + k ou x = + k = + k Donc x = + k Dans ] ; ] on a S = ; () sin x = équivaut à sin x = sin 5 On obtient x = + k ou x = + k = + k 5 Soit x = + k ou x = + k x = ou x = x = ou x = x = ou x = ; on a S = ; ; ; ; ; Si k = 0, on a Si k =, on a Si k =, on a Dans ] ] Page 8 sur 0

19 VI. Variations et représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus. Fonction sinus On pose f ( x) = sin x L ensemble de définition de f est D f =R Propriétés particulières de la fonction : On sait que sin( x) = sin x donc f ( x) = f ( x) La fonction sinus est impaire, sa courbe est donc symétrique par rapport à l origine. On sait également que sin( x) = sin( x + ) La fonction sinus est périodique, de période. Il est donc suffisant d étudier la fonction sur [ 0; ] pour avoir toute la courbe. Il faudra ensuite effectuer une symétrie par rapport à l origine et des translations de vecteurs ki. Dérivée de la fonction : Si f ( x) = sin x, alors f ( x) = cos x Tableau de variation : x 0 f ( x) = cos x f ( x) = sin x 0 0 période = Représentation graphique de la fonction f ( x) = sin x Page 9 sur 0

20 . Fonction cosinus On pose f ( x) = cos x L ensemble de définition de f est D f =R Propriétés particulières de la fonction : On sait que cos( x) = cos x donc f ( x) = f ( x) La fonction cosinus est paire, sa courbe est donc symétrique par rapport à l axe des ordonnées. On sait également que cos( x) = cos( x + ) La fonction cosinus est périodique, de période. Il est donc suffisant d étudier la fonction sur [ 0; ] pour avoir toute la courbe. Il faudra ensuite effectuer une symétrie par rapport à l axe des ordonnées et des translations de vecteurs k i. Dérivée de la fonction : Si f ( x) = cos x, alors f ( x) = sin x Tableau de variation : x 0 f ( x) = sin x - f ( x) = cos x 0 - période = Représentation graphique de la fonction f ( x) = cos x Page 0 sur 0

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