a) En 1990 la population mondiale était de 5,3 milliards. Elle croît chaque année de 1,8%.

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1 LGL Cours de Mthémtiques 26 Foctios epoetielles et foctios logrithmes fiche professeur ) Eemples itroductifs ) E 99 l popultio modile étit de 5,3 millirds. Elle croît chque ée de,8%.. Doe ue descriptio de l évolutio de l popultio ée pr ée à prtir de l ée 99 jusqu e 24 (formule, tbleu et représettio grphique () ). 2. Doe ue descriptio de l évolutio de l popultio à prtir de 99 e dmettt que l popultio croît de fço cotiue (formule, représettio grphique ds l même figure que sub.). b) Jérôme, grd buveur de bière et mthémticie mteur, étudié l décompositio de l mousse d ue bière frîchemet servie. Après de logues soirées d études pssées u bistro du coi, il costté que, si u déprt l mousse ue épisseur de 4 cm, cette épisseur dimiue de 3,7% toutes les secodes.. Etudie l évolutio de l épisseur de l mousse secode pr secode, pedt les 2 premières secodes (formule, tbleu, représettio grphique). 2. Etudie l évolutio de l épisseur de l mousse e dmettt que l mousse se décompose de fço cotiue (formule, représettio grphique ds l même figure que sub.). 2) Défiitio des foctios epoetielles ) Ds chcu des deu eemples précédets ( ), ous veos de prologer le grphe d ue foctio c e celui d ue foctio c ( > et c étt deu costtes). Il semblerit doc qu o e puisse o seulemet clculer des puissces etières, voire rtioelles d u ombre réel >, mis plus géérlemet des puissces ( ) réelles de, c.-à-d. des epressios de l forme où l epost est u ombre réel quelcoque. () Tu utilisers le Dt/Mtri Editor de t V2 MthéTIC - Eysjo - Ber Foctios epoetielles Cours - -

2 LGL Cours de Mthémtiques 26 Rppelos que si est u ombre réel strictemet positif, lors = = et = * = ( ) * = ( ) m ( ) m = = m * ( ) fcteurs ( *, m ) b) Costttios Nous svos doc évluer les puissces rtioelles (ou frctioires) r, [vec p r = ( r, p, q )] d u ombre réel >. Nous vos ppris des règles de q clcul permettt de mipuler ces puissces rtioelles. Comme 5 'eiste ps ds, q p + et : = = > p p q p q e peut ps être défii pour. p Si =, : = = q = = = Ce derier cs étt trivil, il e ous itéresse plus ds l suite. q q 2 3 Mis que peuvet bie sigifier des epressios telles que 4 ou 7 ou ecore ( 3) 2, c.-à-d. des epressios de l forme où l epost est u ombre irrtioel? Commet les évluer? Quelles règles de clcul ppliquer ds leur cotete? L V2 coît ces epressios. Elle sit e doer des vleurs pprochées et sit même les trsformer moyet certies règles... π MthéTIC - Eysjo - Ber Foctios epoetielles Cours - 2 -

3 LGL Cours de Mthémtiques 26 c) Propriété fodmetle I Soit u ombre réel fié strictemet positif et différet de. L foctio f : se prologe pr cotiuité de fço uique e ue foctio r r otée ep, vec: ep :, qui est dérivble sur et qui vérifie : y, : + y y = (), y, : y y ( ) = (2) et = (3) ep est ppelée foctio epoetielle de bse où + { } Cette propriété est dmise. d) Vérifiez les règles (), (2) et (3) etrîet: \ = (4) : = (5) y, : y = y (6) 3) Premières propriétés des foctios epoetielles ) (Eplortio des premières propriétés des foctios epoetielles à l ide de l V2) Représete, à l ide de t V2, les grphes des foctios f ( ) = ep pour 2 3,,,,,2,4,6 et répods u questios suivtes (ue justifictio est ps demdée, suf idictio cotrire): Remplis le tbleu suivt: sige de f domie de défiitio de f domie des imges de f ses de vritio limite si ted vers -? limite si ted vers +? symptote(s) = /6 = /4 = /2 = 2/3 = 3/2 = 2 = 4 = 6 Pr quel poit psset les grphes de toutes les foctios ep? (Justifie!) Que peut-o dire des grphes de ep et ep? (Justifie!) MthéTIC - Eysjo - Ber Foctios epoetielles Cours - 3 -

4 LGL Cours de Mthémtiques 26 Illustrtios: f( ) = 6 g ( ) = 4 h ( ) = 2 2 f( ) = 3 f( ) = 6 g ( ) = 4 h ( ) = 2 3 f( ) = 2 < < > f( ) = 2 g ( ) = = ( 2 ) = 2 2 b) Propriétés de l foctio ep i ) ii ) + Dom ep = et Im ep =, cr :ep > ep est cotiue et dérivble sur iii ) Dérivée ( ( ) ) ( ) : ep = k ep où k est ue costte o ulle. L démostrtio (fculttive) et quelques eemples se trouvet e ee iv ) Si k >, ep est strictemet croisste sur Si k <, ep est strictemet décroisste sur MthéTIC - Eysjo - Ber Foctios epoetielles Cours - 4 -

5 LGL Cours de Mthémtiques 26 v ) Limites et symptotes + ]; : lim ep ( ) = lim = Doc: AH y = pour ] [ lim ep ( ) = lim =+ + et + > + ep ( ) H k lim = lim = lim = Oy pour + Doc: brche prbolique de directio ( ) ; : lim ep ( ) = lim =+ et < + ep ( ) H k lim = lim = lim = Oy pour Doc: brche prbolique de directio ( ) + lim ep ( ) = lim = Doc: AH y = pour vi ) ]; : ep est strictemet croisste sur ] ; [ : ep est strictemet décroisste sur vii ) Le poit de coordoées F ( ;) pprtiet à l courbe de chque foctio epoetielle viii ) Comme ep est ue bijectio (2) + de sur, o : + \,, y : ep = ep y = y {} ( ) ( ) + i ) Comme > : ep est ue bijectio strictemet croisste de sur, ;,, y : ep < ep y < y o : ] ( ) ( ) ) Comme ] ; [ : ep o : ] ; [,, : ep ( ) ep ( ) + est ue bijectio strictemet décroisste de sur, y < y > y (2) Défiitio: Ue foctio f:a B est ppelée foctio bijective (ou bijectio) de l esemble A sur l esemble B ssi tout A possède ue et ue seule imge ds B et tout y B possède u et u seul técédet ds A. MthéTIC - Eysjo - Ber Foctios epoetielles Cours - 5 -

6 LGL Cours de Mthémtiques 26 c) Dérivée de ep (Démostrtio fculttive) Nous vos dmis que les foctios ep sot dérivbles sur. Mis que vut ep ' ( )? Nous llos doer ue première répose provisoire, le résultt défiitif ser étbli plus trd (cf. 9). A l ide du module dérivtio de t V2, clcule de mière ecte et de mière 5 pprochée : ( 2 ),( 5 ),. Quelle coclusio peu-tu e tirer? 2 7 Démostrtio pr utilistio de l défiitio de l dérivbilité d'ue foctio: ep est dérivble e ( ep( ) ) = ( ) eiste + h h Or : ( ep ( ) ) = ( ) = lim = lim h h = = = + ( ) ( ) {} ( ) h h h ( h ) lim lim h h h h ep ( ) costte = k Doù ' : \ : ep = = k E comprt ce résultt géérl u résultt que ous fourit l V2, o costte que: =, ombre que l'o défiir plus loi. k l ( ) MthéTIC - Eysjo - Ber Foctios epoetielles Cours - 6 -

7 LGL Cours de Mthémtiques 26 4) L foctio epoetielle de bse e Rppelos que ep ( ) k ep ( ) ' =, = ' = (cf. 3c)., vec k ep ( ) l ( ) ) Détermie, à l ide de t V2, ue vleur pprochée à 3 5 7,,,, 2,,3,, 4,. Remplis le tbleu ci-près: k etc près de k pour b) D près ce qui précède il semble eister u compris etre 2,5 et 3 tel que k =. 3 Détermie, à l ide de t V2, u ecdremet à près de cette vleur. c) Nous dmettos qu il eiste effectivemet u tel que k =. Ce ombre remrquble, oté e, est ppelé le ombre d Euler. 2,78 < e < 2,79. L foctio epoetielle de bse e est ecore ppelée foctio epoetielle turelle ou foctio epoetielle épériee (3) et est otée tout simplemet ep. Aisi: ep : ep( ) = e. Cette foctio est remrquble e serit-ce que prce qu elle est égle à s propre foctio dérivée: : ep ( ) ep( ) ou ecore : ( ) = e = e. d) Le ombre e est, tout comme le ombre π, u ombre irrtioel: e \ E outre, e= lim + = lim( + h) + h h (3) prfois ussi l foctio epoetielle, étt doé que, prmi toutes les foctios epoetielles, c est elle qui est l plus importte (voir ussi 8). MthéTIC - Eysjo - Ber Foctios epoetielles Cours - 7 -

8 LGL Cours de Mthémtiques 26 O utilise cette derière formule pour obteir ue vleur pprochée de e: e 2, ( ) + = = 2, = 2, , , , , e) Etude et l représettio grphique de l foctio ep. Dom ep = 2. ep est cotiue et dérivble sur 3. C ep 'dmet ucue symptote verticle 4. ep 'est i pire, i impire 5. lim ep( ) = AH y = pour ( e 2,72 > ) lim ep( ) =+ ps d ' AH pour + + ep( ) H ep( ) lim = lim = + BP de directio Oy pour ( ( ) ) ( ) 7. ( ( ) ) ( ) : ep = ep > ps d'etremum : ep = ep > ps de poit d'ifleio, courbure positive MthéTIC - Eysjo - Ber Foctios epoetielles Cours - 8 -

9 LGL Cours de Mthémtiques tbleu de vritio: + ep ( ) + ep ( ) + ep( ) + 9. Tgetes à C ep = = e = e. E géérl: Comme : ep( ) ( ep( )) ( ) b. Cs prticuliers: i.. Représettio: C ep ( ) t y = e + e = : t y = e + e t y = + = t y = e + e = e+ e e t y = e : ii. ( ) Cep y = f( ) = e MthéTIC - Eysjo - Ber Foctios epoetielles Cours - 9 -

10 LGL Cours de Mthémtiques 26 Réposes succites: ) ) p ( ) ( ) = 5,3,8 Défiir u ouveu fichier de type Dt ds le Dt/Mtri Editor (4), ppelé p.e. populti(o). Défiir c = seq( i, i,,5) ( ) c2 = ^c p( ) Pour l représettio grphique procéder comme suit: Plot Setup ƒ Defie Cofirmer pr L V2 ffiche l défiitio du Plot Choi de l feêtre grhique pr $ et représettio grphique pr %. (4) O pourrit ussi étudier et représeter grphiquemet l suite p( ). Pour cel il fudrit psser e mode SEQUENCE. Ds ce cs toutefois il e serit ps possible de superposer le grphe de l suite p( ) et celui de l foctio p( ), comme o le fer à l pge suivte pour motrer u élèves que l foctio p( ) peut être prologée e l foctio p ( ). MthéTIC - Eysjo - Ber Foctios epoetielles Cours - -

11 LGL Cours de Mthémtiques 26 Si o dmet que l popultio croît de fço cotiue, il fut remplcer l vrible pr l vrible : p ( ) = 5,3 (,8) b) e ( ) ( ) = 4,963 (épisseur de l mousse e mm près secodes). O procède comme sub ): ouveu fichier de type Dt, ppelé p.e. mousse, puis c seq( i, i,, 2) c2 = ^ c = ; ( ) Si l mousse se décompose de fço cotiue: e ( ) ( ) = 4,963 MthéTIC - Eysjo - Ber Foctios epoetielles Cours - -

12 LGL Cours de Mthémtiques 26 2c) ( ) () (3) + = = = = (4) est démotré; ();(4) + ( ) et = = = (5) est démotré; () (5) y + ( y) y = = = = (6) est démotré. y y 2d) Est-ce que l V2 coît les règles de clcul? () (2) N.B.: ( ) ( ) (3) (4) (5) (6) 3) (O peut soit défiir l fmille de foctios ep ( ) =,,...4, temps pour l représettio grphique, soit défiir chque foctio séprémet préférble!) - ce qui beucoup de... Sige de ep : Il semble que ( ) Est-ce que ( ) ep ep >? ep ( ) =? O peut eplorer les courbes obteues précédemmet à l ide de Trce, ou ecore résoudre, p.r. à, l équtio =, e précist que > et : MthéTIC - Eysjo - Ber Foctios epoetielles Cours - 2 -

13 2 LGL Cours de Mthémtiques 26 3c) 2V???? vec (les élèves e coisset ps ecore l foctio l) Il semble doc que ( ) ' : = k '. c.-à-d. : ep ( ) = k ep( ) ) Détermitio d ue v.. de k pour,,,,2,,3,,4, : Pour = (p.e.): 4 O peut procéder de 2 fços différetes. k = ep ' Clcul de ( )?????? 4 4 Aisi k, MthéTIC - Eysjo - Ber Foctios epoetielles Cours - 3 -

14 LGL Cours de Mthémtiques 26 Représettio grphique de ep et détermitio de l équtio de l tgete e = pr 4 Mth A:Tget L pete de l tgete e = vut k, Equtio de l tgete e = L ère méthode est l plus rpide: k 4,386 3, 99 2, ,45 2, ,96 3,97 7 2,253 4,386 (o peut fire remrquer u élèves que l foctio k semble être ue foctio strictemet croisste, et que, si e plus elle est cotiue, elle doit écessiremet predre l vleur ue fois ectemet...) MthéTIC - Eysjo - Ber Foctios epoetielles Cours - 4 -

15 LGL Cours de Mthémtiques 26 4b) 2, 7 < < 2,8 2,7 < < 2,75 2,7 < < 2,75 2,7 < < 2,73 2,7 < < 2,72 2,75 < < 2,72 2,78 < < 2,72 2,78 < < 2,79 MthéTIC - Eysjo - Ber Foctios epoetielles Cours - 5 -