Cours INFO 2 COMBINATOIRE ET SEQUENTIELLE

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1 Cours INFO 2 COMBINATOIRE ET SEQUENTIELLE Table des matières Cours INFO 2 COMBINATOIRE ET SEQUENTIELLE Bases décimales, binaires et hexadécimales Systèmes et langages Logiques Système logique:... 5 Langages: Algèbre binaire Postulats: Tables de vérité. Représentation symbolique des portes Les portes logiques en électronique Synthèse graphique: Les fonctions combinatoires Bascules Les registres Description des systèmes séquentiels par la méthode des étapes Nombres signés Nombres fractionnaires : Compléments: États logiques, Karnaugh, séquences, étapes ABEL IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 1/45

2 1. Bases décimales, binaires et hexadécimales Rappel sur le système décimal : base 10 : 10 symboles, les chiffres 0 à 9 exemple : 1741 = 1x x x x10 0 Généralisation : dans une base quelconque B, il y a B symboles un nombre s écrit : a 0 *B 0 + a 1 *B 1 +a i *B i +a n *B n avec les a i compris entre 0 et B-1 dans l'ensemble des entiers naturels: N Codage binaire : B = 2 a i = 0 ou 1 On écrit, par exemple, et en utilisant l'indicateur du binaire du langage C, «%»: %11101 = 1* * * * *2 0 = = 29 en base 10 le codage binaire est utilisé pour représenter les nombres dans les circuits logiques : microprocesseurs, mémoires Des conventions complémentaires permettent de représenter les nombres négatifs et les nombres fractionnaires (à virgule). Codage hexadécimal : B = 16 on utilise les 16 symboles : 0, 1, 2, 9, A, B, C, D, E, F Ce système permet de manipuler plus aisément les nombres binaires pour la saisie et l affichage. Compléter le tableau avec les codes hexadécimaux Conventions d écritures : pour le mathématicien : (xxxxx) B xxxx étant la suite de symboles et B la base utilisée pour l informaticien (langage C et les langages assembleur actuels) : dddd pour un nombre décimal (n utilisant donc que les 10 chiffres) %bbbb pour un nombre binaire (0 et 1 ). % spécifiant le format. 0xhhhh pour un nombre en hexadécimal. 0x spécifiant ce format pour certains langages machines anciens (microprocesseurs) on notera seulement le signe $ précédant une valeur hexadécimale IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 2/45

3 Changement de base : pour passer en base 10 depuis n importe quelle base on utilise la définition générale. exemple : 0x7A0 = 7* * *16 0 = 1952 pour passer de base 2 à base 16 et inversement : chacun des symboles de l hexadécimal peut être représenté avec 4 symboles du binaire (voir tableau en fin de chapitre ) du binaire à l hexadécimal : on regroupe en partant de la droite les symboles par paquet de 4 et on remplace chacun de ces paquets par le symbole hexadécimal correspondant : exemples : donner les codes hexadécimaux des nombres binaires suivants : % = 0x 169B % = 0x D5AF de l hexadécimal au binaire : démarche inverse exemples : traduire en binaire les nombres suivants : 0x15AF = %0001,0101,1010,1111 0x45BE = % 0100,0101,1011,1110 pour passer du décimal au binaire ou à l hexadécimal le principe consiste à diviser le nombre par la base de manière successive puis de lire le résultat en ordre inverse sur les restes exemple avec la base 16 : convertir en hexadécimal : = 0x4A1C le principe est le même pour le binaire, il est à remarquer que si le nombre est grand on a intérêt à convertir d abord en hexadécimal puis à passer en binaire. Justification: N s'écrit avec des chiffres hexadécimaux: N = 0xX n X n-1...x 2 X 1 X 0 X 0 est une valeur inférieure à 16: c'est N%16 X 1 est une valeur inférieure à16 2 : c'est (N/16)%16... X n est obtenu par le calul: N/(16 n) %16 Opérations sur les nombres positifs (non signés) comme pour les nombres décimaux il est possible d'avoir une retenue: ceci est gênant dans IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 3/45

4 un calculateur car le microprocesseur travaille avec des nombres d'un certain format: si il y a une retenue cela veut dire que le nombre de bits ne convient pas pour ce nombre: le microprocesseur indique cette situation en mettant à 1 un bit spécifique: le bit de retenue ( C, comme carry) Le programme doit donc gérer ce genre de situation si ce dépassement est possible. Écriture des nombres dans les différentes bases décimal binaire hexadécimal A B C D E F A B C D E F IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 4/45

5 2. Systèmes et langages Logiques. Système logique: Un système logique peut schématiquement être représenté par une boîte qui comporte des entrées et des sorties. E1 E2 E3 Système A S1 S2 Le système A reçoit trois signaux E1, E2 et E3. Il génère les signaux de sorties S1 et S2. Si le système est combinatoire à chaque combinaison des entrées correspond toujours la même combinaison des sorties. Ce qui n'est pas le cas d'un système séquentiel pour lequel l'état présent des sorties dépends aussi de leur état passé. Langages: Pour définir un système logique on peut utiliser différents formalismes:. langage courant et langage propositionnel. équation. table de vérité. schéma utilisant des symboles logiques. langage de programmation spécifique Exemple: Langage courant: LE VOYANT V EST ÉCLAIRÉ SI L'INTER A EST ACTIONNÉ OU SI LES INTERS B ET C SONT ACTIONNÉS Dans cette phrase il y a une description du fonctionnement désiré et une première indication sur le type de réalisation (électrique; mais il reste certaines inconnues: on ne connaît pas la tension nécessaire pour éclairer le voyant...) Proposition logique: V est actif si A est actif ou si B et C sont actifs. Ici on essaye de normaliser le langage pour s'approcher d'une formulation quasi mathématique. Il n'y a aucune indication sur la nature des entrées et des sorties (les mathématiciens utilisent VRAI et FAUX pour actif et inactif) Équation logique: V = A OU (B ET C) il n'y a pas de définition des entrées ( A, B et C pourraient être des inters) et de la sortie ( V peut être un voyant par exemple) TOUS LES SYSTÈMES LOGIQUES PEUVENT ÊTRE DÉCRITS EN UTILISANT SEULEMENT TROIS OPÉRATEURS: OU ET NON (en réalité il suffit d'avoir les opérateurs NON et (ET ou OU), mais par commodité on utilise les IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 5/45

6 trois) Table de vérité: c'est l'équivalent de l'équation, mais on indique ici l'état de(s) sorties pour chaque combinaison des entrées La convention est la suivante: 0 pour inactif (inter 1 non actionné 0 pour l'entrée, ou voyant éteins pour la sortie) 1 pour actif (inter actionné, voyant éclairé) Cette table se lit ligne par ligne: par exemple la seconde ligne (0010) indique que lorsque A=0, B=0 et C=1 alors V=0. C'est-à-dire 1 que lorsque 1 A et B sont inactifs (non activés) et C actif alors V est inactif. Schéma logique: A B C V Cette fois ci les entrées et la sortie apparaissent mais ce ne sont que des boîtes noires: il faudra préciser leur réalisation matérielle (entre autre dans ce schéma il n'est pas dit si les éléments sont électriques, mécanique, pneumatique...) Ce type de représentation est celle utilisée dans les schémas électrique (par exemple), il faut indiquer les composants (réels) qui réalisent les fonctions (ici il faut une fonction OU avec 2 entrées et une fonction ET avec 2 entrées également) Concrètement, pour une réalisation électronique, on peut utiliser un composant intégré dont la référence est 74HCT08 qui contient 4 fonctions ET et le composant 74HCT32 qui contient 4 fonctions OU. Langages évolués: Ils permettent de définir le fonctionnement du système en utilisant des syntaxes souvent inspirés d'autres langages de programmation informatique de haut niveau (langage C par exemple). Ces langages ont souvent été développés par des constructeurs et les logiciels fournis permettent d'obtenir des fichiers, qui, utilisés avec un appareillage spécifique, vont permettre de configurer un composant (dit programmable) pour obtenir le fonctionnement décrit. IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 6/45

7 Par exemple, le langage ABEL utilise les opérateurs suivants:! NON & ET # OU $ OU EXCLUSIF!$ NON OU EXCLUSIF La définition du système précédent s'écrit: // cette double barre indique que le reste de la ligne est un simple commentaire MODULE AOUBETC //nom donné par le concepteur du programme TITLE 'système d'équation V= A+B.C' //attention à ' et ' obligatoires // Déclaration des entrées et de la sortie A,B,C pin; // entrées V pin istype 'com'; //sortie // Description du fonctionnement équations END V=A#(B&C); Les mots mis ici en caractères gras sont des mots réservés du langage, ils ne peuvent donc pas être utilisés comme nom de signaux par exemple. Mise en ouvre des différents langages: Le langage courant est généralement un passage obligatoire pour définir le système, il faut alors être le plus rigoureux possible, utiliser les formulations les plus simples possible en utilisant OU et ET et en se méfiant des négations («ni...ni» est difficile, ou au moins délicat, à traduire en équation). L'équation logique peut être éventuellement simplifiée en utilisant les règles de l'algèbre binaire. Mais cette façon de faire est de moins en moins utilisée, car on dispose pour la recherche de simplifications de logiciels qui font très bien ce travail et qui sont indispensables pour des systèmes complexes. A partir d'une équation il est possible d'obtenir un schéma, c'est une synthèse graphique. On peut alors aboutir à une réalisation en utilisant des circuits intégrés. Lorsqu'on utilise un langage évolué on décrit le fonctionnement du système, on spécifie le composant utilisé et on attribue aux broches du circuit les différents signaux d'entrée et de sortie. La description dépend alors du langage. En général les langages permettent plusieurs modes de description, avec ABEL il est possible de décrire: à l'aide d'équations, de table de vérité et de formulations logiques propre au langage (description comportementale). IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 7/45

8 3. Algèbre binaire. Algèbre binaire (algèbre de Boole et de De Morgan): Chaque variable logique peut prendre deux valeurs: 0 et 1 0=faux (inactif) 1=vrai (actif) Relations simples: négation: fonction NON (NOT), complémentation (inversion logique) A=1 <=> /A=0 A=0 <=> /A=1 Remarque : le complément est indiqué par une barre horizontale sur l expression ou la variable à complémenter, par commodité dans ce texte elle sera remplacée par une barre oblique avant l expression ou la variable. somme logique: OU noté A + B et se lisant A OU B pour que A + B =1 il faut A=1 OU B=1 (une, ou les deux, variables à 1) produit logique ET noté A.B et se lisant A ET B pour que A.B=1 il faut que A=1 ET B=1 Postulats: commutativité: A + B = B + A A.B = B.A distributivités: A.(B+C)= A.B + A.C A+(B.C)=(A+B).(A+C) associativité: (A+B)+C= A+(B+C) (A.B).C = A.(B.C) neutre: A+0 = A A.1 = A élément absorbant: A+1=1 A.0=0 complémentarité: A + /A= 1 A./A = 0 idempotence: A +A = A A.A=A Involution //A = A absorption: De Morgan: A+(A.B)= A A.(A+B)= A /(A+B) = /A. /B /(A.B) = /A + /B L'idempotence permet d'ajouter des éléments dans l'équation: si on a l'équation: S = A + B + C on peut écrire S = A + B + C + B exemple: S = A.B./C + A.B.C + A./B.C le premier et le second terme peuvent s'écrire: A.B. (/C + C) = A.B on obtient alors: S=A.B + A./B.C mais le second terme pourrait aussi être utilisé avec le troisième: A.C.(B + /B) = A.C on obtient alors: S= A.B./C + A.C en écrivant: S =A.B./C + A.B.C + A./B.C + A.B.C (autorisé par l'idempotence) on obtient la simplification suivante: S= A.B + A.C IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 8/45

9 4. Tables de vérité. Représentation symbolique des portes. Table de vérité: Nombre de colonnes: On peut décrire un système à l'aide d'une table de vérité, celle ci comporte une colonne par entrée ou sortie, ainsi un système ayant 4 entrées et 2 sorties sera représenté par une table de 6 colonnes. Nombre de lignes: La table comporte autant de lignes qu'il y a de combinaisons possible des entrées, ainsi si il n'y a qu'une entrée il y a deux lignes, à chaque entrée ajoutée le nombre de lignes est multiplié par deux donc un système à N entrées sera décrit par une table de 2 N lignes Construction: Pour construire la table de vérité d'un système: on place les N colonnes des entrées puis on construit les lignes nécessaires pour les combinaisons (2 N ) et on définit les états de chacune des entrées dans chaque case. jusque là la table ne dépends que du nombre d'entrées et peut être utilisée pour n'importe quel système. On ajoute autant de colonnes qu'il y a de sorties et ces colonnes sont complétées en fonction du fonctionnement désiré. Écriture des équations logiques à partir de la table de vérité: Une sortie est à 1, active, vraie, pour la somme (OU) logique des multiplets (combinaisons, produits, des entrées) pour lesquels la sortie est à 1 exemple : considérons un système à 3 variables d'entrées (A, B et C) et une sortie (S) on peut obtenir 8 combinaisons des entrées les trois colonnes de gauche sont donc indépendantes du fonctionnement du système la colonne de sortie est ici complétée avec des valeurs prises au hasard pour donner un exemple concret A B C S (sortie) combinaison des entrées /A./B./C /A./B.C /A.B./C /A.B.C A./B./C A./B.C A.B./C A.B.C Dans la colonne «combinaison des entrées» est indiqué, en algèbre binaire, la combinaison des entrées. Par exemple pour la première ligne: A à 0 et B à 0 et C à 0. IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 9/45

10 L équation de S est obtenue en faisant un OU logique entre les combinaisons pour lesquelles S= 1 Ici, S = /A.B./C + /A.B.C + A./B./C + A.B.C Remarque : On peut aussi écrire /S en faisant un OU entre les combinaisons pour lesquelles S = 0. /S = /A./B./C + /A./B.C + A./B.C + A.B./C on peut alors obtenir S en complémentant l'équation obtenue (S = //S) Représentation symbolique normalisée des fonctions logiques: selon la norme les entrées sont placées à gauche et les sorties à droite 1 1 & OUI NON ET à deux entrées 1 =1 OU à deux entrées OU exclusif 2entrées On peut imaginer, et il existe, des portes avec plus de 2 entrées (par exemple il existe des circuits intégrés contenant des ET 8 entrées ) Il est bon de connaître également la représentation dite américaine, anciennement utilisée aux USA et qui est encore utilisée dans les catalogues constructeurs, non pas pour représenter les fonctions elles mêmes, puisque la norme indiquée ci dessus est une norme internationale, mais pour expliciter le contenu des fonctions complexes: ET OU OU Exclusif L'inversion, d une entrée ou d une sortie, est indiquée par un rond O ou un IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 10/45

11 5. Les portes logiques en électronique Table de fonctionnement électrique d une porte logique: Les variables que nous utiliserons dorénavant sont matérialisées par des signaux électriques qui peuvent donc avoir deux niveaux électriques: haut: H (5V) bas: L (low) (0V) Selon les solutions technologiques mises en ouvre pour réaliser ces portes logiques les niveaux électriques correspondants seront différents : il existe plusieurs familles logiques. Une famille logique est définie par ses caractéristiques électriques: tension d'alimentation zones de tension correspondant à l'état bas (L) et haut (H) [compatibilité entrée et sortie] courant fourni en sortie avec respect des niveaux vitesse maximale de fonctionnement (fréquence maximale) consommation en fonction de la fréquence de fonctionnement pour les plus importantes. Nous utiliserons en TP essentiellement la famille HCTMOS qui utilise les deux niveaux de tensions suivants: 0V et 5V. Les composants de la famille HCTMOS portent des noms de la forme 74HCTxxx où xxx est un nombre à deux, trois ou quatre chiffres précisant le type de porte de la famille, ce numéro correspond donc à la fonction des éléments du boîtier. La table de fonctionnement électrique d une porte logique met en relation les niveaux électriques des entrées et des sorties: Exemple : 74HCT00 E1 E2 S L L H L H H H L H H H L Table de fonctionnement et représentations symboliques: logique.. le rond est la négation logique, c'est le signe d'une inversion électrique et Exemples : E1 E2 & S1 E3 E4 1 S2 S1 = E1.E2 S2 = /(/E3 + /E4) IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 11/45

12 si on prend la convention H <=> 1 et L <=> 0 Tables de vérité : E1 E2 S E3 E4 S Cette identité entre les 2 tables prouve l'équivalence entre les deux symboles: ces deux fonctions peuvent être réalisées avec le même composant. (l'équivalence vient de l'égalité des 2 équations, voir De Morgan)

13 6. Synthèse graphique: Logigramme théorique: Le logigramme théorique est conçu en réalisant graphiquement les équations logiques à l aide des fonctions logiques exemple: S = A.(B + /(C.D.E)) A B C D & & S E Si on veut réaliser le système avec des fonctions de bases il est nécessaire de faire le logigramme de réalisation, il faut transformer les fonctions logiques en portes électroniques, en utilisant les différentes représentations des portes. Il faut toujours penser que chaque fonction logique peut s'écrire de deux façons différentes en utilisant notamment le théorème de De Morgan (passage entre forme ET et forme OU), donc il y a deux représentations graphiques. exemple: on dispose de la fonction S = /a + b on peut écrire: S = // (/a + b) = / (a. /b) dont les symboles respectifs sont: a b >1 S a b & S Vérification: on doit vérifier l exactitude du schéma:. en vérifiant les équations des sorties. en vérifiant que toutes les fonctions représentées sont des représentations correctes des circuits utilisés. Exercices: S = A.B + /C en utilisant uniquement des 74HCT00 S= A./B + /A.C S= A./B.C + /A.D S=A.B + /C avec 74HCT08 et 74HCT04 en exemples faire les synthèses des différentes écritures du OUEXCLUSIF IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 13/45

14 7. Les fonctions combinatoires. Dans ce chapitre les codes ont la représentation suivante: pour les codes composés d'un seul signal: C0 code pour les codes composés de 2 signaux: C1 C0 code pour les codes composés de 3 signaux: C2 C1 C0 code Commutation de voies: 1.1 démultiplexeur : représentation fonctionnelle : Entrée Code de commande S0 S1 S2 S3 2 représentation normalisée : ( ici démultiplexeur 4 voies ) C0 C1 DMUX G 0/ S0 S1 S2 E 3 S3 2 entrées de sélection: on indique, dans le corps du symbole, les extrêmes des puissances de 2 et la gamme des numéros de sorties adressées 1 entrée 4 sorties: une sortie est active si l entrée est active, ET (G) si cette IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 14/45

15 sortie est validée par les entrées de sélection exercice : faire la table de vérité simplifiée de la fonction : C1 C0 S0 S1 S2 S Donner les équations des sorties : 1.2 Multiplexeur représentation fonctionnelle : E0 E1 E2 Sortie E3 Code de commande 2 représentation normalisée : MUX G 0/ faire la table de vérité réduite : Donner l'équation de la sortie. 2. Codage: 2.1 transcodeur: passage d un code à un autre (binaire naturel à binaire réfléchi, binaire à commande d afficheur) par exemple BCD / 7 segments IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 15/45

16 2.2 décodeur: le code fournit en entrée (codage sur plusieurs lignes) active une des sorties C0 X/Y 0 S0 C1 G 0/3 1 2 S1 S2 EN 3 S3 Faire la table de vérité. Comparer avec DMUX Donner les équations logiques des sorties : 2.3 encodeur: le code en sortie indique l entrée active (donc priorités) 3. Fonctions arithmétiques: additionneur comparateur... IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 16/45

17 8. Bascules. Mémoire avec un OU: A 1 Q en supposant A et S à 0, si A passe à 1, Q passe à 1 mais S reste à 1, même si A retourne à 0. Ce circuit permet donc de mémoriser le passage à 1 de A. Il présente l'inconvénient de ne pas pouvoir être remis à 0. A est une entrée de mise à 1: pour la norme cela correspond à une entrée SET Mémoire avec reset: pour remettre la sortie à 0 il faut empêcher le retour de la sortie vers l'entrée SET RESET & 1 Q R & Q si RESET est à 0 R&Q est à 0, Q= SET Si RESET est à 1 => R&Q = 1 => Q = Q + SET c'est-à-dire que si SET est à 1 Q passe à 1 mais aussi que si Q est à 1, il y reste même si SET passe à 0 (c'est le montage précédent) on peut aussi dire: si SET=1 => Q=1 si SET=0 => Q = Q.RESET RESET=0 est la commande RESET RESET =1 et SET =0 est la commande mémoire table de fonctionnement: R S Q par reset par set (Q=SET) RESET (Q=SET) SET prioritaire 1 0 Q (Q=Q, mémoire) mémoire (Q=SET) SET Application: système marche/ arrêt à arrêt prioritaire sur la marche: soit un moteur C commandé par deux BP: M marche et A arrêt et soit le mode de fonctionnement désiré: IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 17/45

18 l'appui sur M ou A doit fournir un état maintenu (marche ou arrêt) après que l'action ait cessé A prioritaire sur M on suppose qu'il est impossible de relâcher les 2 BP en même temps écriture de la proposition logique décrivant le fonctionnement: C est actif ssi (M est actif ou C était actif) et A non actif afin de différencier les états avant et après on peut prendre la convention suivante: pas d indice pour les états antérieurs indice + pour les états postérieurs C + est actif ssi (M actif ou C actif )et A non actif M c- >1 A & c+ C Bascules asynchrones: le circuit précédent peut-être redessiné S (M) 1 R (A) & Q (C) R S Q 0 0 Q- mémoire set reset Reset prioritaire Les sorties de bascules sont souvent repérées par la lettre «Q» symbole: bascule RS S R1 1 IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 18/45

19 R1 signifie que R est prioritaire sur Set pour la sortie 1 (il existe également des bascules à Set prioritaires) remarque: le symbole de la bascule créée dans le paragraphe «mémoire avec reset» est le suivant: SET RESET S1 R 1 Q en effet RESET est actif avec un 0, ce qui est traduit (imparfaitement, voir annexes) par l'inverseur, de plus le SET est prioritaire sur le RESET. Bascule à sorties «complémentées»: (facultatif pour RT) Les deux inverseurs ajoutés ne modifient pas le fonctionnement S >1 B Q S1 1 R2 2 R & A Q S >1 B Q R & A Q R S A B 0 0 A- B On remarque que pour la combinaison R et S actifs les sorties ne sont pas complémentaires. exercice: Donner les symboles. Détailler les deux passages possibles pour parvenir en position mémoire IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 19/45

20 Verrou D: Le verrou D a le fonctionnement suivant: CD= 1 => Q=D CD= 0 => Q= mémoire symbole: verrou fermé verrou ouvert D CD 1D C1 Q D, CD et Q sont des noms quelconque, mais pour lesquels existe des habitudes, dans le symbole par contre, il faut respecter strictement la norme: D pour une entrée de donnée C pour une entrée de contrôle le «1» qui suit «C» indique que le contrôle s'exerce sur l'entrée repérée «1» l'entrée D est repérée par un «1», elle est donc contrôlée par le signal CD Bascules D: bascule D sur front (edge triggered): la prise en compte de la donnée à lieu lors d'un front actif. Il faut que la donnée soit stable un temps avant et un temps après le front (ce temps est très petit, bien inférieur à la microseconde, il dépends de la famille logique, il faut aussi que le front soit bref) 1D Q C1 /Q Qn+ = Dn- Remarques: la seule différence de représentation avec le verrou est le triangle interne au symbole pour l'entrée C: ce triangle indique que l'entrée est active lors d'un front Une bascule active par front descendant est représentée avec un rond supplémentaire(ou un triangle, voir annexe), à l'extérieur du contour du symbole, sur l'entrée d'horloge (C). Fonctionnement synchrone et asynchrone: un système est dit synchrone si l'état des sorties n'est redéfini qu'à certains instants déterminés par un signal de synchronisation appelé horloge (clock): l'état des sorties après le front actif du signal d'horloge dépends de l'état du système (des sorties et des entrées) avant ce front. Si ce n'est pas le cas le système est asynchrone IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 20/45

21 9. Les registres. Un registre est un élément de mémorisation composé de plusieurs bascules. 1. Exemples de réalisations : Registre parallèle: D0 1D Q0 CK C1 C1 D1 C1 D0 1D 1D Q0 Q1 D2 D3 CK 1D C1 1D C1 Q2 D1 D2 D3 Q1 Q2 Q3 Q3 c'est une mémoire 4 bits (1 x 4 bits) Compléter le chronogramme suivant: on peut déterminer Q0 et Q1 indépendamment. IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 21/45

22 Registre à décalage (entrée série, sorties parallèles) : Q0 Q1 Q2 Q3 CK IN 1D C1 1D 1D 1D C1 C1 C1 CK SRG4 IN Q0 Q1 Q2 Q3 Compléter le chronogramme suivant : il faut déterminer d'abord Q0, puis Q1... CK IN Q0 Q1 Q2 Q3 IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 22/45

23 Utilisation des registres:. en tampon: pour mémoriser des données et ne les faire évoluer qu à certains instants ( interface). en mémoire: circuits mémoire et mémoire interne des microprocesseurs. pour faire des transformations parallèle/série et série/parallèle pour les transmissions. pour réaliser les opérations logiques de décalage et de rotation (le décalage d un rang vers la gauche d un nombre binaire corresponds à une multiplication par 2) Possibilités de certains circuits:. chargement série et/ou parallèle. RAZ asynchrone des sorties. décalage droite et/ou gauche. sorties série ou parallèles 2. Exemples de circuits existants: 74xx164 IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 23/45

24 74xxx166: IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 24/45

25 Autre représentation possible: le circuit est constitué de 8 bascules D en série pour obtenir un registre à décalage. Cependant seule la dernière de ces sorties (Qh) est accessible sur le composant (pas de broches de prévues pour les autres) CLR==0 => toutes les sorties des bascules sont mises à 0., quelque soit les autres entrées: c'est un reset prioritaire. SL==1 => mode 1 (shift = décalage) SL==0 => mode 2 (load= chargement, parallèle: les entrées sont recopiées sur les sorties des bascules. Le chargement ainsi que le décalage sont contrôlés par le signal d'horloge (au front montant de ce signal) Le signal d'horloge est ici construit avec Xc et Yc.: Xc==0 => horloge= sortie du OU =Yc Yc==1 => horloge= sortie du OU =1 Xc et Yc ont la même fonction: on utilise l'un comme horloge et l'autre pour laisser passer ce signal d'horloge ou pour le bloquer, avec un 1 ce qui impose un 1 en sortie du OU En mode de fonctionnement décalage l'entrée de la première bascule n'est pas A mais l'entrée SER. IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 25/45

26 Question: en mode décalage (shift) combien faut il de fronts montant sur Xc (Yc==0) pour que la donnée qui vient d'être chargée en F arrive à Qh? Idem pour l'entrée SER. Les compteurs: Ces circuits sont constitués d'un ensemble de bascules commandées par une même horloge et réalisant une séquence répétitive de comptage. On les définit par le nombre d'étages, c'est-à-dire le nombre de bits sur lequel ils comptent, ce qui peut être différent du nombre de bits disponibles en sortie: en effet un circuit 24 étages, par exemple, constitué de 24 bascules, n'offrent souvent à l'utilisateur que quelques uns des derniers étages en sortie: un compteur peut aussi être vu, utilisé, comme un circuit diviseur, puisque chaque étage fournit un signal deux fois plus lent. Exemple: Séquence de comptage sur 3 bits: description par table d'évolution: Q2 Q1 Q Chronogramme: symbole: Donc un compteur 2 bits peut être considéré comme un diviseur par 4. Plus généralement un compteur N bits peut être considéré comme un diviseur par 2^N. Généralement ces circuits possèdent quelques fonctionnalités supplémentaires:. remise à zéro asynchrone (c'est à dire immédiate: sans attente du front d'horloge) IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 26/45

27 . fonctionnement en compteur ou en décompteur. possibilité de préchargement à une valeur choisie par l'utilisateur (entrées définissant la valeur, entrée commandant le chargement). représentation partielle du fonctionnement: IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 27/45

28 10. Description des systèmes séquentiels par la méthode des étapes. Une séquence est constitué d'étapes. Voir TD précédent pour des exemples de réalisations. Voir annexes pour la détermination des équations des entrées des bascules. Exemples: 1. Commande de feu tricolores: feu rouge feu vert feu orange La séquence se répète indéfiniment, identiquement on suppose même durée pour chaque étape 2. Séquences de comptage: comptage sur 2 bits: 00, 01, 10, 11 et on recommence 00, compteurs sur plusieurs bits Mais bien souvent les séquences sont plus complexes, quelques exemples: il faut pouvoir rester sur l'étape «feux oranges» pendant la maintenance des feux, obtenue par action sur un bouton poussoir pour les compteurs, on peut vouloir arrêter momentanément le comptage ou faire une remise à 0... Il peut y avoir d'autres signaux d'entrées modifiant la séquence, ou son déroulement. Pour la conception de ces systèmes il faut:. repérer les étapes. indiquer l'état des sorties pour chacune des étapes. indiquer les conditions de passage entre étapes Utilisation de graphes: Indépendamment du choix du logiciel de description du système, il faut pouvoir définir le fonctionnement: Premier exemple de diagramme d'étapes: Séquence de trois étapes avec évolution de deux sorties (Z0 et Z1) Ici l'évolution est inconditionnelle: on passe systématiquement de l'étape 0 à l'étape 1 puis à l'étape 2 puis on recommence sans fin. Les passages d'une étape à l'autre se font au moment du front actif du signal d'horloge. Ce système est du même type que ceux mis en équations dans les TD des chapitres précédents. IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 28/45

29 Second exemple:. de l'étape etp0 on passe sans condition à l'étape etp1. de l étape etp1 on passe à l étape etp2 si x=0 et à l étape etp0 si x=1. de l'étape etp2 on passe à etp0 si y=1 et on reste en etp2 sinon Nous ne nous intéresserons pas à l'écriture des équations permettant d'obtenir le fonctionnement désiré (c'est-à-dire les équations des entrées D des bascules en fonction des sorties des bascules). Nous utiliserons le langage ABEL pour décrire le comportement souhaité du système et le logiciel déterminera les équations des entrées des bascules et des sorties du système. Le système peut donc être représenté de la façon suivante: Entrées modifiant les sorties Entrées modifiant la séquence Partie séquentielle réalisée avec des bascules Signaux repérant les étapes Partie combinatoire, déterminant les sorties en fonction des étapes et d'entrées annexes sorties horloge IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 29/45

30 11. Nombres signés Présentation: 1. Dans une machine les données sont stockées en binaire (ensemble de 0 et de 1et sous un certain format (nombre de bits constituant la donnée). 2. Pour représenter les nombres on peut utiliser (ou non) un de ces bit pour indiquer le signe: dans ce cas la donnée est dite signée. 3. Le bit de poids fort est utilisé pour indiquer le signe: bit de poids fort à 1: nombre négatif bit de poids fort à 0: nombre positif Codage «Bit de signe et valeur absolue»: exemple au format 3 bits: on pourrait coder en utilisant un bit pour le signe (bit de poids fort) et les autres bits pour la valeur absolue: ce mode de représentation est rarement utilisé car les opérations de base addition et soustraction ne fonctionnent pas: 1-2 = 1 + (-2) = = 111 c'est-à-dire -3!!! alors que le résultat est -1, codé par 101 Codage en complément à 2: définition du complément à 2 d'un nombre binaire dans un FORMAT donné: le complément à 2 est obtenu en complémentant (en inversant) chacun des bits du nombre dans le format considéré et en ajoutant un au résultat. La complémentation seule est appelée complément à 1. exemple: format 4 bits: (le tableau suivant est obtenu en plaçant dans la première colonne les valeurs 0 à 7, puis le code sur 4 bits (deuxième colonne), puis le complément à 1 (troisième colonne) et le complément à 2, celui ci correspond à un nombre négatif: dernière colonne de droite. IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 30/45

31 On peut alors placer -8 et la dernière ligne qui montre que tous les cas ont été vus) puis valeur code binaire code complément à 1 code complément à 2 valeur finalement toutes les combinaisons binaire sont utilisées: 0000 à 0111 pour les valeurs positives 0 à à 1111 pour les valeurs négatives -8 à -1 remarques: le complément à 2 d'un complément à deux donne la valeur de départ: cplmt2(cplmt2(x)) = x pour obtenir le complément à deux on peut, en pratique, utiliser la règle suivante: en partant de la droite: laisser inchangés tous les bits jusqu'au premier 1 compris inverser tous les bits suivants si on connait la valeur décimale d un nombre héxa dont le bit de poids fort est à 1 la valeur codée est (val_max + 1 val_code) exemple en 8 bits : 0xA9 code 169 en non signé et donc -( )=-87 Comment trouver la valeur d un nombre (binaire, signé, codé en complément à 2)? Bit de poids fort à 0 : lecture «directe» de la valeur (positive) Bit de poids fort à 1 : le nombre est négatif, sa norme est trouvée en prenant son complément à 2 (inversion de tous les bits à gauche du premier bit à 1) Exemples pour format 4 bits: %0110 = 6 %1001= -(%0111)=-7 %1110 = -(%0010)=- 2 %1010 = - (%0110)= -6 %1111 = -(%0001)=-1 %0111 = 7 comment coder un nombre décimal signé en complément à 2 binaire? Il faut s'assurer que ce nombre est codable dans le format considéré!!! si le nombre est positif on traduit le nombre en binaire comme appris cours «nombre binaire». Le bit de poids fort du format doit être à 0 (ainsi que tous les bits de poids supérieur) sinon le nombre n'est pas codable dans ce format. Si le nombre est négatif on traduit en binaire sa valeur absolue (on doit obtenir le bit de poids fort du format à 0 ou si il est à 1 tous les autres bits doivent être à 0) puis on calcule son complément à 2. Soustraction : calculer, au format 8 bits: 0x23 0x1B 0xA5 0x BC IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 31/45

32 comparer avec les valeurs représentées en non signées et en signé complément à 2. Soustraire c est additionner le négatif, ceci est utilisé dans les Unités Arithmétiques des microprocesseurs: additionner le complément binaire et ajouter 1. Exemple dans un format 4 bits: Représenter en binaire signé en cplmt à 2: 2 = % = % = % = % = % = % = % = % = % = % = % = % non codable calculer maintenant à partir des valeurs binaires sur 4 bits (donner le résultat en binaire et en décimal): = % = %1100 retenue = % = % = %0111, retenue, faux = % 1101 faux 6 7 = % = % 0110 retenue, faux on constate :. qu il n y a pas de retenue lors d une addition entre un nombre positif et un nombre négatif. que le résultat d'une soustraction est toujours juste. que la retenue n'indique pas forcément une erreur dans le résultat lorsque l'addition porte sur 2 nombres de signes différents le résultat est toujours exact lorsque les deux nombres sont de même signe le résultat peut être incorrect: la somme de 2 grands positifs donne un résultat négatif la somme de 2 grands négatifs donne un résultat positif pour détecter cette erreur la méthode est très simple il suffit de comparer les bits de signe des opérandes et celui du résultat: signe A signe B signe R=A+B overflow juste faux x juste x juste juste faux 1 le bit d'overflow (dépassement de capacité) indique si le résultat est correct ou non: 1 indique un résultat incorrect. Bit de retenue, bit d'overflow? Un microprocesseur ne sait pas si les nombres qu'il doit additionner sont des nombres signés IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 32/45

33 ou non signés, il fournit donc systématiquement les deux informations, retenue et overflow, si les nombres sont non signés il faut surveiller le bit de retenue si les nombres sont signés il faut surveiller le bit d'overflow codage par excès: si le but est d'ordonner, de comparer des grandeurs, plutôt que les additionner, le mode de codage en complément à 2 n'est pas un bon choix. On utilise un codage décalé. exemple: code_décalé= complément_à_deux + valeur_positive_bit_poids_fort_à_1 format 4 bits: valeur_positive_bit_poids_fort_à_1= 1000 = 8 (attention: 1000 représente normalement -8!!) -3 = 1101 code par excès= = = 0101 code par excès = = 1101 IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 33/45

34 Sur 4 bits: Décimal Bit de signe + valeur absolue Signé cplmt à 1 Signé cplmt à 2 Signé binaire décalé On obtient bien pour le code 0000 la valeur la plus petite -8 et pour 1111 la valeur la plus grande +7 Rappel: en non signé on peut coder les nombres de 0 (%0000) à 15 (%1111) signé: le bit de poids fort est le bit de signe, les bits suivant donnent la valeur absolue Signé en complément à 2: si le bit de signe est à 1 il faut soustraire 1 avant de prendre le complément pour obtenir la valeur absolue du nombre qui est négatif signé avec excès (décalé): on décale de 2 n-1 la valeur (n est le nombre de bits) exemple: au format 4 bits, pour coder -3 on calcule -3+8 = 5 = 0101 et donc 0101 représente -3 en binaire décalé sur 4 bits. Pour obtenir le code décalé il suffit d'inverser le bit de poids fort. Remarque sur l'addition en binaire décalé: étude de l'exemple 3 + 4: > on constate que l'on a ajouté 2 fois la valeur 8: l'addition de 2 nombres en décalé donne un résultat exact en complément à 2 vérification sur l'exemple: > = = 0111 ce code corresponds à 7 en complément à 2, (4 + 3 =7!!) si on ajoute 1000 on obtient: 1111 qui représente 7 en décalé si on soustrait 1000 on obtient également 1111 si on inverse le bit de poids fort on obtient le même résultat. IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 34/45

35 12. Nombres fractionnaires : En base 10 : 27,24 = 2* * * *10-2 Les poids sont:...100, 10, 1, 0.1, de même en base 2 : les poids sont : 32, 16, 8, 4, 2, 1, 0.5, 0.25, donc 111,101 = = 7,625 Méthode de conversion des nombres fractionnaires décimaux en binaire : Rappel en décimal : conversion de 0,625 0,625 *10 = 6,25 6,25-6= 0,25 car on mémorise le 6 comme coefficient des dixièmes de l unité (6 est >= 1) 0,25 * 10 = 2,5 2,5-2 = 0,5 2 centièmes 0,5 * 10= 5 5 milliemes donc 6 dixièmes, 2 centièmes et 5 milliemes (!!!!) en binaire : 0,625*2 = 1,25 1,25 1 = 0,25 on mémorise 1 pour les ½ 0,25 *2 = 0,5 0,5 <1 donc 0 comme coeff pour ¼ 0,5*2=1 1-1=0 1 comme coefficient des 1/8 et il reste 0 le nombre en binaire est donc: 0,101 mais parfois le résultat exact n'est pas aussi facile à déterminer: 0,24 *2 = 0,48 0,48 < 1 donc 0 comme coeff. Des 0.5 unités 0,48 *2 = 0,96 donc 0 0,96 * 2 = 1,92 1,92-1 = 0,92 on mémorise 1 pour les 1/8 0,92 *2 = 1,84 1,84 1 = 0,84 1 pour 1/16 0,84 *2 = 1,68 1,68 1 = 0,68 1 pour 1/32 0,68*2 = 1,36 1,36 1 = 0,36 1 pour 1/64 0,36 * 2 = 0,72 0,72 < 1 0 pour les 1/ = %0, remarque: si on a un nombre binaire à virgule on peut calculer sa valeur décimale en calculant le poids du bit le plus petit et en multipliant par le nombre considéré sans la virgule: exemple: 10,0101 poids du bit le plus à droite: 2-4 =0, correspond à =37 IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 35/45

36 donc le nombre correspond à 37*0,0625 = 2,3125 pour le code binaire de 0,24 on peut raisonner d'une façon similaire: il faut trouver 2 nombres entiers A et N tels que: A. 2 -N = 0.24 il y a 2 inconnues on ne peut donc pas résoudre l'équation mais il est possible:. dans un format donné (nombre de bits) de donner une approximation si on a 8 bits après la virgule N= 8. ou de rechercher le nombre de bits nécessaire par essais successifs: par exemple un essai avec 20 bits donne: A=0.24/2-20 =251658,24 ce n'est pas un nombre entier il faut donc rechercher avec plus de bits... dans ce cas la bonne solution est N=49 (49 bits) A= = 0x7AE147AE147A le résultat est donc: 0, Précision : Un bit de rang m après la virgule corresponds à 2 -m c est la précision absolue sur un nombre défini par m chiffres après la virgule. Représentation des nombres dans les machines : Les nombres sont stockés dans un certain format, c est-à-dire qu une zone mémoire leur est attribuée, par exemple 8, 16, 32, 64 bits sont des formats courants d emplacements mémoires réservés à des données et donc aux nombres. Dans un format donné on peut n utiliser que des valeurs positives : Avec 8 bits on peut dans ce cas représenter les nombres de 0 à % soit 255 On peut également utiliser la convention des nombres signés afin de représenter les valeurs négatives : Avec 8 bits on peut alors représenter les valeurs de 128 à +127 Si on veut représenter des nombres fractionnaires deux modes de représentations sont utilisés : Virgule fixe : A An-1..A0. A-1 A-2.. A-n Signe partie entière virgule partie fractionnaire le nombre de bits pour partie entière et partie fractionnaire sont fixes: la virgule est toujours au même endroit. L'avantage de ce mode de représentation par rapport à la virgule flottante est que les additions et soustractions sont très faciles à faire. codage en virgule fixe: exemple format 32 bits: 16 bits pour la partie entière et 16 pour la partie fractionnaire 1 la plus petite valeur est = e ,15 pour écrire 32,15: on calcule V= = , e-5 la valeur est donc approximée à en hexadécimal= 0x donc 22 bits utilisés , on peut vérifier, par exemple, que le bit de la partie entière corresponds bien à IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 36/45

37 Virgule flottante : Elle a pour origine la notation scientifique : +-M*B C M = mantisse C = caractéristique B = base Bit de signe bits de C bits de M La représentation en virgule flottante est très employée et est normalisée: Norme IEEE 754 Précision Format C M (plus un bit de signe) (en bits) (en bits) (en bits) Simple (float en C) Double Étendue caractéristique: La norme IEEE 754 prévoit le codage de la caractéristique avec excès (décalage) : en simple précision on code C avec un excès de 127 et donc -1 ( en complément à 2) = ( en complément à 2) donne est représenté par par la valeur indique que ce n'est pas un nombre (voir tableau suivant) (en double précision on utilise un excès de 1023). (NB: l'excès utilisé n'est pas l'excès utilisé pour les nombres entiers non signés) mantisse: En base 2 la mantisse s écrit toujours 1, Donc on ne représente pas ce 1 cela permet de gagner 1 bit pour le codage. Se pose alors le problème de la représentation du 0, Par convention (en 32 bits): C M signification 255 = 0 ce n est pas un nombre ou - l infini 0 = 0 plus petits nombres >0 et <255 qq nombre normal codage en virgule flottante: écriture de 2789 en virgule flottante 32 bits (IEEE754):. recherche de la caractéristique, c'est-à-dire de la plus grande puissance de 2 inférieure à 2789: 2 12 > 2789 > 2 11 donc la caractéristique est 11. recherche de la mantisse: c'est le nombre M tel que M donne = 1, * 2 11 IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 37/45

38 . Récapitulatif: bit de signe: 0 caractéristique: elle est codée par excès sur 8 bits donc: = 138 = 0x8A = % mantisse: on ne code pas l'unité qui est toujours présente, et le format est de 23 bits: 0, / 2-23 = , on ne prends que la partie entière que l'on code en hexadécimal puis en binaire: = 0x2E5000 = au final: soit % signe caract. Mantisse c est-à-dire en héxa :0x452E5000 de virgule flottante vers décimal: en 32 bits, norme IEEE: 0x5FF62AA signe: 0 donc positif caractéristique: = = 64 mantisse: = , x 2-23 = 0, il faut donc prendre 1, valeur: 1, x 2 64 = e19 nombre= 1 S E 127.M.2 on peut utiliser le site suivant pour faire des vérifications de conversions: écriture de 0,02 en flottant 32 bits: 0,02= 1,28*2-6 bit de signe 0 caractéristique: =122 =0x79 = mantisse: 0,28 =0x23D70A * 2-23 soit c'est-à-dire: 0x3CA3D70A IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 38/45

39 13. Compléments: États logiques, Karnaugh, séquences, étapes ABEL États logiques et niveaux électriques: On peut indifféremment associer niveau électrique et état logique dans la représentation d une porte logique. En effet, si il semble plus simple d'associer le 0 logique au niveau bas (L, 0V) et le 1 logique au niveau haut (H, 5V), il n'y a aucune obligation: ce n'est qu'une affaire de convention. Niveau actif : le niveau actif est le niveau électrique auquel on associe l état logique 1 :. niveau H associé à 1 => actif par niveau haut aucun signe distinctif. niveau L associé à 1 => actif par niveau bas repéré par un triangle Règle de connexion: Les extrémités d une ligne doivent avoir le même niveau actif (avoir ou non le symbole triangle à chaque extrémité) Table de fonctionnement et représentation symbolique: logique.. le rond est la négation logique, c'est le signe d'une inversion électrique et. le triangle n intervient pas dans l équation logique, il représente toutefois une inversion électrique: il signifie actif par niveau bas. Exemples : E1 E2 & S1 E3 E4 1 S2 S2 = /E3 + E4 S1 = E1.E2 Tables de vérité : E1 E2 S E3 E4 S Tables de fonctionnement : S1 est un ET à sortie active par niveau bas. S2 est un OU avec une entrée inversée et une entrée active par niveau bas. E1 E2 S1 L L H E1 E2 S1 L H H IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 39/45

40 E1 E2 S1 H L H H H L E3 E4 S2 E3 E4 S2 L L H L H H H L H H H L On peut remarquer dans cet exemple que les deux fonctions n'ont pas la même table de vérité mais possède la même table de fonctionnement: elles ont donc le même fonctionnement électrique => le circuit qui permet de réaliser une des fonctions permet également de réaliser l'autre fonction. Pour transformer une représentation en conservant ses caractéristiques électriques (c'est-à-dire déterminer d'autres représentations du même composant électrique) il faut respecter les règles suivantes:. il est possible d'interchanger «rond» et «triangle». il es possible de placer «rond» +»triangle» lorsqu'il n'y a ni l'un ni l'autre (et réciproquement). on peut utiliser De Morgan: /(A+B) = /A./B /(A.B) = /A + /B Détermination des équations des systèmes logiques. Tableaux de Karnaugh. Représentation par tableau de Karnaugh : L'écriture de l'équation à partir de la table de vérité oblige à utiliser l'algèbre binaire si on veut la simplifier. Pour des systèmes à 3 variables et plus la simplification n'est pas simple car les règles de l'algèbre binaire ne sont pas toujours évidentes à appliquer. Par exemple on peut démontrer l'égalité /A./B + B.C + /C./B = /A.C + B.C + /B./C la démonstration est peut être assez simple, mais comment imaginer à priori cette égalité? L'utilisation des tableaux de Karnaugh permet de trouver les équations les plus simples et de visualiser les différentes écritures possibles. Cependant des écritures simplifiées utilisant les fonctions OUEXCLUSIF ne sont pas possible directement avec cette méthode. Exemple d'un tableau à trois entrées : Pour remplir un tableau de Karnaugh à partir d'une table de vérité il faut procéder de la façon suivante:. chaque case du tableau corresponds à une ligne de la table de vérité. la combinaison que représente une case est obtenue en faisant un ET entre chacune des variables. Si la case n'est pas «sous la barre» de la variable il faut prendre le complément de cette variable. A B Case A./B./C A B C C Case A.B.C IUT1 GRENOBLE Dpt RT INFO 2 Logiques combinatoire et séquentielle cours p. 40/45

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