Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3

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1 Reltions binires Mrc SAGE 8 octobre 007 Tble des mtières Amuse gueule Combintoire dns les quotients 3 Problème d extrém 3 4 Un théorème de point xe 3 5 Sur l conjugisons dns R 3 6 Sur les corps totlement ordonnés 4 7 Sur les ensembles bien ordonnés 5

2 Fire une prép scien que n est ps une excuse pour être inculte en ltin : les pluriels de mximum, minimum et extremum sont respectivement mxim, minim et extrem (ps de s). Amuse gueule Dénombrer les reltions binires sur un ensemble à n éléments qui symétriques. Compter de même les reltions d ordre totl. Représentons une reltion binire pr son grphe, i.e. un tbleu n n vec un croix dns l cs (; b) ssi Rb. Une reltion symétrique est un tbleu qui est entièrement déterminé pr s prtie tringulire supérieure u sens lrge (i.e. inclunt l digonle), lquelle contient n +n cses. Comme l on choix pour chque cse (est-ce qu on l coche ou ps?), on en tout n +n choix. Plus formellement, on pourr dire que l ensemble des reltions symétrique sur f; :::; ng est en bijection vec l ensemble des prties de (; b) N ; < b n (envoyer le grphe de l reltion sur lui-même). Concernnt les reltions d ordre totl, il revient à compter les reltions d ordre strict. Pour cel, en ordonnnt les éléments ; :::; n de notre ensemble selon () < ::: < (n), on se rmène à compter les permuttions de f ; :::; n g. Le nombre recherché est donc n! Combintoire dns les quotients Soit une reltion d équivlence sur un ensemble ni E à n éléments. On rppelle que est dé nie pr son grphe qui est une prtie de E E. Montrer que jej E jj. Soit E ; :::; E p les clsses selon, vec p = E le nombre de clsses. Explicitons chcun des termes en fonctions de ces données de bse (rppelons que est entièrement déterminée pr les E i ). En dénombrnt le grphe de selon l première coordonnée, on obtient jj = # (; b) E ; b = X E # fb E ; bg = X E #. Or les clsses E i prtionnent E, donc l somme ci-dessus s écrit ussi X px X # = # = E E i Pr illeurs, toujours cr E = E q ::: q E p, on px X px #E i = je i j. E i jej = px je i j!. L inéglité à montrer se met donc sous l forme px px je i j! p je i j. Un Cuchy-Schwrz su t lors pour démolir cet exercice.

3 3 Problème d extrém On se plce sur le qurt de disque D := (; b) R + ; + b muni de l ordre produit. Déterminer (sous réserve d existence) ses mximum, supremum et éléments mximux. Montrer pr un contre-exemple que l unicité d un élément mximl ne grntit en rien qu il s gisse d un mximum. Il fut évidemment fire un dessin et observer que les points plus grnds qu un point A donné sont ceux qui se trouve dns le qurt de pln in ni dont l unique coin (bs guche) est A. On voit insi où se trouvent les mjornts (; b) de D : ils doivent tous mjorer les points (; 0) et (0; ) de D, donc doivent véri er ; b. Comme (; ) mjore clirement D, on l existence d un supremum sup D = (; ). Évidemment, ps de plus grnd élément, sinon sup D serit dns D. Concernnt les éléments mximux, on voit isément qu ils forment le qurt de cercle (; b) R + ; + b =. Le cours nous dit qu il fut chercher dns les ordres prtiels, pr exemple les ordres produits. Dns le pln R ordonné comme tel, l prtie R [ fig n ps de plus grnd élément, mis i est mximl et est le seul, tout réel (x; 0) étnt mjoré pr (x + ; 0). 4 Un théorème de point xe Montrer que toute ppliction croissnte f : P (E) considérer l plus petite prtie de E stble pr f.! P (E) dns lui-même dmet un point xe. On pourr Règle ensembliste : lorsqu il s git de considérer l plus petite prtie véri nt un truc, on regrde si l intersection de toutes les prties véri nt ce truc ne mrche ps. Suivnt l énoncé, posons donc A 0 := T A et montrons que A 0 est xe pr f. Il est déjà isé de montrer que A 0 est stble pr f : 0 f (A 0 ) = \ AA \ f (A) \ A = A 0. Montrons que l inclusion ne surit être stricte. Soit pr l bsurde un A 0 nf (A 0 ). Pr minimlité de A 0, l prtie B := A 0 nfg n est ps stble pr f ; or, B A 0, donc pr croissnce de f, on doit voir f (B) f (A 0 ) A 0 = B q fg. Le point doit donc pprtenir à f (B), donc à f (A) pr croissnce de f, ce qui n est ps. 5 Sur l conjugisons dns R On dit que deux pplictions f et g de R R sont conjuguées s il y une bijection ' de R R telle que 'f = g'. Montrer que l conjugison est une reltion d équivlence. Les pplictions cos et sin sont-elles conjuguées? Donner une CNS pour que les pppliction x 7! x et x 7! x + x + b soient conjuguées. L ré exivité est clire (prendre ' = Id), tout comme l symétrie (trnformer les ' en ' en les chngent de côté). En écrivnt l conjugison sous l forme 9' bijective, g = 'f', 3

4 l trnsitivité devient évidente : g = 'f' h = g =) h = 'f' = ( ') f ( '). Supposons l existence d un ' bijectif tel que sin ' = ' cos. Testons des vleurs simples pour obtenir de l informtion : sin ' () = ' (cos ) = ' (cos ( )) = sin ' ( ). Pr illeurs, on peut encdrer ' () dns un intervlle où sin est injective, ce qui fournit une contrdiction : h ' () = ' (cos 0) = sin (' (0)) ' ( ) = ' (cos ) = sin (' ()) [ ; ] ; i. f (x) = x Posons g (x) = x. Supposons dns un premier temps que f et g sont conjuguées. Il y donc + x + b un ' tel que ' f = g ', i.e. 8x R; ' x = ' (x) + ' (x) + b. Utilisnt le crré, on pplique à un réel x puis à son opposé 0 = (' (x) ' ( x)) (' (x) + ' ( x) + ). x, ce n de fire l di érence. On obtient On envie de simpli er pr ' (x) ' ( x), ce qui ser possible ssi ' (x) 6= ' ( x), i.e. x = x (' est bijectif), i.e. x 6= 0. On donc pour tout x 6= 0 ce qui force ' (0) = ' (x) + ' ( x) + = 0 =) ' (x) + = ' (x) ' ( x) 6= 0 =) ' (x) 6=, pr surjectivité de '. Remplcer dns l éqution ' f = g ' donne = + + b =) b = Voici notre condition nécessire. Si l on suppose cette condition rélisée, cherchons une bijection ' simple conjugunt f et g. Essyons ' ne de pente. L condition ' (x) + ' ( x) + = 0 montre que l ordonnée à l origine de ' vut. Véri ons : [g '] (x) = Cel fonctionne. x + x + b = x x x +. = x = [' f] (x). 6 Sur les corps totlement ordonnés On dit que l on peut ordonner un corps K si on peut trouver une reltion d ordre totl sur K véri nt les propriétés suivntes : 8; b K; 8c 0; ( b =) c bc) 8; b; c K; ( b =) + c b + c) Montrer qu ordonner un corps revient à se donner une prtie P K tel que P P P, P + P P, P \ ( P ) = f0g, P [ ( P ) = K. Montrer qu un corps K est ordonnble ssi n y est ps sommes de crrés. 4

5 7 Sur les ensembles bien ordonnés On ppelle bon ordre toute reltion véri nt l propriété suivnte : toute prtie non vide dmet un plus petit élément. Pr bus de lngge, on ppelle bon ordre tout ensemble bien ordonné (i.e. muni d un bon ordre). Montrer qu un bon ordre est nécessirement totl. Montrer qu un bon ordre (E; ) tel que (E; ) soit ussi un bon ordre est nécessirement ni. Montrer que l on peut toujours dé nir un "successeur" dns un bon ordre (à l exception d un éventuel plus grnd élément). En déduire que les bons ordres sur R sont nécessirement u plus dénombrbles. Soit et b deux éléments que l on cherche à comprer. L prtie f; bg est non vide, donc dmet un plus petit élément, CQFD. Soit B un bon ordre. Pour dé nir le successeur d un élément B qui n est ps mximl, on envie de considérer le plus petit élément qui est > b. Ce dernier existe bien cr l prtie fb B ; b > g est non vide (b n étnt ps mximl), donc dmet un plus petit élément s (). Soit B un bon ordre sur R. À tout élément b B (utre qu un éventuel plus grnd élément) on ssocie son successeur s (b) > b. On peut lors piocher un rtionnel dns l intervlle ]b; s (b)[ pr densité de Q dns R, ce qui permet d injecter B nfmx Bg dns Q, CQFD. l mm xl y x Noter que l on n ps besoin de l xiome du choix : en e et, le rtionnel l m est toujours compris strictement entre deux y x réels x < y donnés. 5

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