Lycée Pilote de L Ariana SUITES REELLES 4 ème Math MR: LATRACH: COURS 2010/2011

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1 Lycée Pilote de L Ariaa SUITES REELLES 4 ème Math 1)Rappel et complémet : a) Activité 1.. b)activité : Soit u la suite défiie sur IN par :u = cos a)exprimer u 2 et u 2+1 e foctio de.. b)détermier lim(u 2 ) et lim(u 2+1 ). Que peut-o coclure?.. Rque : Les suites u 2 et u 2+1 sot dites deux suites extraites de la suite u 1-1) Défiitio Soit u la suite défiie sur I = {, IN et 0 } et l u réel fii lim(u )= l. lim(u )= +. b)théorème 1 : Soit u la suite défiie sur I et l u réel ; ( l peut être ifiie ) lim(u )= l lim(u 2 )=lim(u 2+1 ) = l Applicatio : Etudier la limite de la suite u défiie par u = (-1). c)théorème 2 : Toute suite covergete est borée 1

2 Lycée Pilote de L Ariaa SUITES REELLES 4 ème Math.. Rque : ue suite borée est pas forcemet covergete Cotre exemple :u = (-1). 2)Limite et ORDRE : a)théorème 3 : lim(u ) l Il existe u etier p de IN tels que pour tout de I o a u 0 des que p Alors l 0.. Corollaire 1 lim(u ) l Il existe u etier p de IN tels que pour tout de I o a u Alors l 0 0 des que p Corollaire 2 : lim(u ) l Il existe u etier p de IN tels que pour tout de I o a : a u Alors a l b b des que p Corollaire 3 : lim(u ) l et lim (v) l' Il existe u etier p de IN tels que pour tout de I o a u 2 v des que Alors l l Reflexe : lim(u )= l lim(u - l ) = 0. c)théorème 4: Soiet u et v deux suites défiies sur I : lim(v ) 0 Il existe u etier p dein tels quepour tout dei o a 0 u v des que p Alors lim(u ) = 0 p

3 Lycée Pilote de L Ariaa SUITES REELLES 4 ème Math Corollaire 4 ( Théorème de GENDARMES) Soiet u, v et w trois suites défiies sur I lim(u ) lim(v ) l ; ( l est fiie ) Il existe u etier p de IN tels que pour tout de I o a u w des que p Alors la suite w est covergete et o a : lim ( w ) = l.. Remarque : lim(u l ) = 0 lim (u ) = l lim u = 0 lim(u )=0 d)théorème 5 : Soiet u et v deux suites défiies sur I : lim(v ) Il existe Alors lim(u ) = + lim(v ) Il existe Alors lim(u ) = - u etier p de IN tels que pour tout de I o a : u etier p de IN tels que pour tout de I o a : u 3 v u v v des que des que Applicatio : Activité 7 p 40 Reflexe : Soit u ue suite géométrique de raiso q et premier terme a o ul Si q >1 alors lim u = + si a > 0 et lim ( u ) = - si a < 0 Si q = 1 alors u est costate et lim ( u ) = a Si 0 < q < 1 alors lim ( u ) = 0 p p

4 Lycée Pilote de L Ariaa SUITES REELLES 4 ème Math Si q -1 alors u est pas covergete. Exemple Activité 6 p 33. 3)Opératios sur les limites : Tableau des limites L L L+L L L No coclusio L L L.L L No coclusio Exercice : L L 0 L/L + L + L No coclusio 1)Soit u la suite défiie sur IN* par : u = 2(1 + )(1 + ).(1 + ) a)calculer lim( u ) b)déduire lim( u ² ) 2)Calculer lim (1 + ) (1 + )..(1 + ) 4

5 Lycée Pilote de L Ariaa SUITES REELLES 4 ème Math 4)Suite de type v = f(u ) Théorème 6 f est cotiue sur I coteat l u est ue suite covergete vers l Pour tout, o a u Alors lim ( f(u ))= f(l) Théorème 7 Si f est défiie sur I u I, pour tout limu l l fii ou ifii lim fxl x l Alors f(u ) = L Exemple : calculer ta( ).. Corollaire :(Théorème de 4 poit) u fu Si u est covergete vers l f est cotiue sur I et e l u I, pour tout Alors l = f( l ) ; ( u est ue suite récurrete) 5

6 Lycée Pilote de L Ariaa SUITES REELLES 4 ème Math 5)Covergece des suites mootoe : a) Activité 1 p 70 b)théorème 8 : Soit u ue suite défiie sur I IN u est croissate u est majorée Alors (u ) est covergete vers l et o a : u l, pour tout I u est décroissate u est miorée c)théorème 9 : u est croissate Si u est o majorée Alors (u ) est covergete vers l et o a : u l, pour tout I Alors lim(u ) = + u est décroissate u est o miorée Alors lim(u ) = -. Exercice : Soit u la suite défiie sur IN par u u u a)motrer que pour tout o a : 0 u 2 b)etudier la mootoie de la suite u c)déduire que u est covergete d)détermier la limite l de u 6

7 Lycée Pilote de L Ariaa SUITES REELLES 4 ème Math 6)Suites adjacetes a)déf : Soiet u et v deux suites défiies sur I O dit que (u ) et (v ) sot adjacetes SSi Remarques : u est croissate v est décroissate limu v u est croissate Si o a : v est décroissate alors u v limu v E effet : Cosidéros la suite w défiie sur I par w = u v alors o a : W est croissate somme de deux suites croissates W est covergete limw alors w 0 ( D après théo 8 ) par suite u v AR b)théorème 10 : Si (u ) et (v ) sot deux suites adjacetes alors ( u ) et ( v ) sot covergetes vers la même limite Applicatio : Activité 1 p 43 ; Ex 21 et Ex 25 7

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