12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites

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1 12 Cours - Suites.b 1/11 Suites I) Gééralités 1) Défiitio 2) Notatio 3) Commet peut être défiie ue suite 4) Suites et ordre 5) Propriété vraie à partir d u certai rag 6) Exercice 7) Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques II) Covergece d ue suite de réels 1) Défiitios 2) Notatios 3) Utilisatio de la défiitio de la covergece 4) Exercices 5) Uicité de la limite 6) Théorème 7) Opératios sur les suites covergetes 8) Limites et iégalités 9) Covergece d ue suite mootoe 10) Suites tedat vers l ifii 11) Formes idétermiées 12) Cas des suites mootoes 13) Exercices III) Suite égligeable, suite domiée, suites équivaletes 1) Défiitios et otatios 2) Exemples 3) Propriétés 4) Equivalet d ue suite covergeat vers ue limite fiie 5) Comportemet à l ifii de suites équivaletes et coséquece 6) Exercice 7) Opératios sur les suites équivaletes 8) Equivalets usuels 9) Comparaiso des logarithmes, puissaces, expoetielles et factorielle IV) Suites de ombres complexes 1) Défiitio de la covergece 2) Utilisatio du module 3) Propriétés V) Suites adjacetes 1) Défiitio 2) Théorème 3) Exemple VI) Suites extraites

2 12 Cours - Suites.b 2/11 1) Défiitio et otatio 2) Suites paires et impaires extraites 3) Limite d ue suite extraite 4) Coséqueces 5) Exemples 6) Théorème 7) Exercices VII) Suites défiies par récurrece 1) Défiitio 2) Représetatio graphique d ue telle suite 3) Limite évetuelle d ue suite défiie par récurrece 4) Commet motrer qu ue suite récurrete coverge 5) Exemples I) Gééralités 1) Défiitio Ue suite de réels (ou de complexes) est ue foctio de das (ou das ). 2) Notatio Au lieu de oter ue suite u comme ue foctio u : ö ØuHL, o ote cette suite Hu L œ ou Hu L e abrégé. Il e faut pas cofodre u (u terme de la suite, doc u ombre), Hu L œ (la suite, doc ue foctio) et 8u ê œ < (u esemble, l esemble des termes de la suite). 3) Commet peut être défiie ue suite? il y a beaucoup de maières, par exemple: Explicitemet, avec ue formule : par exemple u = Ituitivemet à partir des premiers termes: par exemple Hu L = H1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5,...L Implicitemet à partir de propriétés diverses: par exemple u = ième décimale de p Par récurrece: par exemple u 0 = 1 et " œ, u +1 = u ) Suites et ordre La suite Hu L de réels est : majorée, (respectivemet miorée, borée) ñ l esemble 8u ê œ < est majoré (respectivemet mioré, boré). croissate (respectivemet décroissate) ñ " œ, u +1 r u (respectivemet " œ, u +1 b u ) strictemet croissate (respectivemet strictemet décroissate) ñ " œ, u +1 > u (respect. " œ, u +1 < u ) mootoe ñ Hu L est croissate ou décroissate strictemet mootoe ñ Hu L est strictemet croissate ou strictemet décroissate costate ñ " œ, u +1 = u Par exemple: Hu L est borée ñ $ M œ + ë " œ, u b M

3 12 Cours - Suites.b 3/11 5) Propriété vraie à partir d u certai rag La suite Hu L vérifie la propriété P à partir d u certai rag lorsqu il existe u etier N tel que la suite Hu L r N vérifie la propriété P. E abrégé, o écrira APCR pour à partir d u certai rag. Par exemple, la suite Hu L est croissate APCR ñ $ N œ ê " r N, u +1 r u. 6) Exercice: Pour des suite de réels: Vrai? Faux? (Justifier) A: Toute suite strictemet mootoe est ue suite mootoe. B: Il existe des suites à la fois croissates et décroissates. C: Toute suite est croissate, décroissate ou costate APCR D: Toute suite costate est mootoe. E: Toute suite o majorée de réels positifs ted vers +. F: Toute suite tedat vers + est croissate APCR. 7) Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques a) Défiitio Ue suite Hu L de complexes (et doc évetuellemet de réels... ) est ue suite: arithmétique ñ $ b œ ê " œ, u +1 = u + b. O dit alors que b est la raiso de la suite. géométrique ñ $ a œ ê " œ, u +1 = aäu. O dit alors que a est la raiso de la suite. arithmético-géométrique ñ $ a, b œ ê " œ, u +1 = aäu + b b) Terme gééral, somme Pour ue suite arithmétique Hu L de raiso b: u = u 0 + äb et S uk = Hu 0 +u L H+1L k=0 2 Pour ue suite géométrique Hu L de raiso a: u = u 0 a 1-a et S uk = u +1 0 (a 1) k=0 1-a Si " œ, u +1 = a u + b, alors, e posat a = tout etier : u - a = a Hu 0 - al. O peut reteir que a est la solutio de l équatio x = a x + b. b 1-a, la suite Hu - al est ue suite géométrique de raiso a, doc o a pour c) Exercices a) calculer le terme gééral de Hu L défiie par u 0 = 3 et " œ, u +1 = 1 2 u + 1. Est-elle covergete? b) O pose pour œ : u = Prouver que cette suite est i arithmétique, i géométrique, i arithmético-géométrique.

4 12 Cours - Suites.b 4/11 II) Covergece d ue suite de réels 1) Défiitios La suite Hu L coverge vers le réel L ñ " > 0, $ N œ ê " œ, r N fl u -, L + D ou ecore La suite Hu L coverge vers le réel L ñ " > 0, $ N œ ê " œ, r N fl u - L b. E versio fraçaise: la suite Hu L coverge vers le réel L ñ quel que soit u segmet (o réduit à u poit) I cetré e L alors à partir d u certai rag tous les termes de la suite Hu L sot das cet itervalle I. La suite Hu L est covergete ñ il existe L œ tel que Hu L coverge vers L. La suite Hu L est divergete ñ Hu L 'est pas covergete. 2) Notatios O ote u öl Ø+ ou lim u = L ou u öl ou lim u = L. Ø+ 3) Utilisatio de la défiitio de la covergece La défiitio de la covergece est délicate à maîtriser et sert surtout pour costruire le cours et das de rares exercices. Il est coseillé de s e servir qu e derier recours das la résolutio d u problème ou u exercice. 4) Exercices a) Vrai? Faux? Si ue suite Hu L de réels coverge vers L, alors il existe u etier N à partir duquel u = L. b) Soit Hu L ue suite d etiers relatifs qui coverge vers u réel L. a) Prouver que L œ. b) Prouver que la suite Hu L est costate à partir d u certai rag. 5) Uicité de la limite La limite d' ue suite, si elle existe, est uique. 6) Théorème Ue suite covergete est borée. La réciproque est fausse. 7) Opératios sur les suites covergetes Si u öl et v öl' alors u + v öl + L' u v öläl' u ö L Hsi L' 0L v L'.

5 12 Cours - Suites.b 5/11 8) Limites et iégalités a) Passage à la limite das des iégalités Soiet Hu L et Hv L deux suites de réels. O suppose que: ; Hu L et Hv L sot covergetes APCR, u b v. Alors lim u b lim v. ATTENTION: ; Hu L et Hv L sot covergetes fl lim u APCR, u < v b lim v (et pas lim u < lim v ). Le passage à la limite das des iégalités strictes doe ue iégalité large. Par exemple avec u = 1 et v = 1 2 : " œ *, u < v, mais lim u = 0 = lim v. b) Théorème des gedarmes Soiet Hu L, Hv L, Hw L trois suites de réels. O suppose que: Hu L et Hw L coverget vers ue même limite L APCR, u b v b w. Alors Hv L coverge vers L. c) Variate Soiet Hu L et Hv L deux suites de réels et L u réel. APCR, u - L b v O suppose que:. Alors Hu Hv L coverge vers 0 L coverge vers L. 9) Covergece d ue suite mootoe Ue suite croissate et majorée coverge. Ue suite décroissate et miorée coverge. La covergece est ecore vraie si la suite est mootoe à partir d u certai rag. 10) Suites tedat vers l ifii a) Défiitios u ö + Ø+ ñ " A œ +, $ N œ ê " œ, r N fl u r A. Défiitio aalogue pour u ö - Ø+. b) Opératios sur les limites O éted les résultats du cas où les limites sot fiies. Tout ce qui est raisoable est vrai, sauf das les situatios ou l'o e peut coclure. Ce sot les cas où l'o obtiet ue forme idétermiée: Par exemple: si u öl et v ö+ alors u + v ö+, u v ö0 et u äv ö + si L > 0 - si L < 0? si L = 0.

6 12 Cours - Suites.b 6/11 11) Formes idétermiées a) Théorème, défiitio et otatio Les formes idétermiées sot - ; 0ä ; 0 0 ; ; 1 ; H+ L 0 ; 0 0. ATTENTION: quad o parle par exemple de la forme idétermiée 1, il s agit de Hue expressio qui ted vers 1L ue expressio qui ted vers l' ifii et PAS de H1L ue expressio qui ted vers l' ifii (qui est pas idétermié, ça fait 1). Par exemple, est ue forme idétermiée lorsque ted vers l ifii, mais pas 1 2 b) Commet calculer la limite d ue forme idétermiée? Il y a pas recette miracle. Pour lever l idétermiatio, o trasforme parfois l expressio, o ulilise les limites classiques, o utilise les équivalets (voir plus loi),... c) Exemples: calculer (si elles existet) les limites des suites: a = b = c = J1 + 1 N d = ) Cas des suites mootoes Ue suite croissate (évetuellemet à partir d'u certai rag) et o majorée ted vers +. Ue suite décroissate (évetuellemet à partir d'u certai rag) et o miorée ted vers -. Et doc Ue suite croissate coverge ou ted vers +. Ue suite décroissate coverge ou ted vers -. 13) Exercices : Etudier la covergece des suites: a) a = b) b = d) d = 1 2 S k=1 k cos Hl HLL c) c = H2 + 3 L 1ê 1 e) O pose u = S k=1 k. O veut motrer que Hu L diverge vers + de deux faços idépedates. a) Prouver que " œ *, u 2 - u r 1 et coclure. 2 b) Prouver que " œ *, u r l H + 1L et coclure. f) Soit Hu L ue suite de telle que: " k, œ *, u b k + 1 k. Prouver que Hu L coverge vers 0.

7 12 Cours - Suites.b 7/11 III) Suite égligeable, suite domiée, suites équivaletes 1) Défiitios et otatios Soiet Hu L et Hv L deux suites de réels telles que Hv L e s aule pas (au mois APCR) Hu L est égligeable devat Hv L ñ u ö0. O ote u = o Hv L. (O lit: Hu L est u petit o de Hv L) v u Hu L est domiée par Hv L ñ est borée. O ote u = O Hv L. (O lit: Hu L est u grad O de Hv L) v Hu L est équivalete à Hv L ñ u ö1. O ote u ~ v ou u ~ v. (O lit: Hu L est équivalete à Hv L) v + Remarque: Hu L est égligeable devat Hv L s écrit parfois aussi : u << v 2) Exemples a) Ecrire les relatios (au ses précédet) etre les suites a = 2 +, b =, c = 2 b) Ecrire les relatios (au ses précédet) etre les suites I a M, Il b HLM et Ha L avec a, b œ D 0, et a œ D 1, 3) Propriétés a) u = o Hv L fl u = O Hv L et u ~ v fl u = O Hv L mais les réciproques sot fausses. b) o Hu L + o Hu L = o Hu L et O Hu L + O Hu L = O Hu L et o Hu L + O Hu L = O Hu L c) u ~ v ñ u - v = o Hv L 4) Equivalet d ue suite covergeat vers ue limite fiie Si u öl 0, alors u ~ L. Par exemple, cos 1 ~ 1. u ~ 0 a pas de ses 5) Comportemet à l ifii de suites équivaletes et coséquece Deux suites équivaletes ot le même comportemet e +. Si l ue admet ue limite fiie ou ifiie L, l autre admet la même limite L. Si l ue a pas de limite, l autre o plus. Pour étudier le comportemet e + d ue suite Hu L, o cherchera ue suite Hv L simple équivalete à Hu L. Le comportemet de Hv L sera celui de Hu L. 6) Exercice: Vrai ou Faux? A: Si deux suites sot équivaletes, elles ot la même limite. B: Si deux suites ot la même limite, elles sot équivaletes. 7) Opératios sur les suites équivaletes a) Ce qui e pose pas de problèmes: produit, quotiet, puissace Si u ~ a et v ~ b alors u v ~ a b et u v ~ a b. Si u ~ v alors u a ~ v a

8 12 Cours - Suites.b 8/11 b) Ce qui requiert beaucoup d attetio: somme, passage au logarithme Si u ~ a et v ~ b alors ON N A PAS u + v ~ a + b, MAIS: Cas 1: Si u = o Hv L, alors u + v ~ v. Cas 2: Si u ~ a w et v ~ b w avec a + b 0, alors u + v ~ Ha + bl w. Si u ~ a ON N A PAS lhu L ~ lha L, MAIS: Cas 1: Si u ~ v avec u öl 1@ D 1, + D, alors l Hu L ~ l Hv L. Cas 2: Si u ö1, alors l Hu L ~ u - 1. c) Ce qui e marche pas: compositio (par exemple passage à l expoetielle) Si u ~ v, ON N'A PAS f Hu L ~ f Hv L. Par exemple, si u ~ v, ON N A PAS e u ~ e v. 8) Equivalets usuels Si u ö0, alors si u ~ u ta u ~ u e u - 1 ~ u l H1 + u L ~ u et 1 - cos Hu L ~ 1 2 u 2. Si P HL = a 0 + a a k k est u polyôme de degré k, alors P HL ~ a k k (terme de plus haut degré) 9) Comparaiso des logarithmes, puissaces, expoetielles et factorielle " a, b œ +* et " a alors: l a = o I b M et b = o Ha L et a = o H!L. 10) Exemples : chercher des équivalets simples des suites a = si HL - b = 3 - e c = l d = l Ie + 3 M e = cos 1-1 IV) Suites de ombres complexes 1) Défiitio de la covergece La suite Hz L de est covergete ñ Les deux suites de réels HRe z L et HIm z L sot covergetes. Das ce cas o pose lim z = lim HRe z L + i älim HIm z L 2) Utilisatio du module Soiet Hz L ue suite de et L œ. Alors z öl ñ z - L ö0. 3) Propriétés Seules les propriétés qui e mettet pas l'ordre b e jeu "passet" des suites réelles aux suites complexes.

9 12 Cours - Suites.b 9/11 Par exemple: Pas de suite croissate das, mais o peut parler de suites équivaletes. V) Suites adjacetes 1) Défiitio Deux suites de réels sot adjacetes ñ l ue est croissate, l autre décroissate et leur différece coverge vers 0. 2) Théorème Deux suites adjacetes coverget vers ue même limite. 3) Exemple O pose u = S k=1 1 k 2 et v = u + 1. Prouver que ces deux suites sot covergetes. VI) Suites extraites 1) Défiitio et otatio Soiet Hu L et Hv L deux suites de réels ou de complexes. Alors: Hv L est extraite de Hu L ñ il existe ue foctio p : ö strictemet croissate telle que " œ, v = u p HL. O ote v = u p HL = u p Extraire Hv L de Hu L c est choisir les termes de Hv L parmi ceux de Hu L, e avaçat strictemet das la suite Hu L. 2) Suites paires et impaires extraites Hu 2 L est ue suite extraite de Hu L : o l appelle la suite paire extraite. O a: Hu 2 L = Hu 0, u 2, u 4,...L Hu 2 +1 L est ue suite extraite de Hu L : o l appelle la suite impaire extraite. O a: Hu 2 +1 L = Iu 1, u 3, u 5,...M 3) Limite d ue suite extraite Toute suite extraite d ue suite qui ted vers L œ [-,+ ] ted aussi vers L. 4) Coséqueces Pour prouver qu ue suite Hu L e ted pas vers L œ [-,+ ], il suffit de trouver ue suite extraite de Hu L qui e ted pas vers L. Pour prouver qu ue suite Hu L a pas de limite, fiie ou ifiie, il suffit de trouver deux suites extraites de Hu L ayat des limites différetes, ou bie de trouver ue suite extraite de Hu L qui a pas de limite. 5) Exemples : prouver que les suites qui suivet diverget u = H-1L v = cosj p 6 N w = - A E

10 12 Cours - Suites.b 10/11 6) Théorème Si les suites paire et impaire extraites de la suite Hu L tedet vers ue même limite L œ [-,+ ], alors Hu L ted vers L. Cas particulier: Si les suites paire et impaire extraites de la suite Hu L sot adjacetes, la suite Hu L est covergete. 7) Exercices a) Soit Hu L ue suite de réels telle que les suites Hu 2 L, Hu 2 +1 L et Hu 3 L coverget. Prouver que Hu L coverge. b) Soit Ha L ue suite décroissate de réels qui ted vers 0. Motrer que Hu L coverge avec u = S H-1L k ak. k=1 VII) Suites défiies par récurrece 1) Défiitio O étudie ici les suites récurretes associées à ue foctio f : I öi ( avec I itervalle) et défiie par: u 0 œ I et " œ, u +1 = f Hu L. 2) Représetatio graphique d ue telle suite O place sur u même graphe la courbe représetative de la foctio f associée à la suite et la droite d équatio y = x u 0 = 4 et u +1 = 1 + u v 0 = 0 et v +1 = v 3) Limite évetuelle d ue suite défiie par récurrece O suppose f est cotiue sur I. Si la suite Hu L coverge vers L, alors f HLL = L ou bie L est ue extrémité de I hors de I. ( L peut être ue extrémité de I hors de I lorsque I est pas u itervalle fermé ) Preuve par exemple avec I b@ Ce théorème permet de trouver l évetuelle limite de la suite Hu L. Il e reste plus qu à démotrer la covergece.

11 12 Cours - Suites.b 11/11 4) Commet motrer qu ue suite récurrete coverge? La boe faço de procéder est la suivate: a) Predre sa calculatrice ou de faire u dessi pour se faire ue "opiio" qu il faut esuite valider. b) Utiliser le théorème précédet, e essayat de e coserver qu'u seul "cadidat" L. c) Puis o peut essayer (si o voit que c est le cas, après a)) de motrer que Hu L est croissate et majorée, ou décroissate et miorée. d) Ou o peut essayer de chercher k œ [0,1[ tel que u +1 - L b k u - L (au mois pour assez grad). Pour d) : alors par récurrece facile u - L b k u 0 - L. Comme k ö0 (car k œ [0,1[), alors u - L ö0 doc u öl. 5) Exemples : étudier la covergece des suites Hu L défiie par: a) u 0 = 1 et " œ, u +1 = 1 + u b) u 0 = 1 et " œ, u +1 = u c) u 0 œ et " œ, u +1 = u + u 2