Auteur : Simplice TANKOUA Activités de mise en place de la leçon.
|
|
- Raymonde Paul
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Auteur : Simplice TANKOUA (stakoua@yahoofr) Cours SUITES NUMÉRIQUES Leço : GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES Activités de mise e place de la leço Activité : (formule explicite) Exercice O cosidère la liste ordoée des ombres dot voici les quatre premiers termes :, 4 5, 9 7, 6 9 Compléter cette liste jusqu au 0 ème terme O coviet de oter : a 0 ; a ; a ; a ; Soit u etier aturel o ul Cojecturer ue formule explicite de a e foctio de Vérifier cette formule pour les valeurs de 0 ; ; ; 9 La liste des ombres ci-dessus est alors oté (a ) 0 a est appelé "terme gééral" l etier qui apparait e idice d u terme est le rag de ce terme Aisi : a est le terme de rag (Attetio! a est le 4 ème terme de la liste) a est le terme de rag (Attetio! a est le (+) ième terme de la liste) O cosidère la liste ordoée des ombres : b ; b ; b 4 ; b 5 ; La liste des ombres ci-dessus est alors oté (b ) a) Commet sot otés les er, ème, 5 ème et 7 ème termes de la liste? b) Détermier le terme de rag 0 a) Exprimer e foctio de le terme gééral b O dira : (a ) 0 est ue suite umérique (liste ordoée de ombre) défiie pour tout etier aturel (b ) est suite umérique défiie à partir du rag (défiie pour tout etier aturel ) Que ce soit (a ) ou (b ), o obtiet des foctios umériques de IN (ou d ue partie de IN) vers IR la suite umérique, (a ) par exemple, est la foctio ; le terme gééral ou terme de rag est l image de par la foctio Doc : Autat il e faut pas cofodre f et f(x), autat il e faudra pas cofodre (a ) et a Oups! Il arrive très souvet qu o parle simplemet de la "suite a" pour dire la suite (a ) Exercice Le pla est mui d u repère orthogoal (O, I, J) (uité graphique : OI cm et OJ cm) O cosidère la suite umérique (U ) défiie par U Détermier les ciq premiers termes de cette suite Les réposes serot doée sous forme de fractio irréductible a) Détermier la foctio umérique f telle que pout tout etier, U f() b) Représeter graphiquemet f sur [0 ; + [ c) E déduire la représetatio graphique, sur l axe des ordoées, des termes de la suite (U ) Suite umériques Page / 6
2 Exercice Détermier les ciq premiers termes des suites (U ), (V ) et (W ) défiies par : U ² - + ; V + ; W 7 Activité : (formule de récurrece) Exercice Le pla est mui d u repère orthoormé y (O, I, J) O cosidère la foctio f dot la courbe représetative (Cf) est doée ci-cotre sur l itervalle [-4 ; 4] O cosidère la suite (U ) défiie par la relatio : U 0 et U + f(u ) Justifier que le terme U est égal à - Justifier les égalités suivates : U -0,5 ; U, x Compléter le tableau suivat : 0 4 U U - - Exercice Ue equête est faite das u supermarché pour étudier la fidélité des cliets Au cours du premier mois de l equête, 8000 persoes sot veues faire leurs achats das ce supermarché O costate que, chaque mois, 70% des cliets du mois précédet restet fidèles à ce supermarché et que 000 cliets apparaisset O ote u le ombre de cliets veus au cours du ième mois de l equête Aisi u 8000 Motrer que u 8600 Que faut-il pour détermier u 4? Calculer u 4 Calculer u + e foctio de u O parle ici de suite récurrete ou de suite défiie par ue formule de récurrece U terme se calcule par rapport au(x) terme(s) précédet(s) ; le(s) terme(s) iitial(aux) état doé(s) Exercice O cosidère la suite umérique (u ) défiie sur IN par la relatio de récurrece u + et dot le premier terme est U 0 4 Détermier les quatre premiers termes de la suite (u ) -U +6 U- Exercice 4 O cosidère la suite umérique (u ) défiie sur IN par la relatio de récurrece u0 et u u+ 6u+ -5u Calculer u, u et u 4 Détermier deux réels a et b tel que pour tout etier : u 5 a + b Vérifier les résultats de la questio et calculer esuite u 7 Suite umériques Page / 6
3 Exercice 5 Partie A Le pla est mui d u repère orthoormé (O, I, J) O cosidère la foctio f dot la courbe représetative (C f ) est doée ci-cotre O cosidère la suite (U ) défiie par la relatio : U 0 doée et U + f(u ) y U C f y x O a représeté graphiquemet, sur l axe (OI), les trois premiers termes de la suite (U ) dot voici le programme et le film de costructio : U U 0 U U x y C f y x y C f y x y C f y x y C f y x U U U U U U U 0 x U 0 U x U 0 U x U 0 U U x O place sur l axe (Ox) le terme U 0 doée ; U f (U 0 ) : O repère le poit de (C f ) de coordoées (U 0 ; f(u 0 )) O peut alors lire U sur l axe des ordoées ; U f (U ) : Il faut doc rameer U sur l axe des abscisses : Pour cela, o utilise la droite d équatio y x O repère le poit de (C f ) de coordoées (U ; f(u )) O peut alors lire U f (U ) sur l axe des ordoées ; Il faut rameer U sur l axe des abscisses : Pour cela, o utilise la droite d équatio y x Reproduire la figure ci-dessus et completer e costruisat les termes U, U 4 et U 5 Partie B O cosidère la suite umérique (u ) défiie sur IN par : u 0 8, et, pour tout etier, u + u ( - u ) Calculer u et u Ci-dessous est doée la courbe représetative (Γ) de la foctio f : x x( - x) das le repère orthoormé (O ; I ; J), aisi que la droite (d) d équatio y x : a) Utiliser (d) et (Γ) pour costruire sur l axe des abscisses u, u, u et u 4 y (d) b) Quelle cojecture peut -o émettre sur la mootoie et sur la limite de la suite (u )? (Γ) x 0 Suite umériques Page / 6
4 Activité : (égalité de deux suites) O cosidère la suite umérique (u ) défiie par la relatio de récurece : Calculer les quatre premiers termes de la suite (u ) O cosidère la suite (v ) défiie par : v + a) Calculer les quatre premiers termes de la suite (v ) b) Faire ue cojecture quat à l égalité des suites (u ) et (v ) Doer la valeur de : v + v E déduire l égalité des suites (u ) et (v ) u0 u+ u + Bo à savoir! Deux suites (u ) et (v ) sot égales si elles ot le même premier terme et vérifie ue même relatio de récurrece Exercice O cosidère les suites umériques (u ) et (v ) défiie pour tout etier aturel par : 0 u + + et v v+ v + Démotrer que les suites (u ) et (v ) sot égales Exercice O cosidère la suite umérique (u ) défiie par la relatio de récurece : Calculer les ciq premiers termes de la suite (u ) Cojecturer ue formule explicite de la suite (u ) Prouver cette cojecture E deuire la valleur de u 009 U 0 U+ U Suite umériques Page 4 / 6
5 Le cours Défiitio et otatio O appelle suite umérique, toute foctio de l esemble IN des etiers aturels das IR Ue suite se ote : U ou (U ) qui est la otatio la plus utilisée O ote U l image de l etier aturel (plutôt que U() ) O dit que U est le terme gééral de la suite (U ), le terme de rag ou le terme d idice Cofusio à éviter : (U ) ou U désige ue suite U désige u ombre Remarque : Ue suite peut être défiie qu à partir d u certai rag 0 ; o la ote parfois ( U) 0 et so terme iitial est U 0 Exemples La suite de terme gééral u - 4, est défiie que pour 4, o la ote ( U ) 4 La suite de terme gééral u, est défiie que pour, o la ote ( U ) ou ( U ) IN * Modes de géératio d ue suite Il existe différetes faços de défiir ue suite umérique : Suite défiie par ue formule explicite O peut défiir ue suite (U ) par ue formule qui permet de calculer directemet U à partir de O a das ce cas : U f() où f est ue foctio umérique défiie sur u itervalle de IR Exemples : Soit la suite (V ) défiie par : V + + O a par exemple, V (5) (5) 6 x + (V ) est telle que V f() où f est la foctio défiie par f( x) + x La suite (V ) a pour premier terme V 0 f(0) Soit la suite (U ) défiie par : U ² O a par exemple, U 5 5² (U ) est telle que U f() où f est la foctio défiie par f( x) x² La suite (U ) a pour premier terme U f() Suite défiie par ue relatio de récurrece Ue suite (U ) peut être défiie par la doée de so terme iitial et d u procédé permettat de calculer le terme suivat à partir de chaque terme O a das ce cas : U + f(u ) où f est ue foctio umérique défiie sur u itervalle I de IR telle que pour tout x I, f(x) I (autremet dit, f(i) I) Exemple : 0 / Soit la suite (U ) défiie par U U+ U + 5 O calcule les termes de la suite de proche e proche : U U ; U U + 5 ( 6) ; U U + 5 ( 7) ; 0 / O a (U ) telle que U où g est la foctio défiie par g(x) x + 5 U+ g( U) Suite umériques Page 5 / 6
6 Représetatio graphique d ue suite Ue suite umérique est ue foctio Elle peut doc être représetée graphiquemet das u pla mui d u repère Das la pratique, o se cotete de représeter graphiquemet quelques termes de la suite sur : l axe des ordoées (Oy) pour les suites défiies par ue formule explicite (voir exercice de l activité ) l axe des abscisses (Ox) pour les suites récurretes (voir exercice 5 de activité ) Suite défiie par ue formule explicite O a : U f() où f est ue foctio umérique défiie sur u itervalle de IR étape : O étudie et o représete graphiquemet la courbe (C) de f sur l itervalle [0 ; + [ étape : O place, sur l axe (Oy) les termes U k de la suite U k est l ordoée du poit d abscisse k (E effet, U k f(k) ) Suite défiie par ue relatio de récurrece O a : U + f(u ) où f est ue foctio umérique défiie sur u itervalle I de IR étape : O étudie et o représete graphiquemet la courbe (C) de f sur l itervalle sur D f étape : O trace la première bissectrice (droite d équatio y x) étape : O place le premier terme sur l axe (Ox) et o déduit esuite les autres termes y (d) (C) 0 U 0 U U U x Suite umériques Page 6 / 6
7 Leço : ÉTUDE D UNE SUITE NUMÉRIQUE Activités de mise e place de la leço Activité : O cosidère la suite (v ) défiie par la formule explicite : v ² + Doer l expressio du terme v + et foctio de Étudier le sige de v + v e foctio de Fastoche! Si à partir d u etier p o a : v + v alors v p v p+ v + v O dit das ce cas que la suite (v ) est croissate (à partir du rag p) O défiie de maière aalogue la otio de suite décroissate Activité : A/ O cosidère la suite (u ) défiie par la formule explicite : u ² 7 + Détermier les 0 premiers termes de la suite (u ) et faire ue cojecture sur la mootoie de (u ) Après avoir doé le tableau de variatio de la foctio f : x x² 7x +, établir que la suite (u ) est croissate à partir du rag 4 B/ Soit la suite umérique (v ) défiie par la relatio de récurrece v + v v et la coditio iitiale v 0 Calculer les ciq premiers termes de la suite (v ) E calculat a différece de deux termes cosécutifs, motrer que la suite (v ) est décroissate C/ O cosidère la suite (w ) défiie par : w + w+ Calculer pour tout etier o ul le quotiet w E déduire que la suite (w ) est croissate à partir du rag Suite umériques Page 7 / 6
8 Bo à savoir : Les suites sot des foctios particulières il est doc pas étoat de retrouver des défiitios, déjà vues pour les foctios : variatios, majoratio, mioratio, Ses de variatio d ue suite Soit (U ) ue suite umérique La suite (U ) est croissate (à partir du terme de rag p) si, pour tout etier aturel p, o a : U p U p+ U U + Doc La suite (U ) est croissate (à partir du terme de rag p) si, pour tout etier aturel p, o a : U U + La suite (U ) est décroissate (à partir du terme de rag p) si, pour tout etier aturel p, o a : U p U p+ U U + Doc La suite (U ) est croissate (à partir du terme de rag p) si, pour tout etier aturel p, o a : U U + Ue suite (U ) est mootoe si elle est croissate ou décroissate Remarque : Si l iégalité est stricte, o dit que la suite est strictemet mootoe Si pour tout etier aturel, U U +, o dit que la suite est costate Il existe des suites qui e sot i croissates, i décroissates Exemple : la suite (U ) défiie par U (-) Poit Méthode Pratiquemet, pour étudier les variatios (mootoie) d ue suite umérique (U ) o peut : Étudier le sige de la différece U + U Si la suite est à termes strictemet positifs (ou strictemet égatifs), o compare le quotiet U+ à U (c est très souvet le cas lorsque l etier apparaît e exposat) Fastoche! Si (U ) est ue suite explicite telle que U f(), alors l étude du ses de variatio de f (sur [0 ; + [) permet de déduire rapidemet le ses de variatio de (U ) Activité : Étudier la mootoie des suites suivates ) u ² 4) ( 0) 7 8 u ) c) ( ) u u 4 5) ² + ) u ( 0) 6) 8 u u 4 5 7) 0) u u + + ( + ) ( 0) 8) ² u ( 0) 9) u + ² + + ) u ² + ) u + Suite umériques Page 8 / 6
9 Mioratio, Majoratio Soit (U ) ue suite umérique La suite (U ) est majorée s il existe u réel M tel que pour tout etier aturel, o ait U M La suite (U ) est miorée s il existe u réel m tel que pour tout etier aturel, o ait U m Ue suite (U ) est borée si elle est à la fois majorée et miorée Remarque : Ue suite miorée par 0 est ecore appelée "suite positive" (suite à termes positifs) Ue suite croissate est miorée par so terme iitial ; ue suite décroissate est majorée par so terme iitial Notio de covergece Étudier la limite d ue suite (U ), c est examier le comportemet des termes U lorsque pred des valeurs de plus e plus grades vers + ( + ) O peut distiguer quatre cas : er Cas : lim U + + Traductio mathématique : Tout itervalle de la forme ]a ; + [ cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag, (Pour tout réel A >0, il existe u etier aturel p, tel que, si p, alors U > A) ème Cas : lim U + Traductio mathématique : Tout itervalle de la forme ]- ; a[ cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag, Remarque : lim U équivaut à lim ( U) ème Cas : lim U l ; l IR + Traductio mathématique : Tout itervalle ouvert ]l r ; l + r[ (avec r > 0) cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag 4 ème Cas : la (U ) a pas de limite Exemple : la suite (U ) défiie par U (-) Vocabulaire : Lorsqu ue suite admet ue limite fiie l, o dit qu elle est covergete Ue suite est dite divergete lorsqu elle est pas covergete (cas, et 4) Nous admettos la propriété suivate cocerat les suites défiies par ue formule explicite Propriété Soit (U ) ue suite umérique défiie par U f(), où f est ue foctio umérique défiie sur [0 ; + [ Si f a ue limite fiie ou ifiie e +, alors la suite (U ) a la même limite Autremet dit : lim U lim f( x) + x + Exemple : Soit la suite (U ) défiie par x + O a : U f() où f : x f( x) et + x u + + x lim f( x) lim Doc lim U + x + x + Remarque : Les règles de calculs sur les limites de foctios s appliquet aux suites O admet que si ue suite a ue limite, cette limite est uique Si la foctio f a pas de limite e +, o e peut rie coclure sur l évetuelle limite de (U ) x Suite umériques Page 9 / 6
10 Activité 4 : Exercice u + Soit la suite ( u ) défiie par u 0 et u+ u Pour quelle(s) valeur(s) de u 0 a-t-o u costate? O pred u 0 a Calculer les 5 premiers termes de la suite x + b Soit la foctio f : x f( x) Tracer sa courbe représetative (C) aisi que la x droite (d) d équatio y x c Représeter graphiquemet les premiers poits de la suite ( u ) et faire des cojectures sur so comportemet (ses de variatio, majorat, miorat, limite) Exercice Soit ue suite de terme gééral u Que sigifie : la suite (u ) a pour limite +? + Soit la suite (u ) défiie par u pour a Motrez qu à partir d u certai rag 0, à détermier, tous les termes de la suite appartieet à l itervalle ]0 ; + [ b Soit A u réel aussi grad que l o veut (o peut supposer A 0 ) ; motrez qu à partir d u certai rag 0, à détermier e foctio de A, tous les termes de la suite appartieet à l itervalle ]A ; + [ c E déduire à l aide du la limite de la suite (u ) d Doez ue méthode pratique permettat d obteir cette limite sas avoir recours à la défiitio Exercice Détermier la limite des suites défiies par leur terme gééral : u + c 7 ; v ² ² ; + + a + ; b si ( ) ; Bo à savoir : Soit q u ombre réel strictemet positif : Si q > alors lim q + + Si q < alors lim q 0 + Ce résultat sera établi das la leço (activité 4) Remarque : Si < q < 0, alors lim q 0 + Si q -, alors la suite (q ) a pas de limite Exercice 4 O cosidère la suite (v ) défiie pour tout etier par v Motrer que pour tout : v Détermier les limites des suites et + + E déduire que la suite (v ) est covergete et doer sa limite + ( ) + Suite umériques Page 0 / 6
11 Exercice 5 O cosidère la suite (u ) défiie pour tout etier par u Calculer u et motrer que pour tout : u ² si ² + ² + E déduire que la suite (u ) est covergete et doer sa limite Exercice 6 O cosidère la suite ( u ) défiie par : u k k Motrer que, pour tout etier k ;, o a E déduire que, pour tout de : u + + k Motrer que la suite ( u ) est covergete et préciser sa limite Exercice 7 O cosidère la suite (u ) défiie pour tout etier par u (l étude des variatios de la suite (u ) a été effectuée das l activité ) Calculer les valeurs de u pour variat de à 0 Faire ue cojecture sur la limite de la suite (u ) O pose v ² v+ a) Calculer ; motrer que la suite (v ) est croissate à partir de v b) Justifier alors l iégalité : v v pour tout E déduire la limite de la suite (u ) Exercice 8 O cosidère la suite (u ) défiie pour tout etier par u Doer u tableau de valeurs de u pour variat de à 0 Faire ue cojecture sur les variatios et la limite de la suite (u ) O pose v u v+ a) Calculer ; v v+ Motrer que si et seulemet si v b) Étudier les variatios de la foctio f défiie par f(x) x 6x 6x Calculer f(7) et motrer que f est positive sur l itervalle [7 ; + [ E déduire que la suite (v ) est décroissate à partir de 7 c) Justifier alors l iégalité : v v 7 pour tout 7 E déduire la limite de la suite (u ) Suite umériques Page / 6
12 Leço : SUITES ARITHMÉTIQUES, SUITES GÉOMÉTRIQUES Activités de mise e place de la leço Activité : Soit ue suite de terme gééral u u 0 + u est ue somme de deux termes cosécutifs ; u 0 + u + u est ue somme de trois termes cosécutifs De maière géérale, u 0 + u + + u p est ue somme de (p+) termes cosécutifs Problème : Commet faire (sas compter sur les doigts) pour calculer le ombre de termes de la somme u + u + + u 56? Répose : O peut écrire : u + u + + u 56 u + u u +44 La somme a doc termes Cas gééral Soit à détermier le ombre de termes de la somme S u p + u p+ + + u d (p et d état des etiers aturels tels que p d) O détermie l etier k tel que : d p + k (répose : k d p) Alors : S u p + u p+ + + u p + k Le ombre de termes de la somme S est doc: N k + Or : k d p Doc : N d p + Activité : Soit (u ) ue suite de premier terme u 0 et telle que, pour tout etier aturel, o a : u u 0 + r (r état u ombre réel) a) Démotrer que pour tous etiers aturels et p, o a : u u p + ( p)r b) Applicatio : Sachat que u 7 et u 5 9, détermier la valeur de r et u 0 E déduire la formule explicite de u ; Étudier la mootoie de (u ) et calculer sa limite O se propose de calculer la somme S de N termes cosécutifs de cette suite O désige par A le premier terme et par B le derier terme de la somme S ( ) [ ( ) ] D après la questio a), o peut écrire : S A+ A+ r + + A+ N r S B + ( B r) + + [ B + ( N) r] Ue additio membre permet d obteir : S (A + B) + (A + B) + + (A + B) Autremet dit : S N(A + B) ( A+ B) Doc : S N Applicatio : Sachat que u 5 54 et u 99 80, détermier la valeur de r et u 0 Détermier S u 7 + u u 59 Activité : Soit u etier aturel supérieur ou égal à O se propose de démotrer l iégalité (I) suivate : x [0 ; + [, ( + x) + x Pour cala, o cosidère la foctio f : x ( + x) x Étudier les variatios de f et dresser sot tableau de variatio E déduire l iégalité (I) Remarque : l iégalité (I) est évidete pour et 0 Activité 4 : Suite umériques Page / 6
13 Soit (v ) ue suite de premier terme v 0 et telle que, pour tout etier aturel, o a : u q u 0 (q état u ombre réel o ul) a) Démotrer que pour tous etiers aturels et p, o a : u q -p u p b) Applicatio : Sachat que v 4/7 et u 5 7/4, détermier la valeur de r et v 0 E déduire la formule explicite de v ; Étudier la mootoie de (U ) O se propose d étudier la mootoie de la suite (v ) a) Que peut-o dire lorsque q < 0? O suppose das toute la suite que q > 0 b) Calculer, e foctio de q, le quotiet v + /v E déduire suivat les valeurs de q et le sige de v 0 les variatios de (v ) O se propose d étudier la limite de la suite (v ) a) Que peut-o dire lorsque q < 0? O suppose das toute la suite que q > 0 b) Si q >, o pose q + α avec α > 0 E remarquat que pour tout IN o a : ( + α) + α, justifier que lim E déduire alors, suivat le sige de v 0, la limite de la suite (v ) c) Si 0 < q <, o pose q /q (q > ) O a doc pour tout etier : q q ' Justifier que lim q 0 + E déduire alors la limite de la suite (v ) + q + 4 O se propose de calculer la somme S de N termes cosécutifs de cette suite O désige par A le premier terme de la somme S D après la questio a), o peut écrire : N S A + ( Aq) + ( Aq ) + ( Aq ) + + Aq E multipliat les deux membres de l égalité ci-dessus par q, o a : N qs qa + ( Aq ) + ( Aq ) + ( Aq4) + + Aq N ( ) ( ) ( ) Aisi : S A + Aq + Aq + Aq + + Aq N qs qa + ( Aq ) + ( Aq ) + ( Aq4) + + Aq Par différece membre à membre o a : N S qs A Aq c'est-à-dire N S( q) A( q ) q Si q, alors S A Doc : q Si q, alors S A Suite umériques Page / 6
14 Bo à savoir : SUITES ARITHMÉTIQUES O dit qu ue suite (u ) est ue suite arithmétique, s il existe u réel r tel que pour tout etier aturel, o ait u + u + r Le réel r est appelé raiso de la suite (u ) r peut-être positif ou égatif Illustratio u 0 u u u u 4 u 5 O passe d u terme de la suite au terme suivat, e ajoutat r + r + r + r + r + r + r Propriété Soit (U ) ue suite arithmétique de premier terme u 0 et de raiso r Alors, pour tout etier aturel, o a : u u 0 + r Preuve : Par défiitio, o a : Coséquece u u0 + r u u + r u u + r u u + r ue additio membre à membre permet d obteir : u + u + + u - + u u 0 + u + + u - + u - + r Il e résulte (après simplificatio) alors que : u u 0 + r Soit (u ) ue suite arithmétique de raiso r Pour tous etiers aturels et p, o a : u u + ( p) r p Somme de termes cosécutifs Soit (u ) ue suite arithmétique de raiso r p et q sot deux etiers aturels tels que p < q La somme S u p + u p+ + + u q est ue somme de termes cosécutifs de la suite (u ) Le ombre de termes coteu das cette somme est N q p + ( up + uq) O établi que : S N Démostratios e activité + ( ) Cas particulier à reteir : Fastoche! Soit S ue somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique de raiso r Si A est le premier terme de la somme S et B le derier terme, alors le ombre total de terme de la somme est : B A N + r Mootoie et limite Soit (u ) ue suite arithmétique de raiso r Les résultats suivats sot immédiats : Si r > 0, alors la suite (u ) est strictemet croissate et lim u + + Si r < 0, alors la suite (u ) est strictemet décroissate et lim u Si r 0, alors la suite (u ) est costate + Suite umériques Page 4 / 6
15 Bo à savoir : SUITES GÉOMÉTRIQUES O dit qu ue suite (u ) est ue suite géométrique, s il existe u réel q tel que pour tout etier aturel, o ait u + qu Le réel q est appelé raiso de la suite (u ) q peut-être positif ou égatif Le cas q 0 est sas itérêt Illustratio u 0 u u u u 4 u 5 x q x q x q x q x q x q O passe d u terme de la suite au terme suivat, e multipliat par q Propriété Soit (U ) ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q o uls Alors, pour tout etier aturel, o a : u q u 0 Preuve : u qu0 ue multiplicatio membre à membre permet d obteir : u qu u Par défiitio, o a : x u x x u - x u q (u 0 x u x x u - x u - ) u qu Il e résulte (après simplificatio) alors que : u q u 0 u qu Coséquece Soit (u ) ue suite géométrique de raiso q Pour tous etiers aturels et p, o a : Exemples : p u q up Itérêt : Cette formule permet de calculer importe quel terme d ue suite géométrique dès que l o coaît la raiso et u terme quelcoque (il est pas écessaire de coaître u 0 ) Soit (u ) ue suite géométrique défiie par u 0 0 et q Calculer u O a : u u Doc : u 40 Soit (v ) ue suite géométrique telle que v 5 et v 8 0 Motrer qu il existe deux suites géométriques vérifiat ces coditios O a : v 8 v q 8 -, doc 0 5 q 6 c'est-à-dire q 6 64 Il y a doc deux valeurs possibles : q ou q Somme de termes cosécutifs Soit (u ) ue suite géométrique de raiso q p et d sot deux etiers aturels tels que p < d Si S u p + u p+ + + u d est ue somme de termes cosécutifs de la suite (u ), N q o établi que : S u p, où N d p + est le ombre de termes de la somme S q Cas particulier à reteir : + q + q + + q - + q + q (avec q ) q Mootoie et limite Soit (u ) ue suite géométrique de raiso q Les résultats suivats sot immédiats : Si 0 < q < et u 0 < 0, alors (u ) est strictemet croissate et lim u 0 Suite umériques Page 5 / 6 + Si 0 < q < et u 0 > 0, alors (u ) est strictemet décroissate et lim u 0 + Si q > et u 0 < 0, alors (u ) est strictemet décroissate et lim u + Si q > et u 0 > 0, alors (u ) est strictemet croissate et lim u + Si q, alors (u ) est costate + Si q < 0 la suite est alterativemet positive puis égative
16 Activité 5 : Exercice Soit ( u ) 0 ue suite arithmétique O sait que u 5 5 et u 6 48 Calculer la raiso et le premier terme de cette suite E déduire u e foctio de Pour quelle valeur de a-t-o u 7? 4 A partir de quel rag a-t-o u 50? 5 Calculer la somme S u789 + u u007 Exercice u Soit la suite (u ) défiie par u 0 et u+ + u Calculer les termes u et u La suite (u ) est-elle arithmétique? géométrique? Représeter graphiquemet les premiers termes de u Quelles cojectures émettez-vous? 4 O admet que, pour tout, u est pas ul O pose v + u a Calculer v 0, v, et v b Calculer v + e foctio de v E déduire que (v ) est ue suite arithmétique c Exprimer v e foctio de E déduire u e foctio de Exercice O cosidère la suite ( u ) défiie par Calculer u Démotrer que la suite ( ) le premier terme et la raiso de ( v ) u + 4 u et u+ + v défiie par v u est ue suite arithmétique dot o précisera E déduire l expressio de v e foctio de, puis l expressio de u e foctio de 4 E déduire que la suite ( u ) est strictemet mootoe et borée Exercice 4 O défiit ue suite (u ) par u0 u+ u + Calculer u, u, u La suite (u ) est-elle croissate ou décroissate? O pose v u Calculer v 0, v, v, v Motrer que la suite (v ) est géométrique, e préciser la raiso 4 E déduire l expressio de v e foctio de 5 E déduire l expressio de u e foctio de 6 Quelle est la limite de (u )? 7 O pose S u 0 + u + u + + u Doer l expressio de S e foctio de Suite umériques Page 6 / 6
Comportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détailSéquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire
Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détailChapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détail14 Chapitre 14. Théorème du point fixe
Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détailEtude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détailIntégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détailDénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions
Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détailFEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détailExo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détailChap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)
Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détailStatistique descriptive bidimensionnelle
1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détail55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.
55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique
Plus en détailSolutions particulières d une équation différentielle...
Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus
Plus en détailUNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4
UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires
Plus en détailModule 3 : Inversion de matrices
Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailIntroduction : Mesures et espaces de probabilités
Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,
Plus en détailDeuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES
DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces
Plus en détailc. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages
Plus en détail2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul
Plus en détailExamen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot
Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars
Plus en détailFormation d un ester à partir d un acide et d un alcool
CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailPROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS J. L. NICOLAS
PROBLEMES DIOPTIMISATION EN NOMBRES ENTIERS ET APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES J. L. NICOLAS Cet article expose sup 3 e quelques iter'f~reces etre les pr'obl~res dloptimisatio e hombres etiers et la th~or-ie
Plus en détailSTATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES
STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................
Plus en détailDes résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières
Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received
Plus en détailTRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )
RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude
Plus en détailSéries numériques. Chap. 02 : cours complet.
Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détailChapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction
Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats
Plus en détailUNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce
UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première
Plus en détailLa France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe
1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios
Plus en détailProbabilités et statistique pour le CAPES
Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes
Plus en détail16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.
16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme
Plus en détailUniversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015
Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailCours de Statistiques inférentielles
Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios
Plus en détailTerminale S. Terminale S 1 F. Laroche
Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM
Plus en détailUniversité Pierre et Marie Curie. Biostatistique PACES - UE4 2013-2014
Uiversité Pierre et Marie Curie Biostatistique PACES - UE4 2013-2014 Resposables : F. Carrat et A. Mallet Auteurs : F. Carrat, A. Mallet, V. Morice Mise à jour : 21 octobre 2013 Relecture : V. Morice,
Plus en détailCours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE
Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-
Plus en détailRECHERCHE DE CLIENTS simplifiée
RECHERCHE DE CLIENTS simplifiée Nous ous occupos d accroître votre clietèle avec le compte Avatage d etreprise Pour trouver des cliets potetiels grâce à u simple compte bacaire Vous cherchez des idées
Plus en détailPROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales
PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières
Plus en détailExercices de mathématiques
MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris
Plus en détailLe marché du café peut être segmenté en fonction de deux modes de production principaux : la torréfaction et la fabrication de café soluble.
II LE MARCHE DU CAFE 1 L attractivité La segmetatio selo le mode de productio Le marché du café peut être segmeté e foctio de deux modes de productio pricipaux : la torréfactio et la fabricatio de café
Plus en détailPOLITIQUE ECONOMIQUE ET DEVELOPPEMENT
POLTQU ONOMQU T DVLOPPMNT TRUTUR DU MAR NATONAL DU AF-AAO T PR AU PRODUTUR MALAN Beïla Beoit osultat PD N 06/008 ellule d Aalyse de Politiques coomiques du R Aée de pulicatio : Avril 009 Résumé e papier
Plus en détailUV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1
UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau
Plus en détailDares Analyses. Plus d un tiers des CDI sont rompus avant un an
Dares Aalyses javier 2015 N 005 publicatio de la directio de l'aimatio de la recherche, des études et des statistiques Plus d u tiers des CDI sot rompus avat u a Le cotrat de travail à durée idétermiée
Plus en détailStatistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1
Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques
Plus en détailDETERMINANTS. a b et a'
2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailSommaire Chapitre 1 - L interface de Windows 7 9
Sommaire Chapitre 1 - L iterface de Widows 7 9 1.1. Utiliser le meu Démarrer et la barre des tâches de Widows 7...11 Démarrer et arrêter des programmes...15 Épigler u programme das la barre des tâches...18
Plus en détail?,i- ' ^/mmmmmm. CACU ^..""'V ii\teimmies EîiiEsmmii ''?A y? K 1^ 1 - r Par le Moyede Formules Algébriques ) v-^' ET A 'AIDE DES OGARITHMES.../v:?i.'?Xi:: F, X, BURQUE, Ptr. Professeur de MatJu'matiques,
Plus en détailEtude Spéciale SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT?
Etude Spéciale o. 7 Javier 2003 SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT? MARK SCHNEIDER Le CGAP vous ivite à lui faire part de vos commetaires, de vos rapports et de toute demade d evoid autres
Plus en détailGérer les applications
Gérer les applicatios E parcourat les rayos du Widows Phoe Store, vous serez e mesure de compléter les services de base de votre smartphoe à travers plus de 10 000 applicatios. Gratuites ou payates, ces
Plus en détailOne Office Voice Pack Vos appels fixes et mobiles en un seul pack
Uique! Exteded Fleet Appels illimités vers les uméros Mobistar et les liges fixes! Oe Office Voice Pack Vos appels fixes et mobiles e u seul pack Commuiquez et travaillez e toute liberté Mobistar offre
Plus en détailStatistique Numérique et Analyse des Données
Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailLE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailChaînes de Markov. Arthur Charpentier
Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailExponentielle exercices corrigés
Trmial S Foctio potill Ercics corrigés Fsic 996, rcic Fsic 996, rcic 3 3 Fsic 996, rcic 4 4 Fsic, rcic 6 3 5 Fsic, rcic 4 3 6 Baqu 4 4 7 Epo + air, Amériqu du Nord 5 5 8 Basiqu, N Calédoi, ov 4 7 9 Basiqus
Plus en détailTélé OPTIK. Plus spectaculaire que jamais.
Télé OPTIK Plus spectaculaire que jamais. Vivez toute la puissace de la télévisio sur IP grâce au réseau OPTIK 1 de TELUS et découvrez-e l extraordiaire potetiel. Télé OPTIK MC vous doe la parfaite maîtrise
Plus en détailLe Sphinx. Enquêtes, Sondages. Analyse de données. Internet : http://www.lesphinxdeveloppement.fr/club/index.html
Equêtes, Sodages Aalyse de doées Le Sphix! Iteret : http://www.lesphixdeveloppemet.fr/club/idex.html Lagarde J. Aalyse statistique de doées, Duod. Réaliser vos equêtes Questioaire Traitemets et aalyses
Plus en détailRÈGLES ORDINALES : UNE GÉNÉRALISATION DES RÈGLES D'ASSOCIATION
RÈGLES ORDIALES : UE GÉÉRALISATIO DES RÈGLES D'ASSOCIATIO SYLVIE GUILLAUME ALI KHECHAF 2 RÉSUMÉ: La plupart des mesures des règles cocere les variables biaires et écessite pour les autres types de variables
Plus en détailProcessus géométrique généralisé et applications en fiabilité
Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR
Plus en détailUn nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction
A ew adaptive operator of fusio par Fraçois DELMOTTE LAMIH, Uiversité de Valeciees et du Haiaut-Cambrésis, Le Mot Houy, BP 3, 5933 Valeciees CEDEX 9 fdelmott@flore.uiv-valeciees.fr résumé et mots clés
Plus en détailUn accès direct à vos comptes 24h/24 VOTRE NUMÉRO CLIENT. www.bnpparibas.net. Centre de Relations Clients 0 820 820 001 (0,12 /min)
* selo coditios cotractuelles e vigueur. U accès direct à vos comptes 24h/24 VOTRE NUMÉRO CLIENT + VOTRE CODE SECRET * : www.bpparibas.et Cetre de Relatios Cliets 0 820 820 001 (0,12 /mi) Appli Mes Comptes
Plus en détailContribution à la théorie des entiers friables
UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN
Plus en détailLes nouveaux relevés de compte
Ifo CR Les ouveaux relevés de compte Les relevés de compte actuels du Crédit Agricole de Champage-Bourgoge sot issus de la migratio iformatique sur le GIE AMT e 2001 : petit format (mais A4 pour les Professioels),
Plus en détailSemestre : 4 Module : Méthodes Quantitatives III Elément : Mathématiques Financières Enseignant : Mme BENOMAR
Semestre : 4 Module : Méthodes Quattatves III Elémet : Mathématques Facères Esegat : Mme BENOMAR Elémets du cours Itérêts smples, précompte, escompte et compte courat Itérêts composés Autés Amortssemets
Plus en détailInitiation à l analyse factorielle des correspondances
Fiche TD avec le logiciel : tdr620b Iitiatio à l aalyse factorielle des correspodaces A.B. Dufour & M. Royer & J.R. Lobry Das cette fiche, o étudie l Aalyse Factorielle des Correspodaces. Cette techique
Plus en détailComment les Canadiens classent-ils leur système de soins de santé?
Novembre Les sois de saté au Caada, c est capital bulleti o 4 Commet les Caadies classet-ils leur système de sois de saté? Résultats du sodage iteratioal du Fods du Commowealth sur les politiques de saté
Plus en détailPrincipes et Méthodes Statistiques
Esimag - 2ème aée 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 x y Pricipes et Méthodes Statistiques Notes de cours Olivier Gaudoi 2 Table des matières 1 Itroductio 7 1.1 Défiitio et domaies d applicatio de la statistique............
Plus en détail