Une enquête de l association Familles de France a étudié l évolution du coût de la rentrée pour un élève de Sixième de 2004 à 2010.

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1 NOM : Prénom : Exercice 1 : calcul du prix de la rentrée (4,5 points) Une enquête de l association Familles de France a étudié l évolution du coût de la rentrée pour un élève de Sixième de 2004 à ) Compléter ce tableau qui compare les dépenses (en ) des familles pour trois secteurs en 2009 et 2010 : Taux d évolution (en %) Papeterie 33,07-6,13 Fournitures, Autres que papeterie 88,32 1,42 Vêtements 51,92 3,89 Coût total 2) Calculer les taux d évolution d année en année du coût de la rentrée pour un élève de Sixième de 2004 à Année Coût (en ) 184,73 186,32 202,70 206,68 190,82 174,23 Taux d évolution Exercice 2 (3,5 points) 1) Résoudre dans l équation - 2 ² ) a) Résoudre dans l équation 3 + ² b) Résoudre dans l inéquation 3 + ² - 6 > 0. 1

2 Exercice 3 (4 points) On a représenté la fonction f définie par : f( ) - 0,2 ² dans la fenêtre graphique d une calculatrice : 1) L équation f( ) 0 semble-t-elle avoir des solutions? 2) Résoudre l équation f( ) 0. 3) Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction f. 4) Proposer les paramètres de la fenêtre graphique permettant de rendre visible les résultats des questions 2 et 3 sur l écran de la calculatrice. 5) Déterminer la position de la courbe représentant la fonction f par rapport à l axe des abscisses. Exercice 4 : bénéfice réel (7 points) Une entreprise produit entre 5 et 40 appareils électroménagers par heure. Le coût horaire de production de appareils, en euros, est donné par : C( ) ² , pour Le prix de vente unitaire d un appareil est 100. On suppose que chaque appareil produit est vendu. 1) Quel est le coût de fabrication de 15 appareils par heure? Quelle est la recette associée? L entreprise réalise-t-elle des bénéfices? Si oui, donner leur montant. Sinon, donner le montant des pertes. 2) Déterminer le bénéfice horaire B réalisé par la fabrication et la vente de appareils. 3) Pour combien d objets vendus l entreprise réalise-t-elle un bénéfice de 500? 4) L entreprise réalise-t-elle toujours des bénéfices? 2

3 Exercice 1 : calcul du prix de la rentrée (4,5 points) Une enquête de l association Familles de France a étudié l évolution du coût de la rentrée pour un élève de Sixième de 2004 à ) Compléter ce tableau qui compare les dépenses (en ) des familles pour trois secteurs en 2009 et 2010 : Taux d évolution (en %) Papeterie 33,07-6,13 Fournitures, Autres que papeterie 88,32 1,42 Vêtements 51,92 3,89 Coût total 2) Calculer les taux d évolution d année en année du coût de la rentrée pour un élève de Sixième de 2004 à Année Coût (en ) 184,73 186,32 202,70 206,68 190,82 174,23 Taux d évolution 1) Taux d évolution (en %) Papeterie 35,23 33,07-6,13 Fournitures, Autres que papeterie 87,08 88,32 1,42 Vêtements 51,92 53,94 3,89 Coût total 174,23 175,33 0,631 33,07 Papeterie en 2009 : 1 6, ,07 0, ,23 88,32 Fournitures, autres que papeterie en 2009 : 1 + 1, ,32 1, ,08 Vêtements en 2010 : 51, , ,92 1, ,94 3

4 Coût total en 2009 : 35, , ,92 174,23 Coût total en 2010 : 33, , ,94 175,33 Taux d évolution du coût total entre 2009 et 2010 : soit environ 0,631 % 2) 175,33 174, , ,23 Année Coût (en ) 184,73 186,32 202,70 206,68 190,82 174,23 Taux d évolution 0,861% 8,79% 1,96% -7,67% -8,69% Taux d évolution entre 2004 et 2005 : augmentation d environ 0,861 %. Taux d évolution entre 2005 et 2006 : augmentation d environ 8,79 %. Taux d évolution entre 2006 et 2007 : augmentation d environ 1,96 %. Taux d évolution entre 2007 et 2008 : diminution d environ 7,67 %. Taux d évolution entre 2008 et 2009 : diminution d environ 8,69 %. 186,32 184,73 184,73 202,7 186,32 186,32 206,68 202,7 202,7 190,82 206,68 206,68 174,23 190,82 190,82 0,00861 soit une 0,0879 soit une 0,0196 soit une - 0,0767 soit une - 0,0869 soit une 4

5 Exercice 2 (3,5 points) 1) Résoudre dans l équation - 2 ² ) a) Résoudre dans l équation 3 + ² b) Résoudre dans l inéquation 3 + ² - 6 > 0. 1) Le discriminant de cette équation du second degré est : 3² - 4 (-2) Comme > 0, cette équation a deux solutions distinctes : x1 - b + 2a (-2) et x2 - b - 2a (-2) L ensemble des solutions de cette équation est donc : S 3-65 ; ) a) x 3 + x² - 6x x(x² + x 6) x 3 + x² - 6x 0 x 0 ou x² + x 6 0 Le discriminant associé à l équation du second degré x² + x 6 0 est : 1² (-6) ² Comme > 0, cette équation admet deux solutions distinctes : et Donc : x 3 + x² - 6x 0 x 0 ou x -3 ou x 2 L ensemble des solutions de l équation x 3 + x² - 6x 0 est donc : S {-3 ;0 ;2}. b) On établit un tableau de signes à partir de la forme factorisée : x 3 + x² - 6x x(x + 3)(x 2) Tableau de signes x x x x x 3 + x² - 6x

6 L ensemble des solutions de l inéquation 3 + ² - 6 > 0 est donc l intervalle S ]- 3 ;0[ ]2 ;+ [. Vérification graphique : tracé de la courbe associée au polynôme de degré 3 : Exercice 3 (4 points) On a représenté la fonction f définie par : f( ) - 0,2 ² dans la fenêtre graphique d une calculatrice : 1) L équation f( ) 0 semble-t-elle avoir des solutions? 2) Résoudre l équation f( ) 0. 3) Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction f. 4) Proposer les paramètres de la fenêtre graphique permettant de rendre visible les résultats des questions 2 et 3 sur l écran de la calculatrice. 5) Déterminer la position de la courbe représentant la fonction f par rapport à l axe des abscisses. 6

7 1) Comme la courbe ne présente pas de points d intersection avec l axe des abscisses, il semble que l équation f(x) 0 n a pas de solutions. 2) Le discriminant de cette équation du second degré est : (-1)² - 4 (-0,2) ² Comme > 0, cette équation admet deux solutions distinctes : x1 - b + 2a (-0,2) 6 - b et x2-0,4 2a 2 (-0,2) -4-0,4 10. L ensemble des solutions de l équation f(x) 0 est S {-15 ;10}. 3) L abscisse du sommet S de la parabole est b 2a 1 2 (-0,2) 1-0,4-5 2 Son ordonnée est f ,2-5 2 ² f , Les coordonnées du sommet S de la parabole sont donc S ; (ou S(-2,5 ;31,25)). 4) On choisit XMin -20 XMax 15 YMin -10 et YMax 35 5) La courbe est en dessous de l axe des abscisses pour x ] - ;-15] [10 ;+ [ et au dessus de l axe des abscisses pour x [-15 ;10]. 7

8 Exercice 4 : bénéfice réel (7 points) Une entreprise produit entre 5 et 40 appareils électroménagers par heure. Le coût horaire de production de appareils, en euros, est donné par : C( ) ² , pour Le prix de vente unitaire d un appareil est 100. On suppose que chaque appareil produit est vendu. 1) Quel est le coût de fabrication de 15 appareils par heure? Quelle est la recette associée? L entreprise réalise-t-elle des bénéfices? Si oui, donner leur montant. Sinon, donner le montant des pertes. 2) Déterminer le bénéfice horaire B réalisé par la fabrication et la vente de appareils. 3) Pour combien d objets vendus l entreprise réalise-t-elle un bénéfice de 500? 4) L entreprise réalise-t-elle toujours des bénéfices? 1) Pour 15 appareils produits par heure, le coût de fabrication est : C(15) 15² La recette associée est Le bénéfice réalisé est ) B(x) 100 x C(x) 100x x² - 50x 100 -x² + 50x ) On résout l équation B(x) 500 B(x) 500 -x² + 50x x² + 50x Le discriminant de cette équation du second degré est : 50² - 4 (-1) (-600) ² Comme > 0, cette équation admet deux solutions distinctes : x et x

9 L entreprise réalise un bénéfice de 500 pour 20 ou 30 objets fabriqués par heure. 4) On résout l inéquation B(x) > 0. B(x) > 0 -x² + 50x 100 > 0 Le discriminant du polynôme du second degré associé est : 50² - 4 (-1) (-100) Comme > 0, l équation x² + 50x admet deux solutions distinctes : x ,09 et x ,91. 2 Comme le coefficient a -1, du polynôme x² + 50x 100 est négatif, alors sur : f(x) > 0 x [x1 ;x2] Or comme [5 ;40] [x1 ;x2], alors pour tout x [5 ;40] f(x) > 0. Donc l entreprise réalise toujours des bénéfices. Vérification graphique n 1 : on trace les courbes associées à la fonction C du coût de fabrication (c est un arc de parabole) et à la fonction V de vente des objets (c est un segment de droite) pour des valeurs de x comprises entre 5 et 40. Comme le segment de droite est toujours au dessus de l arc de parabole, alors le bénéfice est toujours positif. 9

10 Vérification graphique n 2 : on trace l arc de parabole associé à la fonction B du bénéfice pour des valeurs de x comprises entre 5 et 40. Comme l arc de parabole est toujours situé au dessus de l axe des abscisses, on retrouve le fait que l entreprise réalise toujours des bénéfices. 10