MPSI Nombres complexes

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1 MPSI Nombres complexes Exercice 1: Résoudre das C l équatio = 0 Exercice 2: 1 Motrer que si π 5 = Détermier l esemble des poits M d affixe tels que = 2 i Exercice 3: Soit ABC u triagle du pla affie euclidie O costruit, à l extérieur de ce triagle, les trois triagles équilatéraux de base AB,BC,CA Motrer que les cetres de gravité de ces trois triagles formet u triagle équilatéral Exercice 4: IN, 2, et ω = e 2iπ Motrer que C, ω k ) = r et e déduire que si kπ = 2 Exercice 5: Soiet A,B,C trois poits du pla affie euclidie, d affixes respectives a,b,c a) Motrer que le triagle ABC est équilatéral direct si et seulemet si a + jb + j 2 c = 0 b) Motrer que le triagle ABC est équilatéral si et seulemet si a 2 + b 2 + c 2 ab + ac + bc) = 0 c) Détermier l esemble des poits M d affixe tels que les poits poits d affixe i,,i formet u triagle équilatéral r=0 Exercice 6: Si M appartiet au cercle de cetre O et de rayo R passat par A et B disticts, alors Agle MA, MB) = 1 2 Agle OA, OB) Exercice 7: Soit IN \ {0; 1} Résoudre les équatio d icoue C: 1 + i) = i) 2 = 1 = 1 Exercice : Motrer qu il est pas possible que les trois sommets d u triagle équilatéral, o réduit à u poit, aiet des coordoées etières 1

2 Exercice 9: 1 Motrer que si π 5 = Détermier l esemble des poits M d affixe tels que = 2 i Exercice 10: Soit IN \ {0; 1} Résoudre les équatio d icoue C: 1 + i) = i) 2 = 1 = 1 Exercice 11: Pour,x) IN IR 2πZZ) calculer les sommes A x) = k= e ikx et B x) = A k x) 2

3 Cours : Liéarisatio de cos x) et si x) Soit IN \ {0; 1} Résoudre les équatio d icoue C: 1 + i) = i) 2 = 1 = 1 Soiet A, B, C trois poits du pla affie euclidie, d affixes respectives a,b,c a) Motrer que le triagle ABC est équilatéral direct si et seulemet si :a + jb + j 2 c = 0 b) Motrer que le triagle ABC est équilatéral si et seulemet si :a 2 + b 2 + c 2 ab + ac + bc) = 0 c) Détermier l esemble des poits M d affixe tels que les poits poits d affixe i,,i formet u triagle équilatéral Cours : Polyômes de Tchebychev Soiet A, B, C trois poits du pla affie euclidie, d affixes respectives a,b,c a) Motrer que le triagle ABC est équilatéral direct si et seulemet si :a + jb + j 2 c = 0 b) Motrer que le triagle ABC est équilatéral si et seulemet si :a 2 + b 2 + c 2 ab + ac + bc) = 0 c) Détermier l esemble des poits M d affixe tels que les poits poits d affixe i,,i formet u triagle équilatéral Cours : Le groupe UI,) l uité Géérateurs de UI,), racies primitives -ièmes de Soit p,q) IN ) 2 Motrer que UI p est iclus das UI q si et seulemet si p divise q Soiet IN, 2, et ω = e 2iπ Motrer que C, ω k ) = et e déduire que si kπ = 2 r r=0 3

4 Cours : Polyômes de Tchebychev 1 Soit IN \ {0;1} O ote pour tout k de {0,, 1},ω k = e 2ikπ Calculer pour tout p ZZ, ω p k 2 Pour, x) IN IR 2πZZ) calculer les sommes A x) = e ikx et B x) = A k x) k= Cours : Forme trigoométrique des ombres complexes, argumets, coordoées polaires 1 Motrer que si π 5 = Détermier l esemble des poits M d affixe tels que = 2 i Cours : Le groupe UI,) l uité Géérateurs de UI,), racies primitives -ièmes de 1 Résoudre l équatio d icoue C: i ) 3 + i ) 2 + i + 1 = 0 2 Soit,) IN C tel que = +1) = 1 Motrer que est u multiple de 6 et que 3 = 1 4

5 Cours : Polyômes de Tchebychev O ote T le -ième polyôme de Tchebychev a) Motrer que T admet éros deux à deux disticts Les détermier b) Motrer que T vérifie la relatio de récurrece liéaire suivate : T +1 X) = 2XT X) T X) c) E déduire le coeficiet domiat de T X) d) Exemple : calculer T 5 X) Cours : Liéarisatio de cos x) et si x) Soit,a) IN IR Résoudre das C l équatio + 1) = e 2ia d icoue E déduire la valeur de si a + kπ ) Cours : Le groupe UI,) l uité Géérateurs de UI,), racies primitives -ièmes de a) Soiet t IR et 1, 2 les racies complexes de l équatio 2 + t + 1 = 0 Quel est le lieu des images de 1 et 2 lorsque t décrit IR? b) Détermier l esemble des poits M d affixe das chacu des cas suivats : 1 i + 1 IR et les poits d affixe, 2, 5 sot aligés 5

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