Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques

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1 Uiversité Deis Diderot (Paris VII) MP 3 Quelques exercices corrigés Suites et séries umériques Das les pages qui suivet ous proposos la correctios de quelques exercices de la feuille sur les suites et les séries. Les exercices 4, 6, 7, (partiellemet),, 5 et 6 sot corrigés, aisi qu u exercice supplémetaire sur les séries de Bertrad. Quelques résultats importats sur la covergece des séries à termes positifs sot égalemet rappellés au début. Quelques résultats à savoir : La série de terme gééral coverge si et seulemet si α >. α (Règle de d Alembert) Soit u ue suite dot les termes sot tous strictemet positifs. u + Si lim = l < alors la série de terme gééral u coverge, alors que u u + si lim = l > alors la série de terme gééral u diverge. u (Règle de Cauchy) Soit u ue suite dot les termes sot tous positifs. Si lim ) = l < alors la série de terme gééral u coverge, alors que si lim ) = l > alors la série de terme gééral u diverge. Exercice 4 (Moyee de Cesaro). cas où l R Il faut utiliser la défiitio de la covergece de (u ) N vers l et couper e deux la somme défiissat v l, o motre alors que les deux parties sot arbitrairemet petites. Soit ɛ > 0 Soit N N tel que N, u l < ɛ (licite car u ted vers l.) Soit N N tel que N, N u k l < ɛ + (licite car le umérateur est fixe et le déomiateur ted vers + doc le tout ted vers 0.)

2 Soit N = max(n, N ), pour N les deux majoratios précédetes sot valables, o a alors : d où u k v l = + l = v l grâce à l iégalité triagulaire. (u k l) + u k l + Aisi d où or doc o a v l N u k l u k l k=n v l ɛ + k=n ɛ + ɛ k=n + = ( N + ) ɛ + ɛ N, v l < ɛ + ɛ = ɛ et ce pour tout ɛ > 0 doc la suite v ted vers l cas où l = + Soit A > 0 et ɛ ]0; [ Soit A = A+ɛ ɛ Soit N N tel que N, u > A (licite car u ted vers +.) Soit N N tel que N, N u k + < ɛ (licite car le umérateur est fixe et le déomiateur ted vers + doc le tout ted vers 0.)

3 Soit N 3 N tel que N 3, N + + (licite car le quotiet ted vers avec ) > ɛ Soit N = max(n, N, N 3 ), pour N les trois iégalités précédetes sot valables, o a alors : d où Aisi d où v = N u k + + v ɛ + k=n u k + k=n A + v ɛ + ( N + )A + v ɛ + ( ɛ)a = A et ce pour tout A > 0 doc la suite v ted vers + Réciproque fausse e gééral : O cosidère u = ( ). O motre alors par récurrece que v = + et v + = 0 doc v ted vers zéro mais u e coverge pas. Réciproque vraie si (u ) mootoe : E effet quad u est mootoe elle admet toujours ue limite l R { ; + } doc e utilisat le ses direct o a que v ted vers le même l (or la limite de v est uique) doc lim u = lim v ce qui établit la réciproque.. Défiissos la suite (u k ) par u 0 = 0, u = u puis u = u, u 3 = u u 3 = u 3, u 4 = u 3, u 5 = u 3 et aisi de suite avec à chaque fois ue répétitio de taille k du term u k. Posos alors v = u k O a par costructio : + et N = k = (+) 3

4 v N = v (+) = v k = (+) ku k = (+) w or u ted vers l doc u égalemet (par costructio) doc d après la questio précédete v ted aussi vers l et comme N ted vers + avec o a v N qui ted vers l égalemet doc w = (+) v N = + v N v N et w ted vers l Exercice 6 Motros que la suite u est décroissate. O calcule u + u et l o trouve u + u = f( + ) + f(x) dx f( + ) f( + ) = 0, où l o a utilisé le fait que sur [, + ], f(x) est toujours supérieure à f( + ) car f est décroissate. Motros maiteat que la suite u est miorée. O peut écrire u = = f(k) k= k= k+ f(k) + f() k= k= k k= f(x) dx k+ f(k) + f() f(k) 0, k= k f(x) dx où l o a utilisé le fait que sur [k, k +], f(x) est toujours iférieure à f(k) car f est décroissate. O a aussi utilisé le fait que f(x) 0 pour tout x, doc e particulier f() 0. La suite état décroissate et miorée, o coclut qu elle coverge. Appliquos ce résultat à la foctio f(x) = x Cette foctio est positive et décroissate sur ], [ et le résultat précédet idique directemet que la suite k= k x dx coverge. Le calcul de l itégrale permet de coclure qu il existe u réel C tel que lim k= log() = C. k 4

5 Exercice 7 Commeços par écrire la majoratio suivate : + g(x) dx = k k+ g(x) dx g(k), car g est décroissate. Iversemet o a + g(x) dx = k k g(k) = g(x) dx g(k) g() d où le résultat souhaité. O applique ce résultat das le cas où g(x) = x Comme o trouve directemet que la suite g(x) dx x = ( ), u = k ted vers quad ted vers l ifii. Exercice Etudier la ature de la série V = (v ) N.. v = log : la foctio x xlogx est positive et décroissate sur [, [. Par suite (cf exercice 7), la série a même ature que l itégrale dx xlogx. Cette itégrale diverge car o a xlogx = (loglogx), d où, pour a >, a dx xlogx = (logloga) (loglog) et cette expressio ted vers l ifii lorsque a ted vers l ifii.. v = +log : la série est la somme de deux séries covergetes car la série de terme gééral coverge et o a (croissaces comparées) = 0 d où, log pour tout assez grad et l o a doc lim log log 3, pour tout assez grad. O sait que cette derière série est covergete. 3. v = +5 3 : cette série est à termes positifs et l o a v w où w = 3. La série de terme gééral w coverge puisqu o a 3 < et il e est de même de la série de terme gééral v 5

6 4. v = +log + ; cette série est la somme de la série de terme gééral + qui est divergete (le terme gééral est positif, équivalet à et la série de terme gééral diverge) et de la série de terme gééral log + qui coverge (comme das l exemple ). Il e résulte que l o a ue série divergete. 5. v = loga : cette série est de la forme α et elle covergete si et seulemet si α = loga < c est-à-dire si et seulemet si a < e. 6. v = e : c est ue série covergete car, pour tout assez grad, o a v. E effet log(e ) = + log ted vers lorsque ted vers l ifii (croissaces comparées). O a doc lim e = 0, d où le résultat. 7. v = si : cette série est absolumet covergete ; e effet o a d abord, pour tout u R, si u u (représeter sur le même dessi les graphes de la foctio sius et des foctios x x, x x ou étudier, das R +, les variatios de u u si u). O e déduit v puis o motre que ( 3 ), par exemple, pour tout assez grad. Pour cela, o calcule log( : ( 3 ) ) = log ( 3 4 ) = log + log 3 4, qui ted vers lorsque ted vers l ifii (croissaces comparées). Efi o sait que la série de terme gééral ( 3 ) coverge. 8. v = ( + ) : pour 3, o a v ( 5 6 ). La série cosidérée est doc covergete. 9. v = (!)3 (3)! : le rapport v+ v = 3 (3+)(3+)(3+3) ted vers 7. Par le critère de D Alembert, la série est doc covergete. 0. v = ( 3 4 ) : o a lim v = ( 3 4 ) <. Par le critère de Cauchy, o coclut que la série est covergete. v = +...+( )!! : o a v ( )!! =. La série est doc divergete. 4 v = (+) log cos α : la formule de Taylor etraîe qu il existe ue foctio ɛ tedat vers 0 e 0, telle que l o ait v = (+) log( α ( + ɛ( )) (+). α+ Le développemet limité motre que v < 0 pour tout assez grad. La série de terme gééral v est de même ature que la série de terme gééral (+). Elle est doc covergete si et seulemet si α + > α+ soit α >. 5 v = k : pour k < 0, o a k ted vers l ifii et v ted vers l ifii, quad ted vers l ifii ; pour k = 0 o a k = et v =. La série de terme gééral v est doc divergete si k 0. Supposos k > 0. O a k ted vers 0, quad ted vers l ifii. O écrit v = k = e k log = e e k log log. O sait que e u u, quad u 0. O e déduit v k log, quad ted vers l ifii. La série cosidérée état à termes positifs, elle a même ature que la série de terme gééral k log et celle-ci est covergete si et seulemet si k >. (Cela sera motré das u autre exercice sur les séries de Bertrad). 6

7 8 v =!( x ) : o se limitera au cas x e, le cas x = e est difficile. Le rapport v+ v = ( + )( x + )+ : ( x ) = x( + ) ted vers x e, quad ted vers l ifii. E effet o a lim log( + ) = lim log( + ) =, e utilisat log( + u) u quad u 0. Le critère de d Alembert motre alors que la série cosidérée est covergete si x e < c est-à-dire si x < e et divergete si x e > c est-à-dire si x > e. 9 v = cos( ) : au moye de la formule de Taylor à l ordre e 0, o trouve qu il existe θ ]0, [ tel que v = cos( θ ), d où 0 v. Comme la série de terme gééral est covergete, la série de terme gééral v est covergete. v = ( 6 + 3) a ( + ) 3a = 6a [( + 3 ) a ( + 6 ) 3a ] : o rappelle le développemet limité ( + u) a = + au + a(a ) u ( + ɛ(u)) où ɛ(u) ted vers 0 quad u ted vers 0. O e déduit v = 6a [+ 3a 9a(a ) + 6 6a 6a(3a ) 4 ] + 6a ɛ ( ) + 4 6a ɛ ( ), où ɛ ( ), ɛ ( ) tedet vers 0 quad ted vers l ifii. O e déduit que v est équivalet à 6a, de sige costat, pour assez grad, et que la série de terme 6a gééral v est covergete si et seulemet si 6a > c est-à-dire a < 6. O aurait d ailleurs pu obteir cette coclusio e utilisat seulemet le développemet limité à l ordre. v = e : o va motrer que l o a v, pour tout assez grad, ce qui etraîera la covergece de la série de terme gééral v. Pour cela, o calcule log v = + 4 log et o coclut, avec u résultat de croissaces comparées, que log v ted vers, quad ted vers l ifii ; il s e suit que v ted vers 0 quad ted vers l ifii. Cela prouve que v pour tout assez grad. Exercice. u = = e α l et l α Pour α > 0, α l, doc u = e α l 0 et doc u coverge. Pour α = 0, u =, la suite est costate doc coverge. Pour α < 0, α l, doc u = e α l et u diverge. E résumé, u coverge si et seulemet si α 0.. v = u u +. O e déduit par récurrece que v + v + + v = u u +. Aisi, la série v coverge si et seulemet si u coverge, à savoir si α 0 d après la première questio. Si α = 0, i= v i = u u + u = 0. Si α > 0, i= v i = u u + u =. 7

8 3. w = v v +, doc, comme pour la deuxième questio, o e déduit que i= w i = v v + et doc la série de terme gééral w coverge si et seulemet si la suite v coverge. Mais v = α ( α (+) ) α = ( ( + α ) α ) = ( ( α α + O( )) = α + O( α+ ). α+ Grâce à la questio., o coaît le comportemet de la suite ( ), qui α+ coverge si et seulemet si α. Doc la suite (v ) coverge si et seulemet si α. Doc w coverge si et seulemet si α. Si α =, v = doc Si α >, v 0 doc i= w i = v v + = 0 0. i= w i = v v + v =. α Exercice 5. La série de terme u coverge doc la suite S coverge vers u réel l > 0 (car les u sot strictemet positifs) doc v > 0 et v u l or ces deux termes sot strictemet positifs et équivalets doc leurs séries associées sot de même ature et comme la série des u coverge il e est de même pour u l et doc la série de terme géérique v coverge.. O remarque que v k = u k = S k S k = S k S k S k S k doc v k = S k S k et ( v k ) = k= k= i.e les termes se simplifiet deux à deux : S k S k est u produit téléscopique k= ce qui établit le résultat. ( v k ) = S 0 S S S... S S S S = S 0 S = u 0 S 3. (a) étudios la série de terme géérique w = l( v ) O a w > 0 pour tout et lim v = 0 car la série de t.g. v coverge. O peut doc utiliser u développemet limité de l e pour obteir w = ( v + o(v )) = v + o(v ) aisi w v et les suites sot strictemet positives doc les séries sot de même ature, aisi la série de t.g. w coverge et il e est de même 8

9 pour la série de t.g. l( v ), de plus le t.g. état strictemet égatif la somme est strictemet égative (et fiie). (b) O a d après la questio : or S = u 0 = ( v k ) exp(l( = ( v k ))) exp( l( v k )) k= u 0 k= l( v k ) ted vers l avec < l < 0 (d après (a) ), doc k= exp( l( v k )) ted vers l avec 0 < l < (car exp est cotiue) k= et fialemet S ted vers u0 l qui est fii. Aisi la série de t.g. u coverge égalemet. k= u 0 Exercice 6 u = a = ( a +b b ) +. /b Si b >, b = e l l b 0 car l l b. Doc + /b doc u ( a b ) = e l(a/b)+ l. Nous oteros v = e l(a/b)+ l. Comme u v et u > 0, la série de terme gééral u coverge si et seulemet si celle de terme gééral v coverge. Si a b, l(a/b) 0 doc v e l, doc, a fortiori, la série de terme gééral v diverge (doc u diverge aussi). Si a < b, l(a/b) < 0, et si l o cosidère c tel que l(a/b) < c < 0 (par exemple c = l(a/b)), (l(a/b) c) + l, doc l(a/b) + l c pour assez grad. Doc pour assez grad, v e c et e c coverge car c < 0. Doc v coverge, et doc u aussi. Si b, 0 < b, et doc + b. Doc u a. Or a coverge si et seulemet si a < (car a > 0), doc u coverge si et seulemet si a <. E résumé, la série coverge si et seulemet si (b > et a < b) ou (b et a < ). Exercice supplémetaire (Séries de Bertrad) Etudier selo les valeurs de α et β, la série de terme gééral u = α l β. Si α >, soit γ = +α. O a, pour tout, γ u = γ α l β = α l β 9

10 Or, lim α l β = 0 (car α < 0). Doc, ε > 0 N N tel que N γ u < ε Soit, pour ε =, il existe N tel que pour tout N, u γ Comme γ >, o a que la série de terme gééral coverge et par critère γ de comparaiso des séries, la série de terme gééral u coverge si α >.. Si α <. O a, pour tout, u = α l β. Or, lim α l β = +. Doc, il existe N tel que pour tout N, u. Soit, pour tout N, u Comme la série de terme gééral diverge, o a que pour α < la série de terme gééral u diverge. 3. Si α =. La foctio f β : t t l β t est décroissate sur ] e β, + [. Soit 0 = max(3, E(e β ) + ). (où E est la foctio qui à u réel associe sa partie etière, par exemple 3 pour π) Alors, comme f β est décroissate sur [ 0, + [, o a, pour tout 0 : + Et par sommatio de 0 à N : t l β t dt l β t l β t dt N+ 0 t l β t dt N = 0 l β N 0 t l β t dt Fialemet, e effectuat le chagemet de variable u = l(t) das les itégrales, o obtiet : l(n+) l( 0) u β du N = 0 l β l(n) l( 0 ) Si β, alors, pour tout, précède (appliqué das le cas β = ), o a que : l β l u β du. Et d après ce qui l(l(n + )) l(l( 0 )) N = 0 l l(l(n)) l(l( 0 ) Or, lim N l(l(n + )) l(l( 0 )) = + doc, la série diverge quad β =. Et comme o a l β l, la série diverge pour tout β. Si β >, o obtiet : N [ = 0 l β ( β)u β 0 ] l(n) l( 0 )

11 Soit : N = 0 l β ( ) β l( 0 ) β l(n) β Or, comme β >, lim N = 0 et doc les sommes partielles l(n) β sot majorées et la série de Bertrad coverge. Fialemet, o a le résultat suivat : La série de Bertrad coverge si et seulemet si α >, ou, α = et β >

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