Séries numériques. n 3. 6) a n ) 1 + ( 1)n n. 1! + 2! n!. (n + 2)! 12) 15) n + ( 1) (ln n)n n ln n. 18) 1. ( 1) n + n α, ( ) a et.
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- Edmond Aubé
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1 Séries umériques Exercice. Étude de covergece Étudier la covergece des séries de terme gééral : + e. ch α sh α. 3 l l arccos a + + a l l + siπ/ [ ]. 7! +! !. +! +. 5!! +... ±!. +! +. l l. 8 l l. Exercice. Cetrale PC 999 Soit la suite de terme gééral : u = 4 + /4 P /3 où P est u polyôme. A quelle coditio sur P la série u coverge-t-elle? Exercice 3. Esi PC 999 Quelle est la ature de la série de terme gééral l +? + Exercice 4. Mies MP 000 Soit α > 0. Étudier la série u, avec u = α +. Exercice 5. Mies MP 003 Si α > 0, doer la ature des séries Exercice 6. Esi PC 999 Soit u ue suite réelle telle que u + u + α, l + α et a et u u l. b. Étudier la covergece de u. Exercice 7. Ecadremet Soiet u, v, w trois séries réelles telles que u et w coverget, et u v w pour tout. Motrer que v coverge. Exercice 8. Calcul approché Motrer que la série = si0.4/ coverge. Calculer à la machie ue valeur approchée à 0 8 près de sa somme. Exercice 9. Esi MP 00 O suppose que la série à termes positifs de terme gééral u est divergete et o pose S = u. Soit f : R + R + ue applicatio cotiue décroissate. Comparer les éocés :. f est itégrable. La série de terme gééral u fs coverge. Exercice 0. Cetrale P 996 Motrer que la série = + coverge. Calculer ue valeur approchée à 0 4 près de sa somme. umériques.tex mercredi 3 août 06
2 Exercice. /4 L ue au mois des deux séries : 4 et 4 diverge. Dire pourquoi et dire laquelle. Exercice. / + u, Mies-Pots MP 005 Soit u ue suite réelle positive et v = + u. Motrer que u coverge v diverge. Étudier le cas où u diverge. Exercice 3. a / + a + a... + a Soit a ue suite réelle positive. O pose u = a + a + a... + a. Motrer que la série u coverge. Calculer = u lorsque a =. b de chiffres de Exercice 4. /a Pour N o ote p le ombre de chiffres de l écriture décimale de sas zéros iutiles. Soit a > 0. Étudier la covergece et détermier la somme évetuelle de la série a p. Exercice 5. Cauchy-Schwarz Soiet u, v deux suites réelles telles que u et v coverget. Motrer que u v coverge. Motrer que u + v coverge et : u + v u + v. Exercice 6. / 3/4 + cos Soit u = 3/4 + cos. La série u est-elle absolumet covergete? E écrivat u = 3/4 + v, étudier la covergece de u. Exercice 7. Reste d ue série alterée O pose u = =. Étudier la covergece de la série u. + Exercice 8. Calcul de sommes Calculer les sommes des séries suivates : = l p.. 6 = l. 7 l cos α. 8 ta α. 9 0 =p p x. x x x +. Exercice 9. Covergece et somme de la série de terme gééral u = ! [/] +. Exercice 0. Chimie P 90 Résoudre les équatios différetielles : y + y + y = 0, y + 4y + 4y = e x cos x. Soit f la solutio commue. O défiit la série de terme gééral u = +π fx dx. Motrer que x=π u coverge et calculer sa somme. Exercice. / + O admet que = π 6. Calculer +. umériques.tex page
3 Exercice. / O admet que + calculer sa somme. = l. Motrer que la série + est covergete et Exercice 3. l + a l + + b l + Pour quelles valeurs de a, b R la série de terme gééral l+a l++b l+ est-elle covergete? Calculer alors la somme de la série. Exercice 4. arcta/ + + Motrer que arcta = π + + o pourra calculer ta s. Exercice 5. arcta + a arcta Soit a R. Motrer que la série de terme gééral arcta + a arcta est covergete. O pose Sa = arcta + a arcta. Trouver lim a + Sa. Exercice 6. Pile e porte à faux Peut-o empiler 00 pièces de e de sorte que la derière soit complètemet e porte à faux? cad que sa projectio sur u pla horizotal e recotre pas la projectio de la première pièce Exercice 7. /, Mies MP 00 O défiit j = mi{ N tq = / j}. Prouver l existece de j. Quelle est la limite de j lorsque j ted vers l ifii? Calculer lim j j+ / j. Exercice 8. Recherche d équivalets Par comparaiso à ue itégrale, doer u équivalet de : =+. = l. Exercice 9. l Par comparaiso à ue itégrale, doer u équivalet de u = l. La série de terme gééral est-elle covergete? u Exercice 30. /3 Trouver la partie etière de 0 9 /3. Exercice 3. O pose u =. Doer u équivalet de u quad regrouper les termes deux par deux puis comparer à ue itégrale. Exercice 3. Costate d Euler Soit f : R + R + décroissate. O pose u = f et s = u u. Motrer que la suite de terme gééral s + ft dt est covergete. Doer ue iterprétatio t=0 graphique de ce fait. Applicatio : O pose γ = lim l Justifier l existece de γ et motrer que γ. Exercice 33. Costate d Euler Cetrale MP 003 Soit S = l et T = + l. Les suites S et T sot-elles adjacetes? umériques.tex page 3
4 Exercice 34. Costate d Euler, Mies-Pots MP 005 Soit u, le reste de la divisio du par. Quelle est la limite de u, Exercice 35. Mies MP 003 Soit la suite de terme gééral u = l + l l. Doer u équivalet de u e +. Motrer que la suite de terme gééral : v = u l 3 Soit l = lim v. Doer u équivalet de v l. Exercice 36. Cetrale MP 00 Doer u équivalet simple de. est covergete. Exercice 37. / l Prouver la covergece de la série de terme gééral u = l. O ote S = = u et S = = u. Motrer que l + S S pour. l 3 Motrer que si S est ue valeur approchée de S à 0 3 près alors > O suppose disposer d ue machie calculat u millio de termes de la série par secode avec chiffres sigificatifs. Peut-o obteir ue valeur approchée de S à 0 3 près? Rmq : a 3 millios de secodes 5 Doer ue valeur approchée de S à 0 3 près. Exercice 38. x ζx Pour x > o ote ζx = x. E comparat ζx à ue itégrale, trouver lim x +x ζx. Exercice 39. u / + u Soit u ue série à termes positifs et v = u. Motrer que u et v ot même ature. + u Exercice 40. Série des restes Soit u ue suite réelle telle que u et u coverget. O ote v = = u. a Motrer que v 0. b Motrer que = v = = u. Applicatio : Calculer lorsque c est possible : r. Exercice 4. X MP 00 Soit u ue suite réelle positive, U = i=0 u i et α > 0 u réel doé. O suppose U u Étudier la suite de terme gééral u u.? α. Exercice 4. u coverge O cosidère ue suite u telle que la série u coverge. Motrer que la série u coverge. Exercice 43. u décroit Soit u ue suite réelle positive décroissate telle que u coverge. Motrer que u 0 cosidérer =+ u. Motrer que = u u + coverge et a même somme que = u. 3 Applicatio : calculer pour 0 r < : r et r. umériques.tex page 4
5 Exercice 44. u /S Soit u ue suite à termes strictemet positifs covergeat vers 0. O pose S = u. Si la série u coverge, que dire de la série u? S Si la série u diverge, motrer que la série u diverge aussi. S O pourra cosidérer p = u. S Exercice 45. Polytechique MP 000 O doe ue suite de réels strictemet positifs a, décroissate et de limite ulle. Motrer que la série de terme gééral a a + diverge. a Exercice 46. u + u u / Soit u ue série à termes positifs. O pose v = u + u u. Motrer que v a même ature que u. Exercice 47. u / + Soit u ue suite positive. O pose v = + ot même ature et évetuellemet même somme. Exercice 48. u / Soit u ue série à termes positifs covergete. Étudier la covergece de la série de terme gééral v = u. u. Motrer que les séries u et v Exercice 49. Pricipe d accumulatio Soit u ue suite réelle positive décroissate. O pose v = u. Motrer que les séries u et v ot même ature. Applicatios : Retrouver la covergece des séries de Riema α. Étudier la covergece des séries de Bertrad : l α. Exercice 50. u + = /e u. Esi P 90 Soit u défiie par : u R, u + = e u. Quelle est la ature de la série u? Exercice 5. x + = x + x Soit x ue suite défiie par : x 0 > 0 et N, x + = x + x. Motrer que x +. O pose u = l x. Motrer que la suite u est covergete o étudiera la série u + u. 3 E déduire qu il existe α > 0 tel que x α. Exercice 5. u + = u u O cosidère la suite u défiie par : 0 < u 0 < et N, u + = u u. Motrer que la suite u coverge. Quelle est sa limite? Motrer que la série de terme gééral u coverge. u+ 3 Motrer que les séries de termes gééraux l et u diverget. u 4 Motrer que u < + et que la suite u est croissate. O ote l sa limite. 5 O pose u = l v. Motrer que la série de terme gééral v + v coverge. 6 E déduire que u est équivalet à. umériques.tex page 5
6 Exercice 53. u + /u = + a/ + b Soit u ue suite défiie par la doée de u 0 R et la relatio : N, u + u = + a + b où a, b sot deux costates réelles a, b / N. Motrer que u est de sige costat à partir d u certai rag. O pose v = + b u. Étudier la covergece de la suite v o itroduira la série de terme gééral lv + lv. 3 E déduire que la série u coverge si et seulemet si a b + < 0 et calculer sa somme e foctio de a, b, u 0. Exercice 54. O se doe u et a deux réels strictemet positifs et l o défiit par récurrece la suite u par u + = u + a... Étudiez la limite de la suite u, et, quad a, e doer u équivalet. u Exercice 55. / α α Soit α > 0. O pose u = α α. Étudier la covergece de u. Exercice 56. Produit de Cauchy de trois séries Soiet a, b, c trois séries absolumet covergetes de sommes A, B, C. O pose u = i+j+= a ib j c. Motrer que u = ABC. Exercice 57. Produit de séries géométriques Soiet a [0, [. Écrire comme produit de deux séries. E déduire la somme de la série a a. Calculer par la même méthode a. Exercice 58. Produit de séries géométriques Pour N o ote T le ombre de maières de décomposer euros avec des pièces de e et e et des billets de 5e et 0e T 0 =. Motrer que : x [0, [, T x = x x x 5 x 0. Exercice 59. u / Soit u ue série covergete. O pose v = u + u Motrer que v 0. Motrer que v coverge et doer sa valeur u 0. Exercice 60. a / p = 0 Soit a ue suite borée telle que pour tout etier p : a = p = 0. Motrer que : N, a = 0. Exercice 6. x = 0 Soit x ue série absolumet covergete telle que pour tout etier o a = x = 0. Motrer que : N, x = 0. Exercice 6. Césaro Soiet, p N avec p. Motrer que p = + p+ + p. = Soit u ue série covergete. O pose v = p=0 p up. Motrer que la série v est covergete. Exercice 63. u 0 Soit u ue série covergete à termes positifs décroissats. Motrer que u 0. Motrer que u / u = o. umériques.tex page 6
7 Exercice 64. u /R p Soit a ue série positive covergete, A = a, R = = a et p ]0, [. Motrer qu il existe C p R tel que =0 a /R p C p A p. Trouver la meilleure costate C p. Exercice 65. u + = u + a /u Soit a ue suite réelle positive et u la suite défiie par la relatio de récurrece : u + = u + a u avec u 0 > 0. Motrer que la suite u coverge si et seulemet si la série a coverge. Exercice 66. Raabe-Duhamel Soit u ue suite réelle positive telle que u + u u A α. Exercice 67. Stirlig++ Motrer que! = π + e + O = α + O. Motrer qu il existe A > 0 tel que. Exercice 68. Développemet factoriel Soit S l esemble des suites croissates d etiers q i telles que q 0. Si s = q i S, motrer que la série coverge. O ote Φs sa somme. q 0... q Motrer que l applicatio Φ : S ]0, ] est bijective. 3 Soit s = q i S. Motrer que Φs Q si et seulemet si s est statioaire. Exercice 69. Développemet asymptotique Motrer qu il existe C R tel que l Prouver : l 3 l t dt C l t= t + l Prouver : l = l + C + l + o l = l + C + o. t= l t dt. t Exercice 70. Soit u ue suite de complexes telle que u u l C. Motrer que u u l l. Exercice 7. Soit u ue suite de complexes qui coverge au ses de Césaro vers zéro. Étudiez la suite de terme gééral v = u Exercice 7. Cetrale MP 000 Soiet deux suites de termes gééraux u et v défiies par la doée de u et v, tous deux réels, et les relatios : u + = u Motrer que ces suites sot défiies et borées.. v +, v + = v + u +. umériques.tex page 7
8 Exercice 73. Produits ifiis, Polytechique 000 O cosidère ue suite a de réels et o défiit P N = N = + a et S N = N = a. O suppose que pour tout, a 0. a Motrer que, pour tout N, + S N P N e S N. b Comparer les covergeces respectives des suites S N et P N. O suppose maiteat que pour tout, a 0. a La relatio précédete est-elle ecore vérifiée? b Discuter de la covergece des suites S N et P N. 3 O suppose que a est de sige quelcoque et que pour tout, + a > 0. O suppose de plus que la série a coverge. Motrer que P N a ue limite et que cette limite est ulle si et seulemet si a diverge. 4 Complémet. O suppose que la suite a est complexe, que pour tout, a < et que la série a est covergete. a Motrer que = + a existe, puis que = + a existe. O pourra démotrer et utiliser l iégalité N = + a N = + a. b Motrer que = + a est pas ul. Exercice 74. Polytechique MP 00 Trouver les foctios f : [0, ] R cotiues vérifiat : x [0, ], fx = = Exercice 75. ENS Cacha MP 005 Soit P = max{p premier, p }. Motrer que P coverge. Exercice 76. cos z [, ] Quels sot les complexes z tels que cos z [, ]? Exercice 77. lim + z/ Soit z C. Motrer que + z ez. Exercice 78. Iégalité Soit z C. Motrer que e z e z z e z. fx. Exercice 79. Iégalité, Polytechique MP 006 Soit z = x + iy C avec x, y R et x 0. Motrer que ez ex. Que dire e cas d égalité? z x Exercice 80. Morphismes R, + C, Soit f : R C telle que : x, y R, fx + y = fxfy. Si f est dérivable, motrer qu il existe λ C tel que : x R, fx = e λx. Obteir le même résultat si f est seulemet supposée cotiue predre ue primitive, F, de f et motrer qu elle est de classe C. Exercice 8. e z = z Motrer qu il existe ue ifiité de complexes z tels que e z = z o calculera x e foctio de y, et o étudiera l équatio obteue. Exercice 8. Équatios trigoométriques Résoudre das C : cos z =. ch z =. 3 si z + si jz + si j z = cos z + 4i si z = 7 + 5i. Exercice 83. cos et si sur le cercle uité Calculer sup{ cos z tq z } et sup{ si z tq z }. umériques.tex page 8
9 Exercice 84. Courbes Soiet M, M deux poits du pla d affixes z = x + iy et z = x + iy. O suppose que z et z sot liés par la relatio : z = e z. Étudier la courbe décrite par M lorsque M décrit : a ue droite x = cste. b ue droite y = cste. c ue droite quelcoque. Repredre les questios a et b avec z = cos z. Exercice 85. Cetrale MP 00 Résoudre das M C : expm = i + i. 0 i Exercice 86. Famille o sommable Soit a N ue suite de réels positifs telle que a 0 et N a = +. Motrer que pour tout réel x 0, il existe X N tel que X a = x. Exercice 87. Famille sommable, Cetrale 05 Soit N. O ote u = 0 si l écriture décimale de comporte au mois u chiffre égal à 9 et u = / sio. Soiet S = u u et T = S 0 + S 0. O ote A l esemble des etiers [[0, 0 + ]] tels que u 0. Écrire e Pytho les foctios doat u, S, T. Doer S 999, S 9999, T et T 3. Motrer que u coverge. 3 Nous allos chercher à approcher = u. a Motrer que T + = 8 l=0 A u 0+l. b Motrer que 9 0 T 36 0 T + T + 9 c E déduire u ecadremet de S = 0T. = u. umériques.tex page 9
10 solutios Exercice. e DV. α α eα CV ssi α <. 3 3 CV. 4 CV. 5 3 CV. 6 cv ssi a =. 7 Série alterée CV. 8 Série alterée CV. 9 Harmoique + alterée DV. 0 d Alembert CV.! +! +! + + CV. = + + O CV. 3 Décompositio e 3 séries alterées CV. 4 = 8 + O 3/ DV. 5 Regroupemet de termes DV. 6 Regroupemet par paquets + CSI CV. 7 / 0 DV. 8 = l l CV. Exercice. P = C. Exercice 3. = + O + coverge. Exercice 4. u = α/ 3α/ + o 3α/, il y a covergece ssi α > 3. Exercice 5. Effectuer u développemet asymptotique pour les deux premières. Elles coverget si et seulemet si α >. La troisième diverge par comparaiso série-itégrale. Exercice 6. u + u ab et u u Exercice 8. =, S ab doc il y a covergece si ab <. Exercice 9. par comparaiso série-itégrale. Cotre-exemple pour : u = e + e, S = e +, ft = t + lt +. umériques.tex page 0
11 Exercice 0. + = pour 3. Doc S = = + + =N+ + R N avec 4 3N 3 R N 0 et =N+ = N + NN +. Pour N = 5 o obtiet : < S < Exercice. Si u et v coverget alors u doc u v /. Alors les suites u et v sot de carrés sommables tadis que la suite u v est pas sommable, c est absurde. Si u diverge o e peut rie dire : avec u = o a v covergete tadis qu avec u = o a v divergete. Exercice 3. u u = + a... + a l + a... + a = l. + + u =. Exercice 4. Regroupemet de termes par valeur costate de p a p Exercice 6. v = O 3/ CV. Exercice 7. Série alterée. Exercice S p p + S p+ = S p p +! S p = pp! l 3. 6 l. 7 l si α α. 8 α cotaα e. 0 x p p+ pour x < par récurrece. x x x si x <, si x >. x S = q=0 r= S = q=0 r q + rq + r + = q q + q + q=0 r= r q + r = lim N N+ = p= 0p 0 p a p = 9 a 0. r q + r +. N+ = l. umériques.tex page
12 Exercice 9. Si + est pas u carré alors u = 0 doc = u = = u = = 3 4. Exercice 0. y = e x a cos x + b si x, y = e x si x + e x cx + d. u = e π e π +, =0 u =. Exercice. π 3 3. Exercice = s = l. Exercice 3. a =, b =, S = l. Exercice 4. ta s = + par récurrece et s Exercice 5. a =. Sa arcta+a arcta π a + +arcta +arcta +...+arcta Sa +. a + Exercice 6. Le déport maximal etre la première pièce et la derière pour ue pile de pièces est e diamètre d ue pièce. Il dépasse pour > 4. Exercice 7. Lorsque o a : = / = l + γ + o, d où j l j + γ + o < j + / j. Ceci prouve que l j = j γ + o et doc j+ / j e. j Exercice 8.. ll. Exercice 9. u l CV. Exercice Exercice 3.. Exercice 33. T + T = + l + = S + S = + l dt t= t < 0 = + t= t t dt > 0. umériques.tex page
13 Exercice 34. u, = [ ], doc v = u, foctio ϕ : t t [ ] est Riema-itégrable sur [0, ], doc v t Calcul de I : I = t=/ est ue somme de Riema pour I = t=0 I. t [ ] dt = l / t t=/+ dt = l t [ ] dt. La t + γ = I. Exercice 35. Comparaiso série-itégrale : u l. Comparaiso série-itégrale ecore v est la somme des aires etre les rectagles aux poits etiers et la courbe de t lt/t. 3 v l = = Doc v l + t= Exercice 36. = + l t dt t= t l t dt l t. l + = = + w avec w l. + = + + l. Exercice S + l + S S +. Pour = 60 : < S < l Exercice 39. Si u 0, alors v u ; sio, v 0. Exercice 40. r r. Exercice 4. O remarque déjà que u i diverge car u U α U α. O calcule u par parties : u = U U = U Comme U αu, terme gééral strictemet positif d ue série divergete, o a U α d où : + α u U et : u u U + α u Exercice 4. S = u u = S + S 0 + S. U α + α. Exercice r = u u + avec u = r r doc r = r r = r r. De même, S = = r = r r + = r r = r r + r+ r. r = S S + et S décroît d où r = S = r r + r+ r = r + r r 3. u umériques.tex page 3
14 Exercice 44. p = u 0 0 doc la série de terme gééral l u diverge. S S Exercice 45. Méthode des rectagles : a a + a 0 dt a t=a + + t +. Si a a + la série doée diverge doc. Sio, elle diverge aussi car so terme gééral e ted pas vers 0. Exercice 46. = v = N u /< N u = v N u. Exercice 47. v + v = u. Si u coverge, v coverge aussi SP majorées et v l l = 0. Si u diverge et v coverge, alors v +, cotradictio. Exercice 48. v = u p= Exercice v + u v. p u CV. Exercice 50. Pour >, u + < doc u + > + e / Exercice 53. lv + lv = l doc la série diverge. { si a b + > 0, v + a b + + si a b + = 0, v = cste + b si a b + < 0, v bu + + au = 0 + bu + + b a u au 0 = 0 u = b u 0 b a. Exercice 54. La suite u est croissate doc ted vers l ]0, + ]. O a l fii si et seulemet si la série télescopique u+ u = a est covergete, soit si et seulemet si a >. u Pour a < o a u + = u + a + o a doc u + u a et u a sommatio des a relatios de comparaiso. Pour a = o a de même u l. Exercice 55. α > u cv et vaut ζα. α < N = u α u dv. Exercice 57. a a et a + a a 3. Exercice 59. Césaro. v 0 + v v = u 0 + u u v. Exercice 60. a M a = p M = p M t= dt t p = M p a = 0. umériques.tex page 4
15 Exercice 6. Démostratio pour x : x = 0, x = 0 impair x = 0. O retire les multiples impairs de 3 x 3 x 6 = 0 6= x = 0. O retire les multiples restats de 5, 7,... O obtiet aisi ue suite s p p premier ulle qui coverge vers x, doc x = 0. Peut-o se passer de la covergece absolue? Exercice 6. récurrece sur p. Trasformatio d Abel et iterversio de sommatios : p =0 v = p Thm de Césaro v = u. p+ + p =0 u. Exercice 63. u =+ u, u + + =+ u. ε > 0 : Pour suffisamet grad, u ε, doc u ε. Alors u / u ε + K. Exercice 64. TAF : x [R +, R ] tq R p C est p : Pour a =, A p =0 R p + = pr R + a R p x p = p p. p a R p. Doc, =0 a R p A p p. Exercice 65. u est croissate. Si la suite u coverge alors a = u u + u Mu + u doc les sommes partielles de a sot borées. Si a coverge, alors u + u = a a doc u + u coverge. u u 0 Exercice 70. Trasformato d Abel. Exercice 7. Trasformatio d Abel + découpage, v 0. Exercice 7. u + v u + v + et le produit ifii est trivialemet coverget. + Exercice 73. a + S N P N est plus triviale mais reste vraie par récurrece la différece est ue foctio décroissate de a. 3 La suite P N e S N est positive décroissate doc coverge, ce qui etraîe la covergece de P N. O a P N 0 ssi P N e S N 0 ssi la série de terme gééral l + a a a diverge. 4 a Démotrer l iégalité e développat les deux membres. Sachat que la suite P N est borée o e déduit qu elle est de Cauchy doc coverge. Exercice 74. O a fx = fx =. Soit a [0, [ et M a, m a le maximum et le miimum de f sur [0, a]. D après la relatio précédete, m a m a et M a M a doc e fait m a = m a et M a = M a. O e déduit f[0, a] = f[0, a ] =... = f[0, a ] =... = {f0}. Doc f est costate et réciproquemet les foctios costates covieet. umériques.tex page 5
16 Exercice 75. Soit p 0, p,... la suite croissate des ombres premiers et S = P. O a S = S i=0 p i = p p S, ce qui prouve que S est fii. La série demadée est S 0 + S S = S 0 + S p 0 p p 0 p. Motros que S p, ceci prouvera la covergece. C est vrai pour = 0 et =, et si c est vrai pour avec alors o obtiet S p p p p p p p p p. Remarque : o a e réalité S e γ lp où γ est la costate d Euler formule de Mertes. Exercice 76. cosx + iy = cos x ch y i si x sh y cos z [, ] si et seulemet si z R. Exercice 77. Mettre + z Exercice 78. Développemet e série. sous forme trigoométrique. Exercice 79. ez = ex + e x cos y z x + y. Après simplificatios, o est rameé à prouver que x cos y y ch x, ce qui est vrai car o peut caser x y etre les deux. Il y a égalité si et seulemet si y = 0. Exercice 8. e x+iy = x + iy x = y/ ta y, e y/ ta y = si y/y. Au voisiage de π +, e y/ ta y < si y/y poit plat et au voisiage de + π, e y/ ta y > si y/y limite ifiie. Exercice 8. z ±i l + 3 mod π. z iπ mod iπ. 3 z 0 mod π ou z 0 mod jπ { ou z 0 mod j π. 4 6e iz 7 + 5ie iz e + = 0 iz = + i : z π/4 i l mod π e iz = i/6 : z π/4 i l /6 mod π. Exercice 83. cosx + iy = cos x + sh y = ch y si x sup = ch. six + iy = si x + sh y = ch y cos x. à x fixé, le module augmete avec y, doc le maximum est atteit au bord du disque. ϕθ = si cos θ + sh si θ ϕ θ = si θ sh si θ si θ si cos θ sup = sh. cos θ Exercice 85. Si x est vecteur propre de M il l est aussi de expm doc x = e et la valeur propre associée est α C tel que e α = i α = l + i π + π, Z. O a doc M = α β e, expm = α e α β 0 α 0 e α d où β = i. umériques.tex page 6
17 Exercice 87. E Maple : u := proc local i; i := ; while i > 0 ad i mod 0 <> 9 do i := iquoi, 0 ed do; if i > 0 the 0 else / ed if ed proc O a das [0, + [ : 0 u = = A u = carda /0 = = = 7. Les etiers de A ot u chiffre de tête compris etre et 8 et les chiffres suivats compris etre 0 et 9, d où carda { = 8 9. Le derier majorat état fii, la série coverge. A [[0, 8]] A + 3 a L applicatio : est bijective., l 0 + l b Pour, l A [[0, 8]] o a u 0 = u u 0 0 u 0+l u 0+8 = + 8/0 u 0 + 8/0 +. E sommat sur, l, o obtiet 9 0 T + 8/0 + T T ce qui doe l ecadremet demadé sachat que 8/ /0 +. c = T = T + = T = T. O e déduit S S 9 S S S S 9, soit 000S S 9 S 0S 99 9S Numériquemet, 7 S Mieux e sommat à partif de = : S S 99 S S S S 99, soit 0000S S 99 S 0S 999 9S 99. Numériquemet,.3 S umériques.tex page 7
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Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
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