Séries numériques. n 3. 6) a n ) 1 + ( 1)n n. 1! + 2! n!. (n + 2)! 12) 15) n + ( 1) (ln n)n n ln n. 18) 1. ( 1) n + n α, ( ) a et.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Séries numériques. n 3. 6) a n ) 1 + ( 1)n n. 1! + 2! n!. (n + 2)! 12) 15) n + ( 1) (ln n)n n ln n. 18) 1. ( 1) n + n α, ( ) a et."

Transcription

1 Séries umériques Exercice. Étude de covergece Étudier la covergece des séries de terme gééral : + e. ch α sh α. 3 l l arccos a + + a l l + siπ/ [ ]. 7! +! !. +! +. 5!! +... ±!. +! +. l l. 8 l l. Exercice. Cetrale PC 999 Soit la suite de terme gééral : u = 4 + /4 P /3 où P est u polyôme. A quelle coditio sur P la série u coverge-t-elle? Exercice 3. Esi PC 999 Quelle est la ature de la série de terme gééral l +? + Exercice 4. Mies MP 000 Soit α > 0. Étudier la série u, avec u = α +. Exercice 5. Mies MP 003 Si α > 0, doer la ature des séries Exercice 6. Esi PC 999 Soit u ue suite réelle telle que u + u + α, l + α et a et u u l. b. Étudier la covergece de u. Exercice 7. Ecadremet Soiet u, v, w trois séries réelles telles que u et w coverget, et u v w pour tout. Motrer que v coverge. Exercice 8. Calcul approché Motrer que la série = si0.4/ coverge. Calculer à la machie ue valeur approchée à 0 8 près de sa somme. Exercice 9. Esi MP 00 O suppose que la série à termes positifs de terme gééral u est divergete et o pose S = u. Soit f : R + R + ue applicatio cotiue décroissate. Comparer les éocés :. f est itégrable. La série de terme gééral u fs coverge. Exercice 0. Cetrale P 996 Motrer que la série = + coverge. Calculer ue valeur approchée à 0 4 près de sa somme. umériques.tex mercredi 3 août 06

2 Exercice. /4 L ue au mois des deux séries : 4 et 4 diverge. Dire pourquoi et dire laquelle. Exercice. / + u, Mies-Pots MP 005 Soit u ue suite réelle positive et v = + u. Motrer que u coverge v diverge. Étudier le cas où u diverge. Exercice 3. a / + a + a... + a Soit a ue suite réelle positive. O pose u = a + a + a... + a. Motrer que la série u coverge. Calculer = u lorsque a =. b de chiffres de Exercice 4. /a Pour N o ote p le ombre de chiffres de l écriture décimale de sas zéros iutiles. Soit a > 0. Étudier la covergece et détermier la somme évetuelle de la série a p. Exercice 5. Cauchy-Schwarz Soiet u, v deux suites réelles telles que u et v coverget. Motrer que u v coverge. Motrer que u + v coverge et : u + v u + v. Exercice 6. / 3/4 + cos Soit u = 3/4 + cos. La série u est-elle absolumet covergete? E écrivat u = 3/4 + v, étudier la covergece de u. Exercice 7. Reste d ue série alterée O pose u = =. Étudier la covergece de la série u. + Exercice 8. Calcul de sommes Calculer les sommes des séries suivates : = l p.. 6 = l. 7 l cos α. 8 ta α. 9 0 =p p x. x x x +. Exercice 9. Covergece et somme de la série de terme gééral u = ! [/] +. Exercice 0. Chimie P 90 Résoudre les équatios différetielles : y + y + y = 0, y + 4y + 4y = e x cos x. Soit f la solutio commue. O défiit la série de terme gééral u = +π fx dx. Motrer que x=π u coverge et calculer sa somme. Exercice. / + O admet que = π 6. Calculer +. umériques.tex page

3 Exercice. / O admet que + calculer sa somme. = l. Motrer que la série + est covergete et Exercice 3. l + a l + + b l + Pour quelles valeurs de a, b R la série de terme gééral l+a l++b l+ est-elle covergete? Calculer alors la somme de la série. Exercice 4. arcta/ + + Motrer que arcta = π + + o pourra calculer ta s. Exercice 5. arcta + a arcta Soit a R. Motrer que la série de terme gééral arcta + a arcta est covergete. O pose Sa = arcta + a arcta. Trouver lim a + Sa. Exercice 6. Pile e porte à faux Peut-o empiler 00 pièces de e de sorte que la derière soit complètemet e porte à faux? cad que sa projectio sur u pla horizotal e recotre pas la projectio de la première pièce Exercice 7. /, Mies MP 00 O défiit j = mi{ N tq = / j}. Prouver l existece de j. Quelle est la limite de j lorsque j ted vers l ifii? Calculer lim j j+ / j. Exercice 8. Recherche d équivalets Par comparaiso à ue itégrale, doer u équivalet de : =+. = l. Exercice 9. l Par comparaiso à ue itégrale, doer u équivalet de u = l. La série de terme gééral est-elle covergete? u Exercice 30. /3 Trouver la partie etière de 0 9 /3. Exercice 3. O pose u =. Doer u équivalet de u quad regrouper les termes deux par deux puis comparer à ue itégrale. Exercice 3. Costate d Euler Soit f : R + R + décroissate. O pose u = f et s = u u. Motrer que la suite de terme gééral s + ft dt est covergete. Doer ue iterprétatio t=0 graphique de ce fait. Applicatio : O pose γ = lim l Justifier l existece de γ et motrer que γ. Exercice 33. Costate d Euler Cetrale MP 003 Soit S = l et T = + l. Les suites S et T sot-elles adjacetes? umériques.tex page 3

4 Exercice 34. Costate d Euler, Mies-Pots MP 005 Soit u, le reste de la divisio du par. Quelle est la limite de u, Exercice 35. Mies MP 003 Soit la suite de terme gééral u = l + l l. Doer u équivalet de u e +. Motrer que la suite de terme gééral : v = u l 3 Soit l = lim v. Doer u équivalet de v l. Exercice 36. Cetrale MP 00 Doer u équivalet simple de. est covergete. Exercice 37. / l Prouver la covergece de la série de terme gééral u = l. O ote S = = u et S = = u. Motrer que l + S S pour. l 3 Motrer que si S est ue valeur approchée de S à 0 3 près alors > O suppose disposer d ue machie calculat u millio de termes de la série par secode avec chiffres sigificatifs. Peut-o obteir ue valeur approchée de S à 0 3 près? Rmq : a 3 millios de secodes 5 Doer ue valeur approchée de S à 0 3 près. Exercice 38. x ζx Pour x > o ote ζx = x. E comparat ζx à ue itégrale, trouver lim x +x ζx. Exercice 39. u / + u Soit u ue série à termes positifs et v = u. Motrer que u et v ot même ature. + u Exercice 40. Série des restes Soit u ue suite réelle telle que u et u coverget. O ote v = = u. a Motrer que v 0. b Motrer que = v = = u. Applicatio : Calculer lorsque c est possible : r. Exercice 4. X MP 00 Soit u ue suite réelle positive, U = i=0 u i et α > 0 u réel doé. O suppose U u Étudier la suite de terme gééral u u.? α. Exercice 4. u coverge O cosidère ue suite u telle que la série u coverge. Motrer que la série u coverge. Exercice 43. u décroit Soit u ue suite réelle positive décroissate telle que u coverge. Motrer que u 0 cosidérer =+ u. Motrer que = u u + coverge et a même somme que = u. 3 Applicatio : calculer pour 0 r < : r et r. umériques.tex page 4

5 Exercice 44. u /S Soit u ue suite à termes strictemet positifs covergeat vers 0. O pose S = u. Si la série u coverge, que dire de la série u? S Si la série u diverge, motrer que la série u diverge aussi. S O pourra cosidérer p = u. S Exercice 45. Polytechique MP 000 O doe ue suite de réels strictemet positifs a, décroissate et de limite ulle. Motrer que la série de terme gééral a a + diverge. a Exercice 46. u + u u / Soit u ue série à termes positifs. O pose v = u + u u. Motrer que v a même ature que u. Exercice 47. u / + Soit u ue suite positive. O pose v = + ot même ature et évetuellemet même somme. Exercice 48. u / Soit u ue série à termes positifs covergete. Étudier la covergece de la série de terme gééral v = u. u. Motrer que les séries u et v Exercice 49. Pricipe d accumulatio Soit u ue suite réelle positive décroissate. O pose v = u. Motrer que les séries u et v ot même ature. Applicatios : Retrouver la covergece des séries de Riema α. Étudier la covergece des séries de Bertrad : l α. Exercice 50. u + = /e u. Esi P 90 Soit u défiie par : u R, u + = e u. Quelle est la ature de la série u? Exercice 5. x + = x + x Soit x ue suite défiie par : x 0 > 0 et N, x + = x + x. Motrer que x +. O pose u = l x. Motrer que la suite u est covergete o étudiera la série u + u. 3 E déduire qu il existe α > 0 tel que x α. Exercice 5. u + = u u O cosidère la suite u défiie par : 0 < u 0 < et N, u + = u u. Motrer que la suite u coverge. Quelle est sa limite? Motrer que la série de terme gééral u coverge. u+ 3 Motrer que les séries de termes gééraux l et u diverget. u 4 Motrer que u < + et que la suite u est croissate. O ote l sa limite. 5 O pose u = l v. Motrer que la série de terme gééral v + v coverge. 6 E déduire que u est équivalet à. umériques.tex page 5

6 Exercice 53. u + /u = + a/ + b Soit u ue suite défiie par la doée de u 0 R et la relatio : N, u + u = + a + b où a, b sot deux costates réelles a, b / N. Motrer que u est de sige costat à partir d u certai rag. O pose v = + b u. Étudier la covergece de la suite v o itroduira la série de terme gééral lv + lv. 3 E déduire que la série u coverge si et seulemet si a b + < 0 et calculer sa somme e foctio de a, b, u 0. Exercice 54. O se doe u et a deux réels strictemet positifs et l o défiit par récurrece la suite u par u + = u + a... Étudiez la limite de la suite u, et, quad a, e doer u équivalet. u Exercice 55. / α α Soit α > 0. O pose u = α α. Étudier la covergece de u. Exercice 56. Produit de Cauchy de trois séries Soiet a, b, c trois séries absolumet covergetes de sommes A, B, C. O pose u = i+j+= a ib j c. Motrer que u = ABC. Exercice 57. Produit de séries géométriques Soiet a [0, [. Écrire comme produit de deux séries. E déduire la somme de la série a a. Calculer par la même méthode a. Exercice 58. Produit de séries géométriques Pour N o ote T le ombre de maières de décomposer euros avec des pièces de e et e et des billets de 5e et 0e T 0 =. Motrer que : x [0, [, T x = x x x 5 x 0. Exercice 59. u / Soit u ue série covergete. O pose v = u + u Motrer que v 0. Motrer que v coverge et doer sa valeur u 0. Exercice 60. a / p = 0 Soit a ue suite borée telle que pour tout etier p : a = p = 0. Motrer que : N, a = 0. Exercice 6. x = 0 Soit x ue série absolumet covergete telle que pour tout etier o a = x = 0. Motrer que : N, x = 0. Exercice 6. Césaro Soiet, p N avec p. Motrer que p = + p+ + p. = Soit u ue série covergete. O pose v = p=0 p up. Motrer que la série v est covergete. Exercice 63. u 0 Soit u ue série covergete à termes positifs décroissats. Motrer que u 0. Motrer que u / u = o. umériques.tex page 6

7 Exercice 64. u /R p Soit a ue série positive covergete, A = a, R = = a et p ]0, [. Motrer qu il existe C p R tel que =0 a /R p C p A p. Trouver la meilleure costate C p. Exercice 65. u + = u + a /u Soit a ue suite réelle positive et u la suite défiie par la relatio de récurrece : u + = u + a u avec u 0 > 0. Motrer que la suite u coverge si et seulemet si la série a coverge. Exercice 66. Raabe-Duhamel Soit u ue suite réelle positive telle que u + u u A α. Exercice 67. Stirlig++ Motrer que! = π + e + O = α + O. Motrer qu il existe A > 0 tel que. Exercice 68. Développemet factoriel Soit S l esemble des suites croissates d etiers q i telles que q 0. Si s = q i S, motrer que la série coverge. O ote Φs sa somme. q 0... q Motrer que l applicatio Φ : S ]0, ] est bijective. 3 Soit s = q i S. Motrer que Φs Q si et seulemet si s est statioaire. Exercice 69. Développemet asymptotique Motrer qu il existe C R tel que l Prouver : l 3 l t dt C l t= t + l Prouver : l = l + C + l + o l = l + C + o. t= l t dt. t Exercice 70. Soit u ue suite de complexes telle que u u l C. Motrer que u u l l. Exercice 7. Soit u ue suite de complexes qui coverge au ses de Césaro vers zéro. Étudiez la suite de terme gééral v = u Exercice 7. Cetrale MP 000 Soiet deux suites de termes gééraux u et v défiies par la doée de u et v, tous deux réels, et les relatios : u + = u Motrer que ces suites sot défiies et borées.. v +, v + = v + u +. umériques.tex page 7

8 Exercice 73. Produits ifiis, Polytechique 000 O cosidère ue suite a de réels et o défiit P N = N = + a et S N = N = a. O suppose que pour tout, a 0. a Motrer que, pour tout N, + S N P N e S N. b Comparer les covergeces respectives des suites S N et P N. O suppose maiteat que pour tout, a 0. a La relatio précédete est-elle ecore vérifiée? b Discuter de la covergece des suites S N et P N. 3 O suppose que a est de sige quelcoque et que pour tout, + a > 0. O suppose de plus que la série a coverge. Motrer que P N a ue limite et que cette limite est ulle si et seulemet si a diverge. 4 Complémet. O suppose que la suite a est complexe, que pour tout, a < et que la série a est covergete. a Motrer que = + a existe, puis que = + a existe. O pourra démotrer et utiliser l iégalité N = + a N = + a. b Motrer que = + a est pas ul. Exercice 74. Polytechique MP 00 Trouver les foctios f : [0, ] R cotiues vérifiat : x [0, ], fx = = Exercice 75. ENS Cacha MP 005 Soit P = max{p premier, p }. Motrer que P coverge. Exercice 76. cos z [, ] Quels sot les complexes z tels que cos z [, ]? Exercice 77. lim + z/ Soit z C. Motrer que + z ez. Exercice 78. Iégalité Soit z C. Motrer que e z e z z e z. fx. Exercice 79. Iégalité, Polytechique MP 006 Soit z = x + iy C avec x, y R et x 0. Motrer que ez ex. Que dire e cas d égalité? z x Exercice 80. Morphismes R, + C, Soit f : R C telle que : x, y R, fx + y = fxfy. Si f est dérivable, motrer qu il existe λ C tel que : x R, fx = e λx. Obteir le même résultat si f est seulemet supposée cotiue predre ue primitive, F, de f et motrer qu elle est de classe C. Exercice 8. e z = z Motrer qu il existe ue ifiité de complexes z tels que e z = z o calculera x e foctio de y, et o étudiera l équatio obteue. Exercice 8. Équatios trigoométriques Résoudre das C : cos z =. ch z =. 3 si z + si jz + si j z = cos z + 4i si z = 7 + 5i. Exercice 83. cos et si sur le cercle uité Calculer sup{ cos z tq z } et sup{ si z tq z }. umériques.tex page 8

9 Exercice 84. Courbes Soiet M, M deux poits du pla d affixes z = x + iy et z = x + iy. O suppose que z et z sot liés par la relatio : z = e z. Étudier la courbe décrite par M lorsque M décrit : a ue droite x = cste. b ue droite y = cste. c ue droite quelcoque. Repredre les questios a et b avec z = cos z. Exercice 85. Cetrale MP 00 Résoudre das M C : expm = i + i. 0 i Exercice 86. Famille o sommable Soit a N ue suite de réels positifs telle que a 0 et N a = +. Motrer que pour tout réel x 0, il existe X N tel que X a = x. Exercice 87. Famille sommable, Cetrale 05 Soit N. O ote u = 0 si l écriture décimale de comporte au mois u chiffre égal à 9 et u = / sio. Soiet S = u u et T = S 0 + S 0. O ote A l esemble des etiers [[0, 0 + ]] tels que u 0. Écrire e Pytho les foctios doat u, S, T. Doer S 999, S 9999, T et T 3. Motrer que u coverge. 3 Nous allos chercher à approcher = u. a Motrer que T + = 8 l=0 A u 0+l. b Motrer que 9 0 T 36 0 T + T + 9 c E déduire u ecadremet de S = 0T. = u. umériques.tex page 9

10 solutios Exercice. e DV. α α eα CV ssi α <. 3 3 CV. 4 CV. 5 3 CV. 6 cv ssi a =. 7 Série alterée CV. 8 Série alterée CV. 9 Harmoique + alterée DV. 0 d Alembert CV.! +! +! + + CV. = + + O CV. 3 Décompositio e 3 séries alterées CV. 4 = 8 + O 3/ DV. 5 Regroupemet de termes DV. 6 Regroupemet par paquets + CSI CV. 7 / 0 DV. 8 = l l CV. Exercice. P = C. Exercice 3. = + O + coverge. Exercice 4. u = α/ 3α/ + o 3α/, il y a covergece ssi α > 3. Exercice 5. Effectuer u développemet asymptotique pour les deux premières. Elles coverget si et seulemet si α >. La troisième diverge par comparaiso série-itégrale. Exercice 6. u + u ab et u u Exercice 8. =, S ab doc il y a covergece si ab <. Exercice 9. par comparaiso série-itégrale. Cotre-exemple pour : u = e + e, S = e +, ft = t + lt +. umériques.tex page 0

11 Exercice 0. + = pour 3. Doc S = = + + =N+ + R N avec 4 3N 3 R N 0 et =N+ = N + NN +. Pour N = 5 o obtiet : < S < Exercice. Si u et v coverget alors u doc u v /. Alors les suites u et v sot de carrés sommables tadis que la suite u v est pas sommable, c est absurde. Si u diverge o e peut rie dire : avec u = o a v covergete tadis qu avec u = o a v divergete. Exercice 3. u u = + a... + a l + a... + a = l. + + u =. Exercice 4. Regroupemet de termes par valeur costate de p a p Exercice 6. v = O 3/ CV. Exercice 7. Série alterée. Exercice S p p + S p+ = S p p +! S p = pp! l 3. 6 l. 7 l si α α. 8 α cotaα e. 0 x p p+ pour x < par récurrece. x x x si x <, si x >. x S = q=0 r= S = q=0 r q + rq + r + = q q + q + q=0 r= r q + r = lim N N+ = p= 0p 0 p a p = 9 a 0. r q + r +. N+ = l. umériques.tex page

12 Exercice 9. Si + est pas u carré alors u = 0 doc = u = = u = = 3 4. Exercice 0. y = e x a cos x + b si x, y = e x si x + e x cx + d. u = e π e π +, =0 u =. Exercice. π 3 3. Exercice = s = l. Exercice 3. a =, b =, S = l. Exercice 4. ta s = + par récurrece et s Exercice 5. a =. Sa arcta+a arcta π a + +arcta +arcta +...+arcta Sa +. a + Exercice 6. Le déport maximal etre la première pièce et la derière pour ue pile de pièces est e diamètre d ue pièce. Il dépasse pour > 4. Exercice 7. Lorsque o a : = / = l + γ + o, d où j l j + γ + o < j + / j. Ceci prouve que l j = j γ + o et doc j+ / j e. j Exercice 8.. ll. Exercice 9. u l CV. Exercice Exercice 3.. Exercice 33. T + T = + l + = S + S = + l dt t= t < 0 = + t= t t dt > 0. umériques.tex page

13 Exercice 34. u, = [ ], doc v = u, foctio ϕ : t t [ ] est Riema-itégrable sur [0, ], doc v t Calcul de I : I = t=/ est ue somme de Riema pour I = t=0 I. t [ ] dt = l / t t=/+ dt = l t [ ] dt. La t + γ = I. Exercice 35. Comparaiso série-itégrale : u l. Comparaiso série-itégrale ecore v est la somme des aires etre les rectagles aux poits etiers et la courbe de t lt/t. 3 v l = = Doc v l + t= Exercice 36. = + l t dt t= t l t dt l t. l + = = + w avec w l. + = + + l. Exercice S + l + S S +. Pour = 60 : < S < l Exercice 39. Si u 0, alors v u ; sio, v 0. Exercice 40. r r. Exercice 4. O remarque déjà que u i diverge car u U α U α. O calcule u par parties : u = U U = U Comme U αu, terme gééral strictemet positif d ue série divergete, o a U α d où : + α u U et : u u U + α u Exercice 4. S = u u = S + S 0 + S. U α + α. Exercice r = u u + avec u = r r doc r = r r = r r. De même, S = = r = r r + = r r = r r + r+ r. r = S S + et S décroît d où r = S = r r + r+ r = r + r r 3. u umériques.tex page 3

14 Exercice 44. p = u 0 0 doc la série de terme gééral l u diverge. S S Exercice 45. Méthode des rectagles : a a + a 0 dt a t=a + + t +. Si a a + la série doée diverge doc. Sio, elle diverge aussi car so terme gééral e ted pas vers 0. Exercice 46. = v = N u /< N u = v N u. Exercice 47. v + v = u. Si u coverge, v coverge aussi SP majorées et v l l = 0. Si u diverge et v coverge, alors v +, cotradictio. Exercice 48. v = u p= Exercice v + u v. p u CV. Exercice 50. Pour >, u + < doc u + > + e / Exercice 53. lv + lv = l doc la série diverge. { si a b + > 0, v + a b + + si a b + = 0, v = cste + b si a b + < 0, v bu + + au = 0 + bu + + b a u au 0 = 0 u = b u 0 b a. Exercice 54. La suite u est croissate doc ted vers l ]0, + ]. O a l fii si et seulemet si la série télescopique u+ u = a est covergete, soit si et seulemet si a >. u Pour a < o a u + = u + a + o a doc u + u a et u a sommatio des a relatios de comparaiso. Pour a = o a de même u l. Exercice 55. α > u cv et vaut ζα. α < N = u α u dv. Exercice 57. a a et a + a a 3. Exercice 59. Césaro. v 0 + v v = u 0 + u u v. Exercice 60. a M a = p M = p M t= dt t p = M p a = 0. umériques.tex page 4

15 Exercice 6. Démostratio pour x : x = 0, x = 0 impair x = 0. O retire les multiples impairs de 3 x 3 x 6 = 0 6= x = 0. O retire les multiples restats de 5, 7,... O obtiet aisi ue suite s p p premier ulle qui coverge vers x, doc x = 0. Peut-o se passer de la covergece absolue? Exercice 6. récurrece sur p. Trasformatio d Abel et iterversio de sommatios : p =0 v = p Thm de Césaro v = u. p+ + p =0 u. Exercice 63. u =+ u, u + + =+ u. ε > 0 : Pour suffisamet grad, u ε, doc u ε. Alors u / u ε + K. Exercice 64. TAF : x [R +, R ] tq R p C est p : Pour a =, A p =0 R p + = pr R + a R p x p = p p. p a R p. Doc, =0 a R p A p p. Exercice 65. u est croissate. Si la suite u coverge alors a = u u + u Mu + u doc les sommes partielles de a sot borées. Si a coverge, alors u + u = a a doc u + u coverge. u u 0 Exercice 70. Trasformato d Abel. Exercice 7. Trasformatio d Abel + découpage, v 0. Exercice 7. u + v u + v + et le produit ifii est trivialemet coverget. + Exercice 73. a + S N P N est plus triviale mais reste vraie par récurrece la différece est ue foctio décroissate de a. 3 La suite P N e S N est positive décroissate doc coverge, ce qui etraîe la covergece de P N. O a P N 0 ssi P N e S N 0 ssi la série de terme gééral l + a a a diverge. 4 a Démotrer l iégalité e développat les deux membres. Sachat que la suite P N est borée o e déduit qu elle est de Cauchy doc coverge. Exercice 74. O a fx = fx =. Soit a [0, [ et M a, m a le maximum et le miimum de f sur [0, a]. D après la relatio précédete, m a m a et M a M a doc e fait m a = m a et M a = M a. O e déduit f[0, a] = f[0, a ] =... = f[0, a ] =... = {f0}. Doc f est costate et réciproquemet les foctios costates covieet. umériques.tex page 5

16 Exercice 75. Soit p 0, p,... la suite croissate des ombres premiers et S = P. O a S = S i=0 p i = p p S, ce qui prouve que S est fii. La série demadée est S 0 + S S = S 0 + S p 0 p p 0 p. Motros que S p, ceci prouvera la covergece. C est vrai pour = 0 et =, et si c est vrai pour avec alors o obtiet S p p p p p p p p p. Remarque : o a e réalité S e γ lp où γ est la costate d Euler formule de Mertes. Exercice 76. cosx + iy = cos x ch y i si x sh y cos z [, ] si et seulemet si z R. Exercice 77. Mettre + z Exercice 78. Développemet e série. sous forme trigoométrique. Exercice 79. ez = ex + e x cos y z x + y. Après simplificatios, o est rameé à prouver que x cos y y ch x, ce qui est vrai car o peut caser x y etre les deux. Il y a égalité si et seulemet si y = 0. Exercice 8. e x+iy = x + iy x = y/ ta y, e y/ ta y = si y/y. Au voisiage de π +, e y/ ta y < si y/y poit plat et au voisiage de + π, e y/ ta y > si y/y limite ifiie. Exercice 8. z ±i l + 3 mod π. z iπ mod iπ. 3 z 0 mod π ou z 0 mod jπ { ou z 0 mod j π. 4 6e iz 7 + 5ie iz e + = 0 iz = + i : z π/4 i l mod π e iz = i/6 : z π/4 i l /6 mod π. Exercice 83. cosx + iy = cos x + sh y = ch y si x sup = ch. six + iy = si x + sh y = ch y cos x. à x fixé, le module augmete avec y, doc le maximum est atteit au bord du disque. ϕθ = si cos θ + sh si θ ϕ θ = si θ sh si θ si θ si cos θ sup = sh. cos θ Exercice 85. Si x est vecteur propre de M il l est aussi de expm doc x = e et la valeur propre associée est α C tel que e α = i α = l + i π + π, Z. O a doc M = α β e, expm = α e α β 0 α 0 e α d où β = i. umériques.tex page 6

17 Exercice 87. E Maple : u := proc local i; i := ; while i > 0 ad i mod 0 <> 9 do i := iquoi, 0 ed do; if i > 0 the 0 else / ed if ed proc O a das [0, + [ : 0 u = = A u = carda /0 = = = 7. Les etiers de A ot u chiffre de tête compris etre et 8 et les chiffres suivats compris etre 0 et 9, d où carda { = 8 9. Le derier majorat état fii, la série coverge. A [[0, 8]] A + 3 a L applicatio : est bijective., l 0 + l b Pour, l A [[0, 8]] o a u 0 = u u 0 0 u 0+l u 0+8 = + 8/0 u 0 + 8/0 +. E sommat sur, l, o obtiet 9 0 T + 8/0 + T T ce qui doe l ecadremet demadé sachat que 8/ /0 +. c = T = T + = T = T. O e déduit S S 9 S S S S 9, soit 000S S 9 S 0S 99 9S Numériquemet, 7 S Mieux e sommat à partif de = : S S 99 S S S S 99, soit 0000S S 99 S 0S 999 9S 99. Numériquemet,.3 S umériques.tex page 7

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

Plus en détail

Planche n o 6. Séries numériques. Corrigé

Planche n o 6. Séries numériques. Corrigé Plache o 6 Séries umériques Corrigé Exercice o Pour, o pose u l ère solutio u l ++, u existe + + + l + +O +O O Comme la série de terme gééral,, coverge série de Riema d exposat α >, la série de terme gééral

Plus en détail

TD n o 1 : suites numériques

TD n o 1 : suites numériques MAT232 : séries et itégrales gééralisées Uiversité Joseph Fourier 23-24 Greoble TD o : suites umériques Rappel importat : il existe u cours de L e lige, ititulé M@ths e Lge, à l adresse : http://ljk.imag.fr/membres/berard.ycart/mel/

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k. Exo7 Suites et séries de foctios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne.

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne. 1 Séries umériques Das toute cette sectio, si cela est pas précisé, E désigera l espace R m, m 1, et la orme euclidiee. 1.1 Gééralités Défiitio 1.1. Soit (x ) N ue suite de E et pour chaque N, o défiit

Plus en détail

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004 3 octobre 2004 Exemple 2. O se doe a I et q C(I, K). L équatio différetielle liéaire : y (x) q(x) y(x) = 0 avec les coditios y(a) = α, y (a) = β SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS PC*2 3 octobre 2004 Admet

Plus en détail

TD 2 : Suites numériques réelles

TD 2 : Suites numériques réelles Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge

Plus en détail

Feuille d Exercices : Suites, suite!

Feuille d Exercices : Suites, suite! ECS 1 Dupuy de Lôme Semaie du 6 décembre 004 Feuille d Exercices : Suites, suite! Exercice 1 : Pour tout etier, o défiit u = 1. Motrez que u est mootoe.. Motrez que v est géométrique. k= 3. E déduire l

Plus en détail

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 202/203 ANALYSE 2 Fiche de Mathématiques 4 - Séries umériques Soit E u espace vectoriel sur le corps K = R ou C Pour toute famille fiie

Plus en détail

Compléments sur les suites Suites adjacentes

Compléments sur les suites Suites adjacentes DERNIÈRE IMPRESSION LE 7 février 07 à 6:3 Complémets sur les suites Suites adjacetes I Ecadremet d ue suite EXERCICE ) Motrer que pour tout k N et pour tout x [k ; k+], o a : k+ k+ k x dx k ) O pose u

Plus en détail

1 Propriétés - Suites monotones

1 Propriétés - Suites monotones Uiversité d Aix-Marseille Licece de Mathématiques Semestre 06-07 Aalyse Plache - Suites umériques Propriétés - Suites mootoes Exercice Soiet les suites défiies, pour tout, par u = et v = Vérifier qu elles

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 SESSION 22 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE ENSI FILIERE MP MATHEMATIQUES EXERCICE : ormes équivaletes. Soit f E. f est de classe C sur [,]. Doc la foctio f est cotiue sur le segmet [,] et par suite la foctio

Plus en détail

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes UE7 - MA5 : Aalyse SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes I. Gééralités Défiitio Etat doée ue suite (u ) de ombres réels ou complexes, o appelle série de terme gééral u la suite (S ) défiie par : () S

Plus en détail

Feuille 2 : Séries numériques.

Feuille 2 : Séries numériques. Feuille 2 : Séries umériques. Master Eseigemet Spécialité Maths Coseils O accordera ue importace toute particulière aux démostratios des théorèmes du cours. Certais exercices de cette feuille sot ispirés

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés Séries umériques Nature de séries umériques Exercice [ ] [Correctio] Détermier la ature des séries dot les termes gééraux sot les suivats : a

Plus en détail

Analyse 5 SUITES REELLES

Analyse 5 SUITES REELLES Aalyse chap 5 /6. GENERALITES SR LES SITES. Défiitios Défiitio : e suite est ue foctio, défiie sur ue partie D de. O ote () =, o lit «idice». O dit que est le terme gééral de la suite, ou terme de rag.

Plus en détail

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Séries etières Cotets. Gééralités sur les séries etières 2.. Défiitio

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) une suite décroissante de réels telle que

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) une suite décroissante de réels telle que [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 7 août 07 Eocés Calcul asymptotique Comparaiso de suites umériques Eercice [ 08 ] [Correctio] Trouver u équivalet simple au suites u suivates et doer leur limite :

Plus en détail

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann Corrigé du problème: autour de la foctio zeta alterée de Riema I Gééralités Pour x >, la suite décroît vers, doc la série coverge par le critère spécial des séries alterées Pour x, e ted pas vers, ce qui

Plus en détail

S n = u u n. S = u k. k=0

S n = u u n. S = u k. k=0 Chapitre 3 Séries umériques 3. Défiitios et exemples 3.. Défiitios Défiitio 3.. Soit (u ) ue suite réelle. O lui associe (S ) ue ouvelle suite défiie par S = u 0 + + u. O appelle série de terme gééral

Plus en détail

Concours commun Mines-Ponts 2000 Corrigé de la seconde épreuve de mathématiques

Concours commun Mines-Ponts 2000 Corrigé de la seconde épreuve de mathématiques Cocours commu Mies-Pots Corrigé de la secode épreuve de mathématiques a Nous pouvos appliquer le critère de d Alembert : doc le rayo R est égal à /4 C+ + + + C = + 4, + b O sait que h est de classe C avec

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1 Etudier la mootoie des suites a ) 0 défiies par : a) a = b) a = + 1) + ) + ) c) a =! d) a = α + 1) α réel positif) Soit a, la suite de terme gééral a = 3 + 1 3 + Trouver

Plus en détail

Exercices corrigés sur les séries de fonctions

Exercices corrigés sur les séries de fonctions Eercices corrigés sur les séries de foctios Eocés Eercice Motrer que la série ( ) est uiformémet covergete mais o ormalemet covergete sur [, ] Eercice 2 Étudier la covergece sur R + de la série de foctios

Plus en détail

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques Uiversité Deis Diderot (Paris VII) 006-007 MP 3 Quelques exercices corrigés Suites et séries umériques Das les pages qui suivet ous proposos la correctios de quelques exercices de la feuille sur les suites

Plus en détail

Suites numériques 1 / 12 A Chevalley

Suites numériques 1 / 12 A Chevalley MT8 A 03 Suites umériques Aleth Chevalley. Rappels.. Défiitio O appelle suite umérique réelle, toute applicatio f : ϒ qui à tout etier aturel, fait correspodre le ombre réel f() et o désige la suite par

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 SESSION 2005 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES PREMIER EXERCICE a. T (x + y dxdy = = ( y= (x + y dy y= x dx = ((x + 2 ( x2 + x2 2 dx = T (x + y dxdy = 4 3. [xy +

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs Séries à termes positifs Das toute la suite N désigera les etiers aturels positifs 0,,,..., Z tous les etiers aturels...,,, 0,,, 3,... et Q les ombres ratioels. Efi R désigera les réels, et C les complexes.

Plus en détail

Limites de suites et de fonctions

Limites de suites et de fonctions TermS Limites de suites et de foctios I ] Suites ) Défiitio : Ue suite réelle est ue foctio de! das!, défiie à partir d'u certai rag 0. Notatio : u = lire "u idice " = terme d'idice, ou de rag = terme

Plus en détail

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 206 Eocés Etude asymptotique de suites de solutios d ue équatio Exercice [ 02289 ] [Correctio] Soit u etier aturel et E l équatio x + l x = d icoue x R +.

Plus en détail

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites numériques

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites numériques L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites umériques Eocés Exercice Les assertios suivates sot-elles vraies ou fausses? Doer ue démostratio de chaque assertio vraie, et doer u cotre-exemple de chaque

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

Suites de réels. Contents. 1 Retenez au moins ça 3

Suites de réels. Contents. 1 Retenez au moins ça 3 Suites de réels Cotets 1 Reteez au mois ça 3 Bore supérieure 3.1 Déitios.......................................... 3.1.1 Relatio d'ordre sur u esemble E....................... 3.1. Ordre total.....................................

Plus en détail

Ensembles et nombres réels

Ensembles et nombres réels Pierre-Louis CAYREL 008-009 Licece Itroductio aux Mathématiques Géérales Uiversité de Paris 8 Esembles et ombres réels Esembles Exercice O pose A = {(x, y) R ; y > x } et B = {(x, y) R ; y < x } Représeter

Plus en détail

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE. Exercice. Ue suite de réels positifs qui coverge vers 0 est décroissate à partir d u certai rag. C est faux. Pour costruire u cotre-exemple, o pourrait cosidérer

Plus en détail

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie A CORRIGE DE LA ère COMPOSITION DE MATHEMATIQUES Eercice. Calculer, e, la dérivée de : Arc ta( ) Soit f ( ) Arc ta( ), alors f ( ) Arc ta( )

Plus en détail

Cours de Mathématiques : Polynômes et Suites

Cours de Mathématiques : Polynômes et Suites Uiversité de Cergy-Potoise Départemet de Mathématiques L MIPI - S2 205/206 Cours de Mathématiques : Polyômes et Suites - Polycopié d Exercices Chapitre : Nombres complexes Exercice a) Détermier la partie

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs UFR SFA, Licece 2 e aée, MATH326 Séries à termes positifs Das ce chapitre, u Ø 0, pour tout, et o étudie q u. O a S S = u Ø 0 : (S ) est croissate!. Gééralités. Propositio. Soit (u ) Ø0 ue suite de réels

Plus en détail

TD1 - Suites numériques

TD1 - Suites numériques IUFM du Limousi 2008-09 PLC1 Mathématiques S. Viatier Exercices TD1 - Suites umériques Exercice 1 Soit α > 0, étudier la covergece des suites déies par u = ( ) 1 + si α, v = 3 + cos α ( ) 1 + α. 3 + Idicatio

Plus en détail

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin MVA101 - Aalyse et calcul matriciel 2012 2013 T. Horsi (thierry.horsi@cam.fr) Attetio: Ce documet est ue base de travail qui peut coteir des coquilles. Les zoes e bleus sot, de loi, hors programme, et

Plus en détail

Correction du TD 3 : Séries numériques

Correction du TD 3 : Séries numériques Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques Correctio du TD : Séries umériques Exercice A chaque fois, puisqu'o demade la covergece et la valeur, o reviet à la somme partielle : esuite, soit o recoaît

Plus en détail

Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques et géométriques «I» : Suites arithmétiques 1/ Défiitio Suites arithmétiques et géométriques La suite (u ) est arithmétique de raiso r sigifie que : Pour tout etier aturel : u +1 = u + r Exemple : La suite ( ; 5 ; 8 ;

Plus en détail

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I SESSION 9 Cocours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mathématiques B PSI Exercice I ) rga) 3 < 4 et doc A / GL 4 R) Par suite, est valeur propre de A ) Soit U Puisque la somme des coefficiets

Plus en détail

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n.

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n. Lycée secodaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math Exercice Das chacu des cas suivats, calculer la limite de la suite ( U ) lorsque + ) U = 3 + ; ) U = si π =

Plus en détail

Révisions d analyse (corrigé des indispensables).

Révisions d analyse (corrigé des indispensables). Révisios d aalyse (corrigé des idispesables). Limites des foctios de variable réelle à valeurs das ou.. a. La foctio f est le produit d e foctio borée sur ( a si ) et d e foctio qui ted vers 0 e 0 ( a

Plus en détail

Cours de mathématiques P.S.I.*

Cours de mathématiques P.S.I.* Cours de mathématiques PSI* D'après les cours de M Guillaumie Heriet Queti Séries umériques Das tout le chapitre, K désige le corps R ou C, et o désige par u ue suite de K Gééralités Vocabulaire Défiitio

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Comparaiso des suites Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

1 Séries numériques COURS L2, SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES =?

1 Séries numériques COURS L2, SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES =? COURS L2, 200-20. SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES Séries umériques. série géométrique et série téléscopique + 2 + 4 + 8 + 6 +? Figure. quelle est la logueur? Soit q > 0 (das l exemple ci-dessus q

Plus en détail

Corrigé feuille d exercices 4

Corrigé feuille d exercices 4 UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Aée 008/009 MIME LM5-Suites et Itégrales Groupes Corrigé feuille d exercices Suites Covergece de suites Exercice Ue suite u N est pas croissate, si o N, u + u est vérifiée

Plus en détail

C.B. Analyse : solutions

C.B. Analyse : solutions l( ) ) La foctio f C.B. Aalyse : solutios Partie I : Etude de la foctio L a) Par théorème géérau, f est de classe C sur ], [ {}. E, o motre simultaémet les deu propriétés e obteat u D.L. de f e. O sait

Plus en détail

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite Eseigemet spécifique Chapitre 1. Les suites umériques Pricipe de récurrece Limite d ue suite I. Rappels sur les suites umériques 1. géérale Ue suite umérique est ue foctio défiie de N vers R, elle peut

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Eocés Calcul de limites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la limite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = +

Plus en détail

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 43 Chapitre 4: Croissace, divergece et covergece des suites 4.1 Quelques défiitios Défiitios : Ue suite est croissate si chaque terme est supérieur ou égal à so précédet

Plus en détail

Séries entières. Préparation au Capes de Mathématiques

Séries entières. Préparation au Capes de Mathématiques Séries etières Préparatio au Capes de Mathématiques I - Covergece des séries etières Notatios Pour tout élémet r de R +, o ote D r = fz 2 C / jzj < rg et D r = fz 2 C / jzj rg Déitio 1 O appelle série

Plus en détail

3. Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction suivante. On précisera le rayon de convergence de la série obtenue. x ln(1 + x 2x 2 ).

3. Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction suivante. On précisera le rayon de convergence de la série obtenue. x ln(1 + x 2x 2 ). Colle PC Semaie 3 0-03 Séries Etières Voir : http://www.mimaths.et/img/pdf/s5.pdf http://www.mimaths.et/img/pdf/sem5.pdf EXERCICE :. Doer u exemple de série etière de rayo de covergece π.. Détermier le

Plus en détail

Suites numériques. 1 Questions de cours. 3 Exercices. 2 Applications. 1. Montrer que toute suite a au plus une limite.

Suites numériques. 1 Questions de cours. 3 Exercices. 2 Applications. 1. Montrer que toute suite a au plus une limite. Suites umériques 1 Questios de cours 1. Motrer que toute suite a au plus ue limite.. Motrer que toute suite covergete est borée. 3. Motrer que toute suite extraire d ue suite tedat vers l R ted aussi vers

Plus en détail

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )]

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )] PC - DS N 6 - U corrigé Questios de cours QC..a L assertio a. est fausse. Par exemple, la suite + ted vers 0, alors que la série harmoique + est divergete. QC..b L assertio b. est vraie. Supposos que la

Plus en détail

4 ème aée Maths Limites Cotiuité et dérivabilité Octobre 9 A LAATAOUI Eercice : La figure ci cotre est la représetatio graphique d ue foctio f défiie et cotiue sur IR O ote que (ζf) admet au voisiage de

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propriété P() dépedat de l idice Si les propositios ()

Plus en détail

Séries Numériques. Chapitre Suites Numériques Définitions

Séries Numériques. Chapitre Suites Numériques Définitions Chapitre Séries Numériques Suites Numériques Défiitios Ue suite umérique est ue applicatio de N (ou d ue partie de N) à valeurs das R ou das C O la ote u(), ou u, et o désige la suite (c est-à-dire l applicatio)

Plus en détail

Cours de Mathématiques Séries numériques ou vectorielles Sommaire

Cours de Mathématiques Séries numériques ou vectorielles Sommaire Sommaire Sommaire I Gééralités sur les séries......................... 2 I. Espace vectoriel des séries, Sous-espace des Séries covergetes.... 2 I.2 Critère de Cauchy. Espace des séries ormalemet covergetes....

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Valeurs absolues. Partie etière. Iégalités Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très

Plus en détail

Chapitre : Séries numériques.

Chapitre : Séries numériques. ESI. Math. 009/00. Chapitre : Séries umériques. Itroductio géérale: Le but de ce chapitre est de défiir ce qu est ue série umérique et ce que veut dire qu elle coverge, o doera otamet u ses à ue somme

Plus en détail

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques

Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques Eo7 Calculs de limites, développemets limités, développemets asymptotiques Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee ****

Plus en détail

Suites de variables aléatoires.

Suites de variables aléatoires. Uiversité Pierre et Marie Curie 200-20 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 8 Suites de variables aléatoires.. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Détermier pour chacue des covergeces suivates

Plus en détail

Concours Commun des Mines 1. MATHÉMATIQUES Première épreuve. Options M et P. ( 1) k ζ(k)x k k

Concours Commun des Mines 1. MATHÉMATIQUES Première épreuve. Options M et P. ( 1) k ζ(k)x k k Cocours Commu des Mies MATHÉMATIQUES Première épreuve. Optios M et P Objet du problème : Etude de la foctio F défiie par : Coaissaces requises : Séries umériques. Itégrales gééralisées. Séries de foctios,

Plus en détail

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Les ratioels, les réels Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Les suites récurrentes à convergence lente

Les suites récurrentes à convergence lente Les suites récurretes à covergece lete Daiel PERRIN 0. Itroductio. Je me propose d écrire ue sorte de bila sur la covergece des suites u + = f(u ), avec f de classe C au mois, vers u poit fixe α, das le

Plus en détail

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1 Correctio Exercice 1 O cosidère la suite (v ) défiie par v 0 = 3 et pour tout 1, v +1 = v 2 3v +4. 1. Démotrer que la suite est croissate. v +1 v = v 2 4v +4 = (v 2) 2 0 quelque soit etier. Doc (v ) est

Plus en détail

CHAPITRE II. - Séries à termes réels positifs ou nuls. III-Séries - à termes quelconques. Définition.

CHAPITRE II. - Séries à termes réels positifs ou nuls. III-Séries - à termes quelconques. Définition. CHAPITRE II Séries umériques I II - Défiitios et propriétés géérales - Séries à termes réels positifs ou uls III-Séries - à termes quelcoques I-Défiitios et propriétés géérales Défiitio. Soit (u N ue suite

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 07 Eocés Calcul de ites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la ite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = + + d u =

Plus en détail

EXERCICES MPSI B 2. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 16/17 GÉNÉRALITÉS

EXERCICES MPSI B 2. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 16/17 GÉNÉRALITÉS EXERCICES MPSI B. SUITES : étude asymptotique R. FERRÉOL 6/7 GÉNÉRALITÉS. :. : 3. * : (a) Soit (u ) ue suite e preat que les valeurs 0 ou dot la limite est 0 ; démotrer e utilisat la défiitio de la limite

Plus en détail

1. Convergence des Séries Numériques

1. Convergence des Séries Numériques Séries umériques 8 - Sommaire. Covergece des Séries Numériques.. Nature d ue série umérique.......2. Séries géométriques............ 2.3. Coditio élémetaire de covergece. 2.4. Suite et série des différeces.......

Plus en détail

Chap2 Les suites : Raisonnement par récurrence limites de suites

Chap2 Les suites : Raisonnement par récurrence limites de suites I Rappels de première Chap2 Les suites : Raisoemet par récurrece limites de suites II Suites majorées, miorées, borées Défiitios : O dit qu ue suite ( u ) est majorée lorsqu il existe u réel M tel que

Plus en détail

Analyse mathématique II

Analyse mathématique II UNIVERSITÉ IBN ZOHR Faculté des Scieces Juridiques Écoomiques et Sociales Corrigés des QCM Aalyse mathématique II FILIÈRE SCIENCES ÉCONOMIQUES ET GESTION PREMIERE ANNÉE Sessio ormale 03/04 40 questios

Plus en détail

Module et argument. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

Module et argument. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Eocés 1 Module et argumet Exercice 1 [ 0030 ] [correctio] Détermier module et argumet de z = + + i Exercice 8 [ 0646 ] [correctio] Si x, y, z) R 3

Plus en détail

Z = 1 4i. z = On multiplie par le conjugué du dénominateur S = 5. = b + i. z 2 = z 1. 2 = 3 i 2. = 6 + 2i 4. { 3 + i. 2 ; 3 i }

Z = 1 4i. z = On multiplie par le conjugué du dénominateur S = 5. = b + i. z 2 = z 1. 2 = 3 i 2. = 6 + 2i 4. { 3 + i. 2 ; 3 i } Nom :........................ DS Préom :..................... Devoir o 7 Mars 6.../... Le soi et la rédactio serot pris e compte das la otatio. Faites des phrases claires et précises. Le barème est approximatif.

Plus en détail

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel,

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel, Exercices aales corrigés : Suites Sujet atioal septembre 007 ( bac blac 008) La suite u est défiie par : = et = pour tout etier aturel a O a représeté das u repère orthoormé direct du pla doé ci-dessous,

Plus en détail

Chapitre 5 : Suites classiques

Chapitre 5 : Suites classiques Chapitre 5 : Suites classiques Objectifs : Révisios sur les suites arithmétiques et géométriques. Révisio du théorème de croissace comparée. Savoir exprimer e foctio de les termes d ue suite récurrete

Plus en détail

BA + DB. Métropole La Réunion septembre 2008

BA + DB. Métropole La Réunion septembre 2008 étropole La Réuio septembre 008 EXERCICE 4 poits Commu à tous les cadidats Das ue kermesse u orgaisateur de jeu dispose de roues de 0 cases chacue. La roue comporte 8 cases oires et cases rouges. La roue

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. 2) (**) n + 2 n. 1 pn

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. 2) (**) n + 2 n. 1 pn Exo7 Séries Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice Nature

Plus en détail

( 2) e x. x + d x. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

( 2) e x. x + d x. Donner une interprétation graphique de cette intégrale. EXERCICE : (6 poits) Commu à tous les cadidats Les deux parties de cet exercice sot idépedates. Partie A O cosidère l équatio différetielle (E) : y ' + y e x. ) Motrer que la foctio u défiie sur l esemble

Plus en détail

Exercice 8 [ ] [Correction] Soit α R. Quel est le rayon de convergence de n 1 cos(nα)

Exercice 8 [ ] [Correction] Soit α R. Quel est le rayon de convergence de n 1 cos(nα) [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 26 Eocés Séries etières Calcul de rayo de covergece cocret Exercice [ 97 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece des séries etières : Exercice 6

Plus en détail

Exercices sur les fonctions trigonométriques réciproques

Exercices sur les fonctions trigonométriques réciproques Eercices sur les foctios trigoométriques réciproques O cosidère la foctio f défiie par f Arcta ) Détermier l esemble de défiitio D de f ) Simplifier l epressio de f pour D Idicatio : Poser y Arccos Soit

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice 1 - Loi d u dé truqué - Deuxième aée - 1. X pred ses valeurs das {1,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque

Plus en détail

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN Das ce qui suit, o utilisera des argumets élémetaires et o e suppose aucue coaissace des foctios exp et l Ce qui suit sert à les défiir comme

Plus en détail

Développements limités

Développements limités [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 0 juillet 04 Eocés Développemets limités Calcul de développemets limités Eercice [ 0447 ] [correctio] Détermier les développemets limités suivats : a) DL 3 (π/4)

Plus en détail

Exercices d Analyse (suite)

Exercices d Analyse (suite) Uiversité de Poitiers Aée 202-203 M EFM Eercices d Aalyse (suite) Eercice Soiet (u ) 2 défiie par u =. Motrer que (u ) 2 est covergete. cos( π 2 k) et v = u si( π 2 ). 2. Motrer que (v ) 2 est ue suite

Plus en détail

Développement en série de Fourier

Développement en série de Fourier [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Eocés Développemet e série de Fourier Exercice [ 95 ] [Correctio] Soit f ue foctio cotiue périodique. O suppose que la série de Fourier de f coverge

Plus en détail

Bac blanc TS Non spécialité maths L usage de la calculatrice est autorisé

Bac blanc TS Non spécialité maths L usage de la calculatrice est autorisé Bac blac TS No spécialité maths L usage de la calculatrice est autorisé EXERCICE : (5 poits) Le pla complee est rapporté au repère orthoormal direct (O ; u, v ) O cosidère le poit I d affie i et le poit

Plus en détail

LIMITES DE SUITES. n ) u n = 2 n pour n IN 5 ) u n = 2n + 1 n - 5 pour n ³ 6 6 ) u n = (-1)n pour n IN

LIMITES DE SUITES. n ) u n = 2 n pour n IN 5 ) u n = 2n + 1 n - 5 pour n ³ 6 6 ) u n = (-1)n pour n IN LIMITES DE SUITES I Limites fiies ou ifiies Exercice 1 Pour chacue des suites, e calculat différets termes, cojecturer la valeur limite de u quad deviet ifiimet grad (c'est-à-dire quad ted vers + ). 1

Plus en détail

Exercices. Limites de suites. Limite d une suite Dans les exercices suivants, déterminer la limite de la suite (u n ) en précisant le théorème

Exercices. Limites de suites. Limite d une suite Dans les exercices suivants, déterminer la limite de la suite (u n ) en précisant le théorème Exercices Limites de suites Exercice Limite d ue suite Das les exercices suivats, détermier la limite de la suite (u ) e précisat le théorème utilisé. ) u = + + + + ) u = cos(), N 3) u = + cos 4 3 4) u

Plus en détail

D.S. nº4 : Suites, Probabilités, Complexes, exponentielle. Samedi 15 décembre 2012, 3h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à rendre avec la copie.

D.S. nº4 : Suites, Probabilités, Complexes, exponentielle. Samedi 15 décembre 2012, 3h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à rendre avec la copie. D.S. º4 : Suites, Probabilités, Complexes, expoetielle TS1 Samedi 15 décembre 01, h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à redre avec la copie. Nom :.................... Préom :................. Commuicatio

Plus en détail

1 Séries trigonométriques

1 Séries trigonométriques Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, / ANALYSE Fiche de Mathématiques 9 - Séries de Fourier Séries trigoométriques Défiitio O appelle série trigoométrique toute série dot le

Plus en détail

Suites numériques. I/ Définition, propriétés globales Résumé du cours de MPSI

Suites numériques. I/ Définition, propriétés globales Résumé du cours de MPSI Ξ 2 Suites umériques 2016-2017 Résumé du cours de MPSI I/ Défiitio, propriétés globales 1/ Défiitio Ue suite de complexes u est ue applicatio de N das C Notatios : L'image d'u etier par u se ote u( ou

Plus en détail

M1 MEEF PRÉPARATION À L ÉCRIT DU CAPES DE MATHÉMATIQUES ANALYSE

M1 MEEF PRÉPARATION À L ÉCRIT DU CAPES DE MATHÉMATIQUES ANALYSE M1 MEEF PRÉPARATION À L ÉCRIT DU CAPES DE MATHÉMATIQUES ANALYSE Matthieu Fradelizi Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée 2015-16 2 Table des matières 1 Les esembles N, Q et R 5 1.1 Propriété fodametale de

Plus en détail