ACTIVITE SUR LA DETECTION DES EXOPLANETES PAR SPECTROSCOPIE. Correction

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1 Observatoire de Paris - Formation des professeurs /2007 ACTIVITE SUR LA DETECTION DES EXOPLANETES PAR SPECTROSCOPIE Correction C. Barban, LESIA/UFE, Formation des Professeurs, Observatoire de Paris (Caroline.Barban@obspm.fr) 6 Exercices 6.1 Le système étoile-planète Question: Indiquer sur la courbe rouge à quelle partie de cette courbe correspond le cas où l étoile est la plus proche de la Terre, celle où elle est la plus éloignée et les deux positions intermédiaires. Réponse: La vitesse est nulle lorsque la planète et son étoile (confondue avec le centre de gravtié G) sont sur la ligne de visée (2 cas: planète devant son étoile et planète derrière son étoile). La vitesse est minimale lorsque la droite formée par la planète et le centre de gravité (i.e. son étoile) est perpendiculaire la droite formée par G et l Observateur et lorsque la planète est à gauche de G; la vitesse sera maximale lorsque la planète sera à droite de G. 6.2 Analyse des données spectroscopiques qui ont permis la détection de l exoplanète 51 Peg b Questions: - Mesurer sur la sinusoïde qui représente le mieux les données la période, P, en jours et l amplitude, K, en m/s, de la sinusoide. P 4.2 jours K 57 m/s Attention pour la mesure de K, la sinusoïde est décalée par rapport à 0. La Figure 1 montre la courbe des variations de vitesse radiale obtenue par des chercheurs américains (Butler & Marcy). La période (P) et l amplitude (K) qu ils ont obtenues sont indiquées dans cette figure. 1

2 Figure 1: Variations de la vitesse radiale de 51 Peg au cours du temps obtenues par Marcy & Butler ( 6.3 Paramètres de l exoplanète II) Application de la troisième loi de Kepler: distance étoile-planète: Question: - En utilisant la troisième loi de Kepler, calculer la distance entre la planète et son étoile, sachant que la masse de l étoile 51 Peg a est de 0.95M. On donnera le résultat en unité astronomique (u.a.). avec: G = SI M = 0.95M P = jours a 3 = GM P 2 4π 2 a 0.5 u.a. III) Application de la troisième loi de Kepler: masse de la planète: Questions: - Etablir la relation ente les masses de la planète et de l étoile (M et m p ) et leurs distances par rapport au centre de gravité G (r et r p ). On utilisera la définition du centre de gravité du système. 2

3 M r = m p r p - En déduire l expression de la vitesse de l étoile, A, en fonction de m p, M, P et a qui est la distance entre l étoile et la planète. On fera l hypothèse que l étoile est confondue avec le centre de gravité donc r p a. On a pour un mouvement circulaire uniforme v = rω avec ω la vitesse angulaire et ω = (2π)/P. Ici v = A d où: Comme: A = 2πr P On en déduit: M r = m p r p A = 2πm pr p = 2πm pa - Utiliser la 3ème loi de Kepler pour déterminer l expression de m p sin i en fonction de K, M et P. On négligera la masse de la planète devant celle de l étoile. P 2 a 3 = 4π2 GM A = 2πm p ( GM P 2 4π 2 ) 1/3 K = A sin i = 2πm p sin i ( GM P 2 4π 2 ) 1/3 m p sin i = K (2πGM P 2 ) 1/3 m p sin i = KM 2/3 ( P 2πG )1/3 - Calculer m p sin i pour la planète de 51 Peg. On présentera le résultat en masse de Jupiter. K = m/s P = jours M = 0.95 M M J = kg m p sin i = ( ) 2/ ( 2 π )1/3 m p sin i 0.4 M J 3

4 6.4 Limitations de la méthode de détection des exoplanètes par spectroscopie Questions: - Calculer la vitesse, A, de notre Soleil perturbé par: a) Jupiter A = m p (M ) 2/3(2πG P )1/3 A 13 m/s A = πG ( ) 2/3( 12ans )1/3 b) la Terre A = m p (M ) 2/3(2πG P )1/3 A 0.09 m/s A = ( ) 2/3(2πG 1an )1/3 - En 1995, la précision des instruments étaient de l ordre de 15 m/s, pouvait-on détecter des planètes telluriques à la même distance de l étoile que les planètes telluriques du système solaire? Et les planètes géantes? non pour les planètes telluriques et non pour les planètes géantes sauf si elles orbitent plus près de leur étoile! C est la cas de 51 Peg. - La précision actuelle des instruments est de l ordre du m/s (le spectrographe HARPS installé sur un télescope de 3m60 de l ESO à la Silla au Chili), peut-on maintenant détecter des planètes telluriques comme celles du système solaire? Cela ne permet toujours pas d accéder aux planètes telluriques comme celles du système solaire. - Pourquoi une planète comme Saturne dans notre système solaire ne pourra être détectée pas avant 2025? Car la période de révolution de Saturne est de 30 ans! Il faut acquérir des données au moins sur une période! - Cette méthode de détection comporte un biais. Elle favorise la détection de planètes ayant des priopriétés particulieres. Lesquelles? Cette méthode favorise la détection de grosses planètes qui orbitent proche de leur étoile car ce sont elles qui donnent une vitesse (A) la plus grande. 4

5 Annexe: Démonstration de l expression de la constance de la 3ème loi de Kepler - Enoncé de la loi de la gravitation universelle dans le cas d un système étoile-planète (on suppose une répartition sphérique de masse pour ces deux objets). On notera maintenant a par r. Une étoile de masse M et une planète de masse m p séparés d une distance r exercent l une sur l autre une force attractive agissant le long de la droite qui les relie et dont la grandeur vaut: F = G m pm r 2 avec G = SI, la constante de gravitation universelle. La planète subit de la part de l étoile une force F, exprimée par : F = G m pm u r 2 r Figure 2: Problème à deux corps: force gravitationnelle.( souschapitre1/section1/page7/section APPRENDRE.html) - Le système à deux corps étoile-planète, supposé isolé, se ramène à l étude, dans le référentiel barycentrique du système formé par une particule réduite de masse µ = mpm m p+m soumise à la force centrale F. Comme la masse de la planète est très petite devant celle de l étoile, la particule réduite se confond avec la planète et l étoile est confondue avec le centre de gravité du système. On fera l hypothèse que l excentricité de l orbite de la planète autour de l étoile est très faible, on se placera donc dans le cas d une orbite circulaire. Enoncé du théorème du centre d inertie (deuxième loi de Newton): Dans un référentiel Galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un solide est égale au produit de sa masse et du vecteur accélération de son centre d inertie. F = m a p Expression de la vitesse de la planète autour de l étoile en appliquant le théorème du centre d inertie: F = Gm pm u r 2 r 5

6 avec r la distance entre la planète et l étoile. avec Gm pm u r 2 r = m p a p a p = v2 r u r avec v la vitesse de la particule réduite. Le vecteur accélération a p est normale à la trajectoire et orienté vers son centre. Gm p M v 2 = m r 2 p r v 2 = GM r Expression de la période du mouvement de la planète autour de l étoile: avec ω la vitesse angulaire, ω = 2π P. v = rω v = r 2π P P = r2π v Expression de la constante de la 3ème loi de Kepler: P 2 = r2 4π 2 v 2 = r2 4π 2 r GM P 2 r 3 = 4π2 GM 6