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1 Exercices aales corrigés : Suites Sujet atioal septembre 007 ( bac blac 008) La suite u est défiie par : = et = pour tout etier aturel a O a représeté das u repère orthoormé direct du pla doé ci-dessous, la droite d équatio = de coordoées ( ; 0) Costruire sur l axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u b Démotrer que si la suite u est covergete alors sa limite est l= c Démotrer que pour tout etier aturel o a : > d Étudier la mootoie de la suite u et doer sa limite a Soit u etier aturel supérieur ou égal à Démotrer que 0! = 90 # 0 %,c( est à dire que = 90 # 0 % b La suite v est défiie par =,777 7 avec décimales cosécutives égales à 7 Aisi v 0 =,, v =,7 et v =,77 et le poit A E utilisat le a démotrer que la limite de la suite v est u ombre ratioel r (c est-à-dire le quotiet de deux etiers) 3 La suite u défiie au et la suite v sot-elles adjacetes? Justifier y 0 A 3 x La suite est défiie par : = et = pour b) si ( ) coverge, alors 567 =l avec l réel, 89: lim =l >? lim # = = %= 3 l3 7 89: l= 3 l3 7 89: 3 l=3 7 89: l =3 8

2 c) Motros par récurrece : pour tout B de, o a C B > DE FG ère étape : = 0 O a = >? >, doc > L iégalité est vraie pour = 0 ème étape : Hypothèse de récurrece : pour UN etier, o a > O prouve que > (HR) > 3 > > > 3 8 Coclusio : D après le pricipe du raisoemet par récurrece, pour tout B de, o a : C B > DE FG d) Mootoie : Pour tout de, o a : = = > ( :KL:) < N <0 <0 Aisi la suite est strictemet décroissate Limite de C : La suite est décroissate et miorée doc covergete De plus, o a prouvé à la qb : si u coverge alors lim = Aisi la suite coverge vers ) Etude de la suite O : a) pour : il s agit de la somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique de raiso, de er terme, et costituée de () termes, c est-à-dire termes Q 0! = b) pour, o a : = 0 S 0 T 0 = # 0 %= 90 # 0 % =,7777 7=,0,070,007 0; =,7 # 0 0 Doc d après a), o a : =,7 S W XT Calculos lim : lim 0 = lim =0 lim 0 0 = lim,7 90 # 0 %=, 7 90 =3 8 3 la suite est décroissate La suite est croissate, car = >0 pour tout X\Q lim =lim = 3 8 lim ( )=0 = Les trois cotraites sot vérifiées, aisi les suites C et O sot covergetes 0 %

3 00 Cetres étragers 5 Soit f la foctio défiie sur l itervalle [ 0 ; [ par : f ( x ) = 6 x Le but de cet exercice est d étudier des suites (u ) défiies par u premier terme positif ou ul u 0 et vérifiat pour tout etier aturel : u = f ( u ) Étude de propriétés de la foctio f a Étudier le ses de variatio de la foctio f sur l itervalle [ 0 ; [ b Résoudre das l itervalle [ 0 ; [ l équatio ( ) f x = x O ote α la solutio c Motrer que si x appartiet à l itervalle [ 0 ; α [, alors f(x) appartiet à l itervalle [ 0 ;α [ De même, motrer que si x appartiet à l itervalle [ α ; [ alors f(x) appartiet à l itervalle [ ; [ Étude de la suite (u ) pour u 0 = 0 α Das cette questio, o cosidère la suite (u ) défiie par = 0 et pour tout etier aturel : 5 u = f ( u ) = 6 u a Sur le graphique ci-dessous, sot représetées les courbes d équatios y = x et y = f(x) Placer le poit A 0 de coordoées (u 0 ; 0), et, e utilisat ces courbes, costruire à partir de A 0 les poits A, A, A 3 et A 4 d ordoée ulle et d abscisses respectives u, u, u 3 et u 4 Quelles cojectures peut-o émettre quat au ses de variatio et à la covergece de la suite (u )? b Démotrer, par récurrece, que, pour tout etier aturel, 0 u u α c E déduire que la suite (u ) est covergete et détermier sa limite 3 Étude des suites (u ) selo les valeurs du réel positif ou ul u 0 Das cette questio, toute trace d argumetatio, même icomplète, ou d iitiative, même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio Que peut-o dire du ses de variatio et de la covergece de la suite (u ) suivat les valeurs du réel positif ou ul u 0? Étude de propriétés de la foctio f a Étudier le ses de variatio de la foctio f sur l itervalle [ 0 ; [ b Résoudre das l itervalle [ 0 ; [ l équatio ( ) f x = x O ote α la solutio c Motrer que si x appartiet à l itervalle [ 0 ; α [, alors f(x) appartiet à l itervalle [ 0 ;α [

4 a Dérivée : K est ue foctio ratioelle, doc K est dérivable sur so esemble de défiitio [0 ; [ Pour tout de [ 0 ; [ : K()=6 5 =6 5 Avec S _ T( = N_(, oa : _ Q K ( 5 ()= 5 # () %= ()² Sige de la dérivée Pour tout de [ 0 ; [ : () >0 a (b) Q >0 K( ()>0 Ses de variatio : La foctio K est strictemet croissate sur [ 0 ; [ b : résolutio de l équatio c(d)=d Pour tout de [ 0 ; [ K()= 6 5 = 6 = 6= 5 =0 Δ=9 = = 5 9 Or an W [ 0 ; [ La solutio de l équatio K()= est α, avec j = a W c Pour tout de [0 ;j[, o a : 0 <j K(0) K()<K(j) car K est strictemet croissate sur [ 0 ; [ Or K(0)=6 5= >? K(j)=j K()<j 0 K()<j car [ ;j[ [0 ;j[ Aisi, pour tout de [0 ;j[, o a K() [0 ;j[ a

5 y x - - Cojectures : La suite ( ) est croissate et coverge vers α b Motros par récurrece que : pour tout B de, o a : m C B C BF ère étape : =0 O a : =0 et =K( )=6 a = doc 0 j ( otos j 5,9) L iégalité est (déjà) vraie pour =0, le plus petit etier de ème étape : O suppose que pour u etier, o a : 0 j O prouve que 0 j 0 j K(0) K( ) K( ) K(j) car K strictemet croissate sur [0 ; [ j car K(0)=, K(j)=j et =K( ) =K( ) j car [ ;j[ [0 ;j[ Coclusio : Aisi, d après le pricipe du raisoemet par récurrece, pour tout B de, o a : m C B C BF c o a prouvé : pour tout de, o a : 0 j, o e déduit que la suite ( ) est croissate et majorée par α, doc covergete vers u réel l

6 recherche de l : 567 = =l 567 = ( )=l 567 = 567 = =l 567 = =l D où 6 a =l K(l)=l l=j l Aisi la suite ( ) coverge vers α 5 = 5 l 567 =6 5 = l 3 Pour toute valeur de [0 ;j[, la suite ( ) sera croissate et covergete vers α Pour =j, la suite ( ) sera costate avec =j pour tout de, doc covergete vers α Pour toute valeur de ] j ; [, la suite ( ) sera décroissate et covergete vers α E effet das la ère étape du raisoemet par récurrece, o aura =K( )< La ème étape est ichagée, puisqu elle e déped de la valeur de Justificatio : résolvos das [ [0 ; [ l iéquatio K()< 6 5 < 6 < 5 (6 )()<5 :qr >0 ²5<0 ² 5 >0 ]j ; [

7 y x 0 cetres étragers O cosidère ue droite D muie d u repère ( ; ) * A 0 est le poit O ; * A est le poit d abscisse ; O i Soit ( ) * pour tout etier aturel, le poit A est le milieu du segmet [ ] A la suite de poits de la droite D aisi défiie : A A a Placer sur u dessi la droite D, les poits A 0, A, A, A 3, A 4, A 5 et A 6 O predra 0 cm comme uité graphique b Pour tout etier aturel, o ote a l abscisse du poit A Calculer a, a 3, a 4 a 5 et a 6 a a c Pour tout etier aturel, justifier l égalité : a = Démotrer par récurrece, que pour tout etier, a = a 3 Soit ( v ) la suite défiie, pour tout etier aturel, par Démotrer que ( v ) est ue suite géométrique de raiso v 4 Détermier la limite de la suite ( v ), puis celle de la suite ( ) Correctio a b s >t? 5> 7656> 8> [s s ]8 ( qut:6tt>t r>tv>:?6>t q >? q q = (q q )= (0)= = a 3 a q = (q q )= # %=3 4 q w = (q q )= # 3 4 %=5 8

8 q a = (q q w )= # %= 6 q x = (q wq a )= #5 8 6 %= 3 c s >t? 5> 7656> 8> [s s ]8 ( qut:6tt>t r>tv>:?6>t q >? q q = ( q q ) : Motros par récurrece, que pour tout etier, q = q ère étape : B=m O a : q =0 q = q = 0==q doc l égalité est vraie pour =0 ème étape : O suppose que pour u etier, o a : q = q et o prouve que l égalité est vraie pour l etier, q = q q = q q q =q # q % q q = q (q q )= 4 q q = 4 q 9r q = q q = q (q )= q q = (q ) q = 4 y (q )z q = q Coclusio : D après le pricipe du raisoemet par récurrece, pour tout de, o a q = q 3 Pour tout etier de =q 3 =# q % 3 = q 3 = #q 3 % = Aisi la suite ( ) est géométrique de raiso

9 4 Limites < < lim # = % =0 lim =0 lim # = = 3 %= 3 lim q = = 3 lim = =0 lim = # 3 %= 3 lim = q = 3 00 septembre Atilles O cosidère la suite de ombres réels (u ) défiie sur par : u 0 =, u = et, pour tout etier aturel, u = u u 4 Calculer u et e déduire que la suite (u ) est i arithmétique i géométrique O défiit la suite (v ) e posat, pour tout etier aturel : v = u u a Calculer v 0 b Exprimer v e foctio de v c E déduire que la suite (v ) est géométrique de raiso d Exprimer v e foctio de 3 O défiit la suite (w ) e posat, pour tout etier aturel : w a Calculer w 0 u = v b E utilisat l égalité u = v u, exprimer w e foctio de u et de v c E déduire que pour tout de, w = w d Exprimer w e foctio de 4 Motrer que pour tout etier aturel u = k= 5 Pour tout etier aturel, o pose : S = uk = u0 u u k= 0 Démotrer par récurrece que pour tout de : S 3 = O cosidère la suite de ombres réels ( ) défiie sur par : =, = et, pour tout etier aturel, = w Calculer et e déduire que la suite ( ) est i arithmétique i géométrique = 4 = 4 ( )=3 4 = ( )= mais = w = w doc Doc la suite ( ) est pas arithmétique _ _ } = Q N = mais _ Q _ = ~ = les quotiets sot différets doc la suite ( ) est pas géométrique Q O défiit la suite ( ) e posat, pour tout etier aturel : = a = = = b Pour tout de : = = 4 = 4 = # %= c Pour tout de, = doc ( ) est géométrique de raiso

10 d La suite ( ) est géométrique de raiso, o e déduit que = S T =S T 3 O défiit la suite ( ) e posat, pour tout etier aturel : = _ X 3 a = _ } = 3 b pour tout de } = = = S T = = = 3c Pour tout de : = _ X = 3d D après 3c, la suite ( ) est arithmétique de raiso Doc pour tout de, o a : = = 4 Forme explicite de (C B ) Pour tout etier aturel, = _ X 5 Pour tout etier aturel B, o pose ƒ!b X X doc B = C ƒ =C m C F C D C B ƒ!m X = =S T ( )= N X Démotros par récurrece que pour tout B de : B =D DBE D B ère étape : démotros que la propriété est vraie pour =0 D ue part = = D autre part, } = = Doc l égalité est (déjà) vraie pour =0, le plus petit etier de ème étape : O suppose que pour ue certaie valeur de l etier, l égalité est vraie c'est-à-dire que : = X est vraie (hypothèse de récurrece) O prouve que = () est vraie soit que X\ = a X\ = 3! Observez que = = 3 = 3! = = = 3 () #car d ( après 4 = pour tout % = 3 = (3) = 4 6

11 = 5 Coclusio : Aisi, d après le pricipe du raisoemet par récurrece, pour tout de, o a : >

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