Mathématiques L2 Cours de Sophie Jallais et Muriel Pucci

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1 Mathématiques L Cours de Sophie Jallais et Muriel Pucci PLAN DES DOSSIERS DE TD Dossier Systèmes d équations linéaires : résolution par la méthode du pivot de Gauss et représentation matricielle. Dossier Calcul matriciel et rang d une matrice. Dossier 3 Espaces vectoriels dans R. Dossier 4 Applications linéaires. Dossier 5 Déterminant d une matrice carrée. Dossier 6 Diagonalisation d une matrice carrée. CALENDRIER DES SEANCES DE TD Semaine Dossier de TD 9-09 Dossier 6-09 Fin du dossier Début du dossier 03-0 Suite du dossier Interrogation sur dossier (0mn) 0-0 Fin du dossier Début du dossier Suite du dossier 3 Interrogation sur dossier (0mn) 4-0 / 3-0 Suite du dossier 3 Vacances du jeudi 7-0 au mardi Fin du dossier 3 Début du dossier 4 4- Suite du dossier 4 Interrogation sur dossier 3 (0mn) - Fin du dossier 4 Début du dossier 5 8- Fin du dossier 5 Début du dossier Suite du dossier 6 - Fin du dossier 6 ou révisions Interrogation sur dossier 6 (0mn)

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3 TD n Systèmes d équations linéaires : Résolution par la méthode du pivot de Gauss et représentation matricielle EXERCICE Les équations suivantes, où les réels x, y, z et t sont les inconnues, sont-elles linéaires? [] x + xy = 4 [] x + 3y + 4z = 0 [3] x + 3y + 4 z = 3 [4] + 3y = x [5] x + 3y z + t = 0 [6] 5 + x y = 0. EXERCICE Résoudre le système S : S { 3x x = 5 x + x = 0. Trouver la solution ( x x ) en utilisant la méthode du pivot de Gauss.. Interpréter géométriquement ce résultat. EXERCICE 3 On considère le système S où les réels x et x paramètre : 3x x = 5 S { x + x = 0 x x = a. En règle générale, quelle est l intersection de trois droites quelconques? sont les inconnues et où a est un. Déduire du résultat trouvé à l exercice la valeur du paramètre a pour laquelle le système S a une solution. 3. Montrer que, pour cette valeur de a, la troisième équation du système est une combinaison linéaire des deux autres. EXERCICE 4 On considère le système S 3, où les réels x, y et z sont les inconnues,: S 3 { x y + z = 0 L x + y z = L x y z = L 3. En général, quelle est l intersection de trois plans quelconques?. Résoudre le système S 3 en prenant soin d expliciter à chaque étape l équation choisie comme pivot et les combinaisons linéaires d équations utilisées pour résoudre le système. 3. Interpréter géométriquement le résultat obtenu. EXERCICE 5 On considère le système S 4, où x, y et z sont les inconnues : x + y + z = 3 L S 4 { x y + z = L 3x y + az = L 3 3

4 . Résoudre le système S 4 selon les valeurs du paramètre a en prenant soin d expliciter à chaque étape l équation choisie comme pivot et les combinaisons linéaires d équations utilisées pour résoudre le système.. En déduire les valeurs du paramètre a pour lesquelles l intersection des trois plans est un point et les valeurs pour lesquelles il n existe aucune intersection. EXERCICE 6 On considère le système S 5 où x et x sont les inconnues: S 5 { x + 3x = x x = 5. Ecrire ce système sous la forme : x C + x C = B, où C, C et B sont des matrices colonnes formées avec les coefficients du système.. Ecrire ce système sous la forme : A( x x ) = B, où A est la matrice (C C ). 3. Résoudre ce système ainsi représenté en utilisant la méthode du pivot. EXERCICE 7 On considère les trois systèmes suivants, où x, y et z sont les inconnues: x y + z = 3 L S 6 { x + y + z = L x 3y + 3z = 4 L 3 x y + z = 3 L S 7 { x + y + z = L x 3y + 3z = 0 L 3 x y + z = 3 L S 8 { x + y + z = L x 3y + 4z = 0 L 3. Ecrire chacun de ces systèmes sous forme matricielle et le résoudre, par la méthode du pivot, avec représentation matricielle, en prenant soin d expliciter à chaque étape les combinaisons linéaires des lignes de la matrice élargie utilisées pour résoudre le système.. Pour chacun de ces systèmes, peut-on écrire une équation de ce système sous la forme d une combinaison linéaire des deux autres? Dans le cas contraire, cela aurait-il été possible si les seconds membres des équations avaient été nuls? 3. Interpréter géométriquement les résultats. EXERCICE 8 (Facultatif, conseillé pour les débutants) Résoudre, par la méthode du pivot et avec représentation matricielle, le système suivant, où x, y z et t sont les inconnues, selon les valeurs des paramètres a et b : x + y z + t = L x + y + z t = 0 L S 9. x + 4y + z t = 0 L 3 { x y z + at = b L 4 4

5 TD n Calcul matriciel et rang d une matrice EXERCICE Soit les matrices A = ( 0 ), B = ( 0 0 ), C = ( ), D = ( ) 3 Calculer, si cela est possible, les produits : AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC, B², B 3. EXERCICE Soit la matrice ligne X = (x x x 3).. Déterminer les produits XX et X X, où X est la transposée X.. Déterminer la transposée de chacun des deux résultats. Commentez. 3. De quelle forme sont ces produits quand X comporte n éléments? EXERCICE 3 Quelle condition doit vérifier la matrice A pour que le produit B AB soit possible, B étant une matrice quelconque de format (m, n)? EXERCICE 4 Soient les matrices M = ( a a a 3 b b b ) et X = ( x ) 3 x 3. Ecrire le produit MX sous la forme d une combinaison linéaire des colonnes de M.. Faire le produit AB des deux matrices ci-dessous: A = ( ) B = ( ) 0 En déduire des liens entre les colonnes de A. x EXERCICE 4BIS Soient les matrices M = ( a a a 3 b b b 3 ) et Y = (y y ). Ecrire le produit YM sous la forme d une combinaison linéaire des lignes de M.. Faire le produit AB des deux matrices ci-dessous: A = ( ) B = ( ) 0 En déduire des liens entre les lignes de B. EXERCICE 5. Sans effectuer de calcul, établir la dépendance linéaire éventuelle entre les colonnes des matrices suivantes : 4 0 M = ( 4), M = ( 0 3 ), M 3= ( 0), M 4 = ( 0 3 ) M 5= ( ), M 6 = ( ), M7 = ( ). 3. Toujours sans aucun calcul, déterminer le rang de ces matrices. 5

6 EXERCICE 6. Déterminer le rang des matrices suivantes : A = ( ), A = ( ), A 3 = ( ), A 4 = ( ) et A 5 = ( ) Comparer le rang de A à ceux de A 3 et de A 4, puis le rang de A à celui de A 5. Regarder les résultats obtenus à l exercice 7 du TD. Commenter. APPLICATION ECONOMIQUE EXERCICE 7 (adaptation d un sujet de mathématiques du concours d agrégation externe de sciences économiques et sociales, 03) En comptabilité, on a souvent recours à une méthode dite «en partie double». Cette méthode consiste à enregistrer deux fois chaque opération : une première fois au crédit d un compte ; une seconde fois au débit d un compte. En vérifiant l égalité entre la somme des débits et la somme des crédits, on évite ainsi les éventuelles erreurs. On considère la matrice carrée A = (a ij ) d ordre n = 3 dont les indices des lignes indiquent les numéros des comptes crédités et les indices des colonnes les numéros des comptes à débiter. Le nombre a ij indique quant à lui le montant de la transaction en milliers d euros On suppose que A = ( ) et on note U la matrice colonne U = ( ) Que représente le nombre a = 500?. De quels montants totaux le compte 3 a-t-il été crédité? de combien a-t-il été débité? 3. Calculer la matrice C = AU. Que représentent les lignes de cette matrice? 4. Calculer la matrice D = U A où U est la transposée de la matrice U. Que représentent les colonnes de cette matrice? 5. Quels sont les comptes globalement créditeurs? globalement débiteurs? 6. Calculer DU et U C. Que représentent ces résultats? Commenter. 6

7 EXERCICE. TD n 3 Espaces vectoriels dans R On considère les trois vecteurs X, Y et Z d un espace vectoriel quelconque E, donnés dans le graphique ci-dessous : Z X Y On suppose que les trois vecteurs ne sont pas sur le même plan. 0. Ensembles de vecteurs construits à partir d un seul vecteur a. Représenter graphiquement les vecteurs 3 X, X. Ces vecteurs appartiennent-ils tous à E? b. Représenter graphiquement l ensemble A = {αx, α R }. Est-ce un R-espace vectoriel? c. Représenter graphiquement l ensemble A = {αx, α 0}. Est-ce un R-espace vectoriel?. Ensembles de vecteurs construits à partir de deux vecteurs a. Représenter graphiquement les vecteurs X + Y, X Y. Ces vecteurs appartiennent-ils à E? b. Représenter graphiquement l ensemble B = {αx + βy, α R, β R }. Est-ce un R-espace vectoriel? c. Représenter graphiquement l ensemble B = {αx + βy, α 0, β 0}. Est-ce un R-espace vectoriel? 3. Ensemble de vecteurs construits à partir de trois vecteurs L ensemble C = {αx + βy + γz, α R, β R, γ R } est-il un R-espace vectoriel? Que EXERCICE représente-t-il? Soit le système MX = 0, où X est un vecteur de R n écrit sous la forme d une matrice colonne et M une matrice de format (m, n).. Montrer que si X 0 et X sont deux solutions de ce système, alors X 0 + X et αx 0 (où α est un réel quelconque) en sont également solutions. En déduire que l ensemble des solutions de ce système est un sous-espace vectoriel de R n.. A quelle(s) condition(s) l ensemble des solutions du système MX = U (où U est un vecteur donné de R n ) est-il un R-espace vectoriel? EXERCICE 3 Soit l ensemble G ci-dessous constitué de deux vecteurs de R 3 : G = {( ), ( )} 0. Ecrire l ensemble A des combinaisons linéaires de ces deux vecteurs. 7

8 . Cet ensemble est-il stable pour la somme vectoriel? pour l homothétie (produit d un vecteur de A par un réel)? Que pouvez-vous en déduire? 3. Interpréter géométriquement. EXERCICE 4 Soit B l ensemble défini par : x B = {( y), x y + z = 0} z. Montrer que les éléments de B peuvent s écrire sous la forme d'une combinaison linéaire de deux vecteurs de R 3.. B est-il un sous-espace vectoriel de R 3? x 3. Mêmes questions pour B = {( y) R 3, x y + z = } z x 4. (Facultatif) Mêmes questions pour B 3 = {( y) R 3, x y + z = 0 et x + z = 0} z EXERCICE 5 (FACULTATIF) Soit C l ensemble défini par : x y C = {( ) R z 4, x + y z = 0 et y + z + t = 0} t. Montrer que tout élément de C peut s écrire sous la forme d une combinaison linéaire de deux vecteurs de R 4.. L ensemble C est-il un sous-espace vectoriel de R 4? EXERCICE 6 Les ensembles de vecteurs suivants sont-ils libres ou liés? S = {( ), ( )}. S = {( ), ( ), ( )}. S 3 = {( ), ( )}. S 4 = {( 0 0 ), ( )} 0 0 S 5 = {( 0), ( ), ( 0)} 0 0 S 6 = {( ), ( ), ( )} 0 S 7 = {( ), ( ), ( 6)} 0 6 S 8 = {( ), ( ), ( 0)} S 9 = {( ), ( ), ( )} 6 0 EXERCICE 4BIS Donner une base et la dimension des ensembles B et B 3 de l exercice 4. EXERCICE 6BIS Donner la dimension et une base des espaces vectoriels engendrés par les systèmes S, S, S 3, S 4, S 5 et S 7 de l exercice 6. 8

9 EXERCICE 7 Soit le vecteur X = ( 3 ).. Représenter graphiquement le vecteur X dans la base canonique de R.. Soit B = {( ), ( )} une base der a. Montrer graphiquement comment construire le vecteur X à partir des deux vecteurs de B. b. En déduire que les coordonnées du vecteur X dans la base B sont données par le vecteur U = ( ). EXERCICE 8 Soit le vecteur : X = ( ). 3. Déterminer ses coordonnées dans les deux bases ci-dessous : B = {( 0), ( ), ( 0)} et B = {( ), ( ), ( 0 )} (FACULTATIF) Déterminer ses coordonnées dans la base : B 3 = {( ), ( ), ( 0)}. 0 0 EXERCICE 9 (FACULTATIF : conseillé pour ceux qui ont des difficultés) 0 Soit l ensemble de vecteurs G = {( ), ( 0), ( )} de R Montrer que G est une base de R 3. a x 0 a x. En déduire le nombre de solutions ( b) du système : ( y) = ( 0 ) ( b) où ( y) est un vecteur a c z 0 c z donné de R 3 et où ( b) est un vecteur d inconnues. c a x 3. Déterminer les coordonnées ( b) du vecteur ( y) dans cette base en fonction des valeurs de c z x, y et z. a x 4. Ecrire le résultat sous la forme ( b) = A( y), où A est une matrice de format (3, 3). 0 c z 5. Soit la matrice B = ( 0 ). Calculer le produit AB. Commenter. 0 a x 6. En déduire une manière de déterminer les coordonnées ( b) du vecteur ( y) dans la base 0 c z {( ), ( 0), ( )} à partir d une opération sur la matrice B. 0 EXERCICE Soit la matrice M = ( 0 ) 0 Partie A : Résolution de systèmes et coordonnées d un vecteur dans une base. Les colonnes de M forment-elles une base de R 3? 9

10 . En déduire que le système MX = U où U = ( ) et où X est un vecteur de R 3, a une solution unique La matrice M est-elle inversible? 4. A l aide de la méthode du pivot, déterminer l inverse de la matrice M. 5. En déduire la solution du système MX = U 6. (facultatif) De manière générale, montrer que si N est une matrice régulière d ordre n, alors le système NX = U, où U est un vecteur donné de R n, a une solution unique. Partie B : Bases orthonormées On note C, C et C 3 les colonnes de la matrice M.. Calculer les produits scalaires C C, C C 3 et C C 3. Les vecteurs colonnes C, C et C 3 sont-ils orthogonaux deux à deux?. Déterminer l ensemble des vecteurs de R 3 orthogonaux au vecteur C. 3. Calculer les normes des vecteurs C, C et C Comment peut-on interpréter la norme du vecteur C 3? Vous pouvez vous appuyer sur une représentation graphique pour répondre. 5. Déterminer, à partir du système B = {C, C, C 3 } une base orthonormée de R 3 et la matrice orthogonale associée que l on notera A. 6. Déterminer A. Exercice APPLICATION ECONOMIQUE (FACULTATIF - adaptation d un sujet de mathématiques du concours d agrégation externe de sciences économiques et sociales, 03) On considère un pays fictif, sans échange avec l extérieur, dont l économie très simplifiée se décompose en trois branches : l agriculture (branche ), l industrie (branche ) et les services (branche 3). Les productions de ces branches dépendent les unes des autres. Par exemple, la production d un produit agricole demandé par un consommateur (consommation finale) nécessite l utilisation de produits agricoles et industriels et de services (consommations intermédiaires). On suppose que chaque branche connait le niveau de la consommation finale qui lui sera adressée et veut produire de manière à répondre à la demande totale, c est-à-dire à la demande de ses produits au titre de la consommation intermédiaire et au titre de la consommation finale en supposant que coefficients techniques sont constants (rendements d échelle constants et les inputs strictement complémentaires), et qu il n y a pas de FBCF. On définit A = (a ij ) la matrice carrée d ordre 3 appelée matrice des coefficients techniques. Le numéro de ligne désigne le numéro de la branche dont le produit est utilisé comme consommation intermédiaire et le numéro de colonne le numéro de la branche dont on décrit la production. Le terme a ij désigne la valeur de la consommation intermédiaire en produit de la branche i pour produire en produit de la branche j. On note : P P P = ( ) la matrice de production totale, où P i désigne la valeur de la production de la branche i. P 3 0

11 C C = ( C ), la matrice des consommations finales, où C i désigne la valeur de la consommation C 3 finale en produits de la branche i. Calculer la matrice AP. Que représente chacune de ses lignes?. Justifier que l on a : C = P AP. 3. On admet que la matrice (I 3 A) est inversible. Montrez que l on a : P = (I 3 A) C. 4. Supposons que (I 3 A),75 0,60 0,35 = ( 0,45,70 0,40) et on suppose que les consommations finales 0,40 0,55,60 30 (en milliards d euros) sont : C = ( 540). 580 Quelle doit être la production de chaque branche pour satisfaire ces demandes de consommations finales? Exercice APPLICATION ECONOMIQUE (Facultatif) On suppose que l économie d un pays peut être modélisée de la façon suivante : Y = C + I + G { C = 0 + 0,75(Y ty) G = ty + E où Y, C, I et G désignent la production totale, la consommation, l investissement et les dépenses publiques. On pose les hypothèses suivantes sur le fonctionnement de l économie : - la consommation croît avec le revenu disponible qui dans cette économie est le revenu restant après paiement d un impôt proportionnel au taux t = 0, ; - l investissement est exogène I=400 milliards d euros ; - pour financer les dépenses publiques, l Etat utilise les recettes fiscales ty et peut recourir à l endettement. On note E le montant de cet endettement nouveau (net des remboursements et paiements d intérêt). On cherche à évaluer l influence de l endettement (E) sur le PIB (Y).. Montrer que ce système implique ( Y C ) = A (Y + E ) + (400 ) où A est une matrice carrée d ordre. C 0. En déduire que B ( Y + E ) = (400 ) où B est une matrice carrée d ordre à calculer. C 0 3. Vérifier que B = ( ). 4. En déduire l expression de Y en fonction de E. 5. Quelle sont les valeurs du PIB et de la consommation si l Etat choisit de ne pas s endetter pour financer ses dépenses publiques (E = 0)? Quelle sont leurs valeurs si l Etat s endette de 50 Milliards d euros. Commenter.

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13 TD n 4 Applications linéaires EXERCICE Soit l application linéaire f(. ) définie par : f ( x x + y y ) = ( x y ). y. Quels sont les espaces de départ et d arrivée de f(. )?. Ecrire f ( x y ) sous la forme xc + yc, où C et C sont des vecteurs (ou matrices) colonnes de R Ecrire f ( x y ) sous la forme M (x y ), où M = (C C ) est la matrice (3, ) dont les deux colonnes sont C et C. EXERCICE Déterminer les espaces de départ et d arrivée, le rang, l image et le noyau des applications linéaires suivantes :. f (X) = M X, avec M = ( 3 ).. f (X) = M X, avec M = ( 0) f 3 (X) = M 3X, avec M 3 = ( 0 ) f 4 (X) = M 4X, avec M 4 = ( 3). Lesquelles de ces applications sont-elles injectives? surjectives? bijectives? En déduire, dans chacun de ces quatre cas (pour i =,, 4), le nombre de solutions du système M j X = Y, où Y est un vecteur colonne donné. EXERCICE 3 (FACULTATIF) Soit l application linéaire dont la matrice, par rapport aux bases canoniques des espaces de départ et d arrivée, est la matrice A de l exercice 4 du TD.. Déterminer le rang de A.. En déduire la dimension de kera (ou kerf) 3. Déterminer une base de kera à l aide du résultat de l exercice 4 du TD. En déduire KerA 3

14 EXERCICE 4 Soit l application linéaire f( ) dont la matrice, par rapport aux bases canoniques, est : M = ( ). Déterminer le rang de M.. En déduire la dimension de kerm (ou kerf). 3. Trouver deux combinaisons linéaires des colonnes de M égales au vecteur nul de R 3 noté 0 3. En déduire kerm. EXERCICE 5 Soit l application linéaire f( ) dont la matrice, par rapport aux bases canoniques, est : 0 M = ( ). 0. Démontrer que l application f( ) est injective.. En déduire que le système MX = 0 3, où 0 3 est le vecteur nul de R 3, a une solution unique. EXERCICE 6 On considère l application linéaire f( ) de l exercice. Déterminer la matrice N de cette application par rapport aux bases B E = {( ), ( 0 )} et B F = {( ), ( ), ( )}. 0. Soient les matrices B = ( 0 ) et B = ( ). 0 Montrer que l on a : MB = B N où M est la matrice déterminée dans l exercice. EXERCICE 7 Soit l application linéaire f(. ) définie par : f( x 3y y ) = (6x x + y ).. Déterminer la matrice M de cette application par rapport à la base canonique de R.. Déterminer la matrice D de cette application par rapport à la base {( 3 ), ( )}. 3. Soit la matrice B = ( 3 ). Montrer que l on a MB = BD. En déduire que M = BDB x y + z EXERCICE 8 (FACULTATIF) Soit l application linéaire f(. ) définie par : f( y) = ( x z). z x y. Déterminer la matrice M de cette application par rapport à la base canonique de R 3.. Déterminer la matrice D de cette application par rapport à la base {( ), ( 0), ( )} Soit la matrice B = ( 0 ). Montrer que l on a : MB = BD. En déduire que : M = BDB 0 4

15 EXERCICE 9 Soit l application linéaire f( ) dont la matrice, par rapport aux bases canoniques, est : M = ( ).. Montrer que M est idempotente, c est-à-dire que M = M.. Déterminer le rang de M et une base de ImM. 3. Déterminer la dimension de KerM et une base de KerM. 4. Montrer que KerM et ImM sont deux sous-espaces vectoriels orthogonaux de R. 5. Représenter graphiquement KerM et ImM. 6. Calculer f ( ) et représenter ce vecteur graphiquement Interpréter. EXERCICE 0 (FACULTATIF) Soit l application linéaire f( ) dont la matrice, par rapport aux bases canoniques, est : 3 M = ( 3 5 3). 6 0 On cherche à déterminer la matrice N de cette application par rapport à la base {( ), ( 0), ( )}. 0 Pour cela, on définit la matrice : 0 P =( 0 ) 0 et on donne : 0,5 0,5 0,5 P =( 0,5 0,5 0,5). 0,5 0,5 0,5 En déduire N. 5

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17 TD n 5 Déterminants de matrices carrées EXERCICE En utilisant uniquement les trois caractéristiques de la fonction déterminant, donner le déterminant des matrices suivantes : I 3 = ( 0 0), M = ( 0 0 ), M = ( 0 0), M = ( 0 3 0) EXERCICE (FACULTATIF). Soit les matrices : A = ( ), B = ( ), B = ( 0 ) et B 3 = ( ) Quel lien existe-t-il entre dét(a), dét(b ) et dét(b )? Entre dét(a) et dét(b 3)?. Soient maintenant les matrices obtenues en appliquant le pivot aux colonnes de A : 0 0 P = ( ) P = ( 0) 5 et C 3 A C A 4 C C Quel lien existe-t-il entre dét(a), dét(p ), dét(p )? 3. Que peut-on dire du déterminant d une matrice triangulaire? 4. En déduire dét(p ), dét(p ), dét(a), dét(b ), dét(b ) et dét(b 3). EXERCICE 3 Sans aucun calcul, donner le déterminant des matrices suivantes : 0 N = ( 4 0), N = ( 4 ) et N 3 = ( 4 ) EXERCICE 4 Calculez, le déterminant des matrices: M = ( ), M = ( 0 ), M3 = ( 3 M 5 = ( ), M 5, M 6 = ( 0 ), M 4 = ( 0 ), λ λ ) et M 7 = ( 0 ). 0 0 λ n EXERCICE 5 Pour chacune des matrices M i, i =,, 7, de l exercice 4, quel lien existe-t-il entre rangm i et ordrem i? 7

18 EXERCICE 6 (facultatif, conseillé aux experts) Déterminer en appliquant la méthode de Cramer la solution du système d équations linéaires : x + y + z = 0 { x y z = 0. x + y + z =. EXERCICE 7 (facultatif, conseillé aux experts) 0. Montrer que la matrice M = ( 0 ) est inversible. 0. Déterminer M par la méthode des cofacteurs. 3. En déduire la solution du système MX = U, où U = ( ) 8

19 TD n 6 Diagonalisation de matrices carrées EXERCICE Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres des matrices suivantes : A = ( ), A = ( 4 ), A 3 = ( 0 ), A 4 = ( 0 5 0) Sont-elles diagonalisables? EXERCICE Déterminer l inverse de la matrice : P = ( 3 ), On notera cette matrice P. Effectuez le produit : P A P, Où A est la matrice de l exercice. Comparer le résultat au contenu de l exercice 7 du TD 4. Commenter. EXERCICE 3 Soit la matrice M : M =( ).. Déterminer le rang de M.. En déduire que 0 est valeur propre de M, ainsi que la dimension du sous-espace propre associé à Trouver deux combinaisons linéaires des colonnes de M égales au vecteur nul de IR 3 noté En déduire le sous-espace propre de M associé à la valeur propre double λ = Calculer la trace de M. En déduire la troisième valeur propre de M. 6. Déterminer le sous-espace propre de M associé à cette troisième valeur propre. 7. Existe-t-il une matrice diagonale D et une matrice régulière P telles que M = PDP? Le cas échéant, déterminer D et P. 8. Calculer M t. EXERCICE 4 (FACULTATIF) Application : analyse des systèmes dynamiques Soit le système d équations linéaires suivant : [] { x t+ = 6x t 3y t y t+ = x t + y t où t IN.. Ecrire le système [] sous la forme X t+ = AX t, où X t = ( x t y t ) est le t+ ème terme de la suite (X t) et où A est une matrice carrée d ordre.. Démontrer par récurrence que l on a : X t = A t X Déterminer X t lorsque X 0= ( 0 ). 9

20 EXERCICE 5 Application : Diagonalisation de matrices symétriques et formes quadratiques Soit la matrice M : M = ( ). Sans calcul, pouvez-vous dire si M est diagonalisable?. Combien la matrice M a-t-elle de valeurs propres? 3. Calculer le déterminant de la matrice M I. En déduire que est une valeur propre de M. 4. Calculer la trace de la matrice M. En déduire l autre valeur propre de M. 5. On note respectivement λ et λ les valeurs propres de M. a. Déterminer deux vecteurs propres, que l on notera P et P, de M associés respectivement à λ et λ. b. Déterminer la norme des vecteurs P et P. c. Effectuer le produit P P où la matrice ligne P est la transposée de la matrice P. Commentez. 6. Soit la matrice P = ( P P ). Effectuer le produit P P. P P 7. En déduire que : M = PDP, où D est une matrice diagonale et où P est la transposée de P. EXERCICE 6 Soit la matrice Q : Q = ( ). Sans calcul, pouvez-vous dire si Q est diagonalisable?. Montrer que le réel 0 est une valeur propre de Q. 3. déterminer l autre (ou les autres) valeur(s) propre(s) de Q. 4. Déterminer trois vecteurs propres de cette matrice orthogonaux deux à deux. 5. Déterminer une matrice P de trois vecteurs propres de cette matrice telle que : P = P. EXERCICE 7 Soit q( ), la forme quadratique qui à X = ( x x ) associe :. Ecrire q(x) sous la forme : q(x) = X AX, où A = ( 0 ). q(x) = ax + bx + cx x. Donner une matrice symétrique M associée à cette forme quadratique. 3. Déterminer les valeurs propres de cette matrice et en déduire le signe de q( ). 4. [facultatif] Ecrire q(x) sous la forme : q(x) = [f(x)]² + [g(x)]² où les i sont les valeurs propres de cette matrice, f( ) et g( ) étant des applications linéaires de R dans R. 0

21 EXERCICE 8 (facultatif adapté d un sujet du concours d agrégation externe de sciences économiques et sociales, 0) APPLICATION ECONOMIQUE Une entreprise fabrique deux types de billes d argile [imaginaires] : le modèle, de meilleur qualité, qui se vend à 056 la tonne et le modèle qui se vend à 448 la tonne. En notant x et x les quantités des deux types de billes exprimées en tonnes, le coût total de fabrication en euros est donné par la fonction : C(x, x ) = 9x + 5x 6x x Ecrire la fonction de profit de l entreprise que l on notera f(x, x ).. On cherche à déterminer les productions des deux types de billes qui maximisent le profit de l entreprise. a. Déterminer le(s) point(s) candidat(s) à être un extremum de f( ) sur R. b. Donner la nature de ce(s) point(s) candidat(s). EXERCICE 9 (facultatif conseillé aux experts) Soit la fonction de production Cobb-Douglas : f(x, y) = x α y β.. Pour quelles valeurs de > 0 et > 0, cette fonction est-elle concave sur (R + )?. En déduire le lien entre la concavité de cette fonction de production et la nature des rendements d échelle.