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Jean-François Frédéric Grenon
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1 BAC S 4 Mathématiques - Frace métropole Eseigemet spécifique et de spécialité Ce documet est bie plus qu u simple corrigé de sujet de baccalauréat. Grâce aux solutios claires et détaillées, aux démarches toujours expliquées et illustrées aisi qu aux divers complémets fouris, ce documet est u véritable outil pédagogique qui vous fera réaliser de gros progrès. Boe lecture et bo travail à tous! Exercice - Étude d ue suite d itégrales Partie A Das le pla mui d u repère orthoormé, o désige par C la courbe représetative de la foctio f défiie sur R par : f x) = x + e x. Justifier que C passe par le poit A de coordoées, ).. Détermier le tableau de variatio de la foctio f. O précisera les ites de f e + et e. questio-type-bac.fr Partie B L objet de cette partie est d étudier la suite I ) défiie sur N par : I = x + e x ) dx. Das le pla mui d u repère orthoormé O ; ı, j), pour tout etier aturel, o ote C la courbe représetative de la foctio f défiie sur R par : f x) = x + e x Sur le graphique ci-dessous o a tracé la courbe C pour plusieurs valeurs de l etier et la droite D d équatio x =. a) Iterpréter graphiquemet l itégrale I. b) E utilisat cette observatio, formuler ue cojecture sur le ses de variatio de la suite I ) et sa ite évetuelle. O précisera les élémets sur lesquels o s appuie pour cojecturer.. Démotrer que pour tout etier aturel supérieur ou égal à, I + I = e +)x e x) dx E déduire le sige de I + I puis démotrer que la suite I ) est covergete.. Détermier l expressio de I e foctio de et détermier la ite de la suite I ).

2 Corrigé du BAC S 4 - Métropole C C C D O C 4 C 6 C 5 C 6 Figure Ue famille de courbes. Aalyse du sujet x O étudie das cet exercice ue famille de foctios et o s itéresse à l aire I sous leurs courbes représetatives, ceci sur l itervalle [, ] itervalle sur lequel les foctios e questio sot positives). O motre que la suite I ) des ombres correspodats à ces aires est décroissate et miorée, doc admet ue ite que l o détermie. L exercice est coçu de faço «scolaire» afi d évaluer u certai ombre de coaissaces aisi que la capacité des cadidats à émettre des cojectures. O peut oter que si le but est de détermier la ite de la suite I ), il est pas écessaire, d u poit de vue logique, de démotrer au préalable qu elle est décroissate et miorée puisqu o peut, e calculat l itégrale I, directemet obteir l existece et la valeur de cette ite. questio-type-bac.fr O otera ue maladresse das le sujet qui défiit la suite I ) pour tout etier aturel puis demade d effectuer des calculs pour questio de la partie B) ce qui oblige, pour justifier le ses de variatio, à traiter le cas = à part alors qu il pouvait sas soucis être itégré aux calculs das cette questio tadis que das la questio, où l o ous demade ue expressio de I e foctio de, le cas = est vraimet à traiter séparémet. Bref, il aurait été plus pratique de tout défiir pour. Partie A. O a : f ) = + e = + = Ce qui sigifie bie que la courbe représetative C de la foctio f passe par le poit A, ).. Afi de dresser le tableau de variatios de la foctio f, o calcule sa dérivée. O rappelle que : Si u désige ue foctio dérivable, alors : e u) = u e u E particulier : e x ) = e x Pour tout réel x, o a doc : f x) = e x Puis, o étudie le sige de cette dérivée : f x) e x e x Retrouvez l itégralité du corrigé sur otre site :

3 Corrigé du BAC S 4 - Métropole Puis, par croissace de la foctio logarithme ) sur ], + [, o obtiet : f x) l) l e x) x x La dérivée f est doc positive si et seulemet si x est positif. O e déduit que la foctio f est doc croissate sur l itervalle [, + [ et décroissate sur l itervalle ], ]. Précisos la ite de f e +. O a : d ue part : et d autre part : x = + x + x + e x = Étudios maiteat la ite de f e. D ue part : D autre part : questio-type-bac.fr x = x x e x = + doc, par additio : f x) = + x + Nous sommes ici e présece d ue différece de deux quatités ifiies, ce qui est ue forme idétermiée. O peut se rameer à ue ite de référece vue e cours via ue factorisatio «forcée» : f x) = x + e x = e x xe x + ) Or, d après le cours, ous savos que : Maiteat, o a : d ue part : et d autre part : x x xex = x e x = + xe x + ) doc, par multiplicatio : = O peut désormais placer toutes ces iformatios das u tableau de variatios : f x) = + x x + Sige de f x) = e x + Variatios + + de la foctio f Figure Tableau de variatios de la foctio f. Partie B. a) Nous savos que l itégrale d ue foctio positive sur u itervalle [a, b] s iterprète graphiquemet comme ue aire exprimée e uités d aire). Sur l itervalle [, ], la foctio f est positive car x l est et ue expoetielle aussi). O peut doc affirmer que, graphiquemet, l itégrale I représete l aire comprise etre la courbe C, l axe des abscisses, l axe des ordoées et la droite D d équatio x =.. cette propriété se traduit par l équivalece : pour toutes quatités A et B strictemet positives. A B la) lb) Retrouvez l itégralité du corrigé sur otre site :

4 Corrigé du BAC S 4 - Métropole 4 Illustratio questio-type-bac.fr C O x Figure Iterprétatio graphique de I. b) Il semble que, pour tout etier aturel, la courbe C + soit située e dessous de la courbe C. Cela ous permet de cojecturer que pour tout etier aturel, o a : I + I autremet dit, que la suite I ) est décroissate. I D C D C + O x Figure 4 Cojectures sur la suite I ). Par ailleurs, il semble que, pour tout etier aturel, les courbes C restet situées au dessus de la droite d équatio y = x. Or, ous savos que : x dx = Retrouvez l itégralité du corrigé sur otre site :

5 Corrigé du BAC S 4 - Métropole 5 Cela ous permet de cojecturer que la suite I ) est miorée par : I Et efi, comme ces courbes ot l air de se rapprocher de plus de cette droite, sur l itervalle [, ], o peut cojecturer que la ite de la suite I ) est égale à.. Pour tout etier aturel supérieur ou égal à, o a : Par liéarité de l itégrale : I + I = I + I = E factorisat par e +)x : I + I = Et via les propriétés de l expoetielle : I + I = x + e +)x ) dx x + e x ) dx x + e +)x ) x + e x)) dx = questio-type-bac.fr e +)x ) e x dx e +)x e +)x e x++)x) dx = e +)x e x) dx e +)x e x) dx Nous savos que pour tout réel x et a fortiori pour tout réel x compris etre et, o a : e +)x > De plus, puisque x est compris etre et, o a : x Par croissace de la foctio expoetielle, o e déduit : E particulier, il viet : e x e e x E coséquece, ous avos pour tout réel x compris etre et : e +)x e x) E itégrat cette iégalité etre et, ous obteos alors : e +)x e x) dx Autremet dit, pour tout etier aturel supérieur ou égal à : I + I I + I Ceci prouve que la suite I ) est décroissate pour ). Par ailleurs, comme la foctio f est positive sur l itervalle [, ], so itégrale l est égalemet : I. e fait, le calcul précédet est même valable pour tout etier aturel, ce qui permet d affirmer que la suite I ) est bie décroissate sur N. Retrouvez l itégralité du corrigé sur otre site :

6 Corrigé du BAC S 4 - Métropole 6 Autremet dit, la suite I ) est miorée par. Bila : la suite I ) est décroissate et miorée, doc elle coverge mais pas forcémet vers, cf. questio suivate).. Détermios ue expressio de I e foctio de e calculat l itégrale I, lorsque : I = x + e x ) [ ] x ) dx = e x = e ) e = + Efi, pour =, o a : I = D où «ue expressio» de I e foctio de : I = questio-type-bac.fr [ ] x x + ) dx = + x = + = e + si si = Étudios maiteat la ite de cette suite I ). Nous avos : + e Par coséquet, la suite I ) admet bie ue ite : = et + I = + = Prologemet de cet exercice Démotrer que, pour chaque etier aturel o ul, la foctio f est positive sur R et admet u miimum que l o exprimera e foctio de ). Pour quelle valeur de l abscisse de ce miimum est-elle maximale? Étudios les variatios de f pour. Pour tout réel x, o a : Puis, o détermie le sige de cette dérivée : f x) = e x f x) e x Puis, par croissace de la foctio logarithme sur ], + [, o obtiet : D où le tableau de variatios suivat : x e x f x) l) x x l) l) + Sige de f x) = e x + Variatios de la foctio f l)+ Figure 5 Tableau de variatios de la foctio f. La foctio f admet doc, pour, u miimum e l) égal à : ) l) f = l) + e l) = l) + Retrouvez l itégralité du corrigé sur otre site :

7 Corrigé du BAC S 4 - Métropole 7 Comme, o a l)+ > ce qui prouve que les foctios f sot positives sur R. Pour détermier la valeur maximale de l abscisse l) de ce miimum, o étudie maiteat la foctio ϕ défiie sur [, + [ par : ϕt) = lt) t Cette foctio ϕ est de la forme u v avec ut) = lt) doc sa dérivée ϕ est égale à : vt) = t ce qui doe : O a : D où le tableau de variatios suivat : ϕ t) = ϕ = u v v u questio-type-bac.fr v t t lt) ) = lt) ) lt) lt) ϕ t) lt) t e t e + Sige de ϕ t) + Variatios de la lt) O rappelle, au passage, que =. t + t Comme < e <, il s agit de comparer l) foctio ϕ Figure 6 Tableau de variatios de la foctio t lt) l) l) = et l) e. Pour cela o peut étudier le sige de leur différece : l) l) l ) l ) l8) l9) = Or, ous savos que la foctio l est strictemet croissate sur ], + [ doc : t Par coséquet : l8) < l9) l) < l) Coclusio : c est pour l etier = que l abscisse du miimum de f est la plus grade. Retrouvez l itégralité du corrigé sur otre site :

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