1) a) Par définition, pour un passage à l octave, avec soit soit un rapport de = 1,05946 entre 2 demi tons voisins.

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1 PC*1 / PC*2 / PC CORRECTION DU DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE N 5 12 décembre UN AIR DE GUITARE I La gamme tempérée 1) a) Par définition, pour un passage à l octave, avec un rapport de = 1,05946 entre 2 demi tons voisins. b) On a immédiatement : Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz II Caractéristiques de la guitare 2) a) Un élément de corde de longueur dl, de masse µdl situé entre les abscisses x x+dx est soumis aux deux forces : exercée par la partie de corde située à sa droite y α(x) exercée par la partie de corde située à sa gauche est l angle entre l élément de corde dl l horizontale. O x x+dx x La relation fondamentale de la dynamique donne : sur Ox : Compte tenue de l hypothèse des pites amplitudes, α << 1, donc en tout point, on peut confondre la longueur dl avec sa projection dx : dx = dl dl Il reste La tension imposée à l extrémité de la corde étant constante, la tension en tout point ne dépend pas non plus du temps. sur Oy : avec dl = dx α << 1 : α =, : il reste : que l on peut simplifier mtre sous la forme : b) c) La masse linéique des cordes est de l ordre de g.m -1 pour la plus lourde, un poids de 0,03 N. On peut sans grand risque prévoir que ce poids sera négligeable devant les tensions des cordes que l on calculera plus loin. 3) a) Une corde de guitare est attachée à ses deux extrémités, les ondes qui peuvent s y établir sont de nature stationnaire. On cherche les modes propres, donc les solutions stationnaires harmoniques sous la forme avec en remarquant que Il vient donc. Les fréquences propres sont

2 b) Entre le mi 3 le la 3, il y a un demi-ton deux tons 5 demi-tons : 2 = 330 Hz De même, entre le si 2 le la 3, il y a 10 demi-ton (on monte d une octave, puis on redescend d un ton) 247 Hz Et, entre le sol 2 le la 3, il y a 14 demi-ton (on monte d une octave, puis encore d un ton) = 196 Hz 4) Pour le fondamental, avec il vient avec on obtient finalement A tension longueur égales les cordes fines sont les plus aigues. Les tensions sont = 100 N = 155 N = 192 N 5) Le corps de la guitare fait office de caisse de résonance : les vibrations de la corde sont transmises à l air dans la caisse qui vibre en les amplifiant par résonance. Dans une guitare électrique, c est un amplificateur électrique qui joue ce rôle. 6) a) En appuyant la corde sur une frte, on diminue sa longueur, ce qui modifie ses fréquences propres en particulier son fondamental. La relation de quantification établit qu une diminution de longueur correspond à une augmentation de fréquence : la note obtenue est plus aigue. Cte caractéristique est générale pour les instruments à cordes, à tension fixée : un violoncelle joue plus haut qu une contrebasse plus bas qu un alto. b) En appuyant deux cordes simultanément sur une barrte, pour un accord, les fréquences produites sont augmentées dans le même rapport que la diminution de longueur commune des cordes, ce qui ne serait pas le cas si les barrtes étaient en biais. On garde la consonance, c est à dire des sons de rapport de fréquence constant. c) On écrit la relation de quantification pour le fondamental de chaque corde : On en déduit On vérifie bien que la note plus aiguë est obtenue avec une corde plus courte. On doit appuyer sur la cinquième case à partir de la tête de manche. III Accordage 7) Un instrument n est jamais définitivement accordé : la tension d une corde peut varier parce qu on touche à une clé, parce que la corde s use, parce que la température varie (dilatation ou contraction), Les différentes cordes doivent être accordées entre elles pour rester dans des rapports de fréquence constants : toujours la consonance! En jouant sur les clés, on modifie la tension, donc la fréquence. Une augmentation de tension rend un son plus aigu : 8) a) On applique le principe de superposition issu de la linéarité des équations de l acoustique (dans le cadre de l approximation acoustique) b)

3 3 le produit d une fonction de fréquence moyenne d une autre de fréquence On peut considérer comme fonction de fréquence d amplitude modulée de période c) Si la corde était parfaitement accordée, serait nulle on entendrait la note exacte tenue. Le musicien entend la note moyenne mais avec une amplitude variable dans le temps qui s annule tous les. En agissant sur la tension de la corde, on modifie. Si on se rapproche de l accord, diminue la durée entre les extinctions du son s espacent. 9) a) On a ; en effectuant la différentielle logarithmique :. b) Pour un écart de 5 savarts, donc Numériquement, l écart relatif vaut : = 2, Pour T = 100 N par exemple, 2,3 N (équivalente au poids d une masse de 230 g). c) C accord est tout à fait réalisable : c est l oreille du musicien non une contrainte mécanique qui limite la précision de l accord. 10) Quand la corde la plus fine passe du mi 2 au mi 3, elle monte d une octave. L allongement relatif de la corde varie puisque la tension varie. En notant d le diamètre, un quart de tour de clé correspond à une variation d allongement de = 3,92 mm entre mi 2 au mi 3. La variation d allongement relatif est = = 6, entre mi 2 mi 3 Le module d Young E de l acier se déduit de la relation pour la corde de mi 2 :, pour la corde de mi 3 : avec La relation conduit à AN : = 174 GPa Le module d Young de l acier est de 210 GPa, l estimation est satisfaisante. IV Prise en compte de la raideur de la corde 11) γ s exprime en. Avec la valeur du module d Young trouvé en 10), γ N.m 2 pour la corde de

4 4 12) Il faut reprendre la démonstration de la première question en rajoutant la force ce qui conduit, après simplifications à Avec, on obtient ou 13) a) On cherche des solutions stationnaires pour une corde limitée spatialement. b) On injecte la solution stationnaire dans l équation du mouvement : il vient ou équation de dispersion c) L application des conditions aux limites de la corde conduit à : d) On remplace : Finalement, On a bien la forme demandée avec α =1/2 14) a) La raideur augmente les fréquences propres de la corde : celle-ci va vibrer plus haut que la corde idéale. La raideur se fait davantage sentir aux harmoniques de rangs élevés. C eff est plus important pour la corde la moins tendue, donc la corde de b) AN : 1, L écart relatif est donc de 8, pour le fondamental de 7, pour la troisième harmonique. Pour la troisième harmonique, cela correspond à un écart inférieur à 0,04 savart : c eff de raideur n est pas audible, on peut continuer à considérer les cordes idéales. V Timbre 15) L expression générale du déplacement de la corde est une onde stationnaire non harmonique, superposition des différents modes propres : 16) avec la fonction donnée par le profil initial de la corde, = 0 17) Par analogie, peut se lire comme le développement de Fourier de la fonction 2π qui est la fonction impaire du seul paramètre x, de période spatiale λ donnée par = λ λ = 2L dont les coefficients sont, confondue avec sur l intervalle

5 5 On a donc : Comme est un produit de fonctions impaires, c est une fonction paire, l on peut intégrer sur une demi période spatiale : Finalement avec 18) a) Le profil de la corde pincée en L/5 ne peut pas présenter de nœuds en L/5, le mode n =5 sera absent. Le spectre A ne peut pas convenir. En revanche, le spectre B pour lequel l harmonique de rang 5 est est nulle peut convenir. Le spectre B est compatible avec la vibration étudiée. b) Le spectre A est plus pauvre en harmoniques que le spectre B, correspondra à un son plus métallique.