ESTIMATION Exercices

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "ESTIMATION Exercices"

Transcription

1 ESTIMATION Exercices EERCICE : Les variables aléatoires cosidérées das cet exercice sot défiies sur u espace probabilisable, AP, Soit a u réel strictemet positif et ue variable aléatoire de loi uiforme sur 0,a * ) Soit.O cosidère variables aléatoires,..., qui ot toutes la même loi que.o pose M Max espérace et sa variace ) E déduire que U,...,.Détermier la loi de M et calculer so M... l estimateur V? EERCICE : ESC 006) est u estimateur sas biais de E.Est-il préférable à Das cet exercice R désige u réel fixé strictemet positif et o cosidère la foctio f défiie sur f t) 0 si t 0, R par : f t) t si t 0; R R. a) Etudier la cotiuité de f. b) Motrer que f est ue desité de probabilité. O ote das toute la suite ue variable aléatoire réelle de desité f. F désige sa foctio de répartitio.. a) Détermier la valeur F x) lorsque x 0, puis lorsque x R. b) Motrer que pour tout réel x de [0 ; R], F ) x x R 3. a) Motrer que admet ue espérace et que E ) R. 3 b) Motrer que admet ue variace et quev ) R. 8 Das toute la suite désige u etier aturel o ul et,,, des variables aléatoires idépedates et de même loi que. O cherche à estimer le réel R à l'aide de,,,. 4. O ote T 3 k et o cherche à estimer R avect. k Motrer quet est u estimateur sas biais de R et calculer so risque quadratique oté r T ). 5. O ote M la variable aléatoire preat pour valeur le maximum des valeurs prises par les variables,,,

2 a) Motrer que pour tout réel x, P M x) F x)).e déduire la foctio de répartitio de M, puis motrer que M est ue variable aléatoire à desité b) Motrer qu'ue desité possible de M est la foctio g défiie sur I R par : g g t) t R t) 0 c) Motrer que M admet ue espérace et ue variace, et que : E M R ) Et V M ) R. ) ) d) O cherche à estimer R avec M : Calculer le biais de M oté b M ), et so risque quadratique oté r M ) 6. a) Détermier u équivalet simple lorsque ted vers + de b M ) et r M ). si si t t b) Quels sot les avatages et les icovéiets réciproques des estimateurst et M? EERCICE 3 : EDHEC AST 04 [ 0 ; [ 0 ; R ] R ]

3 que Z est u estimateur biaisé de N EERCICE 4: ECRICOME S 009) O examie das cet exercice deux méthodes différetes pour tester la cotamiatio par ue bactérie de 400 bouteilles de lait choisies au hasard sur le territoire Das tout l exercice, est u réel fixé, élémet de l itervalle 0, 0 O suppose que pour chaque bouteille, la probabilité de cotamiatio est égale au réel O dispose d u test permettat de maière ifaillible de savoir si l échatillo de lait qu o lui soumet est cotamié ou o quelque que soit le volume de cet échatillo). Das cette questio o adopte ue méthode simple cosistat à tester ue par ue chaque bouteille O ote k la variable de Beroulli valat si la k -ième bouteille testée est cotamiée et 0 si la k -ième bouteille est saie sot mutuellemet O supposera das tout l exercice que les variables k k 400 idépedates 400 a) Justifier que la variable Z k est u estimateur sas biais de 400 k b) Détermier la variace VZ de Z et justifier que VZ 4000 c) Motrer que P Z Que peut-o e déduire sur l itervalle de cofiace Z0.05; Z 0.05?. Das cette questio o examie ue méthode mois directe : les 400 bouteilles sot regroupées e 40 lots de 0 bouteilles. O remplit alors 40 jerrycas e versat das chacu la quasi-totalité des 0 bouteilles d u lot o garde das chaque bouteille u peu de lait pour u futur deuxième exame évetuel)

4 O teste esuite chacu des 40 jerrycas : Si u jerryca est cotamié, o teste ue à ue les 0 bouteilles icrimiées Si u jerryca est pas cotamié, o cosidère les 0 bouteilles dot il est rempli comme saies O ote Y la variable de Beroulli valat si le ième jerryca dot il est rempli est cotamié et 0 sio Efi o ote T la variable aléatoire égale au ombre total de tests effectués das cette méthode a) Motrer que pour tout etier,40, EY b) Justifier que T 40 0Y 0 Y... 0Y 40 ET c) E déduire que cette méthode est préférable à la première si et seulemet si e l0 0 et que 0 l Est-ce le cas ici? o doe e ) EERCICE 5 : ESSEC 005) Ue etreprise souhaite acquérir ue machie qui fabrique u certai type d'objets et qui, e foctioemet ormal, produit ue proportio p d'objets défectueux, 0 < p <. Le directeur veut coaître la valeur de p. Pour cela il teste la machie et prélève u échatillo de objets, >, qu'il aalyse. Pour tout i ; soit i la variable aléatoire de Beroulli défiie par i = si le ième objet prélevé est défectueux i = 0 sio O suppose que das les coditios de prélèvemet, les variables aléatoires ;... ; sot idépedates. O ote S = i. i S ) Motrer que F est u estimateur sas biais de p ) Calculer le risque quadratique r E F p.détermier lim Soit u réel de 0,. O souhaite détermier das cette questio u itervalle de cofiace du paramètre p icou, au iveau de cofiace, à partir de l'échatillo ;... ; ) F p 3) Quelle est la limite e loi de la suite? p p * 4) Soit t le réel défii par t = où désige la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée, réduite. Motrer qu'u itervalle de cofiace de p au iveau est doé par U; V tel que t t P U p V ) où U = F et V = F +. r.

5 EERCICE 6 : extrait de HEC S 007) Pour p *, o cosidère u échatillo de p variables aléatoires T, T,..., Tp idépedates suivat toutes la même loi de Poisso de paramètre 0 icou. O veut estimer. O pose T p p p i TP Ti et Up p ) Motrer que Tp est u estimateur sas biais de ) Quelle est la limite e loi de la suite de variables aléatoires p p U? 3) O veut costruire, pour p assez grad, u itervalle de cofiace du paramètre au risque doé. Soit u le réel strictemet positif tel que PU u où U est ue variable aléatoire qui suit la loi ormale cetrée réduite. Justifier que, pour p assez grad, o peut écrire itervalle de cofiace Ip, Jp pour au risque. EERCICE 7 : P U u et détermier alors u O cherche à évaluer le ombre N de poissos das u étag. O prélève das l étag u échatillo de m poissos.o les marque et o les remet das l étag. O propose d estimer N. Soit *, m.o prélève des poissos das l étag, au hasard et avec remise. O ote la variable aléatoire égale au ombre de poissos qu il a été écessaire de pêcher pour obteir poissos marqués. Pour tout etier i tel que i, o pose Di i i.o pose de plus D et o suppose que les D sot des variables aléatoires idépedates. i ) a) Détermier, pour tout i,, la loi de D i, so espérace et sa variace.e déduire l espérace et la variace de. m b) O pose A.Motrer que A est u estimateur sas biais de N. ) a) Pour assez grad, par quelle loi peut-o approcher la loi de la variable aléatoire? m m b) O pose l écart type de A.Démotrer que.65 ;.65 est u où est itervalle de cofiace pour N au seuil de cofiace 0.9 o doe la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée et réduite). O a pu prouver par ailleurs que 00.O a marqué 00 poissos, puis effectué 450 prélèvemets pour obteir 50 poissos marqués. Doer u itervalle de cofiace réalisé pour N au seuil de cofiace 0.9. p

6 EERCICE 8 : extrait de HEC II S 0 Soit u etier aturel o ul A. O cosidère la foctio F défiie sur par : F x si x x 0 si x ) Tracer la courbe représetative de F e précisat la demi-tagete au poit d abscisse ) Motrer que la foctio F est la foctio de répartitio d ue certaie variable aléatoire à desité dot o précisera ue desité otée f 3) Motrer que admet aucu momet d ordre B. O cosidère variables aléatoires,,..., idépedates de même loi que et sup,,..., soit Z ) Détermier la foctio de répartitio otée G de la variable aléatoire Z O défiit sur la foctio H h par : H x exp ) si x 0 x 0 si x 0 ) Motrer que la foctio H est la foctio de répartitio d ue certaie variable aléatoire à desité Y dot o précisera ue desité otée h 3) Motrer que la suite de variables aléatoires Z * coverge e loi vers Y C. Das cette partie, suit la loi ormale d espérace icoue et de variace égale à... O ote la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite et O a toujours,,..., variables aléatoires idépedates de même loi que... ) Motrer que est u estimateur sas biais de ) Détermier u itervalle de cofiace du paramètre au risque dot le milieu est de demi-logueur le réel positif.vérifier que

7

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences.

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences. Pierre Veuillez Statistiques iféretielle Sources, et pour e savoir plus : http://www.math-ifo.uiv-paris5.fr/smel 1 Problématique : Exemple ue ure cotiet des boules rouges et blaches dot o e coaît pas la

Plus en détail

b) Calculer la dérivée de la fonction. La fonction est dérivable sur comme quotient de deux fonctions dérivables sur.

b) Calculer la dérivée de la fonction. La fonction est dérivable sur comme quotient de deux fonctions dérivables sur. DST 6 Correctio Exercice 1 (5 poits) (Asie, jui 11) Le pla est rapporté à u repère orthoormal. 1) Étude d ue foctio. O cosidère la défiie sur l itervalle par. O ote la foctio dérivée de la foctio sur l

Plus en détail

i la moyenne empirique de X n n v =

i la moyenne empirique de X n n v = Corrigé Statistiques iféretielle par par Pierre Veuillez Itervalle de cofiace. Exercice Détermier ue valeur approchée de la loi de la moyee empirique : E X E X, V X V X doc X N E X, V X Exercices. Variace

Plus en détail

Divers exercices de probabilité

Divers exercices de probabilité Divers exercices de probabilité Traiter e priorité les quatre premiers exercices de chaque sectio. 1 Probabilité Exercice 1.1 Mo voisi a deux efats. 1- Le plus jeue est ue fille, quelle est la probabilité

Plus en détail

Chapitre 6 Théorèmes de convergence

Chapitre 6 Théorèmes de convergence Chapitre 6 Théorèmes de covergece 1. La covergece e loi O a déjà recotré ue covergece e loi lors de l approximatio d ue loi biomiale par ue loi de Poisso. Ce problème se place das u cadre plus gééral où

Plus en détail

EXERCICES de Statistiques

EXERCICES de Statistiques EXERCICES de Statistiques Aette Corpart lycée Jea Zay de Thiers EXERCICES sur la LOI NORMALE La variable aléatoire X suit la loi ormale N ( 12 ; 4 ). Calculer les probabilités suivates : P ( X 15 ) ; P

Plus en détail

Amérique du Nord. Terminale S mai 2014

Amérique du Nord. Terminale S mai 2014 Termiale S mai 2014 Amérique du Nord 1 Exercice 1 (5 poits) Das cet exercice, tous les résultats demadés serot arrodis à 10 3 près Ue grade eseige de cosmétiques lace ue ouvelle crème hydratate Partie

Plus en détail

Convergences et approximations

Convergences et approximations Covergeces et approximatios Probabilités : Chapitre 5 Das tout ce chapitre, les démostratios serot faites das le cas des variables discrètes et des variables à desité. I Iégalité de Bieaymé-Tchebychev

Plus en détail

BA + DB. Métropole La Réunion septembre 2008

BA + DB. Métropole La Réunion septembre 2008 étropole La Réuio septembre 008 EXERCICE 4 poits Commu à tous les cadidats Das ue kermesse u orgaisateur de jeu dispose de roues de 0 cases chacue. La roue comporte 8 cases oires et cases rouges. La roue

Plus en détail

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites Opératios sur les variables aléatoires Lois limites A. Idépedace de deux variables aléatoires. Exemple 1. Pour améliorer le stockage d u produit u supermarché fait ue étude sur la vete de packs de 6 bouteilles

Plus en détail

( ) ( ) ( ) ( 4) Terminale S Exercices sur le chapitre «Suites numériques» Page 1. deux nombres réels. Initialisation Récupérer la valeur de M

( ) ( ) ( ) ( 4) Terminale S Exercices sur le chapitre «Suites numériques» Page 1. deux nombres réels. Initialisation Récupérer la valeur de M Termiale S Exercices sur le chapitre «Suites umériques» Page Exercice : O cosidère la suite ( p ) défiie sur N par ) O cosidère l algorithme suivat : Variables u etier aturel et deux ombres réels Iitialisatio

Plus en détail

Introduction aux théorèmes limites et aux intervalles de confiance

Introduction aux théorèmes limites et aux intervalles de confiance Chapitre 5 Itroductio aux théorèmes limites et aux itervalles de cofiace Objectifs du chapitre. Savoir approcher ue loi biomiale par ue loi de Poisso ou ue loi ormale. 2. Savoir approcher ue loi e appliquat

Plus en détail

Lois normales. Intervalle de fluctuation. Estimation.

Lois normales. Intervalle de fluctuation. Estimation. Lois ormales. Itervalle de fluctuatio. Estimatio.. Loi ormale cetrée réduite... p. Théorème de Moivre-Laplace... p 3. Loi ormale (µ ; σ²)... p3 Copyright meilleuremaths.com. Tous droits réserwidevec{}vés

Plus en détail

LOIS NORMALES. I. Introduction. Voici quelques exemples de courbes provenant de la vie quotidienne :

LOIS NORMALES. I. Introduction. Voici quelques exemples de courbes provenant de la vie quotidienne : I. Itroductio. LOIS NORMALES. Voici quelques exemples de courbes proveat de la vie quotidiee : La répartitio du QI das la populatio Le poids d ue populatio de chatos Répartitio des coscrits e 1907 Age

Plus en détail

TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite.

TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite. Uiversité Pierre & Marie Curie Licece de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémetaires Aée 2014 15 TD10. Loi des grads ombres, théorème cetral limite. 1. Soit (U ) 1 ue suite de variables aléatoires

Plus en détail

1 Lois des grands nombres. 2 Théorème central-limite. 3 Estimation ponctuelle à partir d échantillons. 4 Biais dans les estimations

1 Lois des grands nombres. 2 Théorème central-limite. 3 Estimation ponctuelle à partir d échantillons. 4 Biais dans les estimations Pla du cours 2 RFIDEC cours 2 : Échatillos, estimatios poctuelles Christophe Gozales LIP6 Uiversité Paris 6, Frace 1 Lois des grads ombres 2 Théorème cetral-limite 3 Estimatio poctuelle à partir d échatillos

Plus en détail

Convergence en loi. Théorème de la limite centrale.

Convergence en loi. Théorème de la limite centrale. Uiversité Pierre et Marie Curie 2013-2014 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 10 (semaie du 2 au 6 décembre 2013 Covergece e loi. Théorème de la limite cetrale. Covergece e loi 1. Soiet (X N ue

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u :

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u : SUITES NUMERIQUES Coteus : Capacités attedues : Commetaires : Suites Limite d ue suite défiie par so terme gééral Notatio lim u Suites géométriques : - somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique

Plus en détail

Autour de la loi de Poisson

Autour de la loi de Poisson Agrégatio Itere de Mathématiques Thierry Champio séace du 25 ovembre 2016 Autour de la loi de Poisso Notatios - Itroductio Das tout ce problème, (Ω, T, P) est u espace probabilisé. Toutes les variables

Plus en détail

DEVOIR COMMUN. Terminales S. Mathématiques. Candidats non spécialistes

DEVOIR COMMUN. Terminales S. Mathématiques. Candidats non spécialistes Jeudi 20 javier 2011 DEVOIR COMMUN Termiales S Mathématiques Cadidats o spécialistes Le sujet comporte 4 exercices. Ue feuille aexe est à redre complétée avec les copies. L'usage du téléphoe portable 'est

Plus en détail

Statistiques inférentielles. Introduction. Exemples. Définition (Échantillon aléatoire) Définition (Statistique inférentielle) Exemple 1.

Statistiques inférentielles. Introduction. Exemples. Définition (Échantillon aléatoire) Définition (Statistique inférentielle) Exemple 1. Statistiques iféretielles Pierre-Heri WUILLEMIN Licece d Iformatique Uiversité Paris 6 Itroductio Soit ue populatio de taille N sur laquelle o observe ue propriété, dot o veut calculer moyee µ et de variace

Plus en détail

. En déduire la limite de f 1 en +. F 1 (x) = e 2 2 4

. En déduire la limite de f 1 en +. F 1 (x) = e 2 2 4 Atilles-Guyae septembre 5 EXERCICE 6 POINTS Commu à tous les cadidats 6 poits Soit u etier aturel o ul. O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur l esemble des ombres réels par f (x) = x e x O ote

Plus en détail

Éléments de correction de la feuille d exercices # 3

Éléments de correction de la feuille d exercices # 3 Uiversité de Rees L SVE Probabilités et statistiques aée 25-26 Élémets de correctio de la feuille d exercices # 3 Exercice Exemple de loi discrète Soit X ue variable aléatoire discrète preat les valeurs

Plus en détail

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015 Uiversité Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Aée 2014-15 Exame du 13 mai 2015 Le sujet comporte 2 pages. L épreuve dure 2 heures. Les documets, calculatrices et téléphoes

Plus en détail

Conception : EDHEC OPTION ÉCONOMIQUE MATHÉMATIQUES. 2 mai 2017, de 8 h. à 12 h.

Conception : EDHEC OPTION ÉCONOMIQUE MATHÉMATIQUES. 2 mai 2017, de 8 h. à 12 h. Coceptio : EDHEC OPTION ÉCONOMIQUE MATHÉMATIQUES mai 07, de 8 h à h La présetatio, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets etrerot pour ue part

Plus en détail

Probabilités générales

Probabilités générales Chapitre 4 termiale s Probabilités géérales Les probabilités (rappels) : ) Quelques otios de vocabulaire : Nous allos étudier selo quelle mesure u fait proveat du hasard peut être prévisible a) Ue expériece

Plus en détail

x 0 h a (x) ln (2 a ) h a 2 a Justifier, par le calcul, le signe de h' a (x) pour x appartenant à ] 0 ; + [. b. Rappeler la limite de ln x x

x 0 h a (x) ln (2 a ) h a 2 a Justifier, par le calcul, le signe de h' a (x) pour x appartenant à ] 0 ; + [. b. Rappeler la limite de ln x x EXERCICE (6 poits) Commu à tous les cadidats Soit f la foctio défiie sur l itervalle ] ; + [ par f () = l Pour tout réel a strictemet positif, o défiit sur ] ; + [ la foctio g a par g a () = a O ote C

Plus en détail

REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices

REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices EXERCICE 1 : Soit E u espace vectoriel et u L(E) tel que u u +u = 0 Motrer que Sp (u) {0, 1, } EXERCICE : 1) Soit A ue matrice carrée telle que A

Plus en détail

Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2016

Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2016 Baccalauréat S Cetres étragers 0 jui 206 Exercice I (4 poits) Pour chacue des quatre affirmatios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse, e justifiat la répose. il est attribué u poit par répose

Plus en détail

( 2) e x. x + d x. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

( 2) e x. x + d x. Donner une interprétation graphique de cette intégrale. EXERCICE : (6 poits) Commu à tous les cadidats Les deux parties de cet exercice sot idépedates. Partie A O cosidère l équatio différetielle (E) : y ' + y e x. ) Motrer que la foctio u défiie sur l esemble

Plus en détail

CONCOURS BLANC 1 SCI 2

CONCOURS BLANC 1 SCI 2 CONCOURS BLANC SCI Durée : 4 heures Aucu istrumet de calcul est autorisé Aucu documet est autorisé Les étudiats sot ivités à soiger la présetatio de leur copie EXERCICE : CCP 05 CCP : cocours commus polytechiques

Plus en détail

Statistiques inférentielles

Statistiques inférentielles Statistiques iféretielles LI323 Hugues Richard (otes de cours: Pierre-Heri Wuillemi) Uiversité Pierre et Marie Curie (UPMC) Laboratoire géomique des microorgaismes (LGM) Itroductio Soit ue populatio de

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Estimation non-paramétrique 1. Estimateurs empiriques

CHAPITRE 2 : Estimation non-paramétrique 1. Estimateurs empiriques CHAPITRE 2 : Estimatio o-paramétrique 1. Estimateurs empiriques Soit u échatillo i.i.d. de durées T i i1,..., de foctio de survie S Défiitio: L estimateur empirique de la foctio de survie est S x 1 i1

Plus en détail

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n.

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n. Lycée secodaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math Exercice Das chacu des cas suivats, calculer la limite de la suite ( U ) lorsque + ) U = 3 + ; ) U = si π =

Plus en détail

TS Devoir Commun de Mathématiques N 3 Lundi17/11/2014

TS Devoir Commun de Mathématiques N 3 Lundi17/11/2014 TS Devoir Commu de Mathématiques N Ludi7//04 La présetatio, la rédactio et la rigueur des résultats etrerot pour ue part sigificative das l évaluatio de la copie Le sujet est composé de 4 eercices idépedats

Plus en détail

Analyse 5 SUITES REELLES

Analyse 5 SUITES REELLES Aalyse chap 5 /6. GENERALITES SR LES SITES. Défiitios Défiitio : e suite est ue foctio, défiie sur ue partie D de. O ote () =, o lit «idice». O dit que est le terme gééral de la suite, ou terme de rag.

Plus en détail

Quelques notions élementaires de probabilités et statistiques

Quelques notions élementaires de probabilités et statistiques Chapitre 6 Quelques otios élemetaires de probabilités et statistiques 6.1 Probabilités U uivers Ω est u esemble modélisat les réalisatios possibles d ue expériece. U esemble A P(Ω) modélise la otio d évéemet

Plus en détail

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2017 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficiet : 9 ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Les calculatrices électroiques de poche sot autorisées, coformémet à la réglemetatio

Plus en détail

Echantillon : Collection d'individus prélevés dans la population statistique.

Echantillon : Collection d'individus prélevés dans la population statistique. SONDAGE (ECHANTILLONNAGE) POPULATION STATISTIQUE N idividus possédat ue modalité yi de la (ou des) variable(s) y ( i N) PARAMETRES valeur cetrale dispersio corrélatio µ σ² ρ moyee variace coef. corr. ECHANTILLON

Plus en détail

M : Zribi 4 ème Sc Exercices. Série 34

M : Zribi 4 ème Sc Exercices. Série 34 Série ème Sc Exercices Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l'ure : - si la boule tirée est blache, o la remet das

Plus en détail

STATISTIQUES - ESTIMATION

STATISTIQUES - ESTIMATION STATISTIQUES - ESTIMATION I Echatilloage et estimatio : itroductio O se situe ici das 2 domaies des statistiques qui sot ceux de l «échatilloage» et de l «estimatio». Ces 2 domaies ot des cotextes d applicatio

Plus en détail

4 ème aée Maths Limites Cotiuité et dérivabilité Octobre 9 A LAATAOUI Eercice : La figure ci cotre est la représetatio graphique d ue foctio f défiie et cotiue sur IR O ote que (ζf) admet au voisiage de

Plus en détail

Annexe I. Théorie des tests : Rappel très simplifié sur un exemple.

Annexe I. Théorie des tests : Rappel très simplifié sur un exemple. Théorie des tests : Rappel très simplifié sur u exemple. Aexe I Test de l efficacité d u remède sur des malades atteit d u rhume. p 0 : probabilité de guérir das les huit jours avec u placebo p 1 : probabilité

Plus en détail

Échantillonnage. I Rappels sur les lois usuelles 2

Échantillonnage. I Rappels sur les lois usuelles 2 BTS DOMOTIQUE Échatilloage 2008-2010 Échatilloage Table des matières I Rappels sur les lois usuelles 2 II Approximatios de la loi biomiale 2 II.1 Approximatio par la loi de poisso................................

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires»

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Exercice 1 (Recostitutio de paires) O fixe deux etiers aturels 1 r. U placard cotiet

Plus en détail

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2017 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficiet : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroiques de poche sot autorisées, coformémet à la réglemetatio

Plus en détail

CONVERGENCE ET APPROXIMATION

CONVERGENCE ET APPROXIMATION 11-2- 2010 J.F.C. Cov. p. 1 CONVERGENCE ET APPROXIMATION I CONVERGENCE EN PROBABILITÉ 1. Défiitio 2. Ue coditio suffisate de covergece e probabilité 3. La loi faible des grads ombres 4. Ue coséquece de

Plus en détail

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 206 Eocés Etude asymptotique de suites de solutios d ue équatio Exercice [ 02289 ] [Correctio] Soit u etier aturel et E l équatio x + l x = d icoue x R +.

Plus en détail

CHAINES DE MARKOV. de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, TPà, valeurs dans un ensemble fini E telles que, pour tout n tout

CHAINES DE MARKOV. de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, TPà, valeurs dans un ensemble fini E telles que, pour tout n tout COURS CHAIES DE MARKOV Défiitio O appelle chaîe de Marov toute suite de variables aléatoires défiies sur le même espace probabilisé, TPà, valeurs das u esemble fii E telles que, pour tout tout i, i,, i

Plus en détail

Z = 1 4i. z = On multiplie par le conjugué du dénominateur S = 5. = b + i. z 2 = z 1. 2 = 3 i 2. = 6 + 2i 4. { 3 + i. 2 ; 3 i }

Z = 1 4i. z = On multiplie par le conjugué du dénominateur S = 5. = b + i. z 2 = z 1. 2 = 3 i 2. = 6 + 2i 4. { 3 + i. 2 ; 3 i } Nom :........................ DS Préom :..................... Devoir o 7 Mars 6.../... Le soi et la rédactio serot pris e compte das la otatio. Faites des phrases claires et précises. Le barème est approximatif.

Plus en détail

DAEUB EXAMEN PREMIERE SESSION 2013/2014

DAEUB EXAMEN PREMIERE SESSION 2013/2014 DAEUB EXAMEN PREMIERE SESSION 2013/2014 LE SUJET EST COMPOSE DE TROIS EXERCICES INDEPENDANTS. LE CANDIDAT DOIT TRAITER TOUS LES EXERCICES. Les calculatrices sot autorisées. Les portables doivet être éteits.

Plus en détail

TD 2 : Suites numériques réelles

TD 2 : Suites numériques réelles Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge

Plus en détail

question-type-bac.fr

question-type-bac.fr BAC S 4 Mathématiques - Frace métropole Eseigemet spécifique et de spécialité Ce documet est bie plus qu u simple corrigé de sujet de baccalauréat. Grâce aux solutios claires et détaillées, aux démarches

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * * SESSION 006 EPREUVE SPECIIQUE ILIERE MP MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Les calculatrices sot autorisées * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio

Plus en détail

Exercice 1-5 points - Pour tous les élèves Une nouvelle attraction est ouverte dans un grand parc. Pour tout entier non nul n, on note p

Exercice 1-5 points - Pour tous les élèves Une nouvelle attraction est ouverte dans un grand parc. Pour tout entier non nul n, on note p ermiale S - Bac blac de mathématiques Mars 6 Les calculatrices sot autorisées mais celles-ci e doivet être i échagées i prêtées durat l épreuve. Les quatre exercices serot rédigés sur ue feuille double

Plus en détail

X 1 = { X si X est impair 0 sinon

X 1 = { X si X est impair 0 sinon Corrigé ECRICOME 998 par Pierre Veuillez Das tout le problème, X désige ue variable aléatoire défiie sur u espace probabilisé (Ω, A, P et à valeurs das N et E(X l espérace de X si elle eiste. O ote A l

Plus en détail

CALCUL DIFFERENTIEL EXERCICES

CALCUL DIFFERENTIEL EXERCICES CALCUL DIFFERENTIEL EXERCICES EXERCICE 1 : O cosidère la foctio f défiie sur 4 xy si, 0,0 6 4 f x y x y 0 si xy, 0,0 par, 1) Motrer que pour tous réels positifs u et v, uv u v ) E déduire que la foctio

Plus en détail

FONCTIONS DE CLASSE C 1

FONCTIONS DE CLASSE C 1 FONCTIONS DE CLASSE C FONCTIONS DE CLASSE C La otio de classe C pour ue foctio est présete e aalyse (étude de foctios umériques à ue variable réelle, itégratios par parties) et e probabilités (foctio de

Plus en détail

D.S. nº4 : Suites, Probabilités, Complexes, exponentielle. Samedi 15 décembre 2012, 3h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à rendre avec la copie.

D.S. nº4 : Suites, Probabilités, Complexes, exponentielle. Samedi 15 décembre 2012, 3h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à rendre avec la copie. D.S. º4 : Suites, Probabilités, Complexes, expoetielle TS1 Samedi 15 décembre 01, h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à redre avec la copie. Nom :.................... Préom :................. Commuicatio

Plus en détail

i. En déduire une mesure de l angle ( BD, PΩ ).

i. En déduire une mesure de l angle ( BD, PΩ ). Polyésie septembre EXERCICE Pour chacue des propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et doer ue démostratio de la répose choisie Ue répose o démotrée e rapporte aucu poit O cosidère la

Plus en détail

donc sont-ils colinéaires : ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

donc sont-ils colinéaires : ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés. 1 Exercice 1 ( poits) L espace est mui d u repère orthoormal (O ; i, j, k ). Les poits A, B et C ot pour coordoées respectives A (1 ; ; ), B ( ; 6 ; 5), C( ; ; 3). 1 a) Démotrer que les poits A, B et C

Plus en détail

Compléments sur les suites Suites adjacentes

Compléments sur les suites Suites adjacentes DERNIÈRE IMPRESSION LE 7 février 07 à 6:3 Complémets sur les suites Suites adjacetes I Ecadremet d ue suite EXERCICE ) Motrer que pour tout k N et pour tout x [k ; k+], o a : k+ k+ k x dx k ) O pose u

Plus en détail

Partie B u. 4 Soit (u n ) la suite définie par : pour tout entier naturel n 0, u

Partie B u. 4 Soit (u n ) la suite définie par : pour tout entier naturel n 0, u Exercice 1 (6 poits) Commu à tous les cadidats O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur l itervalle [ 0 ; + [ par : f (x) = 5 l ( x ± 3 ) x. 1. a. O appelle f ' la foctio dérivée de la foctio f sur

Plus en détail

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie A CORRIGE DE LA ère COMPOSITION DE MATHEMATIQUES Eercice. Calculer, e, la dérivée de : Arc ta( ) Soit f ( ) Arc ta( ), alors f ( ) Arc ta( )

Plus en détail

x + (2 α) y = 0 3 L donc P

x + (2 α) y = 0 3 L donc P 1 Corrigé ESC 009 par Pierre Veuillez Exercice 1 O cosidère les matrices A, B, D, P, E de M (R) suivates : ( ) 5 1 4 ( ) A B 3 3 1 3 0 7 D P 3 3 ( ) { x (1 α) x y 0 1) a: (A αi) 0 y x + ( α) y 0 ( 1 )

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL. Bac blanc n 4 Mercredi 7 Mai 2014 MATHEMATIQUES. Série : S Enseignement Obligatoire ou de Spécialité

BACCALAUREAT GENERAL. Bac blanc n 4 Mercredi 7 Mai 2014 MATHEMATIQUES. Série : S Enseignement Obligatoire ou de Spécialité BACCALAUREAT GENERAL Bac blac 4 Mercredi 7 Mai 4 MATHEMATIQUES Série : S Eseigemet Obligatoire ou de Spécialité Durée de l épreuve : 4 heures Coefficiet : 7 ou 9 L utilisatio de la calculatrice est autorisée

Plus en détail

Exercices. Limites de suites. Limite d une suite Dans les exercices suivants, déterminer la limite de la suite (u n ) en précisant le théorème

Exercices. Limites de suites. Limite d une suite Dans les exercices suivants, déterminer la limite de la suite (u n ) en précisant le théorème Exercices Limites de suites Exercice Limite d ue suite Das les exercices suivats, détermier la limite de la suite (u ) e précisat le théorème utilisé. ) u = + + + + ) u = cos(), N 3) u = + cos 4 3 4) u

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES. Mardi 3 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont interdites

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES. Mardi 3 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont interdites SESSION 216 PCMA2 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES Mardi 3 mai : 14 h - 18 h N.B. : le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio.

Plus en détail

II - Estimation d'un paramètre par intervalle de confiance

II - Estimation d'un paramètre par intervalle de confiance II - Estimatio d'u paramètre par itervalle de cofiace 1 ) - Gééralités sur la costructio O veut estimer u paramètre (moyee, proportio ) d'u caractère das ue populatio P. Ue estimatio poctuelle à partir

Plus en détail

Loi binomiale. Loi de Bernoulli

Loi binomiale. Loi de Bernoulli Loi biomiale Loi de Beroulli O s itéresse ici à la réalisatio ou o d u évéemet. Autremet dit, o étudie les expérieces aléatoires qui ot que deux issues possibles : Obteir Pile ou Face Doer aissace à u

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES SÉRIE S

BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES SÉRIE S Lycée Fraçais d Agadir Termiales SA SB 216-217 BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES SÉRIE S DUREE DE L EPREUVE : 4 HEURES Utilisatio de la calculatrice autorisée Ce sujet comporte 7 pages umérotées

Plus en détail

Exercices sur les fonctions trigonométriques réciproques

Exercices sur les fonctions trigonométriques réciproques Eercices sur les foctios trigoométriques réciproques O cosidère la foctio f défiie par f Arcta ) Détermier l esemble de défiitio D de f ) Simplifier l epressio de f pour D Idicatio : Poser y Arccos Soit

Plus en détail

APPLICATIONS LINEAIRES Exercices

APPLICATIONS LINEAIRES Exercices EXERCICE : APPLICATIONS LINEAIRES Exercices ) Motrer que l applicatio f : f : est liéaire x, y, z x z, y z ) Soit ue matrice AM et soit f l applicatio qui à toute matrice X M associe la matrice Y défiie

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Proposition : la droite d équation «y= 4» est asymptote horizontale à la courbe de f en. . Calculer : a) lim f( x) h( x) xlim

Proposition : la droite d équation «y= 4» est asymptote horizontale à la courbe de f en. . Calculer : a) lim f( x) h( x) xlim NOM : Termiale S- ABC S3 ludi ovembre 06 La présetatio, la rédactio et la rigueur des résultats etrerot pour ue part sigificative das l évaluatio de la copie. Le sujet est composé de 5 eercices idépedats.

Plus en détail

Variables aléatoires. Exercices

Variables aléatoires. Exercices Variables aléatoires Exercices 04-05 Les idispesables Loi d ue variable aléatoire, espérace et variace O répète idéfiimet le lacer d u dé équilibré à 6 faces Soit la variable aléatoire doat la valeur du

Plus en détail

Estimation de paramètres

Estimation de paramètres CHAPITRE 8 Estimatio de paramètres 1. Distributio des moyees des échatillos Das ce chapitre, ous étudieros commet est distribué la moyee de tous les échatillos de taille possibles d ue certaie populatio.

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat ES Asie 23 juin 2016

Corrigé du baccalauréat ES Asie 23 juin 2016 Corrigé du baccalauréat ES Asie jui 16 A.. M. E.. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 6 poits Das u repère orthoormé du pla, o doe la courbe représetative C f d ue foctio f défiie et dérivable sur l itervalle

Plus en détail

Suites de variables aléatoires.

Suites de variables aléatoires. Uiversité Pierre et Marie Curie 200-20 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 8 Suites de variables aléatoires.. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Détermier pour chacue des covergeces suivates

Plus en détail

LIMITES DE SUITES. n ) u n = 2 n pour n IN 5 ) u n = 2n + 1 n - 5 pour n ³ 6 6 ) u n = (-1)n pour n IN

LIMITES DE SUITES. n ) u n = 2 n pour n IN 5 ) u n = 2n + 1 n - 5 pour n ³ 6 6 ) u n = (-1)n pour n IN LIMITES DE SUITES I Limites fiies ou ifiies Exercice 1 Pour chacue des suites, e calculat différets termes, cojecturer la valeur limite de u quad deviet ifiimet grad (c'est-à-dire quad ted vers + ). 1

Plus en détail

1 Présentation du jeu.

1 Présentation du jeu. Présetatio du jeu.. Les règles du jeu. Le touroi est u jeu comportat ue suite de maches (appelées duels ) opposat deux joueurs, jamais plus. Les joueurs vot etrer e jeu successivemet, tat qu aucu d etre

Plus en détail

Chapitre 9 La loi binomiale

Chapitre 9 La loi binomiale A) Variables aléatoires 1) Défiitio Chapitre 9 La loi biomiale O appelle variable aléatoire X ue foctio qui associe à tout résultat (évéemet élémetaire) u ombre réel. Pour ue même expériece aléatoire,

Plus en détail

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage Aexe : Leço 10 - Échatilloage Clémet BOULONNE pour la sessio 01 I Niveau, prérequis, référeces Niveau BTS Prérequis Probabilités, lois discrètes et cotiues Référeces [1,,, 4, 5] II Coteu de la leço 1 Approximatio

Plus en détail

1 Définition et premiers exemples

1 Définition et premiers exemples Master Eseigemet Aalyse 1 2015-2016 Uiversité Paris 13 Devoir maiso d aalyse Le but de ce petit problème est d étudier les foctios covexes. À partir de la défiitio géométrique, o démotrera les propriétés

Plus en détail

Amérique du Sud EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Les trois parties suivantes sont indépendantes Partie A Partie B Partie C

Amérique du Sud EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Les trois parties suivantes sont indépendantes Partie A Partie B Partie C Amérique du Sud EXERCICE 6 poits Commu à tous les cadidats Ue etreprise est spécialisée das la fabricatio de ballos de football. Cette etreprise propose deux tailles de ballos : ue petite taille, ue taille

Plus en détail

Lois normales et autres lois dérivées

Lois normales et autres lois dérivées Lois ormales et autres lois dérivées - Lois ormales a) - Défiitio O dit qu'ue variable aléatoire réelle X suit la loi ormale (ou gaussiee) de paramètres et, otée N ( ; ), si elle admet pour desité la foctio

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Corrigé

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Corrigé Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 4 Corrigé A. P. M. E. P. EXERCICE 4 poits Commu à tous les cadidats Aucue justificatio était demadée das cet exercice.. Répose b. : 4e i π Le ombre i a pour écriture

Plus en détail

Les calculatrices sont autorisées. **** **** Le sujet comporte 6 pages. 1 n. (resp. f x ln 1 e ) la somme de cette série.

Les calculatrices sont autorisées. **** **** Le sujet comporte 6 pages. 1 n. (resp. f x ln 1 e ) la somme de cette série. Les calculatrices sot autorisées **** NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio Si u cadidat est ameé à repérer ce qui peut lui sembler

Plus en détail

Fiche 2 : Les fonctions

Fiche 2 : Les fonctions Nº : 300 Fiche : Les foctios Calculer des limites O commece par aalyser f (). Peut o directemet appliquer l u des théorèmes du cours (limites et opératios, théorèmes de comparaiso)? Das la égative, il

Plus en détail

b) Par définition, ln 1 est le nombre dont l'exponentielle est 1. Or e = 1. Donc ln 1 = 0 2) Traduction de la définition.

b) Par définition, ln 1 est le nombre dont l'exponentielle est 1. Or e = 1. Donc ln 1 = 0 2) Traduction de la définition. Termiale S Chapitre 7 «Foctios logarithmes» Page sur 2 I) Défiitio et propriétés algébriques : ) La foctio : Défiitio : La foctio logarithme épérie, otée, est la foctio défiie sur ;+ qui, à tout réel >

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

Problème 1 : construction de triangles. Problème 2 : autour du théorème des valeurs intermédiaires

Problème 1 : construction de triangles. Problème 2 : autour du théorème des valeurs intermédiaires Problème 1 : costructio de triagles Das u pla affie euclidie orieté, o cosidère deux poits disticts B et C et u poit M apparteat pas à la droite BC). Pour chacue des assertios suivates, détermier s il

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Comparaiso des suites Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

Limites de suites et de fonctions

Limites de suites et de fonctions TermS Limites de suites et de foctios I ] Suites ) Défiitio : Ue suite réelle est ue foctio de! das!, défiie à partir d'u certai rag 0. Notatio : u = lire "u idice " = terme d'idice, ou de rag = terme

Plus en détail

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 43 Chapitre 4: Croissace, divergece et covergece des suites 4.1 Quelques défiitios Défiitios : Ue suite est croissate si chaque terme est supérieur ou égal à so précédet

Plus en détail

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 202/203 ANALYSE 2 Fiche de Mathématiques 4 - Séries umériques Soit E u espace vectoriel sur le corps K = R ou C Pour toute famille fiie

Plus en détail

TD 4 : Variables aléatoires discrètes

TD 4 : Variables aléatoires discrètes MA40 : Probabilités TD 4 : Variables aléatoires discrètes Exercice Soit N u etier aturel supérieur ou égal à.. Motrer les égalités suivates : N k k N N + ) N k k N N + ) N + ). Ue ure cotiet ue boule blache

Plus en détail

Terminale S mai Exercice 2. On considère les complexes z 1 de. = est la droite d équation y = x. Exercice 3. On considère le point A d affixe

Terminale S mai Exercice 2. On considère les complexes z 1 de. = est la droite d équation y = x. Exercice 3. On considère le point A d affixe Termiale S mai 6 Cocours Fesic Calculatrice iterdite ; traiter eercices sur les 6 e h ; répodre par Vrai ou Fau sas justificatio + si boe répose, si mauvaise répose, si pas de répose, bous d poit pour

Plus en détail

EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES

EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES EXERCICE 1 : 1) Ecrire u programme qui revoie le lacer d u lacer de dé équilibré 2) Trasformer le programme précédet pour qu il simule ue série de 100 lacers d u dé

Plus en détail