Conséquence. Si deux triangles sont isométriques, alors ils ont leurs trois côtés égaux deux à deux. AB = MN BC = NP CA = PM A = M AB = MN AC = MP

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1 Seconde Triangles isométriques, triangles semblables I. Triangles isométriques. Définition. Deux triangles sont isométriques ou superposables, si l un est l image de l autre par une isométrie ou la composée de plusieurs isométries (translation, rotation, réflexion). onséquence. Si deux triangles sont isométriques, alors ils ont leurs trois côtés égaux deux à deux. as d isométrie de deux triangles (admis). Si deux triangles ont leur côtés égaux deux à deux, alors ils sont isométriques. = = = Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés égaux deux à deux, alors ils sont isométriques. = = = Si deux triangles ont un côté égal adjacent à deux angles égaux deux à deux, alors ils sont isométriques. = = = Exercice Tracer un parallélogramme D de centre O. Justifier que les triangles O et DO sont isométriques de plusieurs façons. 2. Tracer un triangle isocèle en, et placer H le milieu de []. Justifier que les triangles H et H sont isométriques de plusieurs façons. 3. Tracer un triangle équilatéral et placer le centre de son cercle circonscrit O. Justifier que les triangles O, O et O sont isométriques. Théorème. Si deux triangles sont isométriques, alors leurs angles sont de même mesure deux à deux. Démonstration. est évident puisque les isométries conservent les longueurs, mais aussi les angles. Remarque. La réciproque est fausse. On peut construire deux triangles rectangles isocèles de dimensions différentes (mais d angles de mêmes mesures 90, 45, 45 ) ou deux triangles équilatéraux (trois angles de 60 ) de dimensions différentes. Illustrer.

2 II. Triangles semblables. a) Un exemple fondamental. Reprenons une configuration du théorème de Thalès. Les triangles et ont l angle en commun. De plus = et = comme angles correspondants. es deux triangles ont leurs angles égaux deux à deux. On dit que les triangles et sont semblables (ou qu ils ont la même forme). Le triangle est une réduction du triangle, les côtés du triangle sont proportionnels aux côtés du triangle : k. utre manière de comprendre cette proportionnalité, en faisant un tableau (de proportionnalité) : Triangle Triangle b) as général. Définition. On dira que les triangles et sont semblables (ou ont la même forme) s ils ont des angles de même mesure deux à deux. Remarques. Des triangles isométriques sont semblables. Est-ce que des triangles semblables ont forcément des côtés proportionnels comme dans la configuration de Thalès? Si deux triangles ont deux angles respectivement de même mesure, alors ils sont semblables.

3 III. Triangles semblables et proportionnalité. Théorème (admis). Si deux triangles sont semblables, alors les côtés opposés aux angles égaux sont proportionnels. Exemple. Si on sait que et sont semblables avec =, =, et = alors. our ne pas se tromper, il est préférable de faire le tableau suivant : ngles égaux = = = Triangle Triangle Exercice 2. est un triangle rectangle en et H est le pied de la hauteur issue de l angle droit. H 1. Démontrer que les triangles H et sont semblables. 2. Démontrer que les triangles H et sont semblables. 3. En déduire les relations suivantes : H = 2 H = 2 H H = H 2. omme pour les configurations de Thalès, on a le résultat suivant. Théorème (admis). Si et sont deux triangles semblables et si k est le coefficient de proportionnalité (ou rapport de similitude), qui transforme en, alors : ire () = k 2 aire ().

4 as de triangles semblables (admis). Si deux triangles ont leurs côtés respectivement proportionnels, alors ces triangles sont semblables. Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement proportionnels alors ils sont semblables = as de triangles semblables (admis). Si deux triangles ont leurs côtés respectivement proportionnels, alors ces triangles sont semblables. Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement proportionnels alors ils sont semblables =

5 Seconde Triangles isométriques, triangles semblables orrection des exercices du cours Exercice Traçons un parallélogramme D de centre O. O D Justifions que les triangles O et DO sont isométriques de plusieurs façons. Les diagonales de D se coupent en leur milieu O, donc O est un centre de symétrie du parallélogramme. L image du triangle O est le triangle DO par la symétrie de centre O. Donc ces triangles sont isométriques. Les diagonales de D se coupent en leur milieu O, donc O = O et O = OD. Les côtés opposés d un parallélogramme sont de même longueur, donc = D. omme les trois côtés des triangles O et DO sont égaux deux à deux (O = O, O = OD, = D) alors ces triangles sont isométriques. Les diagonales de D se coupent en leur milieu O, donc O = O et O = OD. Les angles et sont opposés par le sommet, donc égaux. Les triangles O et DO ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur (O = O et O = OD), donc ils sont isométriques. omme () // (D) alors les angles et sont alternes internes délimités par des droites parallèles, ils sont égaux. De même, les angles et sont alternes internes délimités par des droites parallèles, donc ils sont égaux. Les côtés opposés d un parallélogramme sont de même longueur, donc = D. Les triangles O et DO ont donc un côté de même longueur ( = D) adjacent à deux angles égaux deux à deux ( et ), donc ils sont isométriques.

6 2. Traçons un triangle isocèle en, et plaçons H le milieu de []. H Justifions que les triangles H et H sont isométriques de plusieurs façons. omme le triangle est isocèle en, la droite (H) est en même temps médiatrice, médiane, hauteur, bissectrice et axe de symétrie de ce triangle. Donc, l image du triangle H par la réflexion d axe (H) est le triangle H. Donc ces triangles sont isométriques. omme le triangle est isocèle en alors ces angles à la base et sont égaux et =. omme H est le milieu de [], alors H = H. ar conséquent, les triangles H et H ont un angle égal ( ) compris entre deux côtés égaux deux à deux ( = et H = H), donc ils sont isométriques. omme le triangle est isocèle en, la droite (H) est en même temps médiane et bissectrice de ce triangle. Donc. ais comme est isocèle, on a aussi = et. Les triangles H et H ont un côté égal ( = ) adjacent à deux angles égaux deux à deux ( et ), donc ils sont isométriques. omme est isocèle, alors = et comme H est le milieu de [], alors H = H. Les triangles H et H ont trois côtés égaux deux à deux ( =, H =H et H côté commun), donc ils sont isométriques.

7 3. Traçons un triangle équilatéral et plaçons le centre de son cercle circonscrit O. O Justifions que les triangles O, O et O sont isométriques. Le triangle est équilatéral donc = =. O est le centre du cercle circonscrit, donc O = O = O : ce sont des rayons. Les triangles O, O et O ont leurs trois côtés égaux deux à deux (O = O = O et O = O = O), donc ils sont isométriques. On considérant la rotation de centre O et d angle 60, de sens direct, on voit que l image de est, l image de est et l image de est. Donc l image de O est O et ces tringles sont isométriques. De même, l image de O est O, donc ils sont isométriques. Exercice 2. est un triangle rectangle en et H est le pied de la hauteur issue de l angle droit. H 1. Démontrons que les triangles H et sont semblables. Les triangles H et sont rectangles ( ) et ils ont un angle commun ( ), donc ils ont deux angles égaux deux à deux, ils sont semblables. 2. Démontrons que les triangles H et sont semblables. Les triangles H et sont rectangles ( ) et ils ont un angle commun ( ), donc ils ont deux angles égaux deux à deux, ils sont semblables. 3. ous allons en déduire les relations suivantes : H = 2 H = 2 H H = H 2. omme les triangles H et sont semblables, donc leurs côtés opposés aux angles égaux sont proportionnels. On a le tableau de proportionnalité suivant : ngles égaux ôtés du triangle H ôtés du triangle H H

8 Les produits en croix sont égaux, par exemple :, soit aussi :. omme les triangles H et sont semblables, donc leurs côtés opposés aux angles égaux sont proportionnels. On a le tableau de proportionnalité suivant : ngles égaux ôtés du triangle H ôtés du triangle H H Les produits en croix sont égaux, par exemple :, soit aussi :. omme les triangles H et sont semblables, ils ont leurs trois angles égaux deux à deux. omme les triangles H et sont semblables, ils sont leurs trois angles égaux deux à deux. insi les triangles H, et H ont leurs trois angles égaux deux à deux. Donc les triangles H et H sont semblables. omme les triangles H et H sont semblables, donc leurs côtés opposés aux angles égaux sont proportionnels. On a le tableau de proportionnalité suivant : ngles égaux ôtés du triangle H ôtés du triangle H H H H H Les produits en croix sont égaux, par exemple :, soit aussi :.

9 Seconde Triangles isométriques et semblables Exercices Exercice 1. Sur la figure ci-contre, est un triangle isocèle rectangle en. L = K et I est le milieu de []. Le but de cet exercice est de montrer que le triangle ILK est isocèle rectangle. 1. a. Justifier la nature des triangles I et I. b. Démontrer que les triangles LI et IK sont isométriques. L K I 2. Démontrer que LIK = onclure. Exercice 2. On considère la figure ci-contre. On sait que D = et D = D. Le but de cet exercice est de montrer que D est un trapèze isocèle. 1. Démontrer que les triangles D et D sont isométriques. 2. a. En déduire que le triangle ID est isocèle en I. b. En déduire que le triangle I est isocèle en I. 3. Démontrer que () // (D) (considérer par exemple et ). 4. onclure. D I Exercice 3. Dans ce cercle ci-dessous, les cordes [] et [D] ont la même longueur. 1. Démontrer que les triangles E et ED sont isométriques. 2. En déduire que (OE) est la médiatrice de [D]. E O D Exercice 4. Soit un triangle équilatéral et un point du segment []. On construit les points et tels que [] et =. [] et =. 1. ontrer que les triangles et sont isométriques. 2. ontrer que les triangles et sont isométriques. 3. En déduire que le triangle est équilatéral.

10 Exercice 5. Soit et deux points distincts et un point de la perpendiculaire en à (). tout point du segment [] autre que et, on associe le point D intersection de la perpendiculaire en à () et de la perpendiculaire en à (). D 1. ontrer que les triangles et D sont semblables. 2. En déduire que = D. Exercice 6. On considère un triangle (sans angle obtus). On appelle R le pied de la hauteur issue de et Q le pied de la hauteur issue de. ontrer que les triangles R et Q sont semblables. Exercice 7. On considère la figure suivante où l on sait que D = D et =. ontrer que les triangles et D sont semblables. Exercice 8. D est un rectangle avec = 3 D. EGD, EFHG et FH sont des carrés de côté 1. D E F D G H 1. alculer les valeurs exactes des longueurs ED, H, G et D. ED D E 2. alculer les rapports, et. HG G H 3. Que peut-on en déduire pour les triangles ED et HG? 4. Démontrer que D + G = H.

11 Exercice 9. l extérieur d un triangle on a construit les triangles équilatéraux D, E et F. On note G, H et I leurs centres de gravité respectifs. F D G I H E 1. ontrer que les triangles D et F sont isométriques. En déduire que D = F. 2. ontrer que les triangles F et E sont isométriques. En déduire que F = E. 3. a. ontrer que GI = F. b. ontrer que G = I = 3 3. c. En déduire que les triangles GI et F sont semblables. d. En déduire la valeur du quotient GI F. 4. Ecrire, sans les démontrer, deux égalités analogues à celle obtenue à la question précédente 5. Déduire des questions précédentes que le triangle GHI est équilatéral. Indications. 4. GH D = 3 HI et 3 E = On a GI F = GH D = HI, or F = D = E, donc GH = HI = GI. E

12 Seconde Triangles isométriques et semblables orrection des exercices Exercice 1. Sur la figure ci-contre, est un triangle isocèle rectangle en. L = K et I est le milieu de []. Le but de cet exercice est de montrer que le triangle ILK est isocèle rectangle. L I 1. a. Justifions la nature des triangles I et I. Le triangle est rectangle donc la médiane I issue de l angle droit mesure la moitié de l hypoténuse, soit aussi I = I = I. eci prouve que les triangles I et I sont isocèles. Le triangle est isocèle, donc la médiane I issue de est aussi une hauteur, donc (I) (). Donc les triangles I et I sont rectangles en I. onclusion : les triangles I et I sont isocèles rectangles. K b. Démontrons que les triangles LI et IK sont isométriques. omme I et I sont isocèles rectangles alors. Et d après la question précédente I = I. Les triangles LI et IK ont donc un angle égal ( ) compris entre deux côtés égaux deux à deux (L = K et I = I), donc ils sont isométriques. 2. Démontrons que LIK = 90. omme les triangles LI et IK sont isométriques, leurs angles sont égaux deux à deux, donc. On a donc :. 3. onclusion : omme LI et IK sont isométriques, alors leurs trois côtés sont égaux deux à deux, en particulier IK = IL. omme IK = IL et LIK = 90, alors le triangle LIK est rectangle et isocèle. Exercice 2. On considère la figure ci-contre. On sait que D = et D = D. Le but de cet exercice est de montrer que D est un trapèze isocèle. 1. Démontrons que les triangles D et D sont isométriques. I Les triangles D et D ont un angle égal ( D = D) compris entre côtés égaux deux à deux (D = et D côté commun), donc ils sont isométriques. D 2. a. ous allons en déduire que le triangle ID est isocèle en I. omme les triangles D et D sont isométriques, alors leurs angles sont égaux deux à deux, en particulier. Le triangle ID a donc deux angles égaux ( ), il est isocèle en I. b. omme ID est isocèle en I, alors ID = I. Et comme D = (car D et D sont isométriques), alors par différence, on obtient : I = I, donc I est isocèle en I. 3. Démontrons que () // (D). Le triangle I est isocèle en I, donc les angles à la base et sont égaux. Les triangles I et ID ont un angle égal ( opposés par le sommet), donc. Les droites () et (D) forment des angles alternes internes égaux, donc elles sont parallèles. 4. onclusion : Le quadrilatère D est un trapèze isocèle.

13 Exercice 3. Dans ce cercle ci-dessous, les cordes [] et [D] ont la même longueur. E O D 1. Démontrons que les triangles E et ED sont isométriques. Les angles et sont inscrits dans le cercle et interceptent le même arc, donc ils sont égaux, par conséquent. De même, les angles et sont inscrits dans le cercle et interceptent le même arc, donc ils sont égaux, par conséquent. Les triangles E et ED ont donc un côté égal ( = D) adjacent à deux angles de même mesure deux à deux ( et ), donc ils sont isométriques. 2. ous allons en déduire que (OE) est la médiatrice de [D]. omme les triangles E et ED sont isométriques, alors leurs côtés sont égaux deux à deux, en particulier E = DE. Donc E est équidistant de et D, et E appartient à la médiatrice de [D]. De même, comme O = OD (= rayon), alors O est équidistant de et D. Donc O appartient à la médiatrice de [D]. Donc (OE) est la médiatrice de [D].

14 Exercice 4. Soit un triangle équilatéral et un point du segment []. On construit les points et tels que [] et =. [] et =. 1. ontrons que les triangles et sont isométriques. Le triangle est équilatéral, donc tous ces angles mesurent 60. omme = et =, alors par différence =. Les triangles et ont un angle égal ( ) adjacent à deux côtés égaux deux à deux ( = : énoncé, et = ), donc ils sont isométriques. 2. ontrons que les triangles et sont isométriques. Le triangle est équilatéral, donc tous ces angles mesurent 60. omme = et =, alors par différence =. Les triangles et ont un angle égal ( ) adjacent à deux côtés égaux deux à deux ( = : énoncé, et = ), donc ils sont isométriques. 3. ous allons en déduire que le triangle est équilatéral. Les triangles et sont isométriques, donc leurs côtés sont égaux deux à deux, en particulier =. De même, comme et sont isométriques, alors =. insi, = =, le triangle est équilatéral.