Pour simplier, on prend E = R 2, pas forcément euclidien dans ce paragraphe. ( ) Un vecteur u, ou x

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1 Isométries anes I Rappel sur les applications anes 1 I.A Dénition I.B Relation entre une application ane et sa partie linéaire I.C Exemples d'applications anes II Isométries anes en dimension 2 2 II.A Dénition II.B Partie linéaire d'une isométrie ane II.C Déplacements de R II.D Antidéplacements de R II.E Conclusion : classication des isométries anes en dimension II.F Décomposition d'une isométrie ane en produit de réexions III Isométries anes en dimension 5 Les espaces anes euclidiens considérés seront de dimension 2 ou ; moennant le choix d'un repère orthonormé, ils peuvent être identiés à R 2 ou R. I Rappel sur les applications anes Pour simplier, on prend E = R 2, pas forcément euclidien dans ce paragraphe. ( Un vecteur u, ou x un point M, est alors caractérisé par la matrice colonne de ses coordonnées. I.A Dénition Dénition 1. Une application ane f de R 2 dans R 2 est une application du tpe : ( x F : ( ax + b cx + d f : M M avec { x = ax + b + p = cx + d + q s'appelle application linéaire associée à f, ou partie linéaire de f. I.B Relation entre une application ane et sa partie linéaire Soient f une application ane de E dans E, F sa partie linéaire, M un point et u un vecteur. On a : f(m + u = f(m + F ( u Rappelons que M + u désigne le translaté de M par le vecteur u, c'est-à-dire le point N tel que MN = u. Démonstration. Le résultat est une traduction du calcul matriciel : ( ( ( ( x + α p x p A + = A + + β q q ( α + A β Soient M, N deux points, et M, N leurs images par l'application ane f. On a : où F est la partie linéaire de f. M N = F ( MN Démonstration. Soit u tel que N = M + u. On a N = M + F ( u, d'où le résultat. 1

2 Si f et g sont deux applications anes de parties linéaires respectives F et G, alors g f est une application ane de partie linéaire G F. Démonstration. on peut le vérier matriciellement (notations évidentes : ( ( ( ( ( x x x x x f : A + B, g : C + D = g f : ( x CA + CB + D Une application ane f est bijective si et seulement si sa partie linéaire F est bijective. Dans ce cas, f 1 est une application ane de partie linéaire F 1. Une application ane est entièrement déterminée par un point et son image, et sa partie linéaire. On admet qu'une application ane conserve l'alignement, la coplanarité, le parallélisme, le barcentre. I.C Exemples d'applications anes On peut citer entre autres les translations, les homothéties, les rotations et les réexions. Exercice 1 Donner l'expression analtique des applications anes suivantes de R 2 dans R 2 (on précisera la matrice de la partie linéaire : 1. Translation de vecteur u(α, β. 2. Homothétie de centre Ω(a, b et de rapport k.. Réexion d'axe 2x + 2 = Rotation de centre Ω(a, b et d'angle π/6. [isoa215] II Isométries anes en dimension 2 II.A Dénition Dénition 2. Une isométrie ane de l'espace euclidien R 2 est une application ane de R 2 dans R 2, qui conserve les distances, ce qui signie que si M et N sont les images de M et N, on a : d(m, N = d(m, N II.B Partie linéaire d'une isométrie ane Théorème 1. Soit f une application ane de R 2 dans R 2, de partie linéaire F : f est une isométrie ane F O(R 2 Démonstration. (= Soit u un vecteur. Choisissons un point A et posons B = A + u. On a : F ( u = F ( AB = f(af(b = d(f(a, f(b = d(a, B = AB = u F est donc une isométrie vectorielle. ( = Soient A et B deux points. On a : f est donc une isométrie ane. d(f(a, f(b = f(af(b = F ( AB = AB = d(a, B 2

3 II.C Déplacements de R 2 Les déplacements sont par dénition les isométries anes associées aux isométries vectorielles positives, c'est-à-dire aux rotations. Soit donc f un déplacement, d'écriture matricielle : ( ( ( x x p = A + q où A SO(2 ( p Si A est la matrice identité, f est clairement une translation de vecteur. q Supposons maintenant que A est la matrice d'une rotation autre que l'identité, et montrons que f a un unique point xe I. Pour cela, considérons les coordonnées point xe, alors ces coordonnées vérient : ( ( ( x0 x0 p = A q ( x0 0 de cet éventuel ( ( x0 p Soit (A I 2 =. Or on sait que 1 n'est pas valeur propre de A (sinon du fait que 0 q det A = 1, l'autre valeur propre serait 1, et A = I 2, donc A I 2 est inversible et les coordonnées du point xe sont déterminées de manière unique par : ( ( x0 = (A I 2 1 p 0 q On a nalement : ( ( x x 0 x x0 = A 0 0 et on est ramené à un problème vectoriel puisque le vecteur IM est l'image du vecteur IM par la rotation vectorielle F de matrice A. Exercice 2 Description d'une rotation : Si F est la rotation vectorielle d'angle θ, f s'appelle rotation de centre I et d'angle θ. Si M est le point I + v, alors on a : M = I + F ( v Soit f une application ane, du plan R 2 euclidien dans lui-même, donnée par : x = x = 2 x Montrer que f est une rotation, et déterminer son centre et son angle. 2. Calculer z = x + i en fonction de z = x + i. Retrouver le résultat précédent. I θ v M' M [isoa206bis] II.D Antidéplacements de R 2 Ce sont les isométries anes associées aux isométries vectorielles négatives, c'est-à-dire aux ré- exions. Soit donc f une isométrie, dont la partie linéaire est une réexion F. Soit u un vecteur directeur de l'axe de F.

4 Si f a un point xe I(x 0, 0, alors de même que précédemment : ( ( x x 0 x x0 = A 0 0 et on est ramené à un problème vectoriel puisque le vecteur IM est l'image du vecteur IM par la réexion vectorielle F de matrice A. On peut constater que toute la droite D passant par A et dirigée par u est constituée de points xes, et f est la réexion ane d'axe D (i.e. la smétrie orthogonale par rapport à la droite D. Si f n'a pas de point xe : soit A un point du plan, A = f(a et A = f(a. On a d(a, A = d(a, A, donc le triangle AA A est isocèle. Soit I le milieu de (A, A ; son image I est le milieu de (A, A. Soit t la translation de vecteur v = II. t 1 f est une isométrie de partie linéaire F, et elle admet I comme point xe. C'est donc une réexion ; notons-la s. On a s(a = t 1 f(a = t 1 (A = B (voir le dessin. Donc l'axe de s est la médiatrice de [AB], c'est-à-dire la droite qui passe par I et I. On a donc f = t s, où t est une translation, et s une réexion dont l'axe est parallèle au vecteur de translation. On a aussi f = s t. f s'appelle smétrie glissée. Exercice On donne deux points A et B, distincts, dans le plan R 2. On cherche une réexion ane f qui échange A et B. 1. Montrer que le milieu de [AB] est invariant par f. 2. Si F est la réexion vectorielle associée à f, trouver le sous-espace propre de F associé à la valeur propre 1.. Conclure que f est nécessairement la smétrie orthogonale par rapport à la médiatrice de [AB], et qu'inversement, cette smétrie répond à la question. 1 B A I v A' I' A'' [isoa208] II.E Conclusion : classication des isométries anes en dimension 2 Une isométrie du plan ane euclidien peut être : 1. Une translation t : sa partie linéaire est l'identité ; t est caractérisée par son vecteur u, et tout point M a pour image M = M + u. 2. Une rotation r : sa partie linéaire est une rotation vectorielle autre que l'identité ; r est caractérisée par son centre, qui est son point xe, et son angle qui est celui de la rotation vectorielle associée.. Une réexion s : sa partie linéaire est une réexion vectorielle ; s est caratérisée par son axe, qui est l'ensemble de ses points invariants. 4. Une smétrie glissée f : sa partie linéaire est une réexion vectorielle, mais f n'a pas de point invariant ; on a f = s t = t s, où t est une translation et s une réexion dont l'axe est parallèle au vecteur de translation. Méthode : Hormis le premier cas (très simple l'étude d'une isométrie ane f en dimension 2 se fait en recherchant un point xe I : s'il en existe un, f est une rotation de centre I et d'angle celui 1. Ce résultat est au programme TSI. 4

5 de la rotation vectorielle associée, ou bien une réexion par rapport à la droite passant par I et de direction l'axe de la smétrie vectorielle associée. S'il n'en existe pas, il sut de remarquer que le milieu I du segment [A, f(a], où A est un point quelconque, est sur l'axe. If(I est le vecteur de la translation. Exercice 4 Soit E un plan ane euclidien rapporté au repère orthonormé (O, i, j. On considère l'application f de E vers E qui au point M de coordonnées x et fait correspondre le point M de coordonnées x et. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de f dans chacun des cas suivants : x = x = 2 x x = x 2 2 = 2 x [isoa209] II.F Décomposition d'une isométrie ane en produit de réexions Exercice 5 Considérons deux réexions s 1 et s 2, d'axes parallèles 1 et 2. Soit u un vecteur orthogonal à 1 et à 2, tel que la translation de vecteur u transforme 1 en 2. Décrire l'application s 2 s 1. [isoa210] Exercice 6 Soit r une rotation (autre que l'identité de centre A et d'angle θ. Soit s 1 une réexion dont l'axe passe par A. On pose s 2 = r s 1. Montrer que s 2 est une réexion dont l'axe passe par A, et donc que toute rotation est composée de deux réexions dont les axes passent par le centre de la rotation. [isoa211] Exercice 7 Déduire des deux exercices précédents que toute isométrie du plan ane euclidien est composée de une, deux ou trois réexions (ce résultat est au programme de TSI. [isoa212] III Isométries anes en dimension Un déplacement de l'espace ane euclidien de dimension peut être : 1. Une translation t : sa partie linéaire est l'identité ; t est caractérisée par son vecteur u, et tout point M a pour image M = M + u. 2. Une rotation r : sa partie linéaire est une rotation vectorielle autre que l'identité ; r est caractérisée par son axe, qui est la droite des points xes, et son angle qui est celui de la rotation vectorielle associée.. Un vissage f : sa partie linéaire est une rotation vectorielle, mais f n'a pas de point invariant ; on a f = s t = t s, où t est une translation et s une rotation dont l'axe est parallèle au vecteur de translation. Méthode : Hormis le premier cas (très simple l'étude d'un déplacement f en dimension se fait en recherchant un point xe I : s'il en existe, f est une rotation d'axe (I, u et d'angle θ, où u et θ sont l'axe et d'angle de la rotation vectorielle associée. S'il n'en existe pas, il sut de remarquer que si A est un point de l'axe, on a Af(A = λ u, ce qui permet d'avoir x, et z en fonction de λ et 5

6 d'obtenir une équation paramétrée de l'axe. Le vecteur de la translation est alors Af(A où A est un point de l'axe. Remarque 1. Pour les antidéplacements 2, on trouve par exemple les réexions (réexion = smétrie orthogonale par rapport à un plan, et les smétries glissées qui sont composées d'une réexion et d'une translation dont le vecteur est parallèle au plan de la réexion. Exercice 8 Dans chacun des cas suivants, préciser la nature de l'application ane de R dans lui-même qui au point M(x,, z associe le point M (x,, z : x = 1 ( 2x 2 + z 5 1. = 1 ( 2x + 2z 2 2. z = 1 (x 2 2z + 1 x = 1 ( 2x + 2z + 1 = 1 (2x 2 + z + 1 z = 1 (x z + [isoa216bis] Exercice 9 Soit f α l'application ane de R dans lui-même dénie par : x = z + α = x z = 2 1. Montrer que f α est un déplacement de l'espace. 2. Déterminer α pour que f α soit une rotation. Préciser son axe et son angle.. Montrer que f 1 est un vissage et donner ses éléments caractéristiques. [isoa217bis] Exercice 10 Donner l'expression de la smétrie orthogonale par rapport au plan P d'équation 2x z 4 = 0. [isoa218] Remarque 2. On admet que les isométries d'un espace ane euclidien de dimension sont composées de une, deux, trois ou quatre réexions. La décomposition pratique pour les translations, les rotations et les vissages, se fait de façon simillaire à II.F. 2. Le programme ne parle que de déplacements, mais évoque la décomposition des isométries en produit de réexions... Aucune démonstration n'est à connaître quant à la classication des isométries en dimension. 6