Mise en route. 1 Logique, ensembles. Bibliothèque d exercices Topologie Feuille n 0

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1 Bibliothèue d exercices Énoncés Topologie Feuille n 0 Mise en route 1 Logiue, ensembles Exercice 1 Soit f, g deux fonctions de R dans R. Traduire en termes de uantificateurs les expressions suivantes : 1. f est majorée ; 2. f est bornée ; 3. f est paire ; 4. f est impaire ; 5. f ne s annule jamais ; 6. f est périodiue ; 7. f est croissante ; 8. f est strictement décroissante ; 9. f n est pas la fonction nulle ; 10. f n a jamais les mêmes valeurs en deux points distcincts ; 11. f atteint toutes les valeurs de N ; 12. f est inférieure à g ; 13. f n est pas inférieure à g. Exercice 2 Montrer par contraposition les assertions suivantes, E étant un ensemble : 1. A, B P(E) (A B = A B) A = B, 2. A, B, C P(E) (A B = A C et A B = A C) B = C. Exercice 3 Soit A, B deux ensembles, montrer (A B) = A B et (A B) = A B. Exercice 4 Soient E et F deux ensembles, f : E F. Démontrer ue : A, B P(E) (A B) (f(a) f(b)), A, B P(E) f(a B) f(a) f(b), A, B P(E) f(a B) = f(a) f(b), A, B P(F ) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B), A P(F ) f 1 (F \ A) = E \ f 1 (A). 1

2 2 Propriétés de R Exercice 5 1. Démontrer ue si r Q et x Q alors r + x Q et si r 0 r.x Q. 2. Montrer ue 2 Q, 3. En déduire : entre 2 nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. (On pourra utiliser la propriété : pour tout réel a > 0, il existe un entier n tel ue n > a.) Exercice 6 Déterminer (s ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément des ensembles suivants : [0, 1] Q, ]0, 1[ Q, N, {( 1) n + 1n }, n N. Exercice 7 Soit A et B deux parties bornées de R. Vrai ou faux? 1. A B sup A sup B, 2. B A inf A inf B, 3. sup A B = max(sup A, sup B), 4. sup(a + B) < sup A + sup B, 5. sup( A) = inf A, 6. sup A + inf B sup(a + B). Exercice 8 Soit f : R R croissante telle ue (x, y) R 2 f(x + y) = f(x) + f(y). Montrer ue 1. n N f(n) = nf(1). 2. n Z f(n) = nf(1). 3. Q f() = f(1). 4. x R f(x) = xf(1) (on pourra utiliser la densité de Q dans R pour encadrer x par des rationnels de plus en plus proches de x). 2

3 Bibliothèue d exercices Indications Topologie Feuille n 0 Mise en route Indication 3 Il est plus facile de raisonner en prenant un élément x E. Par exemple, soit F, G des sous-ensemble de E, pour montrer ue F G il est éuivalent de montrer ue pour tout x F alors x G. Et montrer F = G est éuivalent à x F si et seulement si x G, et ce pour tout x de E. Remarue : pour montrer F = G on peut aussi montrer F G puis G F. Enfin, se rappeler ue x F si et seulement si x / F. Indication 5 1. Raisonner par l absurde. 2. Raisonner par l absurde en écrivant 2 = p avec p et premiers entre eux. Puis essayer de montrer ue p et sont tous les deux pairs. 3. Utiliser les deux uestions précédentes. Indication 8 2. f(( n) + n) =. 1. f(2) = f(1 + 1) =, faire une récurrence. 3. Si = a, calculer b f(a + a + + a ) avec b termes dans cette somme. b b b 4. Pour x R fixé, prendre une suite de rationnels ui croit vers x, et une autre ui décroit vers x. 1

4 Bibliothèue d exercices Corrections Topologie Feuille n 0 Mise en route Correction 1 1. M R x R f(x) x ; 2. M R m R x R m f(x) x ; 3. x R f(x) = f( x) ; 4. x R f(x) = f( x) ; 5. x R f(x) 0 ; 6. a R x Rf(x + a) = f(x) ; 7. (x, y) R 2 (x y f(x) f(y)) ; 8. (x, y) R 2 (x y f(x) > f(y)) ; 9. x R f(x) 0 ; 10. (x, y) R 2 (x y f(x) f(y)) ; 11. n N x R f(x) = n ; 12. x R f(x) g(x) ; 13. x R f(x) > g(x). Correction 2 Nous allons démontrer l assertion 1. de deux manières différentes. 1. Tout d abord de façon directe. Nous supposons ue A et B sont telles ue A B = A B. Nous devons montrer ue A = B. Pour cela étant donné x A montrons u il est aussi dans B. Comme x A alors x A B donc x A B (car A B = A B). Ainsi x B. Maintenant nous prenons x B et le même raisonnement impliue x A. Donc tout élément de A est dans B et tout élément de B est dans A. Cela veut dire A = B. 2. Ensuite, comme demandé, nous le montrons par contraposition. Nous supposons ue A B et non devons monter ue A B A B. Si A B cela veut dire u il existe un élément x A \ B ou alors un élément x B \ A. Quitte à échanger A et B, nous supposons u il existe x A \ B. Alors x A B mais x / A B. Donc A B A B. Correction 3 x (A B) x / A B x / A et x / B x A et x B x A B. 1

5 x (A B) x / A B x / A ou x / B x A ou x x A B. Correction 4 Montrons uelues assertions. f(a B) f(a) f(b). Si y f(a B), il existe x A B tel ue y = f(x), or x A donc y = f(x) f(a) et de même x B donc y f(b). D où y f(a) f(b). Tout élément de f(a B) est un élément de f(a) f(b) donc f(a B) f(a) f(b). Remarue : l inclusion réciproue est fausse. Exercice : trouver un contre-exemple. f 1 (F \ A) = E \ f 1 (A). x f 1 (F \ A) f(x) F \ F \ A f(x) / A x / f 1 (A) car f 1 = {x E / f(x) A} x E \ f 1 (A) Correction 5 1. Soit r = p Q et x / Q. Par l absurde supposons ue r + x Q alors il existe deux entiers p, tels ue r + x = p. Donc x = p p = p p Q ce ui est absurde car x / Q. De la même façon si rx Q alors rx = p Et donc x = p. Ce ui est absurde. p 2. Supposons ue 2 Q alors il existe deux entiers p, tels ue 2 = p. De plus nous pouvons supposer ue la fraction est irréductible (p et sont premiers entre eux). En élevant l égalité au carré nous obtenons 2 2 = p 2. Donc p 2 est un nombre pair, cela impliue ue p est un nombre pair (si vous n êtes pas convaincu écrivez la contraposée p impair p 2 impair ). Donc p = 2 p avec p N, d où p 2 = 4 p 2. Nous obtenons 2 = 2 p 2. Nous en déduisons maintenant ue 2 est pair et comme ci-dessus ue est pair. Nous obtenons ainsi une contradiction car p et étant tous les deux pairs la fraction p n est pas irréductible et aurait pu être simplifier. Donc 2 / Q. 3. Soient r, r deux rationnels avec r < r. Notons a = 2(r r). Choisissons n N tel ue n > 2. Et posons x = r + a n. D une part x ]r, r [ et d après les deux premières uestions 2 ( ) r r n / Q. Et donc x est un nombre irrationnel compris entre r et r. Correction 6 1. [0, 1] Q. Les majorants : [1, + [. Les minorants : ], 0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure : 0. Le plus grand élément : 1. Le plus petit élément ]0, 1[ Q. Les majorants : [1, + [. Les minorants : ], 0]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure : 0. Il nexiste pas de plus grand élément ni de plus petit élément. 3. N. Pas de majorants, pas de borne supérieure, ni de plus grand élément. Les minorants : ], 0]. La borne inférieure : 0. Le plus petit élément : 0. 2

6 4. } {( 1) n + 1n, n N. Les majorants : [ 5, + [. Les minorants : ], 1]. La borne 2 4 supérieure : 5. La borne inférieure : 1. Le plus grand élément : 5. Pas de plus petit 4 4 élément. Correction 7 2. Vrai. 3. Vrai. 1. Vrai. 4. Faux. L égalité peut ne pas être stricte. 5. Vrai. 6. Vrai. Correction 8 1. Calculons d abord f(0). f(1) = f(1 + 0) = f(1) + f(0) Donc f(0) = 0. Montrons le résultat demandé par récurrence : pour n = 1, nous avons bien f(1) = 1 f(1). Si f(n) = nf(1) alors f(n + 1) = f(n) + f(1) = nf(1) + f(1) = (n + 1)f(1) = f(0) = f( 1 + 1) = f( 1) + f(1). Donc f( 1) = f(1). Puis comme ci-dessus f( n) = nf( 1) = nf(1). 3. Soit = a. Alors f(a) = b f(a + a + + a) = b b b f(a) + + b f(a ) (b termes dans cette b somme). Donc f(a) = bf( a). Soit af(1) = b bf(a). Ce ui s écrit aussi b f(a) = af(1). b b 4. Soit x R Soit (α i ) une suite croissante de rationnels ui tend vers x. Soit (β i ) une suite décroissante de rationnels ui tend vers x : α 1 α 2 α 3... x β 2 β 1. Alors comme α i x β i et ue f est croissante nous avons f(α i ) f(x) f(β i ). D après la uestion précédent cette inéuation devient : α i f(1) f(x) β i f(1). Comme (α i ) et (β i ) tendent vers x. Par le théorème des gendarmes nous obtenons en passant à la limite : xf(1) f(x) xf(1). Soit f(x) = xf(1). 3