Théorie des graphes. 1 Définitions. Nous allons introduire les définitions au fur et à mesure en essayant de montrer que l énoncé suivant est vrai :

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1 Université de Provence Licence MI 1ère année-s1 Mathématiques générales I Théorie des graphes Table des matières 1 Définitions 1 2 Chemins, Cycles et Connexité 5 1 Définitions Nous allons introduire les définitions au fur et à mesure en essayant de montrer que l énoncé suivant est vrai : Dans une soirée de 51 personnes il y a toujours une personne qui connaît un nombre pair d autres personnes. (On suppose que la connaissance est réciproque et qu il peut y avoir des gens qui ne se connaissent pas. Il peut même y avoir des gens qui ne connaissent personne et dans ce cas l énoncé est trivialement vrai). Si on a aucune idée sur la manière de résoudre le problème, on commence par tâtonner. Mais comment tâtonner avec un tel problème? Doit on donner un nom aux 51 personnes, faire une liste de leur connaissances? Ce serait bien fastidieux!...ca serait bien de commencer par un nombre plus réduit de personnes. Déjà c est facile de voir que si l on considère 50 personnes ça ne marche pas puisque c est toujours possible d avoir 50 personnes qui se connaissent tous, donc chaque personne connaît 49 autres et il n existe aucune personne qui connaît un nombre pair de personnes. Par le même raisonnement on voit que si l on remplace 51 par 48, 30 ou tout autre nombre pair l énoncé est faux. Nous allons donc remplacer notre énoncé par le suivant : Dans une soirée avec un nombre impair de personnes il y a toujours une personne qui connaît un nombre pair de personnes. Supposons que nous ayons 5 personnes (Alex, Brigitte, Carol, Daniel et Eve). A leur première rencontre, Alex connaissait tout le monde, Brigitte et Carol se connaissait et Carol connaissait aussi Eve. Le nombre de connaissances de chacun est facile à calculer et on voit que Alex, Brigitte et Eve connaissent un nombre pair de personnes. Ce serait cependant fastidieux de procéder toujours de cette manière et on risquerait fort de se tromper. Mais on peut trouver une représentation graphique qui aide beaucoup. Dans le plan on va représenter chaque personne par un petit rond et on va relier deux ronds par un segment si deux personnes se connaissent. Ca donne la figure 1 suivante : Une telle figure s appelle un graphe. Ou plus exactement un graphe est constitué d un ensemble de points (ou de sommets) dont certains sont reliés par des arêtes. On notera un graphe par G =(P, A) où P représente l ensemble des points du graphe et A l ensemble des arêtes. Une arête est définie par les sommets qu elle relie; l arête qui relie les sommets u et v sera définie par

2 1 DÉFINITIONS THERIE DES GRAHES 2 Figure 1: Graphe représentant les connaissances à notre soirée. l ensemble (u, v) qu on pourra encore noté uv. Deux sommets peuvent-ils être reliés par deux arêtes (arêtes parallèles)? Un sommet peut-il être relié à lui même (boucle)? La réponse nous revient. Dans certaines applications ce genre d arêtes peut être utile dans d autres il est à proscrire. Ici nous allons supposer qu une paire de sommets n est reliée que par une seule arête et qu aucun sommet n est relié à lui-même. On appelle de tels graphes des graphes simples. Lorsque des arêtes parallèles sont autorisées on parle de multigraphe. Si deux sommets sont reliés par une arête on dit qu ils sont adjacents. L ensemble des sommets adjacents à un sommet donné u s appelle le voisinage de u. Revenons à notre problème. Ce qui nous importe c est le nombre de personne que connaît une personne donnée. Cette information peut être lue sur le graphe en comptant le nombre d arêtes qui partent d un sommet donné. Ce nombre s appelle le degré (ou la valence) du sommet et il sera noté par d(v). Sur notre exemple, on voit que Alex a un degré 4, Brigitte un degré 2, etc...si maintenant François débarque et qu il ne connaît personne, on ajoutera un nouveau sommet qui ne sera relié à aucun autre et qui aura donc un degré 0. La traduction de notre énoncé en langage de théorie des graphes donne : Si un graphe a un nombre impair de sommets alors il a forcément un sommet de degré pair Comme c est plus simple de dessiner des graphes que de faire des listes de personnes et leur connaissances, on va considérer les graphes suivants dans la figure 2 : Figure 2: Des graphes avec un nombre impair de sommets. Exercice 1. Calculer le degré de chaque sommet des six graphes de la figure 2 et compter le nombre de sommets qui ont un degré pair.

3 1 DÉFINITIONS THERIE DES GRAHES 3 On remarque grâce à l exercice que non seulement il y a toujours un sommet de degré pair mais que les sommets de degré pair sont en nombre impair!... On se trouve en présence d un cas où c est plus facile de démontrer plus. C est à dire que nous allons formuler un énoncé plus fort, à savoir : Si un graphe a un nombre impair de sommets alors le nombre de sommets de degré pair est impair et faire ainsi un grand pas vers la résolution de notre problème. Cet énoncé est effectivement plus fort que le précédent puisqu il implique le précédent (0 n étant pas un nombre impair) alors que l inverse n est pas vrai. On va essayer de trouver un énoncé encore plus fort en se tournant vers les graphes avec un nombre pair de sommets. Figure 3: Des graphes avec un nombre pair de sommets. Exercice 2. Calculer le degré de chaque sommet des six graphes de la figure 3 et compter le nombre de sommets qui ont un degré pair. Grâce à l exercice précédent on fait la conjecture suivante : Si un graphe a un nombre pair de sommets alors le nombre de sommets de degré pair est pair. Cet énoncé est bien complémentaire à celui sur les graphes à un nombre impair de sommets mais cela serait encore mieux d avoir un seul et unique énoncé qui engloberait le cas pair et le cas impair. On va y arriver en regardant le nombre de sommets qui ont un degré impair plutôt que pair. On obtient ce nombre en soustrayant le nombre de sommets à degré pair du nombre total de sommets et ainsi les deux énoncés ci-dessus découleront de l énoncé suivant que l on va qualifier de théorème. Théorème 1.1 Pour tout graphe le nombre de sommets de degré impair est pair. On pourrait penser que le fait d avoir généraliser de plus en plus l énoncé initial rendrait notre tache plus difficile mais on va voir qu en fait on est arrivé près du but. Preuve. Une manière de démontrer ce théorème consiste à construire le graphe une arête à la fois et d observer comment les parités changent. Un exemple est donné dans la figure 4. On commence

4 1 DÉFINITIONS THERIE DES GRAHES 4 Figure 4: Construction d un graphe arête par arête. avec un graphe sans arêtes dans lequel tous les sommets ont donc un degré 0 qui est un nombre pair. Maintenant si on joint deux sommets par une nouvelle arête, on change la parité des degrés de ces deux sommets de la manière suivante : si chacun des deux sommets avait un degré pair on augmente de deux le nombre de degrés impair, si chacun des deux sommets avait un degré impair on diminue de deux le nombre de degrés impair, et si un sommet avait un degré pair et l autre impair, on ne change pas du tout le nombre de sommets avec un degré impair. Ainsi puisque n importe quel graphe de n sommets peut être construit à partir du graphe sans arêtes de n sommets dans lequel on ajoute une arête à la fois. On part donc d un graphe où le nombre de sommets de degré impair est nul (puisque tous les sommets ont un degré 0 donc pair). Chaque fois qu on rajoute une arête : soit on augmente de deux le nombre de sommets de degré impair, soit on le diminue de deux, soit on le laisse inchangé. Dans tous les cas le nombre reste un nombre pair. Nous avons donc démontré ce théorème. Ce genre de démonstration s appelle une démonstration par induction sur le nombre d arêtes. Les graphes sont très utiles pour représenter bon nombre de situations et pas seulement des soirées. On pourrait considérer des graphes dont les sommets seraient des villes, les arêtes des routes (des lignes de chemin de fer ou des lignes téléphoniques) qui joignent ces villes, ou bien encore des graphes qui représentent des circuits électriques (par exemple les circuits imprimés sur une carte de votre ordinateur). En fait on peut utiliser des graphes lorsque une relation entre différents objets est définie. Les liaisons entre atomes dans une molécule, les connections entre cellules du cerveau, la descendance

5 2 CHEMINS, CYCLES ET CONNEXITÉ THERIE DES GRAHES 5 entre différentes espèces, etc... peuvent être représentées par des graphes. Précisons ici sur un exemple ce que nous entendons par deux graphes identiques. Par exemple si on considère le graphe représentant les cinq personnes (Alex, Brigitte, etc...), le graphe avec une seule arête reliant Alex à Brigitte est différent de celui à une seule arête reliant Carole à Eve. Exercice Trouver tous les graphes de deux, trois ou quatre sommets Existe-t-il un graphe à 6 sommets de degrés 2, 3, 3, 3, 3, 3? 2.2. Existe-t-il un graphe à 6 sommets de degrés 0, 1, 2, 3, 4, 5? 2.3. Combien y a t-il de graphes à 4 sommets de degrés 1, 1, 2, 2? 2.4. Combien y a t-il de graphes à 10 sommets de degrés 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1? 3. A la fin d une soirée avec n personne tout le monde se connaît. Dessiner le graphe qui représente cette situation. Combien a-t-il d arêtes? Dessiner un graphe dont les sommets représentent les nombres 1, 2,...10 dans lequel deux sommets sont reliés par une arête si et seulement si l un est le diviseur de l autre Dessiner un graphe dont les sommets représentent les nombres 1, 2,...10 dans lequel deux sommets sont reliés par une arête si et seulement si ils n ont aucun diviseur commun plus grand que Calculer le nombre d arêtes et les degrés dans ces graphes et vérifier que le théorème 1 est vérifié. 5. Quel est le plus grand nombre d arêtes que peut avoir un graphe à 10 sommets? 6. Formuler l affirmation suivante sous forme d un théorème sur les graphes et le démontrer. Dans toutes les soirées on peut toujours trouver deux personne qui connaissent le même nombre d autres personnes (comme Brigitte et Eve dans notre premier exemple de graphe). On va terminer cette section en donnant une autre démonstration du théorème 1 qui va découler de la réponse à la question suivante : combien un graphe a-t-il d arêtes? Pour chaque sommet, on compte le nombre d arêtes qui quittent ce sommet (ce nombre sera le degré du sommet). Si on ajoute tous ces nombres entre eux chaque arête sera comptée deux fois. Par conséquent si on divise cette somme par deux on obtient le nombre d arêtes. On va formuler cette observation sous forme d un théorème. Théorème 1.2 La somme des degrés des sommets d un graphe est égal à deux fois le nombre d arêtes. En particulier on voit que la somme des degrés des sommets d un graphe est forcément pair, donc si l on omet les termes pairs dans cette somme on obtient que la somme des degrés impair est pair. Mais ceci n est possible que si le nombre de degrés impairs est pair (car le somme de d un nombre impair de nombres impair est impair). D où il découle une nouvelle démonstration du théorème 1. 2 Chemins, Cycles et Connexité On va maintenant faire connaissance d un certain nombre de graphes particuliers. Le graphe le plus simple est le graphe sans arêtes qui a un nombre quelconque de sommets mais aucune arête.

6 2 CHEMINS, CYCLES ET CONNEXITÉ THERIE DES GRAHES 6 Un autre graphe très simple est le graphe obtenu en prenant n sommets et en joignant tous les couples de sommets par une arête. Un tel graphe est appelé graphe complet (ou une clique). Un graphe complet à n sommets se note K n et il a Cn 2 arêtes. Si l on pense à un graphe comme à une représentation d une relation, il est clair que l on peut tout aussi bien représenter cette relation en joignant deux sommets par une arête si ils ne sont pas reliés. Ainsi pour chaque graphe G on peut construire un autre graphe Ḡ qui a le même ensemble de sommets mais pour lequel deux sommets sont reliés précisément si ils ne sont pas reliés dans le graphe initial G. Le graphe Ḡ est appelé le complémentaire du graphe G. Figure 5: Un chemin dans un graphe reliant deux sommets. Si nous prenons n sommets et nous joignons un des sommets à tous les autres on obtient une étoile. Cette étoile a n 1 arêtes. Maintenant si on trace n sommets en ligne et qu on relie deux sommets consécutifs par une arête, on obtient un graphe à n 1 arêtes qu on appelle un chemin. On pourrait aussi relier le dernier sommet au premier et on obtiendrait alors un cycle (ou un circuit). Le nombre d arêtes d un chemin ou d un cycle s appelle sa longueur. Un cycle de longueur k s appelle un k-cycle. Bien sûr on peut tracer ces graphes de différentes manières en plaçant les sommets ailleurs et on peut ainsi obtenir des arêtes qui s intersectent. un graphe H s appelle un sous-graphe de G s il peut être obtenu à partir de G en supprimant certaines de ses arêtes et sommets (bien sûr si on supprime un sommet on supprime automatiquement toutes les arêtes qui reliaient ce sommet à d autres sommets). Exercice Trouver tous les graphes complets, les chemins et les cycles parmi les graphes des figures de la section précédente. 2. Combien de sous-graphes a un graphe sans arêtes? Combien de sous-graphes a un triangle? 3. Trouver tous les graphes qui sont des chemins ou des cycles et dont les complémentaires sont aussi des chemins ou des cycles. Une notion essentielle dans la théorie des graphes est celle de la connexité. Intuitivement on sent bien ce que cela veut dire mais on peut formuler cette propriété de la manière suivante. Un

7 2 CHEMINS, CYCLES ET CONNEXITÉ THERIE DES GRAHES 7 graphe est dit connexe si n importe quel pair de sommets du graphe est relié par un chemin. Plus précisément, un graphe G est connexe si pour tous sommets u et v il existe un chemin d extrémités u et v qui est un sous-graphe de G. Figure 6: Choix d un chemin de a à c à partir d un chemin de a à b et de b à c. Question : Si deux sommets a et b sont reliés par un chemin P du graphe G et si b et c sont reliés par un chemin Q, alors les deux sommets a et c sont-ils reliés? On a tendance a dire oui bien sûr; il suffit de prendre le chemin P de a jusqu à b puis le chemin Q de b jusqu à c. Le seul problème est que cela risque de ne pas relier a à c par un chemin. En effet on risque de passer deux fois par le même sommet si les deux chemins s intersectent. On pourra cependant toujours construire un chemin de a à c en prenant le chemin P à partir de a jusqu au premier point d intersection du chemin P avec le chemin Q, appelons le d et ensuite de suivre le chemin Q jusqu à c. Cette opération s appelle une concatenation. Une promenade dans un graphe G est une suite de sommets adjacents tels que deux sommets consécutifs sont reliés par une arête. Quelle est donc la différence avec un chemin? La différence c est que dans une promenade on peut passer plusieurs fois par le même sommet. On peut même revenir à son point de départ. On parlera alors de promenade fermée. La plus petite promenade fermée consiste en un seul sommet. Si le sommet de départ d une promenade est différent de celui d arrivée on dira que la promenade relie le premier sommet au dernier. Y-a-t-il une différence entre le fait de relier deux sommets par une promenade ou par un chemin? Pas vraiment car si on peut relier deux sommets par une promenade on pourra les relier par un chemin. Cependant les deux notions ont leur intérêt comme vous le verrez dans les exercices. Terminons par la notion de composante connexe. Soit G un graphe, pas nécessairement connexe. Le graphe G aura des sous-graphes connexes ( par exemple les graphes réduits à un sommet sans arêtes sont connexes). Une composante connexe H est un sous-graphe maximal (au sens de la connexité) qui est connexe. Autrement dit, H est une composante connexe si H est connexe et si tout sous-graphe de G contenant H n est pas connexe. Il est évident que chaque sommet de G appartient à une composante connexe. De même deux composantes connexes ne peuvent pas avoir de sommets en commun (sinon leur union serait un sous-graphe connexe qui les contient tous les deux). Autrement dit chaque sommet d un graphe G appartient à une seule composante connexe. Exercice Montrer que si l on supprime une arête d un graphe connexe G le graphe résultant peut ne pas être connexe.

8 2 CHEMINS, CYCLES ET CONNEXITÉ THERIE DES GRAHES Montrer que si l arête que l on supprime appartient à un cycle qui est un sous-graphe de G alors le graphe résultant est connexe. 2. Soit un graphe G et soient deux sommets u et v Montrer que si il existe une promenade reliant u à v alors il existe un chemin reliant u à v En déduire une autre démonstration du fait que si G contient un chemin reliant a à b et un chemin reliant b à c alors il contient un chemin reliant a à c. 3. Soit un graphe G et soient H 1 =(P 1,A 1 ) et H 2 =(P 2,A 2 ) deux sous-graphes connexes de G. On suppose que H 1 et H 2 ont au moins un sommet en commun. Construire la réunion de ces deux sous-graphes et montrer que cette réunion est connexe. 4. Déterminer les composantes connexes des graphes construits dans l exercice 4 de la section précédente. 5. Montrer qu aucune arête de G ne peut relier des sommets appartenant à des composantes connexe différentes. 6. Montrer qu un sommet v appartient à la composante connexe du graphe G contenant le sommet u, si et seulement si G contient un chemin reliant u à v. 7. Montrer qu un graphe avec n sommets et plus de Cn 1 2 arêtes est toujours connexe.