Université Hassan II Faculté des Sciences Juridiques et Économiques Aïn Sebaa

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Université Hassan II Faculté des Sciences Juridiques et Économiques Aïn Sebaa"

Transcription

1 3//2 Université Hassan II Faculté des Sciences Juridiques et Économiques Aïn Sebaa Année Universitaire 2/2 MATHEMATIQUES (Semestre ) Professeur: M.REDOUABY

2 3//2 Partie 2 A. Fonctions à une variable réel 2. Domaine de définition D f IR x I = x IR\ x = x IR\ f(x) f IR f(x) admet une image la calculer» est définie «on peut 2

3 3//2 Exemples. Fonctions polynômiales : f (x) = a xn a x+ a n fonction polynômiale (ou polynôme) de degré n D f =IR Fonctions polynômiales f(x) = 3x 2+ x 5 ; Exemples : f(x) = 7x 3 x2+ x + 5 ; f(x) = 7x 5 x4+ x2 24 ; Pour toutes ces fonctions : D f = IR= ] ; + [ 3

4 3//2 Exemples 2. Fonctions rationnelles : f (x) = P(x) Q(x) P(x) et Q(x) sont deux polynômes D f = x IR\ Q(x) Fonctions rationnelles Exemple : f(x) = 2x+ 2 2 (x )(x + ) Q (x) = (x2 )(x2 + ) = x2 = Car x2+, ainsi : Q(x) x2 = = x= ± = IR ± D f D f = ] ; [ ] ; [ ] ; + [ 4

5 3//2 Exemples 3. Fonctions racines (n èmes ) : f (x) = n u(x) ; n est un entier naturel non nul A retenir : n = 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ;. Si n est pair : D f Si n est impair : = x IR\ u(x) D f =D u Fonctions racines (n èmes ) «racine carrée» : On doit avoir : «racine cubique» : Exemples : f (x) = 2x+ 2x+ x /2 D f 3 2x f (x) = + u (x) = 2x+ D f = D u = IR= ] ; + [ = [ /2; + [ définie quelque soit x donc 5

6 3//2 4. Fonctions puissances : Exemples ; est un nombre rationnel m et n sont deux entiers naturels non nuls On écrit : f(x) = u(x)α f (x) = n α α=m/n f (x) = u(x)m /n = (u(x)m)/n m u(x) Fonctions puissances Exemples :. f (x) (2x+ ) 4/5 ici = α=4/ 5 On a : 5 4 f (x) = (2x+ ) ; racine impaire, on regarde alors le domaine de définition de ( 2x+ ) 4 : ( 2x+ ) 4 est une fonction polynômiale définie sur IR donc : D f =IR 6

7 3//2 2. On a : f(x) on doit avoir : Fonctions puissances = (2x+ ) f(x) = Exemples : 3/4 4 3 (2x+ ) ( 2x+ ) 3 et ; racine paire, ( 2x+ ) 3 ( 2x+ ) 3> 2x+ > x> /2 D f = ] /2; + [ Exemples 5. Fonctions logarithmiques : f (x) = ln(u(x)) ln Exemple : D f or D f ; désigne le logarithme népérien = x IR\ u(x) > f (x) = ln( x2) 2 = x IR\ x > x2 = ( x)(+ x) ;, tableau des signes 7

8 3//2 Fonctions logarithmiques Exemple : f (x) = ln( x2) x - -x x x Ainsi : D f = ] ; + [ Exemple 2 : f (x) = ln((2x + 7)(x 5)) D f x IR\ Tableau des signes : = (2x+ 7)(x 5) > x -7/2 5 2x Donc : x Produit D f = ] ; 7/2[ ]5; + [ 8

9 3//2 Exemples 6. Fonctions exponentielles : f (x) = e u(x) ; alors «l exponentielle est toujours définie» Exemples : 2 f (x) = ex + x + 2 D = IR ; f f (x) = e x D = IR f = D = IR 2 f + ; f (x) e/(x 2) D f =D u A. Fonctions à une variable réel I IR x 3. Continuité I f IR f(x) f est une fonction définie sur un intervalle I de IR 9

10 3//2 3. Continuité a) Continuité en un point a : a gauche de a a a droite de a 3. Continuité a) Continuité en un point a : Définition : f est continue au point a lorsque : lim f(x) = f(x) f(a) x lim = x a + a limite à droite = limite à gauche = image de a

11 3//2 f(x) = Exemples. ; continuité en x;si x [; ] 2 x;si x ] ;2] On a : lim f(x) = lim 2 x = = x + x + x x lim f(x) = x lim = = f () = = et ; f est donc continue au point f(x) = 2. ; continuité en On a : x+ ;si x [; [ 2 x;si x ] ;2] f() = 3/2 lim f(x) = lim 2 x= 2 = x + x + x 2 x lim f(x) = x lim + = + = f () = 3/2 et ; f est donc discontinue au point

12 3//2 3. Continuité b) Continuité sur un intervalle : Définition : I =[a;b] f est continue sur l intervalle lorsque f est continue en tout point de l intervalle ouvert ]a;b[ ; continue à gauche de b et continue à droite de a. f est continue à gauche de b lorsque : f (x) f (b) x lim b = f est continue à droite de a lorsque : lim f (x) = f (a) x a + 2

13 3//2 Continuité sur un intervalle [a ; b] à droite de a à gauche de b a x b Exemples f(x) =. ; x;si x [; ] 2 x;si x ] ;2] f est continue sur l intervalle [ ; 2] car : f est continue en tout point de l intervalle ] ; 2[ (en particulier au point ), f est continue a droite de et à gauche de 2. 3

14 3//2 Exemples f(x) = 2. ; x+ ;si x [; [ 2 x;si x ] ;2] f() = 3/2 f n est pas continue sur l intervalle [ ; 2] car elle discontinue au point Propriétés des fonctions continues Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I alors : f +g est continue sur I αf est continue sur I ( ) f g est continue sur I f /g α IR g est continue sur I ( sur I ) 4

15 3//2 Conséquences Les fonctions polynômiales sont continues sur IR Les fonctions rationnelles ; racines n èmes ; puissances ; logarithmiques et exponentielles sont continues sur leurs domaines de définition bijection et bijection réciproque I f f - J f est une fonction bijective de I vers J. Si f est continue sur l intervalle I alors sa fonction réciproque f - est continue sur l intervalle J (car les courbes de f et f - sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x) 5

16 3//2 Remarque f est continue sur l intervalle I sa courbe C f est continue «ne présente aucune coupure» Théorème des Valeurs Intermédiaires «T.V.I» T.V.I : Si f est continue sur l intervalle [a; b] f (a) f (b) < et alors f s annule sur ]a ; b[ ; c ]a;b[ f (c) = C est-à-dire : tel que : 6

17 3//2 Interprétation géométrique f(b) > a I f(a) < c b I Ou f(a) > a I c b I f(b) < 7

18 3//2 Exemple Montrer que la fonction s annule (au moins une fois) sur [ ; 2] La fonction f est une fonction polynomiale donc définie et continue sur IR, en particulier sur l intervalle [ ; 2]. De plus : Donc d après le T.V.I : tel que f (x) = x3 + x 3 f () = 3< et f (2) = 7 > c ];2[ f (c) = A. Fonctions à une variable réel I IR x 4. Dérivabilité I f IR f(x) f est une fonction définie sur un intervalle I I a I x I b 8

19 3//2 a) Dérivabilité en un point x Définition On dit que la fonction f est dérivable en x si : x lim x f(x) f(x x x existe. Cette limite «quand elle existe» est appelée : dérivée de f au point x et on la note f (x ) ) f'(x Ainsi ) = x lim x f(x) f(x x x A retenir : toutes les formules de dérivation qu on utilise sont une conséquence directe de cette définition. ) 9

20 3//2 Exemples. Pourquoi la dérivée d une constante est égale à? On pose : f (x) = C, soit x IR I x IR f '(x ) = lim x x = lim x x x IR, f (x) f (x x x C C x x = Ainsi : f '(x ) = Ou encore (en notant x au lieu de x ) : x IR, f '(x) = ) 2

21 3//2 Exemples 2. Pourquoi : ( ax2 + bx+ c)' = 2ax+ b On pose : f (x) 2 + = ax + bx c, soit x IR f '(x ) = I x lim x x f (x) f (x x x ) = = = lim x x lim x x lim x x (ax a(x = 2ax b a(x + x Donc : + bx + c) (ax x 2 x x x x 2 ) + b(x x ) + b = a(x + bx ) + x ) + b + c) 2

22 3//2 x IR, Ainsi : f '(x ) = 2ax + b Ou encore (en notant x au lieu de x ) : x IR, finalement : f '(x) = 2ax + b f(x) = ax2 + bx+ c f'(x) = 2ax + b 3. Pourquoi : On pose : f '(x Exemples x ' = x x 2 f (x) =, soit * ) = lim x x f (x) f (x x x x IR ) 22

23 3//2 f '(x ) = = lim x x lim x x = x 2 x Donc : x x x = lim x x x xx x x x (x x ) = lim xx (x x ) x x f '(x ) = x 2 xx x IR*, finalement : f '(x ) = 2 x Ou encore (en notant x au lieu de x ) : x IR*, f '(x) = x Les formules qui suivront sont aussi conséquence directe de la définition précédente : 2 23

24 3//2 b) Mémento du petit dériveur fonction ax+b fonction dérivée a xα ( α Q ) αxα x /2 x lnx /x fonction ex Sin x fonction dérivée ex Cos x Cos x -Sin x tanx + tan2x 24

25 3//2 Plus général : (u désigne une fonction) fonction au+b fonction dérivée au uα ( α Q ) αu' uα u u'/2 u lnu u'/u fonction eu Sin u Cos u tanu fonction dérivée u' eu u' Cos u - u' Sin u (+ tan2 u) u' 25

26 3//2 Sans oublier, lorsque la fonction se présente sous forme de «blocs», qu on a: fonction u+v u v fonction dérivée u'+v' u'v+uv' u/v (u'v uv')/v2 uοv (u' οv) v' Exercice Calculer les dérivées des fonctions suivantes :. f(x) = x 2 2. f(x) = ln( x 2 + x 3) 3. f(x) = 4. f(x) = xe Sinx 5 3 ( x + ) 5. f(x) = ( x + 2 ) 2/5 26

27 3//2 Exercice «Corrigé» Calculer les dérivées des fonctions suivantes :. f(x) = 2 2 f '(x) = 2(x + ) x x (x ) 2. f(x) = ln(x 2 + x 3) f 'x) = 2x + 2 x + x 3 3. f(x) = xesinx f '(x) = esinx + xcosxe Sinx 2 x Exercice «Corrigé» 4. f(x) = ( x + ) = (x + f '(x) = 3 5 (x + ) 5. f(x) = 5 3 ) 3/5 ( x + 2 ) 2/5 f '(x) = (x 4x + ) 27

28 3//2 c) Dérivabilité sur un intervalle Définition Une fonction f est dérivable sur l intervalle [a ; b] si elle est dérivable en tout point de [a ; b] Exemples f (x) = x. définie et continue sur [ ; + [ 2 x f '(x) = définie pour x ]; + [ Donc la fonction f n est pas dérivable sur [ ; + [ car f n est pas dérivable en, mais dérivable seulement sur l intervalle ] ; + [ 28

29 3//2 Exemples 2. f(x) = 3 x définie et continue IR Question : f est-elle dérivable sur l intervalle [ ; 2]? f(x) = 3 x = (x ) /3 f'(x) = (x ) 2/3 3 C est-à-dire : f'(x) = (x ) f'(x) = 3 (x ) 3 2 donc f n est pas dérivable en x =, et par conséquent f n est pas dérivable sur l intervalle [ ; 2] 29

30 3//2 Remarques. f est dérivable en x f est continue en x 2. f est dérivable sur [a ; b] f est continue sur [a ; b] Donc «contraposée» 3. f est discontinue en x f n est pas dérivable en x 4. f est discontinue sur [a ; b] f n est pas dérivable sur [a ; b] Contraposée : p q non q non p 3

31 3//2 la fonction f n est pas dérivable en x car elle est discontinue en x x Théorème de Rolle Théorème : Si f est une fonction continue sur l intervalle [a ; b] ; dérivable sur l intervalle ouvert ]a ; b[ et : alors : f (a) = f (b) c ]a;b[ tel que f '(c) = 3

32 3//2 Interprétation géométrique f (c) = f(a) = f(b) a I c b Il y a au moins un point de la courbe où la tangente est horizontale Remarque Les hypothèses du Théorème de Rolle : a) f est continue sur [a ; b] b) f est dérivable sur ]a ; b[ c) f(a) = f(b) sont nécessaires. 32

33 3//2 Théorème des accroissements finis «T.A.F» Théorème : Si f est une fonction : a) continue sur [a ; b] b) dérivable sur ]a ; b[ alors : c ]a;b[ tel que : f (b) f (a) = (b a)f '(c) 2 ème version «T.A.F» Théorème : Si f est une fonction : alors : a) continue sur [a ; b] b) dérivable sur ]a ; b[ c ]a;b[ tel que : f (b) f (a) = f '(c) b a 33

34 3//2 3 ème version «T.A.F» premier développement limité Théorème : Si f est une fonction : a) continue sur [a ; b] b) dérivable sur ]a ; b[ alors : c ]a;b[ tel que : f (b) = f (a) + (b a)f '(c) Remarque : Pourquoi on dit : accroissements finis? Comme f (b) f (a) = (b a)f '(c) «ère version» Si la dérivée première «f» est une fonction bornée : f '(x) M sur l intervalle considéré, alors on a : f (b) f (a) M(b a) 34

35 3//2 Ainsi, si l ordre de grandeur de f est fixé, les accroissements de la fonction f «f(b)- f(a)» sont bornés «finis» Interprétation géométrique c ]a;b[ f (b) f (a) tel que = f '(c) b a Veut dire : Il y a au moins un point de la courbe où la tangente est parallèle au segment AB 35

36 3//2 Interprétation géométrique B A a c b Il y a au moins un point de la courbe où la tangente est parallèle au segment AB Conséquences f est une fonction continue et dérivable sur l intervalle [a ; b] : Si f (x)= ( x [a;b] ) alors f est constante Si f (x) ( x [a;b] ) alors f est croissante Si f (x) ( x [a;b] ) alors f est décroissante sur l intervalle [a ; b] 36

37 3//2 Preuve a I x I c I y I I b Soient x et y deux nombres quelconques de l intervalle [a ; b] tels que : x y Si f (x)= ( x [a;b] ), dans ce cas ; T.A.F : f (y) f (x) = (y x)f '(c) = (y x) = f (y) = f (x) : f est donc constante sur l intervalle [a ; b] Preuve Si f (x) ( x [a;b] ), dans ce cas ; T.A.F : f (y) f (x) = (y x)f '(c) y xcar : f '(c) et f (y) f (x) f est donc croissante sur l intervalle [a ; b] 37

38 3//2 Preuve Si f (x) ( x [a;b] ), dans ce cas ; T.A.F : f (y) f (x) = (y x)f '(c) y xcar : f '(c) et f (y) f (x) f est donc décroissante sur l intervalle [a ; b] 38

Formulaire des fonctions usuelles

Formulaire des fonctions usuelles Université d Orléans Formulaire des fonctions usuelles Licence 1 de Mathématiques Groupe 2 Baptiste Morelle 29/09/2008 Page 1 sur 28 Page 2 sur 28 Table des matières Fonctions particulières... 4 Fonction

Plus en détail

Fonctions usuelles réelles

Fonctions usuelles réelles Fonctions usuelles réelles fonctions polynômes et rationnelles 0. les fonctions polynômes Les polynômes seront étudiés en le détail au chapitre 7. définition 4. : n dit que p est une fonction polynôme

Plus en détail

I. Equation et inéquation du second degré

I. Equation et inéquation du second degré I. Equation et inéquation du second degré Théorème : Soient a, b et c des nombres réels avec a non nul, on appelle discriminant et on note Δ le nombre b 2 4ac. L équation ax 2 + bx + c = 0, - admet deux

Plus en détail

Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité

Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité Notations

Plus en détail

Université Hassan II Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales de Mohammedia

Université Hassan II Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales de Mohammedia Université Hassan II Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales de Mohammedia Année Universitaire 2008/2009 MATHEMATIQUES (Semestre 2) ANALYSE Professeur : M.REDOUABY Retrouvez d autres cours

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions 1 Langage de la continuité... 2 1.1 Définition... 2 1.2 Illustration grapique... 2 1.3 Fonctions usuelles... 2 2 Téorème des valeurs intermédiaires...

Plus en détail

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S I Notion de continuité 1) Fonctions continues Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Remarques : On dit que f est continue en a si lim f(x) = f(a) On dit que f est

Plus en détail

I. Les fonctions de référence

I. Les fonctions de référence I. Les fonctions de référence. Fonctions affines, affines par morceau Une fonction affine est croissante lorsque., décroissante lorsque... Sa représentation graphique est la droite d équation y = a b,

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions 1 Langage de la continuité... 2 1.1 Définition... 2 1.2 Illustration grapique... 2 1.3 Fonctions usuelles... 2 2 Téorème des valeurs intermédiaires...

Plus en détail

Limite d une fonction en un point

Limite d une fonction en un point Limite d une fonction en un point Définiton Soit f une fct déf. sur un intervalle I de R, sauf p-ê en a I. l R est la limite de f en a si, quand x I se rapproche de a, f (x) se rapproche de l. Dans ce

Plus en détail

Chap V : De nouvelles fonctions de référence

Chap V : De nouvelles fonctions de référence Chap V : De nouvelles fonctions de référence Cours Chap V, page 1 sur 6 I) Le théorème des bijections réciproques Théorème Théorème des bijections réciproques Si f : I R est continue sur l intervalle I

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques. m = y B y A f(b) f(a)

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques. m = y B y A f(b) f(a) 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre VII : Dérivation Notations : On reprend dans ce chapitre les notations

Plus en détail

FONCTIONS USUELLES. 1 fonctions polynomiales et rationnelles. Cours PCSI 2

FONCTIONS USUELLES. 1 fonctions polynomiales et rationnelles. Cours PCSI 2 Cours PCSI Lycée Joffre FONCTIONS USUELLES 1 fonctions polynomiales et rationnelles fonction polynomiale : une fonction polynomiale sur R est une fonction f pour laquelle il existe un entier naturel d,

Plus en détail

Dérivabilité d une fonction numérique.

Dérivabilité d une fonction numérique. 34 Chapitre 6 Dérivabilité d une fonction numérique. 6.1 Taux d accroissement Définition : Soient f une fonction numérique et I D f un intervalle ouvert. Soit c I, on appelle taux d accroissement de f

Plus en détail

Programme de colle - Semaine 4. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles ; cosinus et sinus hyperbolique.

Programme de colle - Semaine 4. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles ; cosinus et sinus hyperbolique. Programme de colle - Semaine 4 Fonctions circulaires. Bijections, fonctions circulaires réciproques. Fonctions puissances, logarithmes, exponentielles ; cosinus et sinus hyperbolique. Démonstrations du

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction On dit qu une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle est définie sur I et admet en chaque point de I un nombre dérivé.

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

Cours de Mathématiques Continuité, dérivabilité, convexité

Cours de Mathématiques Continuité, dérivabilité, convexité Table des matières I Continuité....................................... 2 I.1 Continuité en un point............................ 2 I.2 Propriétés................................... 3 I.3 Continuité sur

Plus en détail

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en Chaudronnerie Industrielle Chapitre Fonctions de référence...3 I Fonctions affines...3 a) Signe d'une fonction affine...3 II

Plus en détail

Exercices : Fonctions Dérivables

Exercices : Fonctions Dérivables Exercices : Fonctions Dérivables Exercice Déterminez l ensemble de dérivabilité des fonctions suivantes et calculez leur dérivée. ) f : x x 2 + x 2 2) f : x x + cos( x ) 3) f : x arctan( xe x ) 4) f :

Plus en détail

FONCTIONS USUELLES. Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction.

FONCTIONS USUELLES. Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction. A 00-0 FONCTIONS USUELLES Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction. Exponentielles, logarithmes, puissances. Exponentielle

Plus en détail

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines BTS Fonctions 0-0 FONCTIONS I Fonctions usuelles I. Fonctions affines Définition a et b sont deu réels donnés. La fonction définie sur R par f() = a + b est appelée fonction affine. Sa représentation graphique

Plus en détail

Les développements limités.

Les développements limités. PCGI re année, L32 : outils mathématiques 2 Les développements limités. Dans toute la suite, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un singleton, x 0 un point de I et f : I R une fonction

Plus en détail

Continuité Compléments de dérivation

Continuité Compléments de dérivation Continuité Compléments de dérivation Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 015/016 Table des matières 1 Notion de continuité 1.1 Limite finie en un réel a......................................... 1. Définitions

Plus en détail

Résumé du cours. Fonction dérivable

Résumé du cours. Fonction dérivable Résumé du cours Fonction dérivable Nombre dérivé et fonction dérivée Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant a. On dit que f est dérivable en a et de nombre dérivé f (a) si Définition

Plus en détail

1.2 Plan d étude et exemples types.

1.2 Plan d étude et exemples types. Université de Rennes Licence Biologie Mathématiques Année 2008-2009.2 Plan d étude et exemples types..2. But Le but de ce chapitre est d étudier les fonctions comme celles données dans les exemples précédents.

Plus en détail

Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lcée Technique Bamako A- / Ensemble de définition d une fonction : - / Définition : Soit f : A B une fonction. On appelle ensemble de définition D f

Plus en détail

En particulier : x, y R, e x+y = e x e y et e x = 1 e x.

En particulier : x, y R, e x+y = e x e y et e x = 1 e x. I. Propriétés algébriques La fonction logarithme néperien est dérivable et strictement croissante de R + sur R. Le théorème de la bijection, qu on abordera au chapitre 7, permet de prouver l existence

Plus en détail

LEÇON N 66 : Théorème de Rolle. Applications.

LEÇON N 66 : Théorème de Rolle. Applications. LEÇON N 66 : Théorème de Rolle. Applications. Pré-requis : Notions de limite, continuité, dérivabilité ; Théorème des valeurs intermédiaires ; L image d un segment par une application continue est un segment.

Plus en détail

REVISIONS POUR LES VACANCES. Généralités sur les fonctions

REVISIONS POUR LES VACANCES. Généralités sur les fonctions Année 2016-2017 PCSI ( Baggio ) REVISIONS POUR LES VACANCES Vous devez connaître parfaitement tous les résultats donnés ici sur les généralités de fonctions, sur les fonctions exponentielles et logarithmes

Plus en détail

FONCTION LOGARITHME. ln = a.

FONCTION LOGARITHME. ln = a. FONCTION LOGARITHME I. DEFINITION DU LOGARITHME a) Définition Problème : Soit a un réel strictement positif. Démontrer que l équation e x = a admet une solution unique α dans IR. (théorème des valeurs

Plus en détail

Dérivation. Hervé Hocquard. 5 novembre Université de Bordeaux, France

Dérivation. Hervé Hocquard. 5 novembre Université de Bordeaux, France Dérivation Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 5 novembre 2012 Nombre dérivé Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a un point de I. On dit que f est dérivable en a lorsque

Plus en détail

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours

Analyse 1 re année IUT GEA Notes de cours Analyse re année IUT GEA Notes de cours Jean-Marie Favreau Année 200 20 Remarque : l introduction de ce cours, présentée en quelques minutes, de manière interactive, permet de placer quelques rappels simples,

Plus en détail

Les fonctions : Limites, Continuité

Les fonctions : Limites, Continuité Les fonctions : Limites, Continuité f désigne une fonction définie sur un intervalle I ; On note C f sa courbe représentative dans un repère du plan I) Limite d une fonction au voisinage de l infini I

Plus en détail

La fonction Logarithme Népérien

La fonction Logarithme Népérien Terminale S, Logarithme népérien 1 La fonction Logarithme Népérien Existence Théorème: (admis) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R, strictement monotone sur I à valeurs dans J. Alors

Plus en détail

fonction exponentielle de base e

fonction exponentielle de base e fonction exponentielle de base e Table des matières 1 fonction exponentielle de base e 2 1.1 définition.................................................. 2 1.1.1 activité...............................................

Plus en détail

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES

PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES EXAMEN PREMIÈRE SESSION - Janvier 01 - heures Les exercices sont indépendants et peuvent

Plus en détail

Etude de fonction : notion de continuité

Etude de fonction : notion de continuité Etude de fonction : notion de continuité Leur faire lire des rappels sur les fonctions pour le jour en question. Toutes les fonction considérées dans ce chapitre sont définies sur ou une partie de et sont

Plus en détail

Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction

Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction I. Continuité Définition : Continuité d une fonction Dire que f est continue en a signifie que f a une limite finie en a ; cette limite est alors

Plus en détail

Fonctions puissances Croissances comparées

Fonctions puissances Croissances comparées Fonctions puissances Croissances comparées Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 200/20 Table des matières Puissances réelles 2. Définition Premières propriétés.................................... 2.2 Propriétés

Plus en détail

BTS Maintenance industrielle - Les fonctions

BTS Maintenance industrielle - Les fonctions de référence. en escaliers Une fonction en escaliers est une fonction constante par intervalles. Eemple. la fonction f définie sur [,[ - 5 6 7 8. affines Une fonction affine f est définie sur par où a

Plus en détail

Fonctions usuelles. Bestiaire du collège-lycée. I.1 Valeur absolue. Signe. I.2 Fonctions puissances (entières) Définition 1. 1 si x > 0 x 1 si x < 0

Fonctions usuelles. Bestiaire du collège-lycée. I.1 Valeur absolue. Signe. I.2 Fonctions puissances (entières) Définition 1. 1 si x > 0 x 1 si x < 0 Fonctions usuelles. I Bestiaire du collège-lycée I.1 Valeur absolue. Signe. Définition 1. R R{ La fonction signe est la fontion sg : 1 si x > 0 x 1 si x < 0. Définition 2. R R{ La fonction valeur absolue

Plus en détail

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie I) PRELIMINAIRES Voir activité II) LIMITE D UNE FONCTION EN + et ) Limite infinie en + et Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme

Plus en détail

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative

Plus en détail

Plan d'étude d'une fonction. , f x = f x alors f est impaire.

Plan d'étude d'une fonction. , f x = f x alors f est impaire. 1 Recherche de l'ensemble de définition Plan d'étude d'une fonction. Fonctions rationnelles. f x existe si le dénominateur n'est pas nul. 2n Fonctions avec radical du type. f x existe si la quantité sous

Plus en détail

EXERCICES 1S DERIVATION

EXERCICES 1S DERIVATION EXERCICES S DERIVATION Nombre dérivé ; utilisation des formules On trouvera les solutions après la liste des exercices Ne les consultez pas trop vite! EX : Calculer la fonction dérivée de la fonction f

Plus en détail

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION 1) Du sens de variation au signe de la dérivée Théorème (admis) : soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. o Si f est une fonction croissante sur I,

Plus en détail

Résumés de cours et Méthodes Maths Terminale S

Résumés de cours et Méthodes Maths Terminale S Stages intensifs Résumés de cours et Méthodes Maths Terminale S www.groupe-reussite.fr contact@groupe-reussite.fr 1 2 Chapitre 1 Fonction exponentielle, logarithme népérien, logarithme décimal 1.1 Fonction

Plus en détail

Continuité d une fonction et équation

Continuité d une fonction et équation Continuité d une fonction et équation I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative sur l intervalle I se fait

Plus en détail

Chapitre 2 CONTINUITE - CONVEXITE TES

Chapitre 2 CONTINUITE - CONVEXITE TES Chapitre 2 CONTINUITE - CONVEXITE TES I Quelques rappels Définition Soit a et (a + h) appartenant à I. Dire que f est dérivable en a signifie que le taux d'accroissement entre a et a + h, τ a,h, tend vers

Plus en détail

Bijections et continuité

Bijections et continuité CHAPITRE 7 Bijections et continuité 7.1 Images et antécédants 7.1.1 Images directes et images réciproques Dénition 1 Soit x E. Alors l'élément f(x) est appelé l'image de x par f. Soit y F. Si z est un

Plus en détail

TERMINALE ES Fonctions 2/2 La convexité

TERMINALE ES Fonctions 2/2 La convexité * 1. Rappels sur la dérivation 1. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel de I. Soit h un nombre très petit et non nul. Alors Dire que f est dérivable en a de I signifie

Plus en détail

Fonctions d'une variable réelle (M-1.1)

Fonctions d'une variable réelle (M-1.1) Fonctions d'une variable réelle (M-.) I. Fonctions définies par morceaux Définition des fonctions en escalier : une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles. Sa représentation graphique

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Mathématiques: Mise à niveau. Séance 10: Fonctions usuelles

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Mathématiques: Mise à niveau. Séance 10: Fonctions usuelles UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 04 05 L Économie Cours de M. Desgraupes Mathématiques: Mise à niveau Séance 0: Fonctions usuelles Table des matières Fonction

Plus en détail

Lycée de la Plaine de l Ain Bac. blanc Mathématiques Terminale S. Mars 2005

Lycée de la Plaine de l Ain Bac. blanc Mathématiques Terminale S. Mars 2005 Lycée de la Plaine de l Ain Bac. blanc Mathématiques Terminale S Mars 2005 1 Exercice 1 (4 points). A ne traiter que par les élèves ne suivant pas l enseignement de spécialité. 1. Résoudre dans C l équation

Plus en détail

COURS DE BTS, premie re anne e.

COURS DE BTS, premie re anne e. COURS DE BTS, premie re anne e. Contenu ALGORITHMIQUE...3 I GENERALITES...3 II AVEC UNE CALCULATRICE....3 III L instruction conditionnelle....4 IV La boucle itérative....5 V La boucle conditionnelle....5

Plus en détail

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3

LOGARITHME. Ph DEPRESLE. 29 juin Fonction logarithme népérien Définition Conséquences Propriétés algébriques 3 LOGARITHME Ph DEPRESLE 9 juin 5 Table des matières Fonction logarithme népérien. Définition............................................... Conséquences............................................ 3 Propriétés

Plus en détail

Analyse (1) : fonctions d une variable réelle

Analyse (1) : fonctions d une variable réelle MP 1. Semestre 1. Cours. Chapitre 2 : Analyse Analyse (1) : fonctions d une variable réelle continuité, limites, asymptotes dérivées, variations Application : courbes paramétriques 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES

Plus en détail

5. f(x) = x x en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = 1. (plus difficile) Aide

5. f(x) = x x en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = f(x) = (x 1) 1 x 2 en x = 1. (plus difficile) Aide de la ère S à la TS. I Exercices Dérivabilité Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes au point demandé. f(x) = x 2 en x = 3 (Revenir à la définition du nombre dérivé) 2. f(x) = x en x =. 3. f(x)

Plus en détail

Dérivation Continuité

Dérivation Continuité Dérivation Continuité Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Nombre dérivé Fonction dérivé 2 1.1 Nombre dérivé.......................................... 2 1.2 Fonction dérivée.........................................

Plus en détail

Continuité sur un intervalle

Continuité sur un intervalle Continuité sur un intervalle Bcpst 1 27 février 2017 Notations du chapitre Dans tout ce chapitre, et sauf mention contraire : I est un intervalle de non vide et non réduite à un point ; est un domaine

Plus en détail

Cours informel sur la fonction réciproque.

Cours informel sur la fonction réciproque. Cours informel sur la fonction réciproque. Ce cours aborde de nombreuses parties du programme de terminale scientifique. Les parties qui n'appartiennent pas au programme seront signalées par le sigle hp,

Plus en détail

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en Chaudronnerie Industrielle Chapitre 1 Fonctions de référence...2 I Fonctions affines...2 a) Signe d'une fonction affine...2 II

Plus en détail

1 + φ 2 (t) dt. b) En utilisant un raisonnement similaire, calculer l intégrale : cos(t) 4 + sin 2 (t) dt. (sin(sin(2x))) 2 lim

1 + φ 2 (t) dt. b) En utilisant un raisonnement similaire, calculer l intégrale : cos(t) 4 + sin 2 (t) dt. (sin(sin(2x))) 2 lim Analyse Série 1, juillet 2012 Question 1 1. Soit une fonction φ : [a, b] R de classe C 1 (c est-à-dire dérivable et dont la dérivée première est continue) telle que φ(a) = 1 et φ(b) = 1. a) Calculez l

Plus en détail

Fonctions d une variable réelle

Fonctions d une variable réelle Fonctions d une variable réelle BTS Table des matières Fonctions usuelles. Fonctions en escalier.......................................... Fonctions affines............................................

Plus en détail

TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires

TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Université Paris Est Créteil DAEU TD : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Dans cette fiche on définie une propriété très importante qui est vérifiée par un très grand nombre

Plus en détail

FONCTION LOGARITHME. 2 exemple 2. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1 ] par : f(x) = 2 x + 1 signe de f 5

FONCTION LOGARITHME. 2 exemple 2. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1 ] par : f(x) = 2 x + 1 signe de f 5 FONCTION LOGARITHME I FONCTION RECIPROQUE La fonction carrée La fonction carrée est dérivable et strictement monotone sur [ 0 ; 2 ] D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire pour tout

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITE

LIMITES ET CONTINUITE LIMITES ET CONTINUITE I) LIMITES A L'INFINI ) Limite infinie à l'infini Si tout intervalle ]A;+ [ contient tous les f(x) pour x assez grand, on dit que f a pour ite + en +. on écrit f x = f x = A > 0,

Plus en détail

TS Limites de fonctions Cours

TS Limites de fonctions Cours TS Limites de fonctions Cours I. Limites à l infini. Limite infinie en + ( 3 ) Définition Une fonction f a pour limite + en + si pour toute valeur réelle A, on a f() > A pour assez grand c est à dire pour

Plus en détail

Formule de Taylor-Lagrange

Formule de Taylor-Lagrange Formule de Taylor-Lagrange Exercice. Soit x un réel strictement positif et f une fonction sur [0, x].. Quelles sont les hypothèses qui permettent d écrire la formule de Taylor-Lagrange pour f sur [0, x]

Plus en détail

ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES

ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES I. La continuité : Définition : ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES 1 ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Graphiquement, on reconnaît qu'une fonction est continue sur un

Plus en détail

Fiche de cours 3 : Fonctions usuelles, Développements limités, Équivalents, Séries Numériques

Fiche de cours 3 : Fonctions usuelles, Développements limités, Équivalents, Séries Numériques Ecole Polytechnique, 009-00 EV- Mathématiques Appliquées Fiche de cours 3 : Fonctions usuelles, Développements ités, Équivalents, Séries Numériques Fonctions usuelles. Quelques rappels Théorème. (Fonctions

Plus en détail

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Cité Scolaire Gambetta Année scolaire 0-03 I Limite à l infini : ) Limite finie en Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le réel l en signifie

Plus en détail

Corrigé du TD 2 : Fonctions simples

Corrigé du TD 2 : Fonctions simples Corrigé du TD : Fonctions simples Exercice : Fonctions élémentaires. Cas f(x) = Il est clair qu il n y a aucun problème de définition et que cette fonction est définie pour tout x réel. De plus, la fonction

Plus en détail

Remise à Niveau Mathématiques

Remise à Niveau Mathématiques Mathématiques RAN - Fonctions Remise à Niveau Mathématiques Deuième partie : Fonctions Corrigés des eercices Page sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03 Mathématiques RAN - Fonctions DÉFINITIONS

Plus en détail

(ln x) 3 + x. x+ 1 x. xe 1 x

(ln x) 3 + x. x+ 1 x. xe 1 x Calculs et entraînement. Eercice 1. [limites ] Calculer les limites suivantes : 1. lim + e + ln. lim + (ln ) 3 + sin 3. lim + 1 + + 4. lim + e 1 sin + cos 7. lim + + 1 1 10. lim + 1 13. lim 5. lim e 1

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 2016-2017 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION - DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Dérivabilité, dérivée, Eercice 1 [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de

Plus en détail

4 Déterminer les limites suivantes. 1) lim x e1 2x. e x x+ 1 e 2x + 1 3) lim x 5 Montrer que l équation e 3x 6 = 0 admet une.

4 Déterminer les limites suivantes. 1) lim x e1 2x. e x x+ 1 e 2x + 1 3) lim x 5 Montrer que l équation e 3x 6 = 0 admet une. ANALYSE Logarithme népérien 5 Connaissances nécessaires à ce chapitre Connaître l allure de la courbe de la fonction exponentielle Connaître les propriétés algébriques de la fonction exponentielle Résoudre

Plus en détail

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles Mathématiques - ECS 6 Dérivation et accroissements finis. Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris 78000 Versailles c 06, Polycopié du cours de mathématiques de première année. 6 Dérivation et accroissements

Plus en détail

T.S L 2. Limite d une fonction. Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. I.1 Activités. I.2 Définitions

T.S L 2. Limite d une fonction. Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. I.1 Activités. I.2 Définitions T.S Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. L 2 Le second degré, vu en classe de ère S, est à connaître IMPÉRATIVEMENT : solutions événtuelles d une équation du second degré, signe d une epression

Plus en détail

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui Chapitre 6 : CONTINUITE - DERIVATION 1. CONTINUITE 1. 1 Continuité en un point Définition Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I (distinct des bornes de I)

Plus en détail

Fiche méthodologique Fonctions usuelles

Fiche méthodologique Fonctions usuelles Fiche méthodologique Fonctions usuelles BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: = Pelletier Sylvain On liste ici les fonctions à connaître et leur propriétés. Fonction puissance n-ième et racine n-ième { R R Fonction

Plus en détail

Chapitre 2 - Continuité et convexité

Chapitre 2 - Continuité et convexité Chapitre 2 - Continuité et convexité I Rappels : sens de variation et dérivée Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Si la dérivée est strictement positive sur l intervalle I, alors

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 203-204 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION Dérivabilité, dérivée, Eercice [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de ]a, b[ dans R. On suppose que

Plus en détail

CHAPITRE 3 PRIMITIVES ET INTEGRALES FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES

CHAPITRE 3 PRIMITIVES ET INTEGRALES FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES CHAPITRE 3 PRIMITIVES ET INTEGRALES FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES 3--PRIMITIVES ET INTEGRALES 3---Primitives Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle fonction primitive de

Plus en détail

Chap 5. Dérivation. Pré requis : généralités sur les fonctions ; fonctions usuelles ; limite réelle d'une fonction en a.

Chap 5. Dérivation. Pré requis : généralités sur les fonctions ; fonctions usuelles ; limite réelle d'une fonction en a. Chap 5 Dérivation Pré requis : généralités sur les fonctions ; fonctions usuelles ; limite réelle d'une fonction en a. Objectifs : faire le lien entre nombre dérivé et tangente à la courbe en un point

Plus en détail

Fonctions Exponentielles

Fonctions Exponentielles Fonctions Exponentielles Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2011/2012 Table des matières 1 Définition Premières propriétés 2 1.1 Définition................................................. 2 1.2 Premières

Plus en détail

Pour démarrer la classe de terminale S. Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S. Paul Milan

Pour démarrer la classe de terminale S. Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S. Paul Milan Pour démarrer la classe de terminale S Tout ce qu il faut savoir de la 1 re S Paul Milan 8 novembre 015 Table des matières 1 Second degré 7 1 Forme canonique............................. 7 Racines du

Plus en détail

I. Limites d une fonction à l infini

I. Limites d une fonction à l infini T STI SIN Limites de fonctions 6//202 Lycée Don Bosco 202-203 I. Limites d une fonction à l infini Activité a. Limites infinies On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par : f(x) = x 2 x +, et

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

Fonctions : Dérivation-Composition

Fonctions : Dérivation-Composition Fonctions : Dérivation-Composition Terminale S 2011/2012 15 septembre 2011 Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre 2011 1 / 21 Nombre dérivé Plan 1 Compléments sur la dérivation

Plus en détail

Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 1

Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 1 Terminale SSI 1 Chapitre 1 : limites et continuité 1 1 Introduction 1.1 Limites de suites En classe de première, on a déjà rencontré les limites de suites. Définition On dit qu'une suite u, définie sur

Plus en détail

Activités d approche. ACTIVITÉ 1 Vers de nouvelles formules de dérivation. Partie A : Fonction sous radical. Partie B : Fonction en puissance

Activités d approche. ACTIVITÉ 1 Vers de nouvelles formules de dérivation. Partie A : Fonction sous radical. Partie B : Fonction en puissance Dérivation. Fonctions cosinus et sinus ANALYSE Connaissances nécessaires à ce chapitre Calculer la dérivée d une fonction f Déterminer certaines caractéristiques de f à partir de f Utiliser le cercle trigonométrique,

Plus en détail

Limites et continuité

Limites et continuité 1 Limites et continuité Table des matières 1 Limites - Rappels de première 2 1.1 Définition................................. 2 1.2 Asymptotes parallèles aux axes..................... 3 1.3 Limites des

Plus en détail

Fonctions réelles : rappels de lycée et compléments. () Fonctions réelles : 1 / 54

Fonctions réelles : rappels de lycée et compléments. () Fonctions réelles : 1 / 54 Fonctions réelles : rappels de lycée et compléments () Fonctions réelles : 1 / 54 1 Fonctions logarithmes et exponentielles Le logarithme népérien L exponentielle Logarithmes et exponentielles de base

Plus en détail

Terminale ES. La fonction logarithme népérien

Terminale ES. La fonction logarithme népérien Terminale ES La fonction logarithme népérien 1 I Liens avec la fonction exponentielle Définition On sait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur et à valeurs dans ]0;+ [. Ainsi, pour

Plus en détail

ENSEMBLES ET APPLICATIONS

ENSEMBLES ET APPLICATIONS ENSEMBLES ET APPLICATIONS 1 Applications : définitions ensemblistes Définition 1.1 Application Soient E et F deux ensembles. On appelle application de E dans F un objet { mathématique f qui à tout élément

Plus en détail

Les fonctions de re fe rence

Les fonctions de re fe rence BTS-SIO Les fonctions de re fe rence Les fonctions affines De finition : Soit (m; p) R2 et une application f telle que : f: R 7 f (x) = mx p R x f est dite fonction affine. Si m = 0 f est une fonction

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 4 : THEOREME DE LA VALEUR INTERMEDIAIRE - COURS + ENONCE EXERCICE

Plus en détail