Mathématiques. Fonctions : domaine, opérations, parité, périodicité, extrema, fonctions élémentaires

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1 Mathématiques Fonctions : domaine, opérations, parité, périodicité, extrema, fonctions élémentaires Pierre Mathonet Département de Mathématique Faculté des Sciences Liège, printemps 06

2 Relations entre variables en sciences En sciences les variables sont des quantités mesurables : taille, poids, pression, température,... On détermine des relations entre ces variables que l on représente par des graphiques ou exprime par des lois. Exemple : soit X la variable heure de la journée, et Y la variable température. A chaque mesure de l heure correspond une seule mesure de la température. On écrira une équation Y = f (X), Y = Y (X) ou g(x, Y ) = 0. Ex.: Y = 3X 3, ou Y = 5X 3 4. La loi de transformation f décrit comment obtenir la valeur de la variable Y à partir d une mesure de X. En mathématique, la notion de variable est plus difficile à définir. Une relation est donnée par tous les couples de mesures (temps,température) ou (altitude, pression) possibles. On n écrit pas une équation entre indéterminées.

3 Produit cartésien et relations Définition. Produit cartésien Soient A et B deux ensembles. On appelle produit cartésien des ensembles A et B l ensemble A B = {(a, b) a A, b B}. En particulier R = R R. C est donc simplement l ensemble des couples dont le premier élément est dans A et le deuxième dans B. Une relation est formée par certains couples. Définition. Relations Une relation R de A dans B est une partie de A B. On appelle A l ensemble de départ et B l ensemble d arrivée de R. Si le couple (a, b) est dans R, on note parfois arb et on dit que a est en relation avec b. 3

4 Un exemple et deux représentations On dessine une flèche de a vers b si arb : Jours L M M J V S D B N V R Couleurs On peut aussi représenter les couples. Le lien est évident. Rien Vert Noir Bleu L M M J V S D La couleur des chaussettes n est pas déterminée en fonction du jour!

5 Définition Domaine, image, réciproque Soit R une relation de A dans B. Le domaine de R l ensemble des points x de A qui sont en relation avec au moins un élément y de B. On le note dom R ou D R. On a dom R = D R = {x A y B : xry}. L image de R l ensemble Im(R) des points y de B tels qu il existe au moins un élément x de A qui soit en relation avec y. On a Im(R) = {y B x A : xry}. La relation réciproque (ou inverse) est la relation R de B dans A définie par yr x xry. 5 Pour la relation réciproque, on lit de B vers A. On retourne les flèches. Pour la représentation graphique, on échange les axes.

6 Relations et fonctions Dans ce qui suit, les ensembles A et B considérés seront inclus dans R. Les fonctions de A dans B correspondent à des relations particulières. Définition Soient A et B deux ensembles. Une relation R de A dans B est le graphe d une fonction f, si pour tout x dans A, il existe au plus un y dans B tel que xry. Si x est dans dom R, il existe exactement un y dans B tel que xry; on note alors y par f (x) et on dit que y est l image de x par f. Remarque : On dit aussi que R est une fonction. Les notion sde domaine et d image d une fonctions sont celles d une relation. 6

7 Fonctions en mathématique : second point de vue Une deuxième définition est utilisée en mathématique. Définition Une fonction de A dans B est une loi qui a tout élément x de A associe (au plus) un élément f (x) de B. On écrit f : A B : x f (x). Si f est une telle loi, alors on peut définir une relation par R = {(x, y) R : y = f (x)}. C est le graphe d une fonction, et cette fonction est f. Quel que soit le point de vue, quand on écrit f (x), x est un nombre, f (x) est un nombre, la fonction est f et y = f (x) est l équation de son graphe. D ailleurs, on peut remplacer x et y par n importe quelle lettre. Deux fonctions f et g sont égales si elles ont même domaine et si on a f (x) = g(x) pour tout x dom(f ).

8 Représentations graphiques Quel que soit le point de vue utilisé pour définir une fonction de R dans R, son graphe est {(x, y) R : y = f (x)}. Donc y = f (x) est l équation cartésienne du graphe de f. Si on se donne un repère (généralement on prend les axes orthogonaux), on peut alors repésenter les points du graphe, comme nous l avons vu en géométrie. On obtient ainsi la représentation graphique de f, que l on appelle encore le graphique de f. f (x) (x, f (x)) 0 x Attention à ne pas confondre le x ci-dessus avec le nom généralement attribué à l axe des abscisses.

9 Sommes, produits, multiples, restrictions Définition (Somme et produit) Soient f et g des fonctions de R dans R. Les fonctions f + g et f g ont pour domaine dom f dom g. On définit f + g : R R : x f (x) + g(x). On définit le produit f g : R R : x f (x) g(x). En particulier, pour c R, la fonction c f a pour domaine dom f est définie par c f : R R : x cf (x). et Définition (Restriction) Si f : A B : x f (x) est une fonction et si A A, alors la restriction de f à A est donnée par f A : A B : x f (x). La fonction f A est donc la même loi de transformation que f, mais définie sur un ensemble plus petit.

10 Définition Composées et quotients Si f et g des fonctions de R dans R, la composée de f et g (f après g) a pour domaine dom f g = dom g {x : g(x) dom f } est définie par f g(x) = f (g(x)). La condition sur le domaine de f g est claire si on considère que l on transforme x au moyen de g, puis le réultat au moyen de f. Exemple : La fonction inversion i : R R : y y admet R \ {0} comme domaine. Si g : R R est une fonction, alors i g : x g(x) est définie sur dom g {x : g(x) 0}. Définition. Quotients Si f et g des fonctions de R dans R, le quotient de f et g est la fonction f f (x) g : R R : x g(x). Son domaine est 0 dom f dom g {x R : g(x) 0}.

11 Définition Parité Une fonction f : R R est paire si son domaine est symétrique par rapport à zéro et si on a f ( x) = f (x) pour tout x dom f. Une fonction f : R R est impaire si son domaine est symétrique par rapport à zéro et si on a f ( x) = f (x) pour tout x dom f. 3 Si A est une partie de R, nous dirons que f est paire (resp. impaire) sur A si la restriction de f à A est paire (resp. impaire). x, f ( x)) (x, f (x)) f (x) (x, f (x)) x x x x, f ( x)) x f ( x) Une fonction paire Une fonction impaire

12 Périodicité Les fonctions périodiques corespondent aux phénomènes scientifiques qui se répètent à intervalle régulier. Définition Une fonction f : R R est périodique de période T (où T > 0) si pour tout x dom f, x + T dom f et f (x + T ) = f (x). Définition Si f est une fonction périodique, on appelle période de f le plus petit nombre T tel que f soit périodique de période T (s il existe). Exemples : Les fonctions sinus et cosus sont périodiques de période π. La fonction f : R R : x sin(x) est périodique de période π. La fonction tangente est périodique de période π.

13 3 Croissance, décroissance, extrema globaux et locaux Définition Soit f une fonction de R dans R et A une partie de R. Alors f est croissante sur A si (x, y A et x < y) f (x) f (y). strictement croissante sur A si (x, y A et x < y) f (x) < f (y). 3 décroissante sur A R si (x, y A et x < y) f (x) f (y). 4 strictement décroissante sur A si (x, y A et x < y) f (x) > f (y). De plus f admet en x 0 un maximum global (strict) si f (x) (<)f (x 0 ) pour tout x dom f ; minimum global (strict) si f (x) (>)f (x 0 ) pour tout x dom f ; 3 extremum global dans un des deux cas précédents; 4 maximum local (strict) si il existe un intervalle I tel que f (x) (<)f (x 0 ) pour tout x dom f I; 5 minimum local (strict) si il existe un intervalle I tel que f (x) (>)f (x 0 ) pour tout x dom f I; 6 extremum local dans un des deux cas précédents.

14 Croissance, Extrema et représentations graphiques Voici la représentation graphique d une fonction définie sur un [a, b] : y a x 0 x x x 3 x 4 b x La fonction f est croissante sur [a, x 0 ], [x, x ], [x 3, x 4 ]; Elle est décroissante sur [x 0, x ], [x, x 3 ] et [x 4, b]. Elle admet des extrema locaux en a, x 0, x, x, x 3, x 4, b; Elle admet des minima locaux en a, x, x 3, b; Elle admet des maxima locaux en x 0, x, x 4 ; Elle admet un maximum global (strict) en x 4 et un minimum global (strict) en x.

15 Fonctions du premier degré Définition. Fonctions du premier degré On appelle fonction du premier degré toute fonction f : R R : x mx + p, où m et p sont réels (on peut supposer m 0). Cette fonction a un domaine égal à R et son graphe est une droite. p m p 0 p 0 p m Une telle fonction est déterminée par ses valeurs en deux points distincts. Elle ne change de signe que si elle s annule (voir les inéquations correspondantes). L ordonnée à l origine est p = f (0). La pente est m, c est le taux d accroissement : si x x f (x ) f (x) = (mx + p) (mx + p) = m(x x). Cette fonction est croissante si m > 0 et décroissante si m < 0.

16 Fonctions du second degré Définition. Fonctions du second degré On appelle fonction du second degré toute fonction f : R R : x ax + bx + c, où a, b, c sont réels (on suppose souvent a 0). Propriétés : Cette fonction a un domaine égal à R. Sa représentation graphique est une parabole. L ordonnée à l origine est f (0) = c. Nous avons démontré que pour tout x R, 6 f (x) = a[(x + b 4ac a ) b + 4a ]. Le graphe de f est symétrique par rapport à la droite d équation x = b a.

17 Extremum et signe Proposition. Extrema des fonctions du second degré. La fonction f définie plus haut admet un extremum global strict en x e = b a. C est un minimum si a > 0 et un maximum si a < 0. De plus, on a f (x e ) = 4ac b 4a = 4a. Les zéros de la fonction sont définis par f (x) = 0. C est une équation du second degré. Si cette équation admet deux solutions x 0 et x, éventuellement confondues, alors on a f (x) = a(x x 0 )(x x ). L étude du signe de f correspond à une inéquation du second degré. 7

18 Fonctions polynomiales et fractions rationnelles Définition. Fonctions polynomiales Une fonction polynomiale est une fonction P : R R telle que P : R R : x c n x n + + c x + c 0, x R, où les coefficients c 0,..., c n sont réels. Un tel P est une somme de produits de la fonction identique id : R R : x x. Son domaine est R. Elle est de degré n si c n 0. Définition. Fraction rationnelle On appelle fraction rationnelle tout quotient de deux fonctions polynomiales : Q : R R : x c nx n + + c 0 a m x m + + a 0. 8 Le domaine de Q est {x R : a m x m + + a 0 0}.

19 Les fonctions sinus et cosinus π π π 3π π π π Les fonctions sinus et cosinus : Leur domaine est R. Elles sont périodiques, de période π. Leur image est [, ]. La fonction sinus est impaire, la fonction cosinus est paire. Elles sont translatées l une de l autre. On a sin(0) = 0. 9

20 Les fonctions tangente et cotangente Ce sont des quotients! π π π π 3π π π π π π π π 3π π Le domaine de tg est R \ { π + kπ, k Z} Le domaine de cotg est R \ {kπ, k Z} Elles sont périodiques de période π On a cotg (x) = tg (x + π ). 0

21 Fonctions réciproques (ou inverses) Etant donnée une fonction f : A B, on sait qu il s agit d une relation particulière dans A B. On sait que cette relation admet toujours une relation réciproque. Cette relation réciproque n est pas toujours le graphe d une fonction : Définition La fonction f : R R : x x admet une relation réciproque qui n est pas le graphe d une fonction. La fonction f : [0, + [ [0, + [: x x admet une relation réciproque qui est le graphe d une fonction. Une fonction f : A B est injective si a a A f (a) f (a ). En termes d équations : pour tout y B, l équation y = f (x) admet au plus une solution. Proposition La relation réciproque du graphe de f est le graphe d une fonction si, et seulement si, la fonction f est injective. Dans ce cas, la fonction ainsi définie est la réciproque de f, notée f. Si de plus l image de f est B, on dit que f est une bijection et le domaine de f est B.

22 Fonction arc sinus La fonction sin n est pas une bijection. Mais la restriction de sin à [ π, π ] définit une bijection de [ π, π ] sur son image [, ]. Définition La fonction arcsin (arc sinus) est la fonction réciproque de la restriction de la fonction sin à [ π, π ]. Sa représentation graphique s obtient à partir de celle de sin : π π 6 π 0 π 6 π 0 π Représentation de sin, sur [ π, π ] Représentation de arcsin, sur [, ] On a déjà vu les propriétés de la fonction arc sinus.

23 Fonction arc cosinus La fonction cos n est pas une bijection. Mais la restriction de cos à [0, π] définit une bijection de [0, π] sur son image [, ]. Définition La fonction arcos (arc cosinus) est la fonction réciproque de la restriction de la fonction cos à [0, π]. La représentation graphique est obtenue à partie de celle de cos. On a déjà vu les propriétés de arcos. y π y 3 0 π x π π Représentation de cos, sur [0, π] Représentation de arcos, sur [, ] x

24 Fonction arc tangente La fonction tangente est définie sur ] π, π [. La fonction tangente est strictement croissante et définit une bijection de ] π, π [ sur R. Définition La fonction arctg (arc tangente) est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à ] π, π [. On a tg (arctgx) = x, x R et arctg(tg x) = x, x ] π, π [. La fonction arctg est croissante. π π

25 Définition. Racine carrée La fonction racine carrée La fonction f : [0, + [ [0, + [: x x est une bijection. La fonction réciproque est la fonction racine carrée f = : [0, + [ [0, + [: x x. On a ( x) = x pour tout x 0. L expression x est définie pour tout x R et vaut x (x, x ) (x, x) Généralisations : Racines p-èmes pour p pair.

26 Définition. Racine cubique La fonction racine cubique La fonction f 3 : R R : x x 3 est une bijection. La fonction réciproque est la fonction racine cubique f 3 = 3 : R R : x 3 x. Le domaine de cette fonction est R. Pour tout x R, 3 x 3 = x = ( 3 x) (x, x 3 ) (x, 3 x) Généralisations : Racines p-èmes pour p impair.

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