CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN

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1 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 1. Fonctions en esclier. Le but de l construction de l intégrle d une fonction f : [, b] R étit, initilement, de définir rigoureusement l ire de l figure géométrique sous le grphique de cette fonction sur [, b]. Évidemment, le cs le plus simple est celui d une fonction constnte: x f(x) C. En effet, dns ce cs il s git de l ire d un rectngle (si C > 0) de longueur b et de lrgeur C, ce qui mène à l définition nturelle C dx = C(b ). On s perçoit que cette définition s pplique églement u cs où C < 0. Dns l mécnique, l intégrle de l fonction f doit exprimer le déplcement d un point mtériel (plcé sur une droite) dont l vitesse à l instnt t [, b] est donnée pr f(t). Nturellement, vec l vitesse positive le point se déplce dns l direction positive, et l vitesse négtive correspond ux déplcements dns le sens négtive. Dns les deux cs, l formule ci-dessus donne le résultt correct. En continunt cette nlogie mécnique, on comprend fcilement que dns les cs un peu plus générl, ou l vitesse comme fonction du temps reste constnte sur chcune des périodes consécutifs I 1 = [ 0, 1 ], I 2 = [ 1, 2 ],..., I n = [ n 1, n ], mis prend des vleurs quelconques c 1, c 2,..., c n sur ces périodes, le déplcement globl est l somme des déplcements effectués sur les périodes élémentires I j = [ j 1, j ]. Il convient de donner l définition suivnte. Définition 3.1. Une fonction f : [, b] R est dite une fonction en esclier (ou constnte pr morceux) s il existe une subdivision { 0, 1,..., n } du segment [, b] telle que f est constnte sur chque intervlle ouvert ] j 1, j [ : il existe des nombres c 1,..., c n t.q. x ] j 1, j [ f(x) = c j, j = 1,..., n. On note pr E([, b]) l ensemble des fonctions en esclier sur [, b]. Pour préciser l nture des fonctions (réelles ou complexes), on utilise ussi les nottions E([, b], R) et, respectivement, E([, b], C). Le risonnement donné ci-dessus n étnt qu une motivtion, on devrit définir l intégrle de Riemnn d une fonction en esclier f : [, b] R pr le biis de formule n f(x) dx := c j ( j j 1 ). (1.1) j=1 Mlheureusement, il y des questions que cette définition soulève; pour mieux comprendre les difficultés cchées et les contourner, donnons quelques définitions utiles. Définition 3.2. Soit σ = { 0,..., n } et σ = { 0,..., k } deux subdivisions de [, b]. On dit que σ est plus fine que σ (σ σ ) tous les points de σ pprtiennent à σ. 1

2 2 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN Définition 3.3. Une subdivision σ = { j, j = 0,..., n} d un segment [, b] est dptée à une fonction en esclier f : [, b] R f est constnte sur chque intervlle ( j 1, j ). Définition 3.4. Soit f : [, b] R une fonction en esclier qui prend des vleurs c 1,..., c n sur les éléments I j = ( j 1, j ) d une subdivision { 0, 1,..., n } du segment [, b]. L intégrle de Riemnn de l fonction f sur [, b], noté pr f(x) dx, est le nombre n f(x) dx := c j ( j j 1 ). j=1 Proposition 3.1. L ensemble E([, b], R) vec les opértions d ddition des fonctions et de multipliction pr des nombres réels est un espce vectoriel réel; c est églement un sous-espce vectoriel de l espce de toutes les fonctions f : [, b] R. Respectivement, l ensemble E([, b], C) vec les opértions d ddition des fonctions et de multipliction pr des nombres complexes est un espce vectoriel complexe. L vérifiction des xiomes de l espce vectoriel est lissé en exercice (vivement conseillé). On dmettr que l ensemble F([, b], R) de toutes les fonctions f : [, b] R (resp., l ensemble F([, b], C) de toutes les fonctions f : [, b] C) est un espce vectoriel réel (resp., complexe), vec les opértions d ddition et de multipliction pr constntes. Il suffit lors de vérifier que E([, b], R) F([, b], R) est un sous-espce vectoriel (idem pour les fonctions complexes). L formule (1.1) cche une difficulté formelle : elle définit l intégrle f(x) dx pour l fonction en esclier donnée, f, lorsqu une subdivision { j } est fixée. Or, l définition des fonctions en esclier permet de triter, pr exemple, l fonction constnte f : x 1 sur [0, 1] comme une fonction en esclier ssociée à l subdivision { 0 = 0, 1 = 1}, ou bien { 0 = 0, 1 = 0.5, 2 = 1}, et insi de suite. Toute subdivision est bonne pour cette fonction en esclier (dptée à f). De l même fçon, à chque fonction en esclier on peut ssocier une infinité de subdivisions dptées. L question se pose lors : lquelle de ces subdivisions doit-on prendre pour ppliquer l formule (1.1)? Le lemme suivnt montre que cette question n est qu une formlité, et l réponse est très simple : Toute subdivision dptée convient. Lemme 3.2. Soit f[, b] R une fonction en esclier et σ = { 0,..., n } une subdivision de [, b] dptée à f. Alors le nombre n I(f, [, b]) := c j ( j j 1 ) (1.2) j=1 est indépendnt de l subdivision σ (pourvu qu elle soit dptée à f) et est déterminé uniquement pr f et pr [, b]. Exercice 3.1. (1) Montrer que, quels que soient deux subdivisions σ, σ de [, b], il existe une subdivision σ qui est plus fine que chcune de σ et σ : σ σ et σ σ. (2) Soit σ = { 0,..., n }, n > 1, une subdivision de [, b] et σ une utre subdivision obtenue de σ pr élimintion d un seul point k : σ = { 0,..., k 1, k+1,..., n }.

3 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 3 Supposons que σ est dptée à une fonction en esclier. Montrer que σ est églement dptée à f et que l vleur de I(f, [, b], clculée à l ide de σ est l même que l vleur clculée à l ide de σ. (3) En utilisnt l induction, générliser le résultt de (2) u cs où σ σ. (4) Déduire de (1) et de (3) le Lemme 3.2. Mintennt on est prêt à définir l intégrle f(x)dx pour les fonctions en esclier. Définition 3.5. Soit f : [, b] R une fonction en esclier. Son intégrle de Riemnn f(x) dx est définit comme suit : f(x)dx := I(f, [, b]) = n c j ( j j 1 ), où { 0,..., n } est une subdivision de [, b] dptée à f et {c j } les vleurs prises pr f sur les éléments ( j 1, j ) de cette subdivision. Compte tenu du Lemme 3.2, cette définition est correcte : l vleur de l intégrle insi définie est déterminée de fçon unique, quelle que soit l subdivision dptée. Exercice 3.2. Soit f, g E([, b]). Montrer que les fonctions suivntes sont églement dns E([, b]), en précisnt comment trouver des subdivisions dptées respectives: j=1 (1) x f(x)g(x). (2) x f(x). (3) x 1 f(x), si f ne s nnule ps sur [, b]. (4) x min{f(x), g(x)} (dns le cs des fonctions réelles). (5) x mx{f(x), g(x)} (dns le cs des fonctions réelles) 2. Propriétés fondmentles de l intégrle de Riemnn pour les fonctions en esclier Proposition 3.3 (Reltion de Chsle). f(x) dx + c Proposition 3.4 (Linérité de l intégrle). (Cf(x) + g(x)) dx = C b f(x) dx = c f(x) dx + f(x) dx. Proposition 3.5 (Propriétés de comprisons). Soient f, g deux fonctions en esclier sur un segment [, b] à vleurs réelles. (i) Si f(x) 0 pour tout x [, b], lors f(x) dx 0. (ii) Si f(x) g(x)pour tout x [, b], lors f(x) dx (iii) b f(x) dx f(x) dx. Les démonstrtions sont lissées en exercice. Indiction: Pensez à utiliser les résultts de l Exercice 3.1.

4 4 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 3. Définition générle de l intégrle Définition 3.6. Une fonction f : [; b] R est dite Riemnn-intégrble sur [, b] si pour tout ɛ > 0 il existe deux fonctions ϕ, ψ E([, b], R) telles que : et x [, b] ϕ(x) f(x) ψ(x) (ψ(x) ϕ(x)) dx ɛ. Cette définition ne donne ps encore l vleur de l intégrle : on choisit seulement les fonctions pour lesquelles cette vleur pourr être définie. Théorème 3.6 (Critère d intégrbilité). Soit f : [, b] R. Alors les qutre propositions suivntes sont équivlentes: (A) f est Riemnn-intégrble sur [, b]. (B) Pour tout ɛ > 0 il existe deux fonctions ϕ, ψ E([, b]) telles que x [, b] ϕ(x) f(x) ψ(x) et (C) Pour tout ɛ > 0 il existe deux fonctions χ, θ E([, b]) telles que x [, b] f(x) χ(x) θ(x) et (ψ(x) ϕ(x)) dx ɛ. (3.1) θ(x) dx ɛ. (D) Il existe deux suites de fonctions en esclier sur [, b], {χ n } n N et {θ n } n N, telles que n N x [, b] f(x) χ n (x) θ n (x) et lim θ n (x) dx = 0. (3.2) On v ppeler une suite ssocié à une fonction Riemnn-intégrble f toute suite de couples {(χ n, θ n } n N vérifint (3.2). Il n est ps difficile de trnsformer (B) en une condition équivlente, proche de (D): (B ) Il existe deux suites de fonctions en esclier {ϕ n } n N, {ψ n } n N telles que n N x [, b] ϕ n (x) f(x) ψ n (x) et lim et on f(x) dx = lim ψ n (x) dx = lim (ψ n (x) ϕ n (x)) dx = 0, (3.3) ϕ n (x) dx. (3.4) Lemme 3.7. Soit f une fonciton Riemnn-intégrble, et (ϕ n ) n 1, (ψ n ) n 1 deux suites de fonctions en esclier qui vérifient l propriété (3.3). Alors il existent deux utres suites en esclier, ( ϕ n ) n 1 et ( ψ n ) n 1 vérifint pour tout n 1 k = 1,..., n x [, b] ϕ k (x) ϕ n (x) ψ n (x) ψ(x). (3.5) Pr conséquent, chcune des deux suites ϕ n, ψ n est monotone, et elles vérifient ussi ψ n (x) ϕ n (x) dx = ( ψn (x) ϕ n (x) ) dx 0.

5 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 5 On voit que les suites numériques Jn := ϕ n(x) dx et J n + := ψ n (x) dx sont djcentes; l première et croissnte et bornée, cr mjorée, pr exemple, pr J 1 +, donc elle converge. De même, l seconde est décroissnte et minorée, pr exemple, pr J1, donc converge ussi. Cette observtion permet de définir l intégrle de Riemnn pour toute fonction intégrble: Définition 3.7. Soit f : [, b] R une fonction Riemnn-intégrble, (ϕ n ) n 1, (ψ n ) n 1 deux suites de fonctions en esclier qui vérifient l propriété (3.3), et ( ϕ n ) n 1 et ( ψ n ) n 1 deux suites qui vérifient (3.5). On ppelle l intégrle de Riemnn de f sur [, b] (nottion: f(x) dx) l limite commune lim ϕ n (x) dx = lim ψ n (x) dx. Lemme 3.8. L vleur de l intégrle de Riemnn f(x) dx ne dépend ps du choix des suites ϕ n, ψ n, pourvu qu elles vérifient l propriété (3.3). En d utres termes, l recette de clcul de l intégrle f(x) dx est l suivnte : pour l clculer vec une précision donnée, il fut pprocher suffismment bien l fonction f soit pr une fonction en esclier et clculer l intégrle pour cette pproximnte, en utilisnt l formule simple (1.1). Le rôle de l Définition 3.6 est de décrire l clsse des fonctions pour lesquelles de telles pproximtions (ussi précises que l on veut) sont possibles. On voit que cette définition est dptée ux clculs numériques : il n est ps difficile d en déduire l formule des rectngles. Pourtnt, l méthode des rectngles est loin d être l meilleure pour le clcul numérique, il en existe d utres qui sont beucoup plus efficces. Avnt d étblir le lien vec les primitives (ce qui permet de clculer nlytiquement certines intégrles), on v étudier les propriétés fondmentles de l intégrle de Riemnn. L première prmi ces propriétés, l reltion de Chsles, l même forme que pour les fonctions en esclier: f(x) dx + c b f(x) dx = c f(x) dx, mis l on ne doit ps négliger les question formelles, à commencer pr l intégrbilité des fonctions. En effet, vnt d étudier les intégrles sur les segments [, b], [b, c] et [, c], il fut s ssurer que l fonction f est Riemnn-intégrbles sur ces segments. Fut-il imposer trois conditions séprément? Le lemme suivnt montre que cel n est ps nécessire. Lemme 3.9. Une fonction f : [, c] R sur un segment [, c] = [, b] [b, c] est Riemnn-intégrble si et seulement elle est Riemnn-intégrble sur [, b] et sur [b, c] (plus précisément, les restrictions de f sur [, b] et sur [b, c] sont intégrbles sur les segments respectifs). On peut se demnder si ce n est ps un excès de formlisme bureucrtique que de fire une distinction entre l fonction f : [, c] R et s restriction f : [, b] R... Un être humin peut fcilement comprendre le lien nturel entre ces deux objets! Mis le jour où on commence à progrmmer les méthodes numériques sur un ordinteur, on se rend compte (près des heures de recherches d erreurs signlées pr le compilteur

6 6 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN ou, pire encore, des erreurs de fonctionnement du progrmme qui semble tout à fit correct ) qu une pproche formelle ses vntges. Afin de pouvoir clculer les intégrles de à b, vec > b ou = b, on pose, pr définition, f(x) dx := b f(x) dx, f(x) dx = 0. Le Lemme 3.9 montre que, pr exemple, dns le cs où < b < c, il suffit de vérifier (ou exiger) l intégrbilité de f sur le plus grnd des trois segments [, c]. Dns le cs plus générl, où l ordre de, b, c est différent, il suffit (vérifiez!) que f soit intégrble sur le segment [min{, b, c}, mx{, b, c}]. Définition 3.8. On ppelle l vleur moyenne d une fonction Riemnn-intégrble 1 b f : [, b] R le nombre b f(x) dx. Proposition En supposnt que toutes les intégrles ci-dessous sont bien définies, on les reltions suivntes: (1) Reltion de Chsles : f(x) dx = c f(x) dx + f(x) dx c (2) Linérité : (Cf(x) + g(x)) dx = C f(x) dx + g(x) dx (3) Si f(x) 0, lors f(x) dx 0. (4) Si f(x) g(x), lors f(x) dx (5) Si m f(x) M, lors m(b ) f(x) dx M(b ). Remrque concernnt l reltion de Chsles. Le Lemme 3.9 montre que, pr exemple, dns le cs où < b < c, il suffit de vérifier (ou exiger) l intégrbilité de f sur le plus grnd des trois segments [, c]. Dns le cs plus générl, où l ordre de, b, c est différent, il suffit (vérifiez!) que f soit intégrble sur le segment [min{, b, c}, mx{, b, c}]. Démonstrtion de l propriété (3). On pplique le critère d intégrbilité (B ) et considère une suite de mjorntes {ψ n } de l fonction Riemnn-intégrble f (on n ur ps besoin des minorntes). Puisque f est non négtive, les fonctions ψ n sont ussi non négtives. Alors ψ n(x) dx 0, d près l ssertion (i) de l Prop Pr conséquent, f(x) dx = lim ψ n(x) dx 0. L démonstrtion des propriétés (1)-(2) et (4)-(5) est lissée en exercice. Elle est susceptible d être donnée en DS. Théorème 3.11 (de l vleur moyenne). Soit f : [, b] R une fonction telle que m f(x) M. Alors µ [m, M] : f(x) dx = µ(b ). Autrement dit, m 1 b b f(x) dx M. Démonstrtion. D près l propriété (4) énoncée dns l Prop. 3.10, m(b ) = m dx f(x) dx M dx = M(b ). Pour expliciter les intégrles m dx et M dx, on utilisé le fit que C dx = C(b ) pour toute constnte C, cr une fonction constnte est une fonction en esclier;

7 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 7 il suffit de prendre l subdivision { 0 =, 1 = b} et d ppliquer l définition de l intégrle pour les fonctions en esclier. En posnt µ = 1 b b f(x) dx, on constte que µ [m, M]. Théorème 3.12 (de l vleur moyenne générlisé). Supposons que () f et g sont Riemnn-intégrbles sur [, b] (b) m f(x) M (c) g ne chnge ps de signe. Alors µ [m, M] t.q. f(x)g(x) dx = µ Démonstrtion. Supposons d bord que g est non négtive sur [, b] (le cs des fonctions g non positives est lissé en exercice). Alors on mg(x) f(x)g(x) Mg(x) pour tout x [, b]. En utilisnt encore une fois l propriété (4) des intégrles, on en déduit que m g(x) dx f(x)g(x) dx M En plus, g(x) dx 0 (propriété (3)). Si g(x) dx = 0, lors l inéglité ci-dessus montre que f(x)g(x) dx = 0, et il suffit prendre n importe quel nombre µ [m, M] pour obtenir l églité requise dns ce cs de figure : m 0 µ 0 M 0. Si g(x) dx > 0, on divise l inéglité ci-dessus pr g(x) dx pour constter que m µ := f(x)g(x) dx g(x) dx M. Théorème Toute fonction f : [, b] R continue sur [, b] est Riemnn intégrble. Démonstrtion. Toute fonction continue sur [, b] est uniformément continue. Pr conséquent, pour tout ɛ > 0 il existe δ(ɛ) > 0 t.q. si x, y [, b] et y x δ, lors f(y) f(x) ɛ. Soit ɛ > 0; On prend δ = δ( ɛ b ) et n suffismment grnd de sorte que (b )/n δ. Considérons l subdivision de [, b] en n intervlles pr des points { 0,..., n } équidistnts: j+1 = j + (b )/n. Ensuite, considérons les fonctions en esclier ϕ, ψ définies comme suit : sur chque intervlle I j = [ j 1, j [, j = 1,..., n 1, insi que sur I n = [ n 1, n ], on pose x I j ϕ(x) = min t I j f(t), ψ(x) = mx f(t). t I j On s perçoit que ϕ(x) f(x) ψ(x) sur [, b]. D un utre coté, 0 ψ(x) ϕ(x) ɛ/(b ) (pourquoi?), d où on déduit que (ψ(x) ϕ(x)) dx Ceci montre que f est Riemnn-intégrble. ɛ(b ) b = ɛ.

8 8 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN Lemme Soient f : [, b] R une fonction Riemnn-intégrble et g : [, b] R est différente de f en un seul point c [, b]. Alors g est ussi Riemnn-intégrble sur [, b] et on f(x) dx = Exercice 3.3. Démontrer le Lemme Ensuite, en utilisnt l induction, générliser ce résultt u cs où g est différente de f en un nombre fini de points c 1,..., c k. Théorème Si f : [, b] R est continue pr morceux, lors elle est Riemnn intégrble. Démonstrtion. L continuité pr morceux signifie qu il existe une subdivision σ = { i } i=1,...,n de [, b] telle que f est continue sur chque intervlle ( i 1, i ) et dmet les limites uniltérles lim f(x), lim f(x), i = 1,..., n. Grce u Lemme 3.14, on peut x i 1+0 x i 0 remplcer l fonction f pr une utre, f, qui est égle f prtout suf peut-être en points i, où elle est défini comme suit : f( i ) = lim f(x). x i 0 En effet, ç chnge f en un nombre fini (éventuellement, nul) de points. Donc, il suffit d étudier l fonction f, soit supposer dès le début que f( i ) = lim x i 0 f(x) pour tout i = 1,..., n. Considérons sur chque segment [ i 1, i ] l fonction f i : [ i 1, i ] R obtenue pr prolongement de f pr continuité en i 1 (f i est déjà supposée continue en i ). Les fonctions f i sont continues, donc, uniformément continues (pourquoi?). Fixons ɛ > 0. En risonnnt comme dns l démonstrtion du Th. 3.13, on construit sur [ i 1, i ] les fonctions en esclier ϕ i et ψ i telles que ϕ i (x) f i (x) ψ i (x) et ψ i (x) ϕ i (x) ɛ/(b ). Mintennt on v construire les fonctions ϕ et ψ (minornte et mjornte en esclier pour f sur [, b]) comme suit : pour i = 1,..., n et pour tout x ] i 1, i ], ϕ(x) = ϕ i (x), ψ(x) = ψ i (x). Dns le cs prticulier où i = 0 (le point 0 = ), on pplique l formule ci-dessus ussi à x = 0. On vérifie directement que ϕ(x) f(x) ψ(x), et que (ψ(x) ϕ(x)) dx ce qui montre que f est Riemnn-intégrble. ɛ(b ) b = ɛ, Théorème Toute fonction monotone f : [, b] R est Riemnn intégrble. Exercice 3.4. (Le but de cet exercice est de démontrer le Th ) (A) Montrer que f est bornée et préciser son minimum m et son mximum M. (B) Montrer que pour tout intervlle J [m, M], l imge réciproque f 1 (J) est soit vide, soit un intervlle I J [, b]. (C) Pour tout n 1, on considère les intervlles [ J 1 = m, m + M m ] n

9 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 9 et ] J i = m + (i 1) M m, m + i M m n n ], i = 2,..., n, de longueur (M m)/n. Ensuite, on introduit les intervlles I i = f 1 (J i ), i = 1,..., n. Montrer que f dmet l représenttion suivnte : n f(x) = 1 Ii (x) f(x). i=1 (D) On note [ i 1, i ] l dhérence de l intervlle non vide I i de l question (C). Montrer que sur chque intervlle I i non vide on f( i 1 ) f(x) f( i ), f( i ) f( i 1 ) M m. n (E) Déduire de (C) et (D) que pour tout n 1, il existe deux fonctions en esclier ϕ n, ψ n sur [, b] telle que ϕ(x) f(x) ψ(x) et ψ(x) ϕ(x) M m n. En déduire le Th Le Théorème fondmentl de l nlyse. Applictions Définition 3.9. Soit f(x) une fonction continue sur [, b]. Une fonction continûment dérivble F sur [, b] est dite une primitive de f si F (x) = f(x) pour tout x [, b]. Théorème 3.17 (Théorème fondmentl de l nlyse). Soit F : [, b] R continûment dérivble et telle que F (x) = f(x). Alors f(t) dt = F (b) F (), et x x f(t)dt est l unique primitive de f s nnulnt en x =. Démonstrtion. Allons démontrer d bord que l fonction G : x x f(t) dt, x [, b], est une primitive de f. En effet, soit c ], b[ et ɛ > 0 suffismment petit, de sorte que c + ɛ b. Alors on, d près l reltion de Chsles, G(c + ɛ) G(c) = 1 ( c+ɛ c ) f(x) dx f(x) dx = 1 c+ɛ f(x) dx, ɛ ɛ ɛ et d près le Théorème de l vleur moyenne, = 1 µ(c, ɛ)[(c + ɛ) c] = µ(c, ɛ), ɛ où µ(c, ɛ) est un nombre entre m(c, ɛ) := min f(x) et M(c, ɛ) := mx f(x). Or, x [c,c+ɛ] x [c,c+ɛ] l fonction f est continue, donc, lim ɛ 0 m(c, ɛ) = lim M(c, ɛ) = f(c), ɛ 0 et pr conséquent, on ussi lim µ(c, ɛ) = f(c), ɛ 0 cr m(c, ɛ) µ(c, ɛ) M(c, ɛ). Finlement, on voit que G G(c + ɛ) G(c) (c) = lim = f(c), ɛ 0 ɛ ce qui signifie que G est une primitive de f sur [, b]. c

10 10 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN Soit F une utre primitive de f. Alors (F (x) G(x)) = f(x) f(x) = 0, et on en conclut que l fonction F G est constnte sur [, b] : il suffit d ppliquer le Lemme d ccroissements finis (ou l Proposition 1.26()). Pr conséquent, F (x) = G(x) + C = x f(t) dt + C, où C est une constnte. En prennt x =, on obtient F () = f(x) dx + C = 0 + C = C, d où C = F (). Donc, G(x) = F (x) C = F (x) F (). Finlement, f(x) dx = F (b) F (). Théorème 3.18 (Chngement de vrible). Soit f : [, b] R une fonction continue et ϕ : [α, β] [, b] une fonction continûment dérivble et telle que ϕ(α) =, ϕ(β) = b. Alors f(x) dx = β α f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. (4.1) Remrque. D hbitude, pour clculer une intégrle f(x) dx pr un chngement de vrible, on écrit x = ϕ(t), dx = ϕ (t) dt, puis on remplce les bornes et b pr t() et t(b), respectivement, ce qui donne f(x) dx = t(b) t() f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt. (4.2) Remrquez que t(x) = ϕ 1 (x), cr x = ϕ(t), donc (4.2) est équivlente à (4.1): t() = α, t(b) = β. Démonstrtion. Soit F une primitive de l fonction f: F (x) = f(x). Alors l fonction t F (ϕ(t)) est une primitive de l fonction f(ϕ(t)) ϕ (t), cr (F (ϕ(t)) = F (ϕ(t)) ϕ (t) = f(ϕ(t)) ϕ (t). Pr le Théorème fondmentle de l nlyse, on donc β α f(ϕ(t)) ϕ (t) dt = F (ϕ(β)) F (ϕ(α)) = F (b) F () = f(x) dx. Proposition 3.19 (Intégrtion pr prties). Soient u, v C 1 ([, b]). Alors on u (x)v(x) dx = u(b)v(b) u()v() u(x)v (x) dx. (4.3) Démonstrtion. On (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x), donc, x u(x)v(x) est une primitive de x u (x)v(x) + u(x)v (x), et pr le Théorème fondmentl, u (x)v(x) dx + ce qui est équivlent à (4.3). u(x)v (x) dx = u(b)v(b) u()v(),

11 CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN Annexe: Une utre définition de l intégrl de Riemnn Lemme Soit f[, b] R Riemnn-intégrble. On pose E (f) = {g E([, b], R) x [, b] g(x) f(x)} (l ensemble des minorntes de f) E + (f) = {g E([, b], R) x [, b] g(x) f(x)} (l ensemble des mjorntes de f) { } b A (f) = g(x) dx g E (f) (les intégrles des minorntes de f) { } b A + (f) = g(x) dx g E + (f) (les intégrles des mjorntes de f). Alors J (f) := sup A (f) < +, J + (f) := inf A + (f) >, et on J (f) = J + (f). (5.1)