Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers

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1 Chpitre 5 Intégrtion Nous llons construire l intégrle pr un procédé de pssge à l limite. D bord on définit l intégrle des fonctions en escliers, ensuite on psse à l limite pour intégrer des fonctions plus générles. Le point délict est que le mode de convergence doit être uniforme. 5. Intégrtion des fonctions en escliers L notion de fonction en escliers est ssez intuitive. Nous llons l préciser. Définition 5... Soient et b deux réels tels que < b. () Une subdivision σ de [, b] est l donnée d une liste finie strictement croissnte d éléments de [, b] telle que x = et x n = b. σ = (x, x,..., x n ) vec x < x < < x n () On dit qu une subdivision σ est plus fine qu une subdivision σ si tous les éléments de l liste σ sont dns l liste σ. (3) On dit qu une fonction ϕ : [, b] R est en escliers s il existe une subdivision σ = (x, x,..., x n ) de [, b] telle que ϕ soit constnte sur chcun des intervlles ]x i, x i+ [ pour i prcournt {,,..., n }. On dit qu une telle subdivision σ est dptée à ϕ. Notons que, si ϕ est une fonction en escliers et si σ est une subdivision dptée à ϕ, lors toute subdivision plus fine que σ est elle ussi dptée à ϕ. Si ϕ et ψ sont deux fonctions en escliers, et si λ et µ sont deux réels, lors λϕ + µψ est une fonction en escliers, insi que le produit ϕψ et l vleur bsolue ϕ. On définit l intégrle d une fonction en escliers de fçon évidente : c est l somme des ires des rectngles délimités pr l xe des bscisses et l courbe de l fonction, les 49

2 rectngles u-dessus de l xe étnt comptés positivement, ceux en dessous étnt comptés négtivement. Définition 5... Soit ϕ : [, b] R une fonction en escliers et σ = (x, x,..., x n ) une subdivision dptée. Pour i prcournt {,,..., n }, on note c i l vleur de l fonction ϕ sur l intervlle ]x i, x i+ [. On définit l intégrle de ϕ sur l intervlle [, b] comme étnt l quntité n ϕ(x) dx = (x i+ x i )c i i= On vérifie que cette quntité ne dépend que de, b et ϕ, et ps du choix de l subdivision σ. On définit ussi le symbole ϕ(x) dx = ϕ(x) dx (utrement dit, si l on intègre «à reculons», on inverse le signe de l intégrle). On définit enfin ϕ(x) dx = Exemple. L intégrle d une fonction constnte c dx = c(b ) Voici les principles propriétés de l intégrle. Proposition Soient ϕ et ψ deux fonctions en escliers sur un intervlle I, et soient, b I. () (linérité). Si λ et µ sont deux réels, lors (λϕ(x) + µψ(x)) dx = λ ϕ(x) dx + µ () (positivité). Si < b et si ϕ(x) pour x [, b], lors ϕ(x) dx (3) (reltion de Chsles). Pour tout c I, nous vons ϕ(x) dx = c ϕ(x) dx + c ϕ(x) dx ψ(x) dx 5

3 Démonstrtion. () On peut supposer que < b. Soit σ une subdivision dptée à ϕ, et σ une subdivision dptée à ψ, lors l réunion σ σ est une subdivision dptée à ϕ, à ψ, et à λϕ + µψ. Le résultt est lors évident. () Évident. (3) Évident dns le cs où c b. Dns les utres cs, on s y rmène en utilisnt le fit que =. b Conséquences de l positivité. Corollire ϕ ψ, lors () Si ϕ et ψ sont deux fonctions en escliers sur [, b] telles que ϕ(x) dx ψ(x) dx () Si ϕ est une fonction en escliers sur [, b], lors ϕ(x) dx ψ(x) dx Démonstrtion. () En effet, ψ ϕ est une fonction en escliers positive, donc pr positivité et linérité de l intégrle nous vons (ϕ(x) ψ(x)) dx = ce qu on voulit. () Nous vons, pour tout x [, b] donc, d près le premier point On en déduit le résultt. ϕ(x) dx ϕ(x) ϕ(x) ϕ(x) ϕ(x) dx ϕ(x) dx Le point () est un nlogue de l inéglité tringulire. ϕ(x) dx ψ(x) dx Remrque. L ensemble des fonctions en escliers sur [, b] est nturellement muni d une structure de R-espce vectoriel. L intégrle est une forme linéire sur cet espce. 5. Intégrtion des fonctions réglées 5.. Fonctions réglées Nous introduisons l notion de convergence simple et de convergence uniforme d une suite de fonctions. 5

4 Définition 5... Soit I un intervlle de R. Soit (f n ) une suite de fonctions sur I, et soit f une fonction sur I. () On dit que (f n ) converge simplement vers f si, pour tout x I, l suite f n (x) converge vers f(x) () On dit que (f n ) converge uniformément vers f si sup f n (x) f(x) x I n + Définition 5... On dit qu une fonction f : [, b] R est réglée s il existe une suite de fonctions en escliers sur [, b] qui converge uniformément vers f. Nous llons mintennt étudier une clsse importnte de fonctions : les fonctions continues pr morceux. Définition Soit f : [, b] R une fonction. On dit que f est continue pr morceux s il existe une subdivision σ = (x, x,..., x n ) de [, b] telle que, pour tout i, l restriction de f à l intervlle ouvert ]x i, x i+ [ dmet un prolongement continu à l intervlle fermé [x i, x i+ ]. En d utres termes, une telle fonction f est continue sur chcun des ]x i, x i+ [ et dmet une limite finie à droite et à guche en chque x i, lesquelles limites peuvent être distinctes et distinctes de l vleur de f u point x i lui-même. Remrque. L ensemble C pm([, b]) des fonctions continues pr morceux sur [, b] est nturellement muni d une structure de R-espce vectoriel. Cet espce contient deux sousespces nturels : l espce E([, b]) des fonctions en escliers, et l espce C ([, b]) des fonctions continues. En fit, on vérifie fcilement que toute fonction continue pr morceux est somme d une fonction continue et d une fonction en escliers, en d utres termes : C pm([, b]) = C ([, b]) + E([, b]) Cette somme n est ps directe, mis presque : l intersection des deux sous-espces est l espce des fonctions constntes. Autrement dit, l décomposition est unique à une constnte près. Le résultt à retenir Théorème Une fonction continue pr morceux sur un intervlle fermé borné est réglée. Nous urons besoin d un résultt intermédiire Lemme Soit f : [, b] R continue. 5

5 (i) Étnt donné n N, on définit une subdivision σ n = (x, x,..., x n ) obtenue en découpnt l intervlle [, b] en n prties égles. Plus explicitement : x k = + k (b ) n pour k =,,..., n On définit lors une fonction en escliers ϕ n sur [, b] en posnt et ϕ n (b) = f(b). ϕ n (x) = f(x k ) pour x [x k, x k+ [ (ii) L suite de fonctions (ϕ n ) insi définie converge uniformément vers f sur [, b]. Démonstrtion. Soit ε >, nous llons montrer qu il existe un entier N N tel que, pour tout n N, sup ϕ n (x) f(x) ε x [,b] D près le théorème de Heine, f est uniformément continue sur [, b]. Pr conséquent, il existe un δ ε > tel que, pour tout (x, y) [, b], Choisissons un entier N tel que x y δ ε = f(x) f(y) ε N (b ) δ ε Soit n N. On considère l subdivision σ n et l fonction ϕ n définies dns l énoncé. Étnt donné x [, b[, il existe k tel que x [x k, x k+ [, et lors x x k n (b ) δ ε ceci implique, pr continuité uniforme de f, que f(x) f(x k ) ε c est-à-dire ce qu on voulit. f(x) ϕ n (x) ε Démonstrtion du théorème. Schnt que toute fonction continue pr morceux est somme d une fonction continue et d une fonction en escliers, il suffit de montrer le résultt pour une fonction continue, ce qui été fit dns le lemme. 53

6 5.. Construction de l intégrle Nous llons à présent définir l intégrle des fonctions réglées. Proposition-définition Soit f : [, b] R une fonction réglée, et soit ϕ n ) une suite de fonctions en escliers qui converge uniformément vers f. Alors l suite ( ϕ n(x) dx) n N est convergente. En outre, s limite ne dépend que de, b, et f, et ps du choix de (ϕ n ). On définit lors l intégrle de f sur [, b] comme étnt l quntité f(x) dx = lim n + Enfin, on pose (comme pour les fonctions en escliers) et b f(x) dx = f(x) dx = ϕ n (x) dx f(x) dx Démonstrtion. Nous devons d bord montrer que l suite ( ϕ n (x) dx) n N est convergente. Pour cel, nous llons vérifier que c est une suite de Cuchy. Soit ε >, lors, comme l suite (ϕ n ) converge uniformément vers f, il existe N N tel que Autrement dit, n N, sup ϕ n (y) f(y) y [,b] n N, x [, b], ϕ n (x) f(x) ε (b ) ε (b ) Mintennt, soient p et q deux entiers supérieurs à N. Nous pouvons écrire, pour tout x [, b], ϕ p (x) ϕ q (x) ϕ p (x) f(x) + ϕ q (x) f(x) ε b D près les propriétés de l intégrle d une fonction en escliers, il vient lors ϕ p (x) dx ϕ q (x) dx ϕ p (x) ϕ q (x) dx 54 ε b dx = ε

7 ce qu on voulit. Il reste à vérifier que l limite ne dépend ps du choix de l suite (ϕ n ). Soit (ψ n ) une utre suite de fonctions en escliers qui converge vers f. Alors nous vons, pour tout n N et tout x [, b], ϕ n (x) ψ n (x) ϕ n (x) f(x) + ψ n (x) f(x) sup ϕ n (y) f(y) + sup ψ n (y) f(y) y [,b] y [,b] Il vient lors, pour tout n N, ϕ n (x) dx ψ n (x) dx ϕ n (x) ψ n (x) dx (b )( sup ϕ n (y) f(y) + sup y [,b] y [,b] ψ n (y) f(y) ) et l quntité à droite tend vers qund n tend vers +. On en déduit que ce qu on voulit. lim n + ϕ n (x) dx = lim n + ψ n (x) dx Notons que, dns les deux étpes de l démonstrtion, on s est servi de l uniformité de l convergence. Proposition L intégrle des fonctions réglées est linéire, positive, et stisfit l reltion de Chsles. Démonstrtion. Il suffit de psser à l limite les propriétés des l intégrle des fonctions en escliers. Pour l positivité, on utilise ussi le fit qu une fonction à vleurs positives est limite uniforme de fonctions en escliers à vleurs positives. On en déduit le même corollire que pour les fonctions en escliers : si f est une fonction réglée, lors b f(x) dx f(x) dx 5.3 Intégrle et primitives 5.3. Théorème de l moyenne Théorème Soit f : [, b] R continue. Alors il existe un réel c [, b] tel que f(x) dx = (b )f(c) 55

8 Démonstrtion. L fonction f étnt continue, il existe (d près le théorème des bornes et celui des vleurs intermédiires) des réels m et M tels que En prticulier, nous vons x [, b], En intégrnt ces inéglités, on trouve que d où m(b ) m f([, b]) = [m, M] (b ) m f(x) M f(x) dx M(b ) f(x) dx M Mis lors, comme [m, M] est l imge de [, b] pr f, il existe c [, b] tel que l on it d où le résultt. (b ) f(x) dx = f(c) Tout ceci le même prfum que le théorème des ccroissements finis Théorème fondmentl de l nlyse On fixe un intervlle I de R. Définition Soit f : I R une fonction. Une primitive de f sur I est une fonction F : I R dérivble, telle que F = f. Si elle existe, une telle fonction F est unique à une constnte dditive près. L unicité à une constnte près s exprime insi : si F et F sont deux primitives de f sur I, lors l fonction F F est constnte. En effet, (F F ) =, donc F F est constnte d près le chpitre 3. On peut poser l question suivnte : quelles sont les fonctions qui dmettent des primitives? Le principl résultt (ttribué à Newton) est le suivnt Théorème (Théorème fondmentl de l nlyse). Soit f : I R une fonction continue, et soit I. Alors l fonction F : I R définie pr F (x) = x f(t) dt est une primitive de f sur I. Plus précisément, c est l unique primitive de f qui s nnule en. 56

9 Démonstrtion. Soit x I, nous llons montrer que F est dérivble en x. Soit h, lors nous vons, d près l reltion de Chsles F (x + h) F (x ) = x +h x f(t) dt D près le théorème de l moyenne, il existe θ [, ] tel que x +h x f(t) dt = hf(x + θh) d où F (x + h) F (x ) = f(x + θh) h L fonction f étnt continue, cette quntité tend vers f(x ) qund h tend vers. Ce résultt permet de définir de nouvelles fonctions. Pr exemple, l fonction log (logrithme népérien) est définie (pour x > ) pr l formule log(x) = Notons ussi que le théorème fondmentl ne s pplique ps ux fonctions discontinues. Ainsi, une fonction f : I R continue pr morceux est intégrble mis elle n dmet ps toujours une primitive. Plus précisément, l fonction x x x t dt f(t) dt est continue sur I, mis n est en générl ps dérivble en un point de discontinuité de f. Corollire Soit f : I R une fonction continue. Alors f dmet des primitives. En outre, si F est une primitive de f lors, pour tous, b I on On dopte l nottion usuelle f(t) dt = F (b) F () [F (x)] b = F (b) F () Ainsi l intégrle permet de montrer, de fçon théorique, l existence de primitives. Inversement, si l on explicitement trouvé une primitive, on peut en déduire l vleur numérique d une intégrle. 57

10 Démonstrtion. Soit c I. D près ce qui précède, l fonction F c (x) = x c f(t) dt est une primitive de f sur I. Soient mintennt, b I. D près l reltion de Chsles, nous vons : f(t) dt = F c (b) F c () Soit F une utre primitive de f sur I, lors F c F est une fonction constnte sur I, donc d où le résultt. F c (b) F c () = F (b) F () Appliction u clcul de limites de certines suites Proposition Soit f : [, b] R une fonction continue. Alors (b ) lim n + n n f ( + kn ) (b ) = k= f(x) dx Démonstrtion. Soit (ϕ n ) l suite de fonctions en escliers définie dns le lemme Comme (ϕ n ) converge uniformément vers f nous vons, pr définition de l intégrle, D utre prt lim n + ϕ n (x) dx = ϕ n (x) dx = (b ) n f(x) dx n f ( + kn ) (b ) d où le résultt en retirnt le premier terme et en rjoutnt le dernier dns l somme. Pr exemple, l somme k= converge vers n k= n n + k = n n k= + ( k n ) + x dx = [rctn(x)] = π 4 58

11 5.4 Clcul prtique d intégrles Deux stuces (bien connues) permettent prfois de simplifier le clcul d intégrles. Théorème 5.4. (Intégrtion pr prties). Soient f et g deux fonctions de clsse C sur un intervlle I. Alors, pour tous, b I on f(x)g (x) dx = [f(x)g(x)] b Démonstrtion. L fonction fg est de clsse C, donc f(x)g (x) dx + f (x)g(x) dx = f (x)g(x) dx (f(x)g(x)) dx = [f(x)g(x)] b (dérivtion d un produit, puis théorème fondmentl de l nlyse). Exemple. π 3 x cos(x) dx = [x sin(x)] π 3 = π 3 6 = π 3 6 π 3 + [cos(x)] π 3 sin(x) dx Théorème 5.4. (Chngement de vrible). Soient I et J deux intervlles ouverts, et ϕ : I J de clsse C. Soit f : J R continue. Alors, pour tous, b I on f(ϕ(t))ϕ (t) dt = ϕ(b) ϕ() f(x) dx Démonstrtion. L fonction f étnt continue, elle dmet une primitive F sur J. L fonction F ϕ est lors dérivble, comme composée de deux fonctions dérivbles, et (F ϕ) = (f ϕ) ϕ Il vient lors ce qu on voulit. f(ϕ(t))ϕ (t) dt = [F ϕ] b = [F ] ϕ(b) = ϕ() ϕ(b) ϕ() f(x) dx 59

12 Exemple. Clcul de l ire A d un qurt de cercle de ryon. A = x dx On pose x = sin(t) (c est-à-dire que l on considère l fonction ϕ(t) = sin(t)). Alors dx = cos(t) dt. De plus, qund t =, x = et qund t = π, x =. On en déduit que A = x dx = = π π sin(t) cos(t) dt cos(t) dt (on s est servi du fit que cos(t) est positif sur l intervlle considéré). On se souvient lors de l formule de linéristion du crré pour l fonction cosinus : d où A = π cos(t) = + cos(t) + cos(t) dt = [ t + sin(t) ] π 4 = π 4 6