Statistiques descriptives

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1 Statistiques descriptives Introduction du vocabulaire et travaux pratiques sous Excel Johan MILLAUD Département Génie Civil de l IUT du Limousin Février 2005

2 I Vocabulaire de la statistique descriptive 4 I.1 Termes de la statistique descriptive I.2 Population et individus I.3 Caractère I.4 Série statistique II Présentation d une série discrète 9 II.1 Objectifs du chapitre II.2 Effectif d une modalité II.3 Fréquence d une modalité II.4 Effectifs et fréquences cumulés II.5 Diagramme des effectifs et des fréquences II.6 Diagramme des effectifs et des fréquences cumulés Sommaire 2

3 III Présentation d une série continue 17 III.1 Discrétisation d une série continue III.2 Classes d une série continue III.3 Série classée III.4 Hypothèse de discrétisation III.5 Densité de fréquence III.6 Histogramme des fréquences III.7 Fonction fréquence cumulée A 27 B 49 3

4 suivant Chapitre I Vocabulaire de la statistique descriptive I.1 Termes de la statistique descriptive I.2 Population et individus I.3 Caractère I.4 Série statistique

5 chapitre suivant I.1 Termes de la statistique descriptive Faire une étude statistique à une variable, c est étudier un caractère se déclinant de diverses façons chez tous les individus d une population ou d un échantillon. Paradoxalement, cette définition n est compréhensible que pour quelqu un qui sait déjà ce qu est la statistique descriptive. En effet, cette formulation très académique fait appel à des termes utilisés dans le langage courant mais qui ont un sens spécifique dans le cadre de la statistique. Pour bien comprendre cette définition, on va donc, dans ce chapitre, commencer par préciser les termes : Population et échantillon Individu ou Unité statistique Caractère (qualitatif ou quantitatif) Série statistique (discrète ou continue) Modalité 5

6 I.2 Population et individus L objet de la statistique descriptive est d étudier et de comparer les éléments d un ensemble de grande taille : un tel ensemble est appelé population, noté mathématiquement Ω, et ses éléments sont des individus, notés mathématiquement ω i : Ω = {ω 1 ; ω 2 ; ω 3 ;...} Attention à cette terminologie : les individus ne sont pas forcément des êtres humains ou des êtres vivants. En effet, un stock d écrous dans un magasin d outillage peut constituer un ensemble de grande taille, c est à dire une population, auquel cas les individus sont les écrous... La taille d une population est le nombre d individus qui la composent. En statistique, on s intéresse aux populations de grande taille. Cela dit, quand une population est de très grande taille, voire même de taille infinie, on peut être amené à restreindre l étude à une partie seulement de la population : il s agit d un échantillon cette population. (Ce terme a en réalité plusieurs significations suivant la branche de la statistique considérée ; une notion assez courante, mais pas développée ici, est celle d échantillon représentatif) 6

7 I.3 Caractère : Exemple A.1 : Exercice B.1 On vient de voir que faire une étude statistique consistait à s intéresser à une population de grande taille. Plus précisément, pour chaque individu ω i de cette population Ω, on s attache à une même caractéristique : c est le caractère étudié. Ce caractère peut être qualitatif (lorsqu il ne peut faire l objet d aucune mesure) ou quantitatif (quand il est mesurable). Dans la suite, on ne s intéressera qu aux caractères statistiques quantitatifs. 7

8 précédent chapitre I.4 Série statistique : Exemple A.2 : Exercice B.2 L étude d un même caractère chez tous les individus d une population conduit au recueil de ce que l on appelle une série statistique : il s agit donc de la famille des valeurs prises par un caractère quantitatif sur l ensemble de la population. Ces valeurs sont les modalités du caractère étudié. On distinguera par la suite les séries statistiques discrètes et les séries statistiques continues : quand les modalités d un caractère ne peuvent prendre que des valeurs bien isolées les unes des autres (mais éventuellement en nombre infini), la série est dite discrète. Au contraire, elle est continue si les modalités peuvent prendre a priori n importe quelle valeur dans tout un intervalle I de IR. 8

9 précédent suivant Chapitre II Présentation d une série discrète II.1 Objectifs du chapitre II.2 Effectif d une modalité II.3 Fréquence d une modalité II.4 Effectifs et fréquences cumulés II.5 Diagramme des effectifs et des fréquences II.6 Diagramme des effectifs et des fréquences cumulés

10 chapitre suivant II.1 Objectifs du chapitre Une fois les données brutes recueillies, c est à dire la série statistique comportant toutes les modalités du caractère étudié chez tous les individus de la population, le premier travail du statisticien est de les organiser de façon à avoir une vue d ensemble de ces données. Ces données étant en grand nombre en général, elles sont présentées sous forme de tableaux et/ou de graphiques. Dans ce chapitre, on va donc voir comment construire des tableaux et des graphiques permettant de synthétiser les séries statistiques discrètes. 10

11 II.2 Effectif d une modalité : Exemple A.3 La première chose à faire pour synthétiser des données numériques en grand nombre est de compter combien de fois chaque modalité de la série statistique apparaît. Pour cela, on range ces modalités dans l ordre croissant et on les nomme (en général) x 1, x 2,..., x p. On appelle alors effectif de la modalité x i, et on note n i, le nombre d occurences de cette modalité dans la série statistique, c est à dire le nombre d individus de Ω de modalité égale à x i. Par ailleurs, la somme des effectifs de chaque modalité est l effectif total de la population, que l on notera N : N = n 1 + n n p Pour mettre en évidence les correspondances entre les modalités et leurs effectifs, on consigne tous ces résultats dans un tableau contenant, dans la première ligne, les modalités rangées dans l ordre croissant, et, dans une seconde ligne, les effectifs de chaque modalité. 11

12 II.3 Fréquence d une modalité : Exemple A.4 : Exercice B.3 La connaissance de l effectif n i d une modalité x i n a de sens que par rapport à l effectif total de la population. En effet, si 30 pièces d assemblage d un stock de pièces acheté par une entreprise sont défectueuses, alors le responsable des achats dans cet entreprise ne réagira pas de la même façon selon que le stock contient 100 pièces ou qu il en contient De même, si on veut comparer deux séries statistiques de tailles différentes et sur lesquelles on a étudié le même caractère, on ne peut pas se contenter de comparer les effectifs de chaque modalité deux à deux. Pour tenir compte, de l effectif total de la population, on introduit donc la notion de fréquence d une modalité : il s agit du rapport entre l effectif de cette modalité et l effectif total. On la note f i : f i = n i N La fréquence d une modalité s exprime en général en pourcentages. Les tableaux modalités-effectifs s accompagnent le plus souvent d une troisième ligne donnant les fréquences de chaque modalité. 12

13 II.4 Effectifs et fréquences cumulés : Exemple A.5 : Exercice B.4 Les effectifs et fréquences définis auparavant donnent des renseignements sur une modalité donnée. Or, en statistique, on cherche souvent à répondre à des questions du type : Pour combien d individus dans la population la modalité du caractère étudié est-elle inférieure à une valeur donnée? Ou encore Quelle est la proportion d individus dont le caractère étudié prend une valeur supérieure ou égale à tel nombre? Pour répondre à de telles questions, on définit : l effectif cumulé croissant d une modalité x i comme la somme des effectifs des modalités x 1 à x i, c est à dire n 1 + n n i. l effectif cumulé décroissant d une modalité x i comme la somme des effectifs des modalités x i à x p, c est à dire n i + n i n p. la fréquence cumulée croissante d une modalité x i comme la somme des fréquences des modalités x 1 à x i, c est à dire f 1 + f f i. la fréquence cumulée décroissante d une modalité x i comme la somme des 13

14 fréquences des modalités x i à x p, c est à dire f i + f i f p. Suivant l étude que l on souhaite faire d une série statistique, il peut être pertinent d enrichir le tableau contenant les modalités, effectifs et fréquences, de lignes supplémentaires comportant certains effectifs et/ou fréquences cumulés. Effectifs et fréquences cumulés 14

15 II.5 Diagramme des effectifs et des fréquences : Exemple A.6 La lecture des tableaux mettant en relation les modalités d une série statistique avec leurs effectifs et fréquences (simples et cumulés) permet d obtenir rapidement des informations précises sur la série en question. Un autre moyen de présenter de manière synthétique les importances relatives des différentes modalités d une série discrète est le diagramme en bâtons. Il s agit de représenter l effectif n i d une modalité x i par un trait vertical sans épaisseur (ou bâton) placé à l abscisse x i et de hauteur proportionnelle à n i. Puisque les fréquences sont proportionnelles aux effectifs, il revient au même d identifier les hauteurs des bâtons aux fréquences des modalités de la série. 15

16 précédent chapitre II.6 Diagramme des effectifs et des fréquences cumulés : Exemple A.7 : Exercice B.5 On ne représente pas les effectifs (ou fréquences) cumulé(e)s à l aide d un diagramme en bâtons, car on souhaite pouvoir lire sur la représentation graphique le nombre (ou le pourcentage) d individus dont le caractère étudié prend une valeur inférieure ou égale à n importe quel nombre x réel fixé (ou supérieure ou égale à x pour les effectifs et fréquences cumulés décroissants). Or, un diagramme en bâtons ne permet de lire ce type de renseignement que pour des valeurs x égales aux modalités x i de la série statistique. Par conséquent, on représente les effectifs (ou fréquences) cumulé(e)s (croissants ou décroissants) à l aide d un diagramme en escaliers. En effet, si, par exemple, x est un nombre réel compris entre deux modalités x 3 et x 4 d une série statistique, alors l effectif cumulé croissant associé à la valeur x (c est à dire, le nombre d individus dont le caractère étudié prend une valeur inférieure ou égale à x) est le même que l effectif cumulé croissant associé à la modalité x 3. Ainsi, l effectif cumulé croissant est constant sur tout intervalle du type [x i ; x i+1 [, d où une représentation graphique par un diagramme en escaliers. Et il en va de même pour les fréquences cumulées croissantes (seule change l échelle de l axe des ordonnées) ainsi que pour les effectifs et fréquences cumulés décroissants. 16

17 précédent suivant Chapitre III Présentation d une série continue III.1 Discrétisation d une série continue III.2 Classes d une série continue III.3 Série classée III.4 Hypothèse de discrétisation III.5 Densité de fréquence III.6 Histogramme des fréquences III.7 Fonction fréquence cumulée

18 chapitre suivant III.1 Discrétisation d une série continue : Exemple A.8 On a vu précédemment qu une série statistique recueillie à partir de l étude d un caractère est dite continue quand les modalités de ce caractère peuvent prendre A PRIORI n importe quelle valeur réelle dans tout un intervalle I de IR. A posteriori, c est à dire à l issue du recueil de données, on obtient une liste de valeurs (en nombre fini en pratique) qui, à première vue, ne se différencie pas de ce qu on peut récolter dans le cas d une série discrète. Cependant, comme il y a une infinité de valeurs possibles pour les modalités d une série continue, l effectif de chaque modalité est le plus souvent égal à 1. Par conséquent, il n est pas réaliste et pertinent d essayer de synthétiser les données comme on l a fait avec les variables discrètes : on obtiendrait des tableaux de trop grandes dimensions pour être véritablement exploitables. Plutôt que de s intéresser séparément à chacune des modalités d une série continue, on fait donc le choix de regrouper celles qui sont très voisines en créant ce qu on va appeler dans le paragraphe suivant des classes. 18

19 III.2 Classes d une série continue : Exemple A.9 Dans le cas d une série continue, le statisticien doit, après avoir recueilli ses données, regrouper celles qu il juge très voisines sous une même étiquette : le regroupement dépendra du caractère étudié, de la répartition des résultats récoltés, de l expérience du statisticien... Mathématiquement, ce regroupement consiste en la création de classes : les classes sont des intervalles de la forme ] ; a 0 [, [a 0 ; a 1 [,..., [a i 1 ; a i [,..., [a q ; + [ tels que toutes les modalités du caractère appartiennent à [a 0 ; a q [. On insiste bien sur le fait que cette définition n impose pas aux différents intervalles d être de même amplitude. 19

20 III.3 Série classée : Exemple A.10 : Exercice B.6 Une fois le choix de classes fait, on peut définir, pour chaque classe [a i 1 ; a i [, comme on l a fait avec les modalités d une série discrète : l effectif n i de la classe : nombre de valeurs de la série appartenant à l intervalle [a i 1 ; a i [ la fréquence f i de la classe : f i = n i où N est l effectif total de la population N l effectif cumulé croissant de la classe : il s agit de n 1 + n n i ; c est donc le nombre d individus dont le caractère étudié prend une valeur strictement inférieure à a i la fréquence cumulée croissante de la classe : f 1 + f f i l effectif cumulé décroissant de la classe : il s agit de n i + n i n q ; c est donc le nombre d individus dont le caractère étudié prend une valeur supérieure ou égale à a i 1 la fréquence cumulée décroissante de la classe : f i + f i f q Par ailleurs, on définit également pour chaque classe [a i 1 ; a i [ : les limites inférieure et supérieure de la classe : a i 1 et a i le centre de la classe : c i = a i 1+a i 2 20

21 l étendue ou l amplitude de la classe : a i a i 1 Série classée Le centre de la classe est supposé être une valeur représentative de la classe (notion développée plus loin). Cela signifie que, en pratique, on remplace souvent l étude d une série continue par l étude de la série classée associée, c est à dire de la série discrète dont les modalités sont les centres des classes avec, comme effectifs, les effectifs des classes. On dit alors qu on a discrétisé la série continue. 21

22 III.4 Hypothèse de discrétisation : Exemple A.11 Le remplacement d une série continue par une série classée utilisant les centres des classes n est justifiée que si les valeurs observées du caractère étudié sont réparties uniformément dans chaque classe. En effet, pour que l approximation faite en assimilant chaque valeur x k d une classe [a i 1 ; a i [ à la valeur du centre c i ne soit pas trop grossière, il faut que l ensemble des différences x k c i se compensent à peu près (certaines étant positives et les autres négatives). 22

23 III.5 Densité de fréquence : Exemple A.12 : Exercice B.7 On a vu que lors du regroupement des valeurs d une série statistique continue, il n était pas imposé d utiliser des classes de même amplitude (ou étendue). Par conséquent, on ne peut pas se contenter de regarder les effectifs ou les fréquences de deux classes pour comparer leurs importances relatives : il faut rapporter ces effectifs ou fréquences aux amplitudes des classes respectives. C est pourquoi, pour pouvoir comparer deux classes d amplitudes différentes, on introduit le rapport entre la fréquence de la classe et son étendue. C est la densité de fréquence ; pour la classe [a i 1 ; a i [, elle vaut : f i a i a i 1 23

24 III.6 Histogramme des fréquences : Exemple A.13 : Exercice B.8 Comme dans le cas des séries discrètes, on peut représenter graphiquement la répartition des différentes modalités. Par contre, on n utilise pas un diagramme en bâtons pour mettre en évidence l importance relative des différentes modalités, car on aurait en général des diagrammes peu lisibles, constitués d un grand nombre de bâtons de hauteurs égales. Au lieu de cela, comme avec les tableaux synthétiques, on remplace la série continue par une série classée ; une classe [a i 1 ; a i [ est alors représentée, non pas par un bâton, mais par un rectangle de base comprise entre les abscisses a i 1 et a i. Les rectangles doivent rendre compte visuellement des fréquences des classes : ce n est pas la hauteur des rectangles qui traduira la valeur de ces fréquences, puisque deux classes de même fréquence n ont pas forcément la même amplitude. Pour tenir compte de l étendue de la classe, c est donc la surface du rectangle qui doit être proportionnelle à la fréquence de la classe : par conséquent, la hauteur du rectangle est, quant à elle, proportionnelle à la densité de fréquence de la classe. Le graphique ainsi obtenu est l histogramme des fréquences de la série continue considérée : c est donc le graphique formé de rectangles ayant comme largeur sur l axe 24

25 des x, l étendue de la classe, et des aires proportionnelles aux fréquences des classes. En toute rigueur, un histogramme ne comporte pas d axe des ordonnées. Histogramme des fréquences On insiste encore une fois sur le fait que les hauteurs des rectangles dans l histogramme des fréquences sont proportionnelles aux densités de fréquence et non pas aux fréquences. 25

26 précédent III.7 Fonction fréquence cumulée : Exemple A.14 : Exercice B.9 On a vu précédemment que, pour justifier le remplacement d une série statistique continue par une série classée, il faut que les valeurs recueillies du caractère étudié soient uniformément réparties dans les différentes classes. Sous cette hypothèse, on peut considérer par exemple que 1 des valeurs de la classe [a 4 i 1; a i [ sont situées dans le premier quart de l intervalle, c est à dire entre a i 1 et a i 1 + a i a i 1 : la fréquence 4 cumulée croissante augmente de façon linéaire entre deux limites de classes a i 1 et a i. On appelle fonction fréquence cumulée ou fonction répartition de fréquences, notée Φ la fonction définie sur IR qui, pour une valeur x réelle, donne une approximation du pourcentage d individus pour lesquels la valeur du caractère est strictement inférieure à x. D après ce qui précède, la fonction Φ est affine par morceaux ; de plus elle est continue et croissante sur IR. Enfin, la courbe représentative de la fonction Φ est appelée polygone des fréquences cumulées. 26

27 précédent suivant Annexe A A.1 Illustration du vocabulaire A.2 Séries statistiques discrètes et continues A.3 Effectifs d une série discrète A.4 Fréquences d une série discrète A.5 Effectifs et fréquences cumulés A.6 Diagramme en bâtons A.7 Diagramme en escaliers A.8 Effectifs des modalités d une série continue A.9 Classes d une série continue A.10 Synthèse d une série classée A.11 Répartition des valeurs dans les classes A.12 Densités de fréquence d une série continue A.13 Histogramme des fréquences A.14 Polygone des fréquences cumulées

28 chapitre suivant Exemple A.1 Illustration du vocabulaire Cours : Caractère : Exercice B.1 La promotion 2004 de l IUT d Egletons est une population dont les individus ou unités statistiques sont les étudiants qui ont obtenu le DUT en juillet La couleur des cheveux des étudiants de cette promotion-là est un caractère qualitatif de la population, tandis que leur âge est un caractère quantitatif. 28

29 Exemple A.2 Séries statistiques discrètes et continues Cours : Série statistique : Exercice B.2 Quand on collecte les âges (en années entières) des étudiants de la promotion 2004, on obtient une série statistique discrète car les âges en question ne peuvent prendre que des valeurs bien isolées les unes des autres. Par contre, si on chronomètre tous ces étudiants sur une course de 100 m, on obtiendra une série statistique continue, car les modalités de cette série peuvent a priori prendre n importe quelle valeur réelle entre 10 et 30 secondes. (En réalité, un chronomètre ayant une précision limité, les résultats obtenus auront un nombre restreint de décimales, mais le temps réel de chaque coureur peut être considéré comme un nombre réel) 29

30 Exemple A.3 Effectifs d une série discrète Cours : Effectif d une modalité Les étudiants d un groupe de TD forment une population statistique Ω dont le caractére étudié est la note obtenue à un devoir de mathématiques. Ces notes étant entières, la série statistique S 1 ainsi recueillie est discrète : S 1 = {11; 12; 10; 9; 4; 18; 19; 12; 16; 12; 13; 14; 18; 9; 8; 8; 12; 5; 11; 10} Les modalités de cette série rangées dans l ordre croissant sont donc : x 1 = 4 ; x 2 = 5 ; x 3 = 8 ; x 4 = 9 ; x 5 = 10 ; x 6 = 11 ; x 7 = 12 x 8 = 13 ; x 9 = 14 ; x 10 = 16 ; x 11 = 18 ; x 12 = 19 Par ailleurs, la note x 1 = 4 n a été obtenue que par un seul étudiant : son effectif est donc n 1 = 1, tandis que l effectif de x 7 = 12 est n 7 = 4, puisque quatre étudiants ont eu 12 sur 20 à ce contrôle. On résume toutes ces informations dans le tableau : Modalités Totaux Effectifs

31 Exemple A.4 Fréquences d une série discrète Cours : Fréquence d une modalité : Exercice B.3 En reprenant la série statistique introduite à l exemple précédent, on peut calculer la fréquence de la modalité x 7 = 12 d effectif n 7 = 4 : f 7 = n 7 N = 4 20 = 0,2 = 20% En calculant de la même façon les fréquences de chaque modalité, on complète le tableau synthétique de la série S 1 pour obtenir : Modalités Totaux Effectifs Fréquences (en %)

32 Exemple A.5 Effectifs et fréquences cumulés Cours : Effectifs cumulés : Exercice B.4 Rajoutons une ligne contenant les effectifs cumulés croissants (E.c.c.) et une ligne contenant les fréquences cumulées décroissantes (F.c.d.) au tableau résumant la série S 1 des deux exemples précédents : Modalités Totaux Effectifs Fréquences (en %) Eff. cum. croissants Fréq. cum. déc. (en %) Dans ce tableau, on peut lire par exemple que : 4 étudiants sur 20 ont eu une note inférieure ou égale à 8 20% des étudiants ont eu une note supérieure ou égale à 16 32

33 Exemple A.6 Diagramme en bâtons Cours : Diagramme en bâtons Reprenons encore le cas de la série S 2 de notes obtenues par les étudiants d un groupe TD : S 1 = {11; 12; 10; 9; 4; 18; 19; 12; 16; 12; 13; 14; 18; 9; 8; 8; 12; 5; 11; 10} On avait décrit cette série à l aide du tableau suivant : Modalités Totaux Effectifs Fréquences (en %) On peut finalement reprendre ces informations sous forme graphique avec le diagramme en bâton : 33

34 4 3 précédent chapitre suivant distribution d effectifs Exemple A.6 Diagramme en bâtons effectifs notes 34

35 Exemple A.7 Diagramme en escaliers Cours : Diagramme en escaliers : Exercice Toujours pour la série S 1 des exemples précédents, on avait résumé les effectifs cumulés croissants et les fréquences cumulées décroissantes avec le tableau : Modalités Totaux Effectifs Fréquences (en %) Eff. cum. croissants Fréq. cum. déc. (en %) Graphiquement, les deux dernières lignes du tableau sont représentées par les diagrammes en escaliers qui suivent. Sur le premier diagramme en escaliers, on peut lire par exemple que 16 étudiants ont obtenu une note inférieure ou égale à 15 au contrôle, bien que aucun étudiant n ait obtenu exactement 15 sur 20. Et, sur le deuxième diagramme en escaliers, on peut lire, par exemple, que 90 % des étudiants ont eu une note supérieure ou égale à 7. 35

36 20 18 précédent chapitre suivant répartition d effectifs Exemple A.7 Diagramme en escaliers 16 effectifs cumulés croissants notes 36

37 précédent chapitre suivant répartition de fréquences Exemple A.7 Diagramme en escaliers fréquences cumulées décroissantes (en %) notes 37

38 Exemple A.8 Effectifs des modalités d une série continue Cours : Discrétisation (Nécessité de) Au cours d un TP visant à mesurer expérimentalement la constante d accélération de la pesanteur g, 20 étudiants ont chacun obtenu une mesure. La liste de valeurs ainsi récoltées forme une série statistique continue S 2, car les mesures effectuées pouvaient a priori conduire à n importe quel nombre réel autour de 9,81 m.s 2 (valeur arrondie au centième souvent retenue pour faire des applications numériques). En réalité, étant données les incertitudes liées aux appareils de mesure, les résultats obtenus sont tous des estimations arrondies au millième de la valeur de g. La série statistique continue S 2 est la suivante : S 2 = {9,784 ; 9,756 ; 9,842 ; 9,827 ; 9,812 ; 9,830 ; 9,883 ; 9,825 ; 9,799 ; 9,811 9,834 ; 9,853 ; 9,796 ; 9,805 ; 9,861 ; 9,790 ; 9,836 ; 9,852 ; 9,777 ; 9,824} On pourrait considérer cette série comme une série discrète, mais chaque modalité aurait 1 pour effectif, et l organisation des données sous forme de tableau ou de graphique ne permettrait pas de dégager une distribution lisible et exploitable. 38

39 Exemple A.9 Classes d une série continue Cours : Classes d une série continue Avec la série S 2 des résultats de mesure de la constante g, on peut, par exemple, regrouper les modalités selon les classes suivantes : ] ; 9,725[, [9,725; 9,775[, [9,775; 9,800[, [9,800; 9,825[ [9,825; 9,850[, [9,850; 9,900[, [9,900; + [ On voit que ces classes n ont pas toutes la même amplitude : de cette façon, il n y a pas de classe vide (c est à dire de classe ne contenant aucune modalité du caractère étudié), peu de classes de très faible effectif (on le verra dans l exemple suivant) et le nombre de classes n est pas trop petit par rapport à l effectif total de la population. Ce choix de classes n est pas basé sur une analyse approfondie de la série statistique S 2. Il existe cependant certains critères empiriques permettant, par exemple, de choisir le nombre de classes avec lesquelles travailler en fonction de l effectif de la population... 39

40 Exemple A.10 Synthèse d une série classée Cours : Série classée : Exercice B.6 Dans l exemple précédent, on a défini, pour la série S 2 suivante : S 2 = {9,784 ; 9,756 ; 9,842 ; 9,827 ; 9,812 ; 9,830 ; 9,883 ; 9,825 ; 9,799 ; 9,811 9,834 ; 9,853 ; 9,796 ; 9,805 ; 9,861 ; 9,790 ; 9,836 ; 9,852 ; 9,777 ; 9,824} les classes suivantes : ] ; 9,725[, [9,725; 9,775[, [9,775; 9,800[, [9,800; 9,825[ [9,825; 9,850[, [9,850; 9,900[, [9,900; + [ Plutôt que de travailler directement avec la série continue S 2, on peut introduire la série discrète dont les modalités sont les centres c i de chacune des classes [a i 1 ; a i [ précédentes affectées des effectifs n i de ces classes. De cette façon, on considère qu avoir obtenu les mesures 9,812, 9,811, 9,805 et 9,824 (en m.s 2 ) de la classe [9,800; 9,825[ revient au même que d avoir obtenu n 3 = 4 fois la mesure c 3 = 9,8125 m.s 2. (Cette formulation est à nuancer quand on travaille sur les effectifs et fréquences cumulés, comme on va le voir plus bas). 40

41 On fait apparaître les informations essentielles de la série classée dans le tableau : classes centres effectifs eff. cum. cr. fréquences fr. cum. cr. Exemple A.10 Synthèse d une série classée [9,725; 9,775[ 9, % 5% [9,775; 9,800[ 9, % 30% [9,800; 9,825[ 9, % 50% [9,825; 9,500[ 9, % 80% [9,850; 9,900[ 9, % 100% Dans ce tableau, on peut lire par exemple que 6 étudiants ont obtenu une mesure de g comprise entre 9,825 m.s 2 et 9,500 m.s 2, c est à dire une mesure voisine de 9,8375 m.s 2. Par contre, on ne fait en général pas référence aux centres des classes lorsqu on parle d un effectif ou d une fréquence cumulé. Ainsi, toujours dans le tableau, on lit que 50% des étudiants ont obtenu une mesure de g strictement inférieure à 9,825 m.s 2 et non pas à 9,8125 m.s 2. On verra plus loin comment déterminer les effectifs et fréquences cumulés de valeurs ne correspondant pas à une limite de classe. 41

42 Exemple A.11 Répartition des valeurs dans les classes Cours : Discrétisation (Hypothèse de) Dans la classe [9,800; 9,825[ de centre c 3 = 9,8125 de la série S 2, on retrouve les valeurs : 9,812 ; 9,811 ; 9,805 et 9,824. La somme des écarts entre ces valeurs et le centre c 3 est : 9, , , , ,8125 = m.s 2 Ainsi, la somme de ces 4 écarts est plus de 10 fois inférieure à l étendue de la classe, égale à m.s 2. On peut donc considérer que les 4 valeurs sont uniformément réparties dans la classe [9,800; 9,825[, c est à dire qu on peut faire comme si les 4 valeurs étaient égales à c 3 = 9,8125 m.s 2 sans que l erreur commise soit très importante. 42

43 Exemple A.12 Densités de fréquence d une série continue Cours : Densité de fréquence : Exercice B.7 On a remarqué, grâce au tableau reprenant les informations essentielles de la série continue S 2, que les classes [9,800; 9,825[ et [9,850; 9,900[ avaient même fréquence (à savoir f 3 = f 5 = 20%). Cependant, il y a une plus forte densité de données recueillies dans la première de ces deux classes puisque son étendue est deux fois plus petite que celle de la deuxième classe. Autrement dit, la densité de fréquence de la classe [9,800; 9,825[ est plus grande que celle de la classe [9,850; 9,900[ : f 3 a 3 a 2 = 0, 2 9, 825 9, 800 = 8 > 4 = 0, 2 9, 900 9, 850 = f 5 a 5 a 4 On complète en général le tableau synthétique d une série classée par la donnée des densités de fréquence de chaque classe : 43

44 classes centres étendues fréquences densités de fr. [9,725; 9,775[ 9,75 0,05 5% 1 [9,775; 9,800[ 9,7875 0,025 25% 10 [9,800; 9,825[ 9,8125 0,025 20% 8 [9,825; 9,500[ 9,8375 0,025 30% 12 [9,850; 9,900[ 9,875 0,05 20% 4 Exemple A.12 Densités de fréquence d une série continue 44

45 Exemple A.13 Histogramme des fréquences Cours : Histogramme des fréquences : Exercice B.8 On a vu dans l exemple précédent que les classes [9,800; 9,825[ et [9,850; 9,900[ de la série S 2 avaient même fréquence mais des amplitudes différentes. Graphiquement, on traduit ces deux renseignements par des rectangles de même surface (correspondant à la fréquence commune) mais de bases inégales (proportionnelles aux étendues des deux classes) : les hauteurs des deux rectangles s obtiennent donc en faisant le rapport entre la surface (la fréquence de la classe) et la base (l étendue de la classe). Autrement dit, les hauteurs sont proportionnelles aux densités de fréquence des classes. En agissant ainsi pour chaque classe, on obtient finalement l histogramme des fréquences suivant pour la série classée issue de la série S 2 des exemples précédents : 45

46 histogramme des fréquences f3 = 20% Exemple A.13 Histogramme des fréquences f 5 = 20% 9,700 9,725 9,750 9,775 9,800 9,825 9,850 9,875 9,900 9,925 mesures de g 46

47 précédent chapitre Exemple A.14 Polygone des fréquences cumulées Cours : Fonction fréquence cumulée : Exercice B.9 Sur le polygone des fréquences cumulées de la série classée associée à S 2 (page suivante), on peut déterminer graphiquement Φ(9,830), c est à dire le pourcentage de mesures de g inférieures à 9,830 m.s 2. On peut aussi en faire un calcul analytique : 9,830 est dans la classe [9,825; 9,!850[, donc Φ(9,830) est compris entre Φ(9,825) = 50% et Φ(9,850) = 80%. De plus, les coefficients directeurs des droites (MN) et (MP ), on peut écrire : 80% 50% 9, 850 9, 825 = Φ(9, 830) 50% 9, 830 9, 825 On en déduit que : Φ(9,830) = 56% 47

48 précédent chapitre fréquences cumulées croissantes (en %) Φ(x) Φ(9,830) polygone des fréquences cumulées M N 9,830 P Exemple A.14 Polygone des fréquences cumulées 9,700 9,725 9,750 9,775 9,800 9,825 9,850 9,875 9,900 9,925 x mesures de g 48

49 précédent Annexe B B.1 Acquisition du vocabulaire B.2 Séries dicrètes et continues B.3 Effectifs et fréquences d une série discrète B.4 Effectifs et fréquences cumulées d une série discrète B.5 Diagrammes en bâtons et en escaliers B.6 Discrétisation d une série continue B.7 Densités de fréquence d une série classée B.8 Histogramme d une série classée B.9 Polygone des fréquences cumulées

50 chapitre suivant Exercice B.1 Acquisition du vocabulaire Cours : Caractère : Exemple A.1 Chercher les exercices 1 et 2 du fichier StatistiqueDescriptive.xls. 50

51 Exercice B.2 Séries dicrètes et continues Cours : Série statistique : Exemple A.2 Chercher l exercice 3 du fichier StatistiqueDescriptive.xls. 51

52 Exercice B.3 Effectifs et fréquences d une série discrète Cours : Fréquence d une modalité : Exemple A.4 Chercher la première question de l exercice 4 du fichier StatistiqueDescriptive.xls. 52

53 Exercice B.4 Effectifs et fréquences cumulées d une série discrète Cours : Effectifs cumulés : Exemple A.5 Chercher les questions 2, 3 et 4 de l exercice 4 du fichier StatistiqueDescriptive.xls. 53

54 Exercice B.5 Diagrammes en bâtons et en escaliers Cours : Diagramme en escaliers : Exemple A.7 Chercher la question 5 de l exercice 4 du fichier StatistiqueDescriptive.xls. 54

55 Exercice B.6 Discrétisation d une série continue Cours : Série classée : Exemple A.10 Chercher les questions 1, 2 et 3 de l exercice 5 du fichier StatistiqueDescriptive.xls. 55

56 Exercice B.7 Densités de fréquence d une série classée Cours : Densité de fréquence : Exemple A.12 Chercher la question 4 de l exercice 5 du fichier StatistiqueDescriptive.xls. 56

57 Exercice B.8 Histogramme d une série classée Cours : Histogramme des fréquences : Exemple A.13 Chercher la question 5 de l exercice 5 du fichier StatistiqueDescriptive.xls. 57

58 précédent chapitre Exercice B.9 Polygone des fréquences cumulées Cours : Fonction fréquence cumulée : Exemple A.14 Chercher les questions 6, 7 et 8 de l exercice 5 du fichier StatistiqueDescriptive.xls. 58

59 Index des concepts Le gras indique un grain où le concept est défini ; l italique indique un renvoi à un exercice ou un exemple, le gras italique à un document, et le romain à un grain où le concept est mentionné. C Caractère , 28, 50 Classes d une série continue , 39 D Densité de fréquence , 43, 56 Diagramme en bâtons , 33 Diagramme en escaliers , 35, 54 Discrétisation (Hypothèse de) , 42 Discrétisation (Nécessité de) , 38 E Effectif d une modalité , 30 Effectifs cumulés , 32, 53 F Fonction fréquence cumulée... 26, 47, 58 Fréquence d une modalité , 31, 52 H Histogramme des fréquences... 24, 45, 57 59

60 O Objectifs du chapitre P Population S Statistique descriptive (définition) Série classée , 40, 55 Série statistique , 29, 51 60

61 Index des notions C Caractère qualitatif Caractère quantitatif E Echantillon F Fréquences cumulées I Individu M Modalité P Polygone des fréquences cumulées S Série statistique continue Série statistique discrète