4 ème C DS1 pourcentages : initiation à la démonstration sujet
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- Heloïse Claudine Gaudet
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1 4 ème C DS1 pourcentages : initiation à la démonstration sujet Léa et Simon vont passer une soirée chez un ami commun. Léa a 40 morceaux de musique, parmi lesquels il y a 30 % de rap. Simon a 50 morceaux de musique dont 12% de rap. Sur la figure ci-dessous, ABCD est un parallélogramme. En utilisant le codage, démontrer que (EF) et (DC) sont parallèles. Rachel : On sait que (DC) et (AG) sont perpendiculaires et que (EF) et (AG) sont perpendiculaires. Donc (EF) et (DC) sont parallèles. Victor : On sait que (EF) est perpendiculaire à (AG) et que (AB) est perpendiculaire à (AG) (donnée). Donc (AB) et (EF) sont parallèles. On sait que (AB) et (DC) sont parallèles et que (AB) et (EF) sont parallèles. Donc (DC) et (EF) sont parallèles. Citer deux propriétés qui permettent de démontrer que deux droites sont perpendiculaires. 3. Prendre un nombre, ajouter 5 à ce nombre, multiplier le résultat par 3, retrancher ensuite le double du nombre choisi au départ puis retrancher 5 au résultat obtenu. a/ Effectuer cette suite d opérations pour les nombres suivants : 2, 0 et 1. Quelle conjecture peuton faire? 1
2 4 ème C DS1 pourcentages : initiation à la démonstration sujet Léo et Siméon vont passer une soirée chez un ami commun. Léo a 30 morceaux de musique, parmi lesquels il y a 60 % de rap. Siméon a 45 morceaux de musique dont 40% de rap. Sur la figure ci-dessous, LMNO est un parallélogramme. Les droites (ON) et (CN) sont perpendiculaires. Les droites (AB) et (LM) sont parallèles. Démontrer que les droites (AB) et (CN) sont perpendiculaires. Lucie : On sait que (AB) et (ON) sont parallèles et que (ON) et (CN) sont perpendiculaires. Anne : On sait que (LM) et (ON) sont parallèles et que (AB) et (LM) sont parallèles. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles. Donc (ON) et (AB) sont parallèles. On sait que (ON) est perpendiculaire à (CN) et que (AB) est parallèle à (ON). Citer deux propriétés qui permettent de démontrer que deux droites sont parallèles. Prendre un nombre, soustraire 4 à ce nombre, multiplier le résultat par 2, ajouter ensuite 8. a/ Effectuer cette suite d opérations pour les nombres suivants : 5, 0 et 2. Quelle conjecture peut-on faire? 2
3 4 ème C DS1 pourcentages : initiation à la démonstration sujet Léa et Simon vont passer une soirée chez un ami commun. Léa a 40 morceaux de musique, parmi lesquels il y a 30 % de rap. Simon a 50 morceaux de musique dont 12% de rap. Léa a = 12 morceaux de rap. Siméon a = 6 morceaux de rap. Le pourcentage de morceaux de rap dans les deux groupes réunis est : = 0,2 soit 20% Sur la figure ci-dessous, ABCD est un parallélogramme. En utilisant le codage, démontrer que (EF) et (DC) sont parallèles. Rachel : On sait que (DC) et (AG) sont perpendiculaires et que (EF) et (AG) sont perpendiculaires. Donc (EF) et (DC) sont parallèles. Victor : On sait que (EF) est perpendiculaire à (AG) et que (AB) est perpendiculaire à (AG) (donnée). Donc (AB) et (EF) sont parallèles. On sait que (AB) et (DC) sont parallèles et que (AB) et (EF) sont parallèles. Donc (DC) et (EF) sont parallèles. a/ On sait que ABCD est un parallélogramme (donnée). Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. Donc (AB) et (DC) sont parallèles. On sait que (EF) est perpendiculaire à (AG) et que (AB) est perpendiculaire à (AG) (donnée). Si deux droites sont perpendiculaires à la même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Donc (AB) et (EF) sont parallèles. 3
4 4 ème C DS1 pourcentages : initiation à la démonstration sujet On sait que (AB) et (DC) sont parallèles et (AB) et (EF) sont parallèles. Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Donc (DC) et (EF) sont parallèles. b/ Rachel utilise le fait que (DC) et (AG) sont perpendiculaires sans l avoir démontré. Victor ne démontre pas que (AB) et (DC) sont parallèles. Victor ne cite pas la propriété suivante avant de conclure que (DC) et (EF) sont parallèles.: Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Citer deux propriétés qui permettent de démontrer que deux droites sont perpendiculaires. Si deux droites sont parallèles et qu une troisième est perpendiculaire à l une alors elle est perpendiculaire à l autre. Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires. 3. Prendre un nombre, ajouter 5 à ce nombre, multiplier le résultat par 3, retrancher ensuite le double du nombre choisi au départ puis retrancher 5 au résultat obtenu. a/ Effectuer cette suite d opérations pour les nombres suivants : 2, 0 et 1. Quelle conjecture peuton faire? a/ Pour 2 : (2 + 5) = = 12 Pour 0 : (0 + 5) = 15 5 = 10 pour 1 : (-1 + 5) 3 2 (-1) - 5 = = 9 Conjecture. Il semble que l on trouve comme résultat final le nombre choisi au départ auquel on a ajouté 10. b/ Démonstration. Soit x le nombre choisi au départ : ajouter 5 à ce nombre au départ multiplier le résultat par 3 retrancher ensuite le double du nombre choisi puis retrancher 5 au résultat obtenu x + 5 (x + 5) 3 (x + 5) 3 2x (x + 5) 3 2x 5 (x + 5) 3 2x 5 = 3x x 5 ; 3x x 5 = x Ce qui démontre qu on obtient toujours le nombre choisi au départ auquel on ajoute 10. 4
5 4 ème C DS1 pourcentages : initiation à la démonstration sujet Léo et Siméon vont passer une soirée chez un ami commun. Léo a 30 morceaux de musique, parmi lesquels il y a 60 % de rap. Siméon a 45 morceaux de musique dont 40% de rap. Léo a = 18 morceaux de rap. Siméon a = 18 morceaux de rap. Le pourcentage de morceaux de rap dans les deux groupes réunis est : Sur la figure ci-dessous, LMNO est un parallélogramme. Les droites (ON) et (CN) sont perpendiculaires. Les droites (AB) et (LM) sont parallèles. Démontrer que les droites (AB) et (CN) sont perpendiculaires = 0,48 soit 48% Lucie : On sait que (AB) et (ON) sont parallèles et que (ON) et (CN) sont perpendiculaires. Anne : On sait que (LM) et (ON) sont parallèles et que (AB) et (LM) sont parallèles. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles. Donc (ON) et (AB) sont parallèles. On sait que (ON) est perpendiculaire à (CN) et que (AB) est parallèle à (ON). a/ On sait que LMNO est un parallélogramme (donnée). Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. Donc (LM) et (ON) sont parallèles. On sait que (LM) est parallèle à (AB) (donnée) et que (LM) est parallèle à (ON). Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles. 5
6 4 ème C DS1 pourcentages : initiation à la démonstration sujet Donc (AB) et (ON) sont parallèles. On sait que (AB) et (ON) sont parallèles et que (ON) et perpendiculaire à (CN). Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Donc (CN) et (AB) sont perpendiculaires. b/ Lucie n'a pas justifié que (AB) et (ON) sont parallèles et la première propriété énoncée n'est pas la bonne. Anne n'a pas justifié que (LM) est parallèle à (ON) et n'a pas cité la propriété dans le dernier chaînon. Citer deux propriétés qui permettent de démontrer que deux droites sont parallèles. Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Prendre un nombre, soustraire 4 à ce nombre, multiplier le résultat par 2, ajouter ensuite 8. a/ Effectuer cette suite d opérations pour les nombres suivants : 5, 0 et 2. Quelle conjecture peut-on faire? a/ Pour 5 : (5 4) = 10 Pour 0 : (0 4) = 0 pour 2 : (-2 4) = -4 Conjecture : on obtient le double du nombre de départ. b/ Soit x le nombre de départ : soustraire 4 à ce nombre x 4 au départ multiplier le résultat par (x 4) 2 2 ajouter 8 (x 4) Or (x 4) = 2x = 2x et 2x est bien le double de x. 6
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