EQUATIONS DE DROITES

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1 EQUTIONS DE DROITES Introuction : Dans le chapitre précéent, nous avons éjà constaté qu il existait un lien relativement étroit entre les roites et les fonctions u premier egré. La représentation graphique une fonction u premier egré est une roite. Mais, nous savons éjà que toute roite n est pas la représentation une fonction. En effet, les roites «verticales» posent problème. Ce chapitre a pour but e nous permettre e éterminer l équation une roite quelle qu elle soit. Il s agit onc e mettre en place es stratégies afin e éterminer le coefficient e la roite consiérée ainsi que son terme inépenant, c est-à-ire les fameux nombres «m» et «p». Nous evons également résoure le «problème» e nos roites verticales!!! Enfin, nous tenterons obtenir une équation générale englobant les ifférents cas. I. ctivités : x Soient les roites et équations respectives y = 3 x + et y =. 3 Tracer ces eux roites sur la calculatrice et placer les points suivants : 6 4 ; - ) ; B 3 ; - ) ; C ; -4 ) ; D -3 ; ) ;E ; ) et F - ; 3 ) 7 7 Quels sont les points appartenant à? Quels sont ceux appartenant à? Vérifier chacun e ces résultats à l aie un calcul. Soit la roite éfinie par les points O 0 ; 0 ) et - ; 3 ).Tracer cette roite sur la calculatrice. Placer un point M sur cette roite, emaner l affichage es cooronnées a ;b) e ce point M. Demaner à la calculatrice e calculer le quotient b a. Déplacer le point M sur la roite. Observer l affichage es cooronnées u point M et l affichage u quotient b a. Que constate-t-on pour le quotient b? Tenter expliquer a

2 Soit la roite équation y = 3 4 x+ Compléter le tableau e nombres et porter sur l axe qui convient les résultats obtenus : Calculer les «accroissements es abscisses» notés x ) et les «accroissements es oronnées» notés y ) : e à B e B à D e C à E. x= y= Calculer les rapports entre l accroissement es oronnées et celui es abscisses e à B, e B à D et e C à E y x = y x = y x = Les comparer. quoi corresponent-ils? Soit la roite équation y = -x +. Calculer les cooronnées u point : - intersection e avec l axe X - B intersection e avec l axe Y. Tracer cette roite sur la calculatrice et vérifier les résultats trouvés. Faire e même 3x pour les roites ' y = et '' y =. 4

3 II. Vocabulaire et notations Consiérons la fonction f : x m x + p cette fonction est une roite. m IR et p IR ) ; la représentation graphique e Une équation e cette roite s écrit sous la forme y = m x + p. Cette égalité exprime le lien qui existe entre l abscisse et l oronnée e n importe quel point e cette roite. On note y = mx + p et on lit «a pour équation y = m x + p». Dans l équation y = m x + p une roite, m est appelé le coefficient angulaire ou coefficient irecteur e ; et p est appelé l oronnée à l origine e L oronnée à l origine p est l oronnée u point e la roite qui a pour abscisse 0 x=0) En effet si x=0 y= m 0+p=p La racine ou le zéro ) e la fonction f : x m x + p m 0 ) est le réel ont l image par f est nulle. C est aussi la solution e l équation 0 = m x + p. p Il vient m x + p = 0 et m 0 x = m Ce réel est aussi l abscisse u point intersection e la roite avec l axe X. Exemple : Propriétés : Un point appartient à une roite ssi ses cooronnées vérifient l équation e celle-ci. x ; y ) est un point e y = mx + p ssi y = mx p + Si f est une fonction linéaire et si P est un point e son graphique, istinct e 0 ; 0 ), alors le rapport entre l oronnée et l abscisse e P est une constante. Il correspon au coefficient e irection e la roite représentant cette fonction ans un repère cartésien u plan. Soit y = mx et soit Pa ; b), alors b m = a 3

4 Si f est une fonction u premier egré, si et B sont eux points e son graphique alors le rapport entre la ifférence es oronnées es eux points et la ifférence e leurs abscisses est une constante. Ce rapport est le coefficient irecteur e la roite représentant cette fonction ans un repère cartésien u plan. Soit y = mx + p ; soient x, y ) et B x, y ) B eux points e cette roite B m = y x = y x B B y x x, y ) D) y =mx +p B x B,y B ) D) y B =mx B +p y B -y = mx B +p mx +p ) = mx B mx = m x B x ) où m = y B-y x B -x y B -y m= = x B -x p=-3 4

5 III. Détermination e l équation une roite :. Equation une roite ont on onne le coefficient irecteur et un point : Le coefficient e la roite est «m» et cette roite compren le point x, y ). L équation générale est onc y = mx + p, le point est un point e la roite, ses cooronnées vérifient onc l équation e celle-ci. y = mx + p p = y mx tous les éléments e cette expression sont connus ; p est alors éterminé. Il vient : y = mx + y mx y y = mx mx y y = m x x ) Ce qui nous onne une autre forme e l équation une roite e coefficient irecteur connu et ont on connaît également un point. Exemple : Déterminer une équation e la roite passant par -5 ;) et e coefficient irecteur -. Equation une roite ont on onne eux points istincts : Soient x, y ) et B x, y ) B eux points e la roite recherchée. B Pour éterminer le coefficient irecteur, il suffit appliquer la formule établie précéemment. Ensuite, on utilise les cooronnées e l un es eux points pour calculer la valeur e p. On obtient alors une équation e la forme : yb y y y = x x ). xb x Exemple : Déterminer une équation e la roite passant par 5 ;) et B- ;3) 5

6 IV. Droites parallèles, roites perpeniculaires Si eux roites ont même coefficient angulaire, alors elles sont parallèles et réciproquement. Dans un repère cartésien u plan, et étant eux roites e coefficients respectifs m et m : // m = m Dans un repère orthonormé un plan cartésien, et étant eux roites non parallèles aux axes et e coefficients respectifs m et m : m = m Exercices :. Déterminer une équation cartésienne e la roite D) passant par - ;4) et parallèle à la roite équation y= -3x+5. Déterminer une équation cartésienne e la roite D ) passant par ;) et perpeniculaire à la roite D) équation : y=-4x+5 6

7 V. Equations u premier egré à eux inconnues :. ctivités a) Parmi les couples suivants, lesquels vérifient l équation x + y 5 = 0? -3 ; 8 ) ; 0 ; -5 ) ; ; 4 ) ; 9 ; -4 ) ; ; -6 ). b) Pour les valeurs e a, b et c onnées ans le tableau ci-après, écrire l équation ax + by + c = 0 sous la forme y = mx + p ou x = k n a b c n a b c n a b c n a b c Représenter ans un plan cartésien chacun es graphiques.que peut-on ire e ces roites? 3 c) Dans un repère orthonormé u plan, construire les roites ont les équations sont : x + y + 3 = 0 x + y 5 = 0 x + y + 3 = 0. Vocabulaire et notations : Une équation u premier egré à eux inconnues est une équation u type ou se ramenant à une équation u type ) ax + by + c = 0 où : x et y sont les eux inconnues a et b sont es réels non simultanément nuls c est un réel. Jusqu à présent, nous avons étuié les roites équation y = mx + p. Elles ne sont pas parallèles à l axe Y. Il nous reste onc à «trouver» l équation es roites parallèles à l axe Y, et, ainsi, l équation générale e toute roite! Dans un plan cartésien, ax + by + c = 0, a et b non simultanément nuls, est l équation une roite. En effet : si b = 0 alors a 0 ) et l équation evient ax + 0 y + c = 0 ; ce qui peut s écrire sous la c c forme x =. Par conséquent, tout point abscisse et oronnée quelconque a a appartient à une roite parallèle à l axe es oronnées. 7

8 si b 0 l équation ax + by + c = 0 peut s écrire sous les formes suivantes : by = ax c a c y = x b b c est une équation u type y = mx + p qui est l équation une roite. Remarques : ans le cas b = 0 ; les roites sont parallèles à l axe Y et ont une équation u type Elles n ont pas e coefficient irecteur et ne sont pas le graphique une fonction. x = k. ans les cas a = 0 ; les roites sont parallèles à l axe X et ont une équation u type y = r. Leur coefficient irecteur est nul et elles représentent le graphique une fonction constante. Dans un plan cartésien, toute roite a pour équation ax + by + c = 0 a et b étant non simultanément nuls ). Si la roite est parallèle à l axe Y : il suffit e prenre b = 0 ; a réel non nul et c réel quelconque. Dans ce cas l équation e est u type ax +0y+ c = 0. Si la roite n est pas parallèle à l axe Y : on sait que ans ce cas elle est le graphique une fonction u premier egré x m x + p m R, p R ). Et nous avons l équivalence suivante : y = mx + p mx y + p = 0 Cette ernière équation est u type ax + by + c = 0 avec a = m, b = - et c = p Une équation u premier egré à eux inconnues amet une infinité e solutions à savoir l ensemble es couples qui sont les cooronnées es points e la roite équation ax + by + c = 0. 8

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