logique I démonstration et théorie axiomatique 2 1 généralités 2 2 proposition, prédicat simple 2

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1 logique Table des matières I démonstration et théorie axiomatique 1 généralités proposition, prédicat simple 3 prédicats composés prédicat de négation prédicat de conjonction prédicat de disjonction prédicat d implication prédicat d équivalence équivalence logique de prédicats composés 4 5 proposition quantifiée universelle ou existentielle simple et négation 4 6 axiomes, règles d inférence, théorème, démonstration 6 7 règles d inférence de "la" logique démonstration par détachement démonstration par l absurde démonstration par contre exemple démonstration d une implication règle de démonstration par déductions générale règle de démonstration par implications successives démonstration d une équivalence règle de démonstration par double implication règle de démonstration par équivalences successives démonstration par contraposée démonstration par récurrence

2 Première partie démonstration et théorie axiomatique 1 généralités 1. dans une théorie Mathématique il est question : (a) d objets (resp : droites, nombres,...) (b) de "qualités" vérifiées ou non par ces objets (resp : parallèles, pairs,...) (c) de propositions (ou "assertions"), qui sont des énoncés soit vrais, soit faux et ceci exclusivement (principe du "tiers-exclu") ( resp : dans le parallélogramme ABCD : (AB)//(CD), est pair,... ) (d) d axiomes, qui sont des propositions vraies "par définition" (dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "quels que soient a N et b N : a+(b+1) = (a+b)+1" ) (e) des règles de déduction de propositions vraies à partir de propositions vraies existantes (dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : quels que soient a N et b N si "a = b" est vraie alors "a+1 = b+1" est vraie). avec le "matériel" précédent : (a) à partir des axiomes ou de propositions vraies, on peut obtenir des propositions vraies grâce aux règles de déduction, selon l importance des propositions obtenues, il est question de "propriété" ou de "théorème" (b) une proposition mathématique que l on considère vraie sans l avoir démontré est appelée une "conjecture" (tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers) proposition, prédicat simple définition 1 : (proposition) une proposition P est une expression bien formée (selon les règles de la théorie) exclusivement vraie ou fausse dans le cadre de la théorie des nombres réels : i. P : "1 " est une proposition vraie ii. P : "1+1 = 3" est une proposition fausse iii. "1+1" n est pas une proposition iv. "x 3" n est pas une proposition car sa valeur de vérité dépend de la valeur du nombre réel x, on dit que c est "un prédicat à une variable" définition : (prédicat simple), un prédicat, P(x) : est un énoncé ni vrai ni faux qui porte sur un objet x E non déterminé à priori appelé "variable" et tel que, quand on remplace x par un objet x 0 quelconque, on obtient alors une proposition P(x 0 ) (qui elle, est vraie ou fausse) dans le cadre de la théorie des nombres réels, P(x) : x : est un prédicat (ni vrai ni faux) en remplaçant x par 1 on obtient, P(1) : 1 qui est une proposition vraie en remplaçant x par 3 on obtient, P(3) : 3 qui est une proposition fausse

3 3 prédicats composés 3.1 prédicat de négation définition 3 : (négation d un prédicat) soit P un prédicat. soit Q un prédicat. si pour toute substitution des variables par des objets déterminés, les prédicats P et Q donnent des propositions de valeurs de vérité différentes ( l une est vraie et l autre fausse) alors le prédicat Q est la négation du prédicat P et est noté P dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "x est pair" est la négation du prédicat "x est impair" 3. prédicat de conjonction définition 4 : (prédicat de conjonction) soit P un prédicat. soit Q un prédicat. le prédicat P et Q est définit comme le prédicat qui est : { vrai lorsque P et Q sont tous les deux vrais faux dans tous les autres cas dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "x est pair et x > 1" 3.3 prédicat de disjonction définition 5 : (prédicat de disjonction) soit P un prédicat. soit Q un prédicat. le prédicat P ou Q est définit comme le prédicat qui est : { vrai lorsque au moins un des deux prédicats P ou Q est vrai faux quand tous les deux sont faux dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "x est pair ou x > 1" 3.4 prédicat d implication définition 6 : (d implication) soit P un prédicat. soit Q un prédicat. le prédicat "P = Q" est définit comme le prédicat qui est : { faux lorsque P est faux et Q est vrai vrai dans tous les autres cas

4 dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "x est pair = x > 1" 3.5 prédicat d équivalence définition 7 : (équivalence) soit P un prédicat. soit Q un prédicat. le prédicat "P Q" est définit comme le prédicat qui est : { vrai lorsque P et Q sont simultanément vrais ou faux faux dans tous les autres cas dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : "x est pair x > 1" 4 équivalence logique de prédicats composés définition 8 : (équivalence logique) soient P et Q deux prédicats simples soient P 1 et P deux prédicats "composés" des prédicats P et Q. si P 1 et P prennent les mêmes valeurs de vérité en fonction des valeurs de vérité prisent par P et Q alors on dit que P 1 et P sont "logiquement équivalents" et on note P 1 P (que l on vérifie avec des "tables de vérité") i. P P ii. P ou Q P et Q iii. P et Q P ou Q iv. P = Q P ou Q par exemple pour vérifier que P ou Q P et Q P Q P ou Q P ou Q P Q P et Q V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V 5 proposition quantifiée universelle ou existentielle simple et négation définition 9 : (proposition quantifiée universelle simple ) une proposition quantifiée universelle simple est de la forme "quel que soit x E,P(x)" où P(x) un prédicat avec x E (x peut prendre l ensemble des valeurs de E) si "quel que soit x E", la proposition "P(x)" est vraie alors la proposition universelle :"quel que soit x E,P(x)" est vraie sinon elle est fausse

5 P : "quel que soit x R, x 0" : est une proposition vraie P : "quel que soit x N, n est pair" : est une proposition fausse définition 10 : (proposition quantifiée existentielle simple ) une proposition quantifiée existentielle simple est de la forme "il existe x E,P(x)" où P(x) un prédicat avec x E (x est dans l ensemble E) si "il existe un élément x 0 E" tel que la proposition "P(x 0 )" est vraie alors la proposition universelle :"il existe x E,P(x)" est vraie sinon elle est fausse P : "il existe x R, x < 0" : est une proposition fausse P : "il existe x N, n est pair" : est une proposition vraie définition 11 : (négation d une proposition quantifiée simple ) "quel que soit x E,P(x)" a pour négation, la proposition :"il existe x E,P(x)" "il existe x E,P(x)" a pour négation, la proposition :"quel que soit x E,P(x)" P : "quel que soit x R, x 0" a pour négation : P : "il existe x R, x < 0" P : "il existe x N, n est pair" a pour négation : P : "quel que soit x N, n est impair"

6 6 axiomes, règles d inférence, théorème, démonstration définition 1 : (axiome) un axiome est une proposition vraie et admise comme telle sans justifications dans la théorie des nombres entiers naturels : "quels que soient a N et b N : a+(b+1) = (a+b)+1" définition 13 : (règles d inférence) une règle d inférence explique comment on obtient de nouvelles propositions vraies à partir de propositions vraies (en général) dans le cadre de la théorie des nombres entiers naturels : quels que soient a N et b N si "a = b" est vraie alors "a+1 = b+1" est vraie définition 14 : (théorème) on appelle "théorème", tout axiome ou toute proposition vraie obtenue à partir des "règles d inférence" tout théorème sera dit "vrai" "1+1 = " est un "théorème" (qui se démontre) remarque : en général, le terme de "théorème" est utilisé pour des résultats jugés "importants", les résultats "moins importants" sont appelés "propriétés" définition 15 : (démonstration) "démontrer une proposition" c est justifier que cette proposition est vraie à partir des axiomes et des règles d inférence démontrer P, où P est la proposition : "quel que soit x R, 3x = 15 = x = 5" pour cela : soit x R tel que 3x = 15 alors 3x 1 3 = 15 1 (d après une règle d inférence bien connue) 3 donc x = 5 conclusion : "quel que soit x R, 3x = 15 = x = 5" est une proposition vraie (d après la règle vu ci dessous)

7 7 règles d inférence de "la" logique 7.1 démonstration par détachement règle de démonstration par détachement pour montrer qu une proposition Q(x 0 ) est vraie soient P et Q deux prédicats. (à une variable, pour simplifier la notation) la proposition P(x 0 ) est vraie si on sait que et la proposition "quel que soit x, P(x) = Q(x)" est vraie alors on en déduit que Q(x 0 ) est vraie dans le cadre de la géométrie Euclidienne démontrons : "le triangle de cotés 5, 4 et 3 est rectangle " pour cela, utilisons la règle du détachement 3 +4 = 5 est vraie et "quels que soient a,b et c trois réels positifs stricts, a +b = c = le triangle de cotés c, b et a est rectangle" est vraie alors, on en déduit que "le triangle de cotés 5, 4 et 3 est rectangle " est vraie 7. démonstration par l absurde règle de démonstration par l absurde pour montrer qu une proposition Q est vraie soient Q et P deux propositions. si on sait que P est fausse si on suppose que Q est fausse alors on en déduit que P est vraie (or P ne peut-être vraie et fausse en même temps)s alors on en déduit que Q ne peut-être fausse (donc est vraie) remarque : on fait l hypothèse que Q est fausse on effectue des déductions jusqu a obtenir une contradiction (une absurdité) (une proposition vrai et fausse en même temps) on peut alors conclure dans ce cas que l hypothèse initiale ne peut-être fausse donc que Q est vraie. dans le cadre de la théorie des nombres réels Q : il existe un nombre réel tel que x+1 = x Montrons que Q est fausse pour cela, raisonnons par l absurde : Supposons que : "il existe un nombre réel tel que x+1 = x" soit vraie alors pour un certain nombre réel x 0 : "x 0 +1 = x 0 " est vraie alors : "(x 0 +1) x 0 = x 0 x 0 " est vraie alors "1 = 0" est vraie or "1 = 0" est fausse on en déduit que Q ne peut-être vraie (donc est fausse)

8 7.3 démonstration par contre exemple règle de démonstration par contre soit le prédicat P(x) soit la proposition P : "quel que soit x E, P(x)". pour démontrer que P est une proposition fausse. il suffit de trouver x 0 E tel que P(x 0 ) soit fausse. P : "quel que soit n N, n est pair " P est une proposition fausse, pour le justifier, appliquons la règle du contre-exemple soit n = 3 alors n = 9 or 9 n est pas pair donc la proposition "9 est pair" est fausse donc la proposition "quel que soit n N, n est pair " est fausse. 7.4 démonstration d une implication règle de démonstration par déductions générale règle de démonstration par déductions générale soient P et Q deux prédicats. (à une variable, pour simplifier la notation) pour montrer qu une proposition "quel que soit x, P(x) = Q(x)" est vraie si on considère une valeur de x quelconque si on sait que et que l on admet que P(x) est vraie alors on arrive à montrer que Q(x) est vraie alors on en déduit que "quel que soit x, P(x) = Q(x)" est vraie démontrer P, où P est la proposition : "quel que soit x R, 3x = 15 = x = 5" pour cela : soit x R tel que 3x = 15 alors 3x 1 3 = 15 1 (d après une règle d inférence bien connue) 3 donc x = 5 conclusion : "quel que soit x R, 3x = 15 = x = 5" est une proposition vraie 7.4. règle de démonstration par implications successives règle de démonstration par implications successives soient P et Q deux prédicats. (à une variable, pour simplifier la notation) pour montrer qu une proposition "quel que soit x, P(x) = Q(x)" est vraie si on sait que "quel que soit x, P(x) = P 1 (x)" est vraie "quel que soit x, P 1 (x) = P (x)" est vraie... "quel que soit x, P n (x) = Q(x)" est vraie (n N,n > ) alors on en déduit que "quel que soit x, P(x) = Q(x)" est vraie "quel que soit ABCD, ABCD est un carré = ABCD est un rectangle" est vraie

9 "quel que soit ABCD, ABCD est un rectangle = ABCD est un parallélogramme" est vraie on en déduit que : "quel que soit ABCD, ABCD est un carré = ABCD est un parallélogramme" est vraie 7.5 démonstration d une équivalence règle de démonstration par double implication règle de démonstration par double implication soient P et Q deux prédicats. (à une variable, pour simplifier la notation) pour montrer qu une proposition "quel que soit x, P(x) Q(x)" est vraie "quel que soit x, P(x) = Q(x)" est vraie si on sait que et que "quel que soit x, Q(x) = P(x)" est vraie alors on en déduit que "quel que soit x, P(x) Q(x)" est vraie démontrer P, où P est la proposition : "quel que soit x R, 3x = 15 x = 5" pour cela : soit x R tel que 3x = 15 alors 3x 1 3 = 15 1 (d après une règle d inférence bien connue) 3 donc x = 5 conclusion : "quel que soit x R, 3x = 15 = x = 5" est une proposition vraie réciproquement : soit x R tel que x = 5 alors 3x = 3 5 = 15 conclusion : "quel que soit x R, x = 5 = 3x = 15" est une proposition vraie finalement : "quel que soit x R, 3x = 15 x = 5" est vraie 7.5. règle de démonstration par équivalences successives règle de démonstration par équivalences successives soient P et Q deux prédicats. (à une variable, pour simplifier la notation) pour montrer qu une proposition "quel que soit x, P(x) Q(x)" est vraie si on sait que "quel que soit x, P(x) P 1 (x)" est vraie "quel que soit x, P 1 (x) P (x)" est vraie... "quel que soit x, P n (x) Q(x)" est vraie (n N,n > ) alors on en déduit que "quel que soit x, P(x) Q(x)" est vraie P : "quel que soit x inr, 5x+10 = 45 x = 7 rectangle" est vraie raisonnons par équivalences successives pour le démontrer soit x R 5x + 10 = 45 5x = = 35 (par application d une règle d inférence bien connue) 5x = 35 x = 7 (par application d une règle d inférence bien connue) donc 5x+10 = 45 x = 7

10 concluons "quel que soit x R, 5x+10 = 45 x = 7 rectangle" est vraie 7.6 démonstration par contraposée règle de démonstration par contraposée pour montrer qu une proposition de la forme "quel que soit x, P = Q" est vraie il suffit de démontrer que la proposition : "quel que soit x, Q = P" est vraie P : "quel que soit n N, n pair = n pair " montrons que cette proposition est vraie par la méthode de la contraposée c est à dire montrons que Q : "quel que soit n N, n impair = n impair " est une proposition vraie raisonnons par déduction générale soit n N quelconque et supposons n impair alors n = k +1 alors n = (k +1) alors n = 4k +4k +1 alors n = (k +k)+1 alors n = K +1 alors n est impair on en déduit que : "quel que soit n N, n impair = n impair " est une proposition vraie donc que : "quel que soit n N, n pair = n pair " est une proposition vraie 7.7 démonstration par récurrence règle de démonstration par récurrence : soient P : "quel que soit n N, P(n)". pour démontrer { que P est vraie. montrer que P(0) est vraie il suffit de : montrer que : "quel que soit n N, P(n) = P(n + 1)" est vraie démontrons : "quel que soit x N, n = n(n+1) " pour cela, raisonnons par récurrence (1) : pour n = 0 on a : "0 = 0 (0+1) "vraie () : par déduction générale, soit n N, supposons : " n = n(n+1) " vraie montrons que " n+(n+1) = (n+1)(n+) " est vraie or : n+(n+1) = ( n)+(n+1) donc : n+(n+1) = n(n+1) +(n+1) donc : n+(n+1) = n(n+1) donc : " n+(n+1) = (n+1)(n+) conclusion : + (n+1) " est vraie

11 "quel que soit x N, n = n(n+1) " est vraie.

12 1. proposition Quelques éléments de base en "logique Mathématique"

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