Barycentres, géométrie affine
|
|
- Denise Anne-Marie Lavergne
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 DOMINE : Géométrie UTEUR : Pierre ERTIN NIVEU : Intermédiaire STGE : Montpellier 013 ONTENU : ours et exercices arycentres, géométrie affine - arycentres - Soient un triangle et (α, β, ) un triplet de réels tels que α + β + 0. Définition 1. Le barycentre des points pondérés (, α), (, β) et (, ) est l unique point G tel que α G + β G + G = 0. Pour vous représenter physiquement le barycentre, imaginez que le triangle est un mobile et que l on a accroché un poids de α grammes au point, un poids de β grammes en et un de grammes en. Le point G est le point par lequel il faut tenir le mobile pour que tout soit en équilibre. Pour construire ce barycentre, et pour vérifier qu il est bien unique, on utilise la condition suivante : Proposition. Soit O un point quelconque du plan, alors α β OG = O + O + O. α + β + α + β + α + β + Pour démontrer cette proposition, il suffit de remplacer O par OG + G, pareil pour les deux autres, et d utiliser la définition. Faisons une pause un instant pour regarder le barycentre de points : soit G le barycentre des points (, α) et (, β). En utilisant la proposition avec à la place de O, on trouve G = β. α + β Le point G est donc le point de la droite () tel que G = β α+β. En particulier, G G = β α. Je souligne cette identité puisqu elle sera très importante par la suite. 1
2 Soit un triangle fixé. - oordonnées barycentriques - Définition 3. Pour tout point G du plan on peut associer un triplet de réels (α, β, ) tel que G soit le barycentre de (, α), (, β) et (, ). On appelle ce triplet les coordonnées barycentriques de G, et il est unique à un coefficient multiplicatif près. Pour montrer cette propriété, on utilise l existence et l unicité de coordonnées du point G dans le repère (,, ), et on utilise la première propriété des barycentres. omme on peut multiplier les triplets par un coefficient multiplicatif quelconque, on met à part triplet particulier qui vérifie α + β + = 1 : on l appelle les coordonées barycentriques homogènes de G. Discutons un peu un des avantages des coordonnées barycentriques : dans ce système, on a : (1, 0, 0), : (0, 1, 0) et : (0, 0, 1), ce qui est très facile à retenir. De plus les droites ont des équations d une forme facile à retenir : un point G de coordonnées barycentriques (α, β, ) apparient à une droite d ssi uα + vβ + w = 0, où (u, v, w) est un triplet de réels particulier à d, unique à coefficient multiplicatif près. Pour la démonstration, allez voir l exercice 3 plus bas. - ssociativité des barycentres - Une propriété très pratique des barycentres est la suivante : Proposition 4 (associativité des barycentres). Soit P : (α P, β P, P ) et Q : (α Q, β Q, Q ). Soit G le barycentre de (P, λ), (Q, µ), alors G est le barycentre de ( ) α P α Q, λ + µ, α P + β P + P α Q + β Q + Q ( ) β P β Q, λ + µ, α P + β P + P α Q + β Q + Q ( ) P Q, λ + µ. α P + β P + P α Q + β Q + Q
3 ette propriété est un peu dure à utiliser sous cette forme, mais permet de construire plus facilement le barycentre de 3 points. Soit G : (α, β, ). On introduit M le barycentre de (, β) et (, ), alors G est le barycentre de (, α) et (M, β + ). Pour le construire, on place d abord le point M sur () tel que β+ α+β+ M. M =, puis on place G sur M tel que G = β+ Maintenant si on fait le raisonnement à l envers : soit G : (α, β, ) et soit M le point d intersection de G avec. lors M est le barycentre de (, β) et (, ), et M M = β. - Théorème de eva - R Q P Théorème 5 (eva). Soit un triangle et P, Q, et R des points de, et respectivement. Les droites P, Q et R sont concourantes ssi R = 1. N. Ici, et dans toute cette partie, les longueurs sont algébriques. La démonstration utilise la section précédente. Supposons que les trois droites se coupent au point G de coordonnées barycentriques (α, β, ). omme P est le point d intersection de G avec, cela signifie que P est le barycentre de (, β) et (, ), et P = β. De même Q Q = α et R R = β α, et R = β α β α = 1. Pour montrer la réciproque, supposons que le produit est égal à 1, et notons G le point d intersection de P et Q, et (α, β, ) ses coordonnées. On en déduit que P = Q β et Q = α. Ensuite, comme R R = 1, R = β α, et R est bien le point d intersection de G avec. Il est aussi possible de montrer le théorème de Ménélaüs grâce aux coordonnées barycentriques : 3
4 R Q P Théorème 6 (Ménélaüs). Soit un triangle et P, Q, et R des points de, et respectivement. Les P, Q et R sont alignés ssi R = 1. Remarque 7. Pour déterminer le signe de P, on dit que si et P sont de sens différents (ie si P est à l extérieur du segment []), alors le quotient est négatif. La démonstration du théorème fait l objet de l exercice 6. - Exercices - Dans tous les exercices, est un triangle, = a, = b et = c. J utiliserai la notation [] pour l aire du triangle. Exercice 1 Utilisez eva pour montrer que les médianes sont concourantes et exprimer les coordonnées barycentriques de G. Idem pour les bissectrices et I et les hauteurs et H. Exercice (Point de Gergonne) Soient P, Q, R les points de contact du cercle inscrit avec les trois côtés. Montrer que P, Q et R sont concourantes. Trouver les coordonnées barycentriques du point d intersection. Soit P le point de contact du cercle exinscrit en avec, Q le point de contact du cercle exinscrit en avec et R le point de contact du cercle exinscrit en avec etc. Montrer que P, Q et R qont concourantes. Trouver les coordonnées barycentriques du point d intersection. Exercice 3 En coordonnées barycentriques, calculer l équation d une droite passant par, d une droite quelconque. ( ) alculer l équation d un cercle, puis celle du cercle circonscrit à en particulier. 4
5 Exercice 4 Montrez eva trigonométrique : Soit un triangle et P, Q, et R des points de, et respectivement. Les droites P, Q et R sont concourantes ssi sin( P) sin( P) sin( Q) sin(âr) = 1. sin( Q) sin( R) Exercice 5 Soit P un point à l intérieur du triangle. Montrer que P a pour coordonnées barycentriques ([], [P], [P]). Exercice 6 Utilisez les coordonnées barycentriques pour montrer le théorème de Ménélaüs : Soit un triangle et P, Q et R des points de, et respectivement. Les points P, Q, R sont alignés ssi R = 1 Exercice 7 Soit d une droite passant par. La conjuguée isogonale de d est la symétrique de d par rapport à la bissectrice de Â. Montrer que trois droites passant par, et respectivement sont concourantes ssi leurs conjuguées isogonales (par rapport à,, respectivement) sont concourantes. Si le point d intersection des isogonales a pour coordonnées barycentriques (α, β, ), quelles sont les coordonnées barycentriques du point d intersection des trois droites initiales? Exercice 8 Soit DEF un hexagone régulier, M un point de la diagonale et N un point de E tels que M = N E = r. Que dire de r si, M et N sont alignés? Exercice 9 Soit un triangle et O un point à l intérieur. On trace les droites O, O, O qui coupent le triangle en 6 : O 5
6 Montrer que l aire noire est égale à l aire blanche ssi O est sur une médiane. Exercice 10 Soit un triangle et P, Q, R les pieds des bissectrices. Montrer que si, P, Q, R sont cocycliques, alors b a + c = a b + c + c a + b. - Solutions des exercices - Solution de l exercice 1 La démonstration pour G est facile et G : (1, 1, 1). Occuponsnous de I : H I Utilisons la loi des sinus dans le triangle I : I sin( I ) = I sin( ) donc I = I sin(â/) sin( ). De même : I = I sin(â/) sin(ĉ). I I = sin(ĉ) sin( ). I I I I I I = sin(ĉ) sin( ) sin(â) sin( ) = 1. sin(ĉ) sin(â) Donc les trois bissectrices sont bien concourantes. Maintenant pour les coordonnées barycentriques. Par les propriétés du barycentre, si I : (α, β, ), et que I est l intersection de I avec, alors I est le barycentre de (, β) et (, ), 6
7 et donc I I = β. Essayons de trouver des poids qui vérifient β = sin(ĉ). Le sin( ) triplet (sin(â), sin( ), sin(ĉ)) marche : Par la loi des sinus, a sin(â) = I : (sin(â), sin( ), sin(ĉ)). b sin( ) = sin(ĉ), c donc on peut aussi utiliser le triplet I : (a, b, c). L intersection des hauteurs se fait de la même manière, j en laisse l exercice au lecteur. Les coordonnées barycentriques de H sont H : (tan(â), tan( ), tan(ĉ)). Solution de l exercice ommençons par la figure : R Q P P E D Faisons le cercle inscrit en premier. Par les propriétés des bissectrices, Q = R (si vous voulez vous en convaincre, regardez les triangles IQ et IR : ce sont deux triangles rectangles qui ont l hypothénuse en commun et IQ = IR), et de même cycliquement. Notons x = Q = R, y = = R et z = P = Q. R = y z z x x y = 1. omme dans l exo précédent, ( on trouve ) que les coordonnées barycentriques 1 du point d intersection sont x, 1 y, 1 z. Essayons d exprimer x, y et z de façon 7
8 plus satisfaisante. On sait que a = y + z, b = x + z et c = x + y. Il est facile d en déduire les formules suivantes : x = b + c a, y = a + c b, z = a + b c. ttaquons nous maintenant aux cercles exinscrits. Je note D et E les points de contact du cercle exinscrit en avec et respectivement. omme dans la partie précédente, D = et P = E et D = E. On a les équations suivantes : x + y + = x + z + P et + P = = y + z. On en déduit facilement que = z et P = y. La fin de la preuve est facile, P, Q et R sont concourantes, le point d intersection a pour coordonnées barycentriques (x, y, z). Solution de l exercice 3 Prenons une droite d qui passe par, et soit P l intersection de cette droite avec. Soient v et w des poids tels que P soit le barycentre de (, v) et (, w). Un point de coordonnées barycentriques (α, β, ) est sur la droite d ssi β = P = w ssi βw v = 0. v Pour une droite quelconque, prenons P et Q deux points de la droite de coordonnées barycentriques homogènes (x 1, y 1, z 1 ) et (x, y, z ). Un point M : (α, β, ) est sur la droite PQ ssi il existe deux réels λ et µ tels que M soit le barycentre de (P, λ) et (Q, µ). M : (λx 1 + µx, λy 1 + µy, λz 1 + µz ). Je vais un peu tricher et utiliser des propriétés d algèbre linéaire que vous verrez en prepa. L équation précédente veut dire que le vecteur (α, β, ) est combinaison linéaire des deux vecteurs (x 1, y 1, z 1 ) et (x, y, z ), ce qui est équivalent à x 1 x α det y 1 y β = 0 z 1 z ce qui revient à l équation suivante : (y 1 z z 1 y )α + (z 1 x x 1 z )β + (x 1 y y 1 x ) = 0. Donc les droites en coordonnées barycentriques ont une équation du type : uα + vβ + w = 0, 8
9 pour un triplet de réels (u, v, w) unique à un coefficient multiplicatif près. En ce qui concerne les cercles, c est un cauchemar. L équation est de la forme a β b α c αβ + (uα + vβ + w)(α + β + ) = 0, pour un triplet de réels (u, v, w) unique. Solution de l exercice 4 ppliquons la loi des sinus dans les triangles P et P : sin( P) = P P et sin( ) sin( P) = P sin(ĉ). R P sin( P) = sin(ĉ) sin( P) sin( ). sin( P) = sin( P) sin( Q) sin(âr) sin( Q) sin( R). Le théorème de eva classique est donc equivalent au théorème de eva trigonométrique. Solution de l exercice 5 Soit P un point de coordonnées barycentriques (α, β, ). Je veux montrer que le triplet ([], [P], [P]) est aussi un jeu de coordonnées barycentriques de P, c est-à-dire que les deux triplets sont proportionneles l un à l autre. Montrons que α α + β + = [] [] + [P] + [P] = [] [], les deux autres équations se font de la mème manière. P H H P ϕ D 9
10 On note D l intersection de P avec, et on note ϕ l angle D. D après les propriétés des barycentres, P est le barycentre de (, α) et (D, β + ) et PD D = α α + β +. Maintenant calculons les deux aires qui nous intéressent : [P] = 1 PH P = 1 PD sin(ϕ) et [] = 1 D sin(ϕ). En faisant le quotient de ces deux égalités on trouve le résultat voulu. P : ([], [P], [P]). Solution de l exercice 6 Nous allons utiliser le résultat de l exo 3 qui dit que les droites ont pour équation uα + vβ + w = 0. Faisons le premier sens : on suppose que les trois points sont alignés, et soit uα + vβ + w = 0 l équation de cette droite. Soit (α P, β P, P ) un triplet de coordonnées barycentriques de P. omme P est sur, α P = 0, et comme P est sur la droite qui passe par P, Q, R, vβ P + w P = 0. Le point P est le barycentre de (, β P ) et (, P ), donc On trouve de même Q Q = w u P = P β P = v w. et R = v w w u R R = u v. R u v = 1. Pour faire l autre sens, on suppose d équation uα + vβ + w = 0. omme P et Q sont sur la droite, on peut utiliser le même raisonnement qu avant pour montrer P = v w On utilise ensuite l égalité R Q et Q = w u. = 1 pour montrer que R R = u v, 10 = 1. Soit d la droite PQ
11 et il est facile de vérifier ensuite que R est bien sur la droite. Solution de l exercice 7 La démonstration est quasi immédiate avec eva trigonométrique. Si un point a pour coordonnées ( barycentriques ) (α, β, ), alors son conjugué a isogonal a pour coordonnées α, b β, c. Solution de l exercice 8 ommençons par faire la figure, en rajoutant G le point d intersection de et E (par les symétries de l hexagone, G est le milieu de ) : D E N F G M onsidérons le triangle EG : les points M, N et sont sur G, E et EG respectivement, et sont alignés, nous pouvons donc utiliser Ménélaüs : alculons les trois quotients : GM M N NE E G = 1. GM = M G = r 1 donc GM M = (r 1/) (1 r) ) = r 1 r. N NE = re E re = r 1 r. Pour le dernier quotient on va calculer E et G en utilisant les propriétés de l hexagone régulier. Soit c la longueur du côté de l hexagone, E est une grande diagonale et mesure c (on divise l hexagone en 6 triangles equilatéraux et ça saute aux yeux), et G = c/ (G est l axe de symétrie de l un des petits triangles equilatéraux), E G = 4. Donc r vérifie l équation suivante 4 r 1 r r 1 r = 1 ssi (r 1)r = (1 r) ssi 4r r = r r + 1 ssi r = ±
12 Le réel r vaut soit 33, soit 3/3. Solution de l exercice 9 Soit (α, β, ) les coordonnées barycentriques de O et P, Q, R les points d intersection respectifs de O et, O et, O et. On veut trouver une condition nécessaire et suffisante pour que l aire noire soit la moitié de l aire totale. Vérifiez que les deux conditions ci dessous sont bien équivalentes : [OQ] + [OR] + [OP] = 1 [] ssi [P] + [Q] + [R] = 3 []. Exprimons ces aires en fonction de α, β et. Soit h la longueur de la hauteur issue de, [] = 1 h et [P] = 1 P h. [P] [] = P = insi l aire noire est égale à l aire blanche ssi β β α + β β +. α α + β = 3. Il faut montrer que ceci est équivalent à O est sur une médiane. Montrons le premier sens. Supposons que O soit sur une médiane, disons la médiane de, cela veut dire que α = β. β β α + α α + β = α α + + α + + α α = 3. Maintenant attaquons nous au deuxième sens : on suppose que α, β, vérifient β β α + α α + β = 3 ( β β + 1 ) ( + + α 1 ) ( α + α + β 1 ) = 0 β β + + α + α + α β α + β = 0 On peut supposer que α β (ici je vous truande un peu, je vous laisse chercher pourquoi je suis un truand, et pourquoi ça marche quand même). 1
13 L équation devient α β α + β + β β + = α α +. Mais ceci ressemble à une équation de convexité (un peu cachée). Soient f(x) = 1 α β, x = α + β, y = β +, λ = x α, 1 λ = β α. L équation que l on a trouvée se réecrit ainsi : λf(x) + (1 λ)f(y) = f(λx + (1 λ)y). Mais la fonction f(x) = 1/x est strictement convexe sur R+, donc cette égalité n a lieu que si λ = 0, λ = 1 ou x = y. es trois cas correspondent à α = β, β = et α =, donc seulement si O est sur une médiane. Solution de l exercice 10 Nous avons vu dans l exo 1 que le centre du cercle cercle inscrit avait pour coordonnées barycentriques (a, b, c), on peut donc facilement en déduire les coordonnées barycentriques des points de la figure :P : (0, b, c), Q : (a, 0, c), R : (a, b, 0). On regarde le cercle qui passe par, P, Q et R. Dans l exo 3 je vous ai dit qu un cercle avait pour équation a β b α c αβ + (uα + vβ + w)(α + β + ) = 0. Il ne reste plus qu à déterminer le triplet (u, v, w). omme le cercle passe par : (0, 1, 0), on vérifie facilement que v = 0. On utilise le fait que P et R sont sur le cercle pour montrer que u = c b a + b et v = a b b + c. Ensuite on utilise le fait que Q est sur le cercle pour montrer que ua + wc = b ac a + c donc a a + b + c b + c = b a + c. 13
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailComment démontrer que deux droites sont perpendiculaires?
omment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? Utilisons On sait que (hypothèses) or...(propriété, définition) donc...(conclusion) Réciproque de Pythagore,5 1,5 = + Si dans un triangle le carré
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailSi deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Plus en détailLa géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
Plus en détailChapitre 2 : Vecteurs
1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailPROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détail5 ème Chapitre 4 Triangles
5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailCOURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailLeçon N 4 : Statistiques à deux variables
Leçon N 4 : Statistiques à deux variables En premier lieu, il te faut relire les cours de première sur les statistiques à une variable, il y a tout un langage à se remémorer : étude d un échantillon d
Plus en détailCONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailTriangles isométriques Triangles semblables
Triangles isométriques Triangles semblables Les transformations du plan ont permis de dégager des propriétés de figures superposables. Le théorème de Thalès a permis de s initier aux notions de réduction
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailSéquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire
Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailCHAPITRE 1. Suites arithmetiques et géometriques. Rappel 1. On appelle suite réelle une application de
HAPITRE 1 Suites arithmetiques et géometriques Rappel 1 On appelle suite réelle une application de dans, soit est-à-dire pour une valeur de la variable appartenant à la suite prend la valeur, ie : On notera
Plus en détailQuels polygones sont formés par les milieux des côtés d un autre polygone?
La recherche à l'école page 13 Quels polygones sont formés par les milieux des côtés d un autre polygone? par d es co llèg es n dré o ucet de Nanterre et Victor ugo de Noisy-le-rand enseignants : Martine
Plus en détailLe contexte. Le questionnement du P.E.R. :
Le contexte Ce travail a débuté en janvier. Le P.E.R. engagé depuis fin septembre a permis de faire émerger ou de réactiver : Des raisons d être de la géométrie : Calculer des grandeurs inaccessibles et
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailProblèmes de dénombrement.
Problèmes de dénombrement. 1. On se déplace dans le tableau suivant, pour aller de la case D (départ) à la case (arrivée). Les déplacements utilisés sont exclusivement les suivants : ller d une case vers
Plus en détail4G2. Triangles et parallèles
4G2 Triangles et parallèles ST- QU TU T SOUVINS? 1) On te donne une droite (d) et un point n'appartenant pas à cette droite. vec une équerre et une règle non graduée, sais-tu construire la parallèle à
Plus en détailCh.G3 : Distances et tangentes
4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 1 sur 14 1 DISTC D U PIT À U DRIT Ch.G3 : Distances et tangentes 1.1 Définition ex 1 DÉFIITI 1 : Soit une droite et un point n'appartenant pas
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailManipulateurs Pleinement Parallèles
Séparation des Solutions aux Modèles Géométriques Direct et Inverse pour les Manipulateurs Pleinement Parallèles Chablat Damien, Wenger Philippe Institut de Recherche en Communications et Cybernétique
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailCorrection : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailCOMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?
Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailParis et New-York sont-ils les sommets d'un carré?
page 95 Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré? par othi Mok (3 ), Michel Vongsavanh (3 ), Eric hin (3 ), iek-hor Lim ( ), Eric kbaraly ( ), élèves et anciens élèves du ollège Victor Hugo (2
Plus en détailANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ. Exercice 1
ANALYSE GÉNÉRALE - PROPOSITION DE CORRIGÉ OLIVIER COLLIER Exercice 1 Le calcul de la banque. 1 Au bout de deux ans, la banque aurait pu, en prêtant la somme S 1 au taux d intérêt r pendant un an, obtenir
Plus en détailSystème formé de deux points
MPSI - 2005/2006 - Mécanique II - Système formé de deux points matériels page /5 Système formé de deux points matériels Table des matières Éléments cinétiques. Éléments cinétiques dans R.......................2
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailConstruction de la bissectrice d un angle
onstruction de la bissectrice d un angle 1. Trace un angle. 1. 2. Trace un angle cercle. de centre (le sommet de l angle) et de rayon quelconque. 1. 2. 3. Trace Le cercle un angle cercle coupe. de la demi-droite
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailExercice numéro 1 - L'escalier
Exercice numéro 1 - L'escalier On peut monter un escalier une ou deux marches à la fois. La figure de droite montre un exemple. 1. De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de une marche?
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailI. Cas de l équiprobabilité
I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus
Plus en détail