Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires»

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1 Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Exercice 1 (Recostitutio de paires) O fixe deux etiers aturels 1 r. U placard cotiet paires de chaussures. O tire au hasard, 2r chaussures du placard. O ote X la variable aléatoire égale au ombre de paires complètes parmi les chaussures tirées. Les paires du placard sot umérotées de 1 à. Pour i 1,, o ote X i la variable aléatoire valat 1 si les deux chaussures de la paire i se trouvet parmi les chaussures tirées, et 0 sio. 1. Détermier la loi de X i et démotrer que E(X i ) = 2. Exprimer X e foctio des X i, e déduire E(X). r(2r 1) (2 1). Exercice 2 (Ue ure magique) O cosidère ue ure coteat boules umérotés de 1 à. Cette ure est magique, pour tout etier k compris etre 1 et, la probabilité de tirer la boule uméro k est proportioelle à k. O ote X la variable aléatoire doat le uméro de la boule tirée. 1. Détermier la loi de X. 2. Calculer l espérace et la variace de X. 3. Calculer l espérace de Y = 1 X. Exercice 3 (Découvros la loi hypergéométrique) Ue ure cotiet N = 100 boules de couleurs rouges et blaches. La proportio de blaches est p = 1 4. O effectue = 60 tirages sas remise. O ote X le ombre de boules blaches tirées et Ω l esemble des tirages (que l o cosidère simultaés) possibles. 1. Détermier Card Ω puis X(Ω). 2. Détermier P(X = 0) puis P(X = k) où k X(Ω). 3. Cas gééral : Ue ure cotiet N boules de couleurs oires et blaches. La proportio de blaches est p. O effectue tirages sas remise. O ote X le ombre de boules blaches tirées. (a) Quel est le ombre de boules blaches iitialemet das l ure? (b) Détermier la loi de X, o pourra oter q la proportio iitiale de boules oires. (c) Que vaut k=0 P(X = k)? Quelle formule peut-o e déduire? Exercice 4 (Rag de sortie de la première blache) Ue ure cotiet 2 boules blaches et 2 rouges. O effectue des tirages sas remise das cette ure. O appelle X le rag de sortie de la première boule blache. Pour i {1,..., }, o ote B i l évèemet «la i-ième boule tirée est blache». 1. Détermier P(X = 1), P(X = 2) et P(X = 3). 2. Soit k X(Ω). Exprimer l évèemet (X = k) à l aide des évèemets B 1,..., B puis motrer que 3. Démotrer que E(X) = P(X = k) = 2( k) ( 1). 4. Détermier E(Y ) et V (Y ) où Y est le ombre de boules rouges restat das l ure lorsque la première boule blache viet d être tirée.

2 Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci Exercice 5 (somme des élémets d ue coloe du triagle de Pascal) Soit a < b des etiers et p u etier. Démotrer la formule suivate : b k=a ( ) k = p ( ) ( ) b + 1 a. p + 1 p + 1 Exercice 6 (Plus grad des uméros tirés simultaémet) U joueur prélève simultaémet boules das ue ure coteat N boules umérotées de 1 à N. O cosidère la variable aléatoire X égale au plus grad uméro des boules prélevées. 1. Détermier la loi de X. 2. Démotrer que E(X) = ( N ) N k= ( ) k. E déduire à l aide de l exercice 5 que E(X) = (N + 1) O ote Y la variable aléatoire égale au plus petit uméro des boules prélevées. Détermier la loi de Y. Exercice 7 (Plus grad uméro tiré : versio tirages successifs avec remise) U joueur prélève boules successivemet et avec remise das ue ure coteat N boules umérotées de 1 à N. O cosidère la variable aléatoire X égale au plus grad uméro des boules prélevées. O ote Ω l esemble des tirages possibles. 1. Détermier Card(Ω) et X(Ω) l esemble des valeurs que pred X. 2. Cette fois-ci il est difficile de détermier directemet Card([X = k]). O va utiliser pour cela la foctio de répartitio de X otée F X. Soit k {1,..., N}. Détermier F X (k), e déduire la loi de X. 3. Calculer E(X). 4. O ote Y la variable aléatoire égale au plus petit uméro des boules prélevées. Détermier la loi de Y. Plus «usuel» Exercice 8 (Surbookig) U restaurat possède 50 places. La probabilité pour qu ue persoe, ayat réservé, e viee pas est de 20%. U jour, le patro a pris 53 réservatios. Quelle est la probabilité qu il se retrouve das ue situatio embarassate? Exercice 9 (Avec ou sas remise?) Ue ure cotiet dix boules rouges et ciq boules vertes. 1. O pioche simultaémet six boules. O ote R (resp. V le ombre de boules rouges (resp. vertes) obteues. (a) Détermier la loi, l espérace et la variace de R (resp. V ). (b) Les variables aléatoires R et V sot-elles idépedates? O pourra cosidérer les évèemets [R = 1] et [V = 0]. 2. Répodre aux mêmes questios lorsque l o pioche avec remise. Exercice 10 (Sauts de puces) Ue piste rectilige est divisée e cases umérotées 0, 1, 2,..., 2, de gauche à droite. Ue puce se déplace au hasard e sautat vers la droite de ue case avec probabilité p et de deux cases sio. Au départ, elle est sur la case 0. Soit X le uméro de la case occupée par la puce après sauts et Y le ombre de fois où la puce a sauté d ue case au cours des premiers sauts. 1. Détermier la loi de Y, et détermier E(Y ) et V (Y ). 2. Détermier E(X ) et V (X ).

3 Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci Exercice 11 (Valeur d ue actio) Le jour 0, ue actio vaut 1. O suppose que, chaque jour, la valeur de l actio est multipliée par α > 1 avec probabilité p ]0, 1[ ou par β ]0, 1[ avec probabilité q = 1 p. O suppose que ces variatios jouralières sot idépedates. Fixos N. O ote S la variable aléatoire égale à la valeur de l actio le jour. Détermier l espérace et la variace de S. Exercice 12 (Probabilité d u même ombre de piles das u duel) 1. Calcul prélimiaire : démotrer que k=0 de degré de (x + 1) (x + 1) = (x + 1) 2. ( ) 2 = k ( ) 2 par u déombremet ou e cosidérat le terme 2. Applicatio : deux joueurs lacet ue pièce de moaie parfaitemet équilibrée, fois chacu. Calculer la probabilité qu ils obtieet le même ombre de piles. Plus techique Exercice 13 (Ure remplie aléatoiremet) O fixe u etier aturel o ul. Ue ure cotiet ue uique boule blache. O dispose d ue pièce dot la probabilité de doer pile est p. O pose q = 1 p. O lace fois de suite la pièce. O ajoute des boules oires das l ure à chaque fois que l o obtiet pile : deux pour le premier pile, trois pour le deuxième, etc. O ajoute doc k + 1 boules oires lors de la k-ième obtetio de pile. O ote X la variable aléatoire égale au ombre de piles obteus. O ote N la variable aléatoire égale au ombre total de boules das l ure à la fi des lacers. 1. Exprimer N e foctio de X. 2. Quelle est la loi de X? 3. E déduire E(N). O tire ue boule de l ure et o pose B : «la boule tirée est blache». 4. Démotrer que P(B) = k=0 ( ) 2 p k q k. (k + 1)(k + 2) k 5. Calculer cette somme. O chage la règle : cette fois, o ajoute das l ure 2 k 1 boules oires lors de l obtetio du k-ième pile, c est-à-dire ue boule au premier pile, deux au deuxième, quatre au troisième, etc e doublat à chaque fois le ombre de boules oires ajoutées. O ote N la variable aléatoire égale au ombre total de boules das l ure. 6. Exprimer N e foctio de X. 7. Calculer E(N ). 8. Détermier la probabilité de l évèemet B : «la boule tirée est blache».

4 Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci Complémets : idépedace, couples, iégalités Exercice 14 (No corrélées mais pas idépedates) O tire au hasard u des 4 poits de coordoées ( 1, 0); (1, 0); (0, 1); (0, 1). O ote X et Y les coordoées du poit tiré. 1. Détermier la loi cojoite du couple (X, Y ) puis les lois margiales X et Y. 2. Démotrer que cov(x, Y ) = 0. Les variables X et Y sot-elles idépedates? Exercice 15 Soit a R. Pour (i, j) 1, 2, o pose p i,j = aij. 1. Détermier u réel a de sorte qu il existe u couple (X, Y ) de variables aléatoires à valeurs das 1, 2 tel que : (i, j) 1, 2, p i,j = P([X = i] [Y = j]). 2. Calculer à l aide du théorème de trasfert E(XY ). 3. Détermier les lois margiales X et Y. Ces deux variables sot-elles idépedates? 4. E déduire cov(x, Y ) puis retrouver la valeur de E(XY ). Exercice 16 Soit X et Y deux var idépedates de même loi uiforme sur 1,. O pose S = max(x, Y ). 1. Détermier la loi du couple (S, X). 2. E déduire la loi de S. 3. Détermier les lois coditioelles de S sachat X et de X sachat S. 4. O pose T = mi(x, Y ). Détermier E(T) et E(ST) sas «caluls supplémetaires». 5. Les variables S et T sot-elles idépedates? Exercice 17 U employé d u cetre d appel effectue appels téléphoiques vers correspodats disticts dot chacu décroche avec ue probabilité p. O ote N 1 le ombre de correspodats qui décrochet. 1. Détermier la loi de N 1. L employé rappelle u peu plus tard les N 1 correspodats qui ot pas décroché lors de sa première série d appels. O ote N 2 le ombre de ces correspodats qui décrochet cette fois et N le ombre total des correspodats qui ot décroché. 2. Soit i 0,. Quelle est la loi coditioelle de N 2 sachat N 1 = i. 3. Soit k 0,. Démotrer que P(N = k) = p k q 2 k i=0 ( )( ) i q i. i k i 4. Démotrer que N suit ue loi biomiale de paramètres et 2p p 2. O pourra motrer que ( )( ) ( )( ) i k =. i k i k i Exercice 18 (Somme de deux lois uiformes idépedates) Soit X et Y deux variables aléatoires idépedates qui suivet la loi uiforme sur 1,. Détermier la loi de X + Y. Exercice 19 (Iégalité de Cauchy-Schwarz) Soit X et Y deux var. 1. O suppose V (X) 0. Démotrer que l applicatio f : R R défiie par f(t) = V (tx + Y ) est ue foctio polyomiale dot o précisera le degré.

5 Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci E déduire que cov(x, Y ) V (X)V (Y ). 3. Démotrer que si X est de variace ulle, alors X est presque-sûremet égale à sa moyee, c est-à-dire que P(X = E(X)) = 1, et cov(x, Y ) = 0. Exercice 20 (Loi faible des grads ombres) Soit X 1,..., X des variables aléatoires réelles idépedates de même loi, d espérace m et de variace V. O pose 1. Démotrer que X = X X. ε > 0, P( X m ε) V ε Applicatio : o fait u sodage pour u référedum. O cherche à estimer p la proportio de persoes qui vot voter pour le OUI. O itérroge pour cela u échatillo de persoes. O ote X i la variable aléatoire qui vaut 1 si la persoe i a voté le OUI et 0 sio. La variable X i suit ue loi de Beroulli de paramètre p. O suppose que l échatillo de persoes est pertiet, o émet aisi l hypothèse que les variables X 1,..., X sot idépedates. Le ombre X (proportio empirique) est u estimateur de p (proportio théorique). (a) Justifier que pour tout ε > 0, o a P( X p ε) 1 4ε 2. (b) Détermier la taille de l échatillo de populatio, pour que l o puisse affirmer, avec u risque d erreur iférieur à 5%, que la proportio p de OUI est comprise etre X 0.01 et X (répose : = 50000).

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