KHERKHARE ABDELKRIM. Commande floue en poursuite et stabilisation des systèmes non linéaires incertains

Transcription

1 MNSR D L NSGNMN SURUR D L RCHRCH SCNFQU UNVRS FRH BBS SF UFS (LGR) Mémoe de Magste pésenté au dépatement d lectotechnque Faculté des Scences de l ngéneu pou obten le dplôme de Magste en utomatque a KHRKHR BDLKRM hème Commande floue en pousute et stablsaton des systèmes non lnéaes ncetans Soutenu le 4 / / devant la commsson d examen composée de : RHMN Lazha M.C. à l unvesté Fehat BBS de Sétf ésdent KHBR Fad M.C. à l unvesté Fehat BBS de Sétf Rappoteu LMMR thmane M.C. à l unvesté Fehat BBS de Sétf xamnateu HRMS Mohamed Nagub M.C. à l unvesté Fehat BBS de Sétf xamnateu Hemsas Kamel ddne M.C. à l unvesté Fehat BBS de Sétf xamnateu

2 SOMMR

3 Sommae RMRCMNS DDCCS NRODUCON GNRL COMMND FLOU SBL DS MODLS FLOUS -S.. NRODUCON 5.. MODLS FLOUS 5... Modèle flou de type -S 5... Constucton d un modèle flou -S 7... nalyse de stablté des modèles flous -S 9.. LOS D COMMND FLOU CONDONS D SBLSON D BS... ntoducton aux Outls d optmsaton convexe LM... oblème de fasablté... oblème de valeu pope (V : gen-value oblem)... oblème de valeus popes généalsées (Geneal V)... echnques d analyse et tansfomaton matcelles... Lo de commande floue 4... Lo de commande DC (aallel Dstbuted Compensaton) 4... Stablsaton des modèles -S avec une lo de commande du type DC Stablté du modèle flou -S augmenté Stablsaton avec obsevateu flou Obsevateu flou -S Lo de commande DC avec obsevateu flou.4. COMMND ROBUS FLOU DS SYSMS NON LNRS.4.. Modèles -S ncetans.4.. Modèles -S petubés : atténuaton des petubatons.4.. Modèles -S ncetans et petubés 4.5. URS ROCHS D SYNHS 6

4 Sommae.5.. Stuctue des Systèmes Flous Commande pa Mode Glssant Systèmes à stuctue vaable aux égmes glssants Condtons d exstence et de convegence du égme glssant ppoche decte ppoche de Lyapunov 9.6. CONCLUSON OURSU D RJCOR OUR LS MODLS -S RURBS.. NRODUCON.. ROBLM D SUV D RJCOR... La pousute de taectoe pou les modèles -S... Statége de commande... Le modèle physque et le modèle -S 4... L obsevateu flou -S 4... Le système de éféence 4... Modèles lnéaes 4... Modèles non lnéaes Lo de commande 5.. SYNHS D COMMND VC OBSRVUR : ROCH H 6... Commande basée su l appoche H 6... Condtons de elaxaton 9... xplotaton numéque des ésultats xemple et smulaton CONCLUSON 6 SUV D RJCOR DS MODLS -S RURBS NCRNS VC CRR H.. NRODUCON 6.. SYNHS D COMMND SNS OBSRVUR 6... Synthèse de commande pa appoche BM 6

5 Sommae... Synthèse de commande pa appoche LM 66.. SYNHS D COMMND VC OBSRVUR ppoche LM xemple de smulaton CONCLUSON 8 COMMND ROBUS FLOU DS SYSMS NON LNRS V.. NRODUCON 8 V.. FORMULON DU ROBLM 84 V.. COMMND DV FLOU R MOD GLSSN 86 V.4. ROCDUR D CONCON 9 V.5. XML D SMULON 9 V.6. CONCLUSON 97 CONCLUSONS GNRLS RSCVS 99 RFRNCS BBLOGRHQUS

6 RMRCMNS Le taval pésenté dans ce mémoe a été effectué au sen de Laboatoe de Qualté d nege dans les Réseaux lectques (Q.U..R.) de dépatement d électotechnque à l unvesté Fehat bbas de Sétf. Je tens à emece tès vvement Monseu KHBR Fad Mate de conféences à l unvesté Fehat BBS de Sétf pou m avo gudé et consellé tout au long de ce taval et pou leu souten scentfque et human et la confance qu l m a accodée pou mene ce taval de echeche. Mes sncèes emecements à Monseu RHMN Lazha Mate de conféence à l unvesté Fehat BBS de Sétf d avo accepté d examne ce taval et de pésde ce uy. Je tens également à emece Monseus LMMR thmane Mate de conféence à l unvesté Fehat BBS de Sétf HRMS Mohmed Nagub Mate de conféence à l unvesté Fehat BBS de Sétf et HMSS Kamel ddne Mate de conféence à l unvesté Fehat BBS de Sétf pou l ntéêt qu ls ont ben voulu pote à ce taval en acceptant de l examne. Je emece tous les membes de ma famlle et en patcule mes paents pou leus encouagements et appus ncondtonnels tout au long de ces longues années d études. Mes emecements vont également à tous ceux qu m ont adé de pès ou de lon à l aboutssement de ce modeste taval.

7 DDCCS À ma mèe Ma souce étenelle d nspaton de motvaton et de bénédcton À mon pèe Mon maîte de passon de patence et de pesévéance À mes deux sœus et mon fèe Slmane À mes ams d enfance et de toute cconstance. t plus spécalement à mes ams bde ssalam Badoud et Hacen Mellah. KRM.

8 NRODUCON GNRL

9 ntoducton Généale NRODUCON GNRL La dvesté des poblèmes encontés en automatque notamment potant su la théoe de la commande et de la concepton ont connu une évoluton consdéable ces denèes années. am ces théoes la commande des systèmes non lnéaes ne cesse de se pefectonne. ns le concept des ensembles flous qu est tès utle du pont de vue de la synthèse de commande. Les tavaux su la théoe des ensembles flous et la logque floue ont été ntés dans les années soxante pa Lotf Zadeh [Zadeh 65] à l'unvesté de Bekeley. L'ntéêt pncpal de la logque floue est de pemette la epésentaton et le tatement de connassances mpécses. lle est utlsée dans des domanes auss vaés que la geston de base de données les systèmes expets le tatement du sgnal la classfcaton de données la modélsaton ans que la commande des systèmes automatques. La pemèe applcaton de la commande floue fut éalsée pa [Mamdan 74] su un moteu à vapeu. La pemèe applcaton ndustelle a poté su le contôle d un fou à cment pa logque floue. fn de s affanch de la connassance pafate d un pocessus à contôle le compotement dynamque peut ête ps en compte pa une modélsaton analytque c'est-à-de un modèle de connassance. On obtent alos une epésentaton mathématque qu dot essemble le meux possble à la éalté du pocessus. Le chox ésde alos ente la fdélté du modèle et son adéquaton avec une fome mathématquement explotable. Dans ce contexte une pemèe appoche pou étude un système ayant un compotement non lnéae consste à l appoxme pa un modèle lnéae. L'nconvénent d'une telle appoche est son aspect local. D aute pat pluseus tavaux ont été développés afn de démonte qu'un system flou peut ête utlsé comme un appoxmateu unvesel [Kosko 94 Zeng 95 Zeng ssounboul 4]. La capacté de l appoxmaton unveselle d un modèle flou est la base de echeches théoques et de leus applcatons en commande floue. De nombeux checheus se sont donc ntéessés à cette noton. l s agt alos de donne une ustfcaton théoque aux succès encontés pa les applcatons de la logque floue. Notamment su des systèmes dffclement contôlables à l ade de technques conventonnelles [Buckley 9 Casto 95]. La stuctue d un modèle ou d un égulateu flou est décte pa un ensemble de ègles dte ègles floues qu sont consttuées chacune pa une pate pémsse et une pate concluson.

10 ntoducton Généale De ce pont de vu là on dstngue deux classes pncpales de modèles flous : les modèles nféés pa des ègles flous de type Mamdan et ceux nféés pa des ègles flous de type akag-sugeno (-S) [-S 85]. Les modèles de type Mamdan utlsent le fomalsme flou pou modélse l nféence. n evanche ben que la pate pémsse des ègles de type -S conseve le fomalsme flou l nféence coespond à une smple ntepolaton des conclusons. l en ésulte que pou un modèle flou -S les ègles sont nféées pa des vaables déctes dans l unves du dscous flou. n evanche la descpton globale du système qu elles epésentent pemet apès l étape de défuzzfcaton d about à une foncton non lnéae lant athmétquement les entées et les sotes du système. L appoche de modélsaton -S pemet donc de epésente un système non lnéae pa une nteconnexon de modèles affnes et lnéaes autou de dfféents ponts de fonctonnement à taves des fonctons de pondéaton nomalsées appelées fonctons d actvaton. Ces fonctons peuvent ête sot dentfées à pat d un pocessus éel [Gasso ] sot su la base d un modèle de connassance afn d about à une epésentaton exacte de celu-c dans un espace compact de l espace d état [Moèe ]. Une appoche typque de la commande des systèmes utlsant ce type de modèle est la stablsaton pa ntepolaton de etou d état appelée commande DC (aallele Dstbuted Compensaton) [Wang 95]. La maoté des tavaux qu s nspent de cette lo de commande ont une démache basée su la deuxème méthode de Lyapunov. La fomulaton de celle-c aboutt à un ensemble d négaltés éctes sous la fome négaltés matcelles lnéaes (LM). Les LM s l s avèe qu elles admettent une soluton peuvent ête ésolues à l ade d outls ssus du domane de l optmsaton convexe [l Ghaou 97]. Cependant s théoquement l est touous possble de epésente la dynamque d un système non lnéae affne en la commande pa un système flou en patque cette epésentaton peut about à l obtenton d un tès gand nombe de ègles floues. Une manèe de édue le nombe de ègles floues est de pende en compte cetanes non lnéatés du modèle au sen d ncettudes nhéentes à la modélsaton on se place alos dans le cas de la modélsaton flou -S de systèmes ncetans. L obectf étant d obten un modèle flou compotant un nombe fn et asonnable de ègles fxé a po. n evanche la synthèse de los de commande pou de tels modèles s avèe plus dffcle. Dans ce contexte pluseus appoches

11 ntoducton Généale de elaxaton des LM ont été poposées dans la lttéatue [Guea 99 Km uan Lu ]. La commande type DC pemet de éponde à tous les ctèes de pefomance s en plus des ncettudes le système est petubé. C'est pouquo des tavaux tatant de la synthèse de commandes obustes pou la stablsaton de ce type de modèles ont étés poposés ces denèes années [anaka 96 Lee ]. u sen de la lttéatue on constate que la synthèse de los de commande est peu tatée dans le cas du pousute de taectoe (ackng) pou les systèmes -S ncetans et petubés. n effet le passage d un poblème de stablté à celu d un suv de taectoe n est pas nécessaement tval. ns le but pncpal de ce taval est le développement de stuctues de commande pou des systèmes contnus ms sous fome -S ncetans et petubés pemettant d assue la stablté et la obustesse dans le cade du suv de taectoe. Deux poblématques peuvent émege : l obtenton de condtons sous fome de LM et la gaante des pefomances de pousute. Le chapte pésente une vue d'ensemble bblogaphque allant de la défnton et mse en œuve d'un modèle -S à la synthèse de commande obuste des systèmes flous du type -S ncetans et petubés. ns nous pésentons d abod les dfféentes technques d obtenton d un modèle -S. nsute nous abodeons les concepts de stablsaton de base des modèles -S. Un ntéêt patcule sea consacé aux ésultats les plus écents tatant du poblème de la stablté des modèles -S ncetans et petubés. ns cette synthèse bblogaphque pemetta de postonne note taval dans le domane et de pose claement le poblème abodé dans ce manusct. Dans le chapte nous abodeons le poblème de pousute de taectoe des modèles -S. Une pésentaton des technques exstantes pou ésoude cette poblématque pemetta de desse un blan synthétque su les tavaux publés dans la lttéatue. Dès los nous pésenteons la statége de commande que nous avons abodée dans ce taval. a la sute nous tateons de la synthèse de commande pou les modèles flous -S soums à des petubatons extenes. La synthèse de commande poposée se base su la mnmsaton de l eeu de pousute pa appot aux petubatons selon un ctèe H. Le ésultat pncpal dans ce chapte est de foun des condtons de stablté au sens de l optmsaton convexe

12 ntoducton Généale LM en l occuence un maxmum d atténuaton des petubatons en assuant la pousute. Des ésultats de smulatons llusteont les pefomances obtenues. L appoche est élaboée dans le cas où tous les états sont dsponbles. Deux appoches de synthèse dfféentes seont pésentées afn de gaant les pefomances de pousute. l s agt d une appoche dont les ésultats sont écts sous fome de BM (Blnea Matx nequalty) et d une appoche obtenue dectement sous la fome de LM. Nous monteons ensute à taves des ésultats de smulaton que la seconde appoche assue de melleues pefomances que la pemèe. Les pncpaux ésultats du chapte tatent essentellement de la synthèse de commande en pousute pou des modèles -S ncetans et petubés. L appoche est élaboée dans le cas où tous les états sont dsponbles. Deux appoches de synthèse dfféentes seont pésentées afn de gaant les pefomances de pousute. l s agt d une appoche dont les ésultats sont écts sous fome de BM (Blnea Matx nequalty) et d une appoche obtenue dectement sous la fome de LM. Nous monteons ensute leus pefomances dans le cade de la pousute. Notamment consdéeons également un obsevateu dans le cas où tous les états ne sont pas dsponbles. Les ésultats également expmés sous fome LM seont llustés à taves un exemple en smulaton. Dans le quatème chapte nous abodeons le poblème de synthèse de commande obuste floue dans le cade de la pousute de taectoe pou les systèmes non lnéaes. On a poposé un algothme de commande utlsant de la logque floue et la technque de commande pa mode glssant (SMC). La statége de commande poposée fount une bonne pefomance obuste dans le but d assue que le système en boucle femée sot stable au sens de Lyapunov et pousute asymptotque de la éféence désée en pésence des ncettudes et des petubatons extenes. Les statéges de commande développées dans les chaptes : et V sont valdées pa des exemples de smulaton sous l envonnement Matlab. nfn le blan des tavaux éalsés et les pespectves envsagées sont donnés en concluson. 4

13 COMMND FLOU SBL DS MODLS FLOUS -S

14 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S.. NRODUCON Ce chapte a pou obet de pésente cetans tavaux su la modélsaton la stablté et la stablsaton des modèles flous de type akag-sugeno (-S) Dans la pemèe pate nous pésentons les dfféentes technques d obtenton d un modèle -S et donneons un exemple d llustaton su la méthode la plus utlsée pou y about ans que la epésentaton des notons de stablté et de stablsaton de ce type de modèles encontées dans la lttéatue. Une lo de commande pou les modèles -S poposés sea pésentée. pat de là on s ntéessea aux ésultats les plus écents tatant du poblème de la synthèse de commande obuste pou les modèles -S ncetans et petubés dans le cas de la stablsaton des systèmes non lnéaes ncetans. nsute la seconde pate est consacée à utlse d autes technques de synthèse obuste telle que la commande pa mode glssant qu pemet de éponde au poblème de obustesse. Cette obustesse se fea au détemnent des pefomances. De plus la suface de glssement défne dans le fomalsme édut l ode de système en boucle femée ce qu ne pemet pas dans cetans cas d mpose au système un mode de stablsaton. Cette étude pemetta de postonne note taval dans le domane et de pose claement le poblème abodé dans ce mémoe... MODLS FLOUS... Modèle flou de type -S Le modèle flou de akag-sugeno (-S) d un système dynamque est déct pa un ensemble de ègles floues S-los epésentant des elatons locales d entées/sotes lnéaes en dfféents ponts de fonctonnement d un système en expmant chaque concluson pa un système lnéae [-S 85]. Ces epésentatons locales appelées «sous modèles» pemettent d expme la dynamque d un système autou d un pont de fonctonnement patcule de l espace d état. La patculaté de ce type de modèle et que la logque floue est ntevent seulement dans la pate pémsse des ègles. La pate concluson de ces ègles utlse des vaables numéques plutôt que vaables lngustques [-S 85]. D une manèe généale la pate concluson s expme sous la fome d une constante ou d une foncton ou d une équaton dfféentelle dépendant des vaables d entées. 5

15 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S La ème ègle du modèle flou -S s éct sous la fome: z t est F et... z t est F p S ( ) ( ) p los x& y x Bu C x F est l ensemble flou et est le nombe de ègles S-los m q d état u R est le vecteu des commandes R R n n est la matce d état matce de sote et z z ou une pae ( u ) x& y w w p B R (.) n x R epésente le vecteu y est le vecteu de sote du système n m est la matce d entée du système sont les pémsses fonctons de l état. y donnée l nféence du système flou est donnée pa: ( z ){ x B u } ( z ) ( z ){ C x } w w ( z ) [ ] où z z z... z w ( z ) F z F p p ( ) ( z ) est la valeu de la foncton d appatenance t on a C R q n est la (.)... (.) z dans l ensemble flou F et w w ( z ) ( z ) n posant : h ( z ) > w ( z ) w ( z ) Le modèle flou -S s éct : x& y h ( z ){ x B u } h ( z ){ C x } Les ( z ) h possèdent la popété de somme convexe : (.4) (.5) (.6) 6

16 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S ( z ) t h (.7)... Constucton d un modèle flou -S ou obten un modèle flou -S tos méthodes dstnctes peuvent ête employées :. La pemèe dte pa dentfcaton [Gasso 99] [Gasso ] pemet à pat des données su les entées et les sotes d dentfe les paamètes du modèle local coespondant aux dfféents ponts de fonctonnement.. La seconde méthode consste à lnéase le modèle autou d un ensemble de ponts de fonctonnement [anaka ] [Ma 98].. La tosème appoche est adaptée pou les systèmes non lnéaes affnes en la commande à un modèle flou de -S. lle pemet d obten une epésentaton de type -S d un modèle non lnéae (l ne s agt pas d une lnéasaton autou d un pont de fonctonnement) [anaka 98a] [Moèe ]. Dans les deux denèes appoches on suppose dspose d un modèle mathématque non lnéae. Notons auss que pou un système donné l obtenton d un modèle -S n est pas unque. tant donné que la denèe appoche epésente le modèle non lnéae d une façon exacte nous l explcteons à taves un exemple llustant la constucton d un modèle -S. ou obten à pat de non lnéaté des fonctons d appatenance assocée à un modèle flou on utlse le lemme suvant. Lemme. [Moèe ] S x [ b a] a b R f ( x) : R R boné su [ ba] alos l exste deux fonctons ( x) et w ( x) ans que deux éelsα et β tels que : f w ( x) α.w ( x) β.w ( x) ( x) w ( x) w ( x) w ( x) euve Consdéons la foncton f ( x) bonée tel que f f ( x) f ( x) α.w ( x).w ( x) f β avec α f β f Remaque. on peut alos touous éce: ( x) f f w et f f Dans le cas généal s on consdèe un modèle non lnéae : ( x) f f w. f f w 7

17 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S f ( x ) g( x ).u x & (.8) avec ( ) n f et sous l hypothèse que les champs de vecteus f et g soent bonés su R alos le modèle -S epésente de façon exacte le modèle non lnéae (.8). Dans le cas contae sous la condton f et g contnues alos l équvalence n est vae que su un sousespace compact de n R [anaka 98a] [Moèe ]. xemple. On consdèe le modèle non lnéae autonome de dmenson suvant : ( x ) sn ( ) ( ( )) ( ) x& t f x t (.9) x t Ce modèle peut ête ééct comme sut : x& x& sn x ( x ) x x x ( ) t (.) L équaton (.) pésente deux non lnéatés qu on notea N ( x ) et N ( x ) espectvement tels que : N sn( x ) ( x ) N ( x ) x x (.) Nous emaquons que le teme non lnéae N ( x ) ( x ) sn( x ) x x x mn( n est boné x R. N [ ] (où sn( ) sn( x ) x ) -.7 ( x ) ne peut l ête que su un compact défnt pa x [ aa] N ) alos que le teme avec a >. ns on peut tansfome les temes non lnéaes N ( x ) et N ( x ) n x R [ aa] que : ( x ) a > tel sn N ( x ) F ( x ). F ( x ). (.) x ( x ) F ( x ).a F ( x ). N (.) avec les ensembles flous donnés pa : F ( ) ( ( ) ) ( sn( x ) x ) sn( x ) x sn x x ( x ) F ( x ) ( sn( x ) x ) (.4) ( sn( x ) x ) 8

18 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S x ( ( )) F x t F ( x ) a x (.5) a On aboutt alos au modèle flou -S coespondant à pat des combnasons possbles des bones des temes non lnéaes N ( x ) et N ( x ) S x est F ( x ) et x est F ( x ) los S x est F ( x ) et x est ( x ) F los S x est F ( x ) et x est F ( x ) los S x est F ( x ) et x est F ( x ) los décts pa les matces f suvantes : x& x& x& x& x& x& x& x& sn x x a x x x ( x ) sn x ( x ) ( ) t ( ) t x x x x ( ) t ( ) t (.6) Cette tansfomaton condut à un cetan nombe de modèles locaux L (Lnea me nvaant) dépendant du nombe de non lnéatés contenues dans la foncton f. n ègle généale s f k modèles locaux. pésente k temes non lnéaes alos le modèle -S est consttué d au plus pat de cet exemple nous avons monté que le nombe de ègles d un modèle -S exact augmente en foncton des non lnéatés à pende en compte dans le modèle non lnéae ce qu povoque plus de consevatvté des ésultats [anguch ]. pès cette étape de modélsaton nous abodons dans la sute le poblème de stablsaton du modèle -S notamment la synthèse de lo de commande. Nous pouvons avo ecous à une théoe de base pou analyse la stablté des systèmes non lnéaes. Un apeçu su les concepts de stablté les plus utlsés dans l étude des modèles -S est appelé dans ce qu sut.... nalyse de stablté des modèles flous -S La stablté des systèmes non lnéaes en boucle femé est l un des poblèmes plus mpotant de la théoe de la commande. La boucle de etou est la stuctue qu pemet d obten les obectfs de la commande en temes de stablté et de pousute (égulaton). 9

19 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S L analyse da la stablté pa la commande floue est un suet dffcle pusque les modèles consdéés sont de natue non lnéaes. Un cetan nombe de tavaux qu ont déà été en ce sens [Dankov 9] [Olleo 95] [anaka 98] [Wang 94]. l est mpotant de note que beaucoup de technques d analyse de stablté sont basées su des méthodes de stablté locale autou d un pont d équlbe tel que l ogne. Dans ce contexte de la stablté généale on fat appel a des fonctons de Lyapunov canddates [Bone 9] [Khall 96]. Nous lmteons dans ce mémoe à l utlsaton de foncton de Lyapunov quadatque de la fome suvante : V ( x ) x x > (.7).. LOS D COMMND FLOU CONDONS D SBLSON D BS... ntoducton aux Outls d optmsaton convexe LM (Lnea Matx nequaltes) Les ésultats d analyse et de synthèse dans ce mémoe se basent essentellement sous des fomulatons de poblèmes d optmsaton convexes. Celles-c pésentent l avantage d avo un cout de calcul asonnable et le ésultat obtenu coespond à un mnmum global unque ce qu exclu l exstence d un mnmum local de la foncton à optmse. La convexté d un poblème d optmsaton a les avantages suvants: Le temps de calcul pou touve une soluton est asonnable. l n exste pas le mnmum local de la foncton cout à optmse le ésultat obtenu coespond à un mnmum global unque. La possblté de fomule de nombeux poblèmes d analyse (stablté cetans pefomances etc.) en temes LM. La capacté de tate des poblèmes à données ncetans en commande obuste qu à oué pou beaucoup dans l esso de cette appoche ces denèes années. Défnton. tant donnée une famlle de matces symétques et K n de. R et un vecteu

20 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S n ( x x x ) x K une négalté matcelle lnéae (LM) stcte (esp. non stct) n R en x est de la fome : n ( x) x > ( esp. ) F (.8) La contante F ( x) > est convexe [Boyd 94] et appelée contante LM. Remaque. tant donnée pluseus LM elles peuvent ête egoupés dans une matce dagonale consttuant une seule contante LM. On dstngue tos types de poblèmes d optmsaton convexe encontés sous fome de LM.... oblème de fasablté ouve un vecteu x tel que F ( x) >. Ce poblème est ésolu généalement en chechant le vecteu x mnmsant le scalae t tel que : ( x) t. F < (.9) S la valeu mnmale de t est négatve alos le poblème est fasable.... oblème de valeu pope (V : gen -Value oblem) Mnmse la plus gande valeu pope d une matce symétque sous une contante de type LM : Mnmse λ Sous les contantes ( x) λ B( x) > >... oblème de valeus popes généalsées (Geneal V) (.) Mnmse la plus gande valeu pope généalsée d une pae de matces pa appot à une contante LM : Mnmse λ Sous les contantes λb B C ( x) ( x) ( x) > ( x) > >... echnques d analyse et tansfomatons matcelles (.) n généal les condtons su la stablté ne sont pas données sous fome de LM dectement. ou cela elles nécesstent quelques tansfomatons matcelles. Dans la sute nous

21 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S pésentons quelques technques de tansfomaton matcelle utles pou les ésultats établs dans ce mémoe. a. Conguence : S ( x) > et X est égulèe alos : ( x) X X >. b. Complément de Schu : [l Ghaou 97] soent tos matces R ( x) R( x) Q ( x) Q( x) et ( x) équvalentes ) Q S ( x) S( x) ( x) R( x) S affnes pa appot à la vaable x. Les LM suvantes sont > ) R ( x) > Q( x) S( x) R( x) S( x) > c. Complément de Schu généalsé : Y XR X US R > S > U > Y X U X R > U S (.) d. Contante quadatque convexe : la contante su la nome Z ( x) < où Z p p. q ( x) R Z est affne pa appot à la vaable ( x) Z ( x) q > e. Lemme de S- pocédue [Boyd 94] : p x R est epésentée pa (.) C est une technque qu pemet d appoche un ensemble de contantes quadatques pa une seule contante quadatque. Lemme. : Soent F K Fp m des fonctons quadatques de la vaableς R avec : F ( ς ) ς ς u ς ν où (.4) p R { K p}. los la poposton () mplque la poposton () p u u τ tels que : u τ u ν ν () l exste : { K p} () ( ) F ς pou tout ς tel que ( ς ) { K p} F. f. Le caé matcel et ses dévées : Lemme. [Zhou 88]: Sot deux matces et B de dmensons appopées on a

22 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S B B γ. γ. B B (.5) où γ est une constante postve. ou édue le consevatsme cette popété peut ête également écte en foncton d une matce défne postve M >. B B M B M B (.6) Les popétés (.5) et (.6) ont l avantage de pouvo élmne les temes ant-dagonaux et les amene dans les blocs dagonaux comme l explque l exemple.. xemple. : On souhate élmne les temes ant-dagonaux et B de la matce suvante : W Y B W B Z < (.7) (.7) peut s éce : Y W W Z B B < (.8) O B B B [ B ] [ ] n utlsant la popété (.6) on obtent l négalté : B B [ B ] [ ] < M [ ] M [ B ] La condton (.7) est satsfate s : (.9) (.) Y B Q W B W Z Q < g. Lemme d élmnaton : (.) Ce lemme est auss connu sous le nom de poecton l est tès utlsé dans les fomulatons LM. Lemme.4 [Boyd 94]: ou des matces éellesw popétés suvantes sont équvalentes : - l exste une matce éelle K telle que : W M N de talles appopées les

23 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S W M. K. N N. K. M < (.) - l exste un scalae éel σ tel que : W < σ MM et W < σ NN (.) - Les compléments othogonaux M et N de M et N espectvement véfent : M WM < et N WN < (.4)... Lo de commande floue ou gaant la stablté d un modèle de type -S nous avons ecous à la synthèse d une commande stablsante. ou ce fae en s nspant des ésultats d analyse de stablté des systèmes dynamques on aboutt à des condtons de synthèse de commande pa etou d état [Wang 96]. Les condtons su les gans de commande ans obtenues ne sont pas nécessaement fomulées dectement en un poblème LM. n effet dans cetans cas on obtent des négaltés matcelles non lnéaes se qu nécesstent un ensemble de tansfomatons matcelles pou les ende lnéaes. Dans ce contexte pou génée un sgnal de commande stablsant pou le système (.6) pluseus fomules de commande floue sont poposées dans la lttéatue on ne ctea c que les plus utlsés c est la lo de commande basée su le etou d état et connue sous le nom de DC (aallel Dstbuted Compensaton).... Lo de commande DC (aallèle Dstbuted Compensaton) Le concept DC est utlsé pou élaboe une lo de commande pou les modèles flous de type -S. l dée est de calcule une lo de commande lnéae pa etou d état pou chaque sousensemble du modèle flou. La détemnaton d une lo de commande event à détemne pou chaque modèle local (sous-modèle) les gans appopes. Chaque modèle local est stablsé localement pa une lo de commande lnéae. La lo de commande globale qu en généal est non lnéae est obtenue pa ntepolaton des los de commande lnéaes locales. lle est donnée pa la lo de commande suvante [Wang 95] [Wang 96]: u h ( z ) K x (.5) où K R m p est le gan de etou local elatf à l ème modèle. 4

24 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S Système Règle Règle Lo de commande locale Contôleu Règle Règle Règle Règle Fg... ncpe de la commande DC. Le égulateu flou DC patage les mêmes ensembles flous que ceux du modèle flou de -S. Donc l avantage maeu de cette lo de commande est de especte la même stuctue de découpage des non lnéatés que celle utlsée pou l obtenton du modèle -S. Dans le cas où le modèle -S est obtenu pa découpage exact cette lo de commande est donc valable quelque sot le pont de sous espace compact de l espace d état. a alleus l exste d autes los de commande qu s nspent de la commande DC et qu se basent su le etou de sote. am ces los on dstngue la commande DDC (Dynamque DC) qu epésente un contôleu non lnéae [L ]. nsute la lo de commande ODC (Output DC) qu est de la fome [Chadl ] : u h ( z ) K y (.6)... Stablsaton des modèles flous -S avec une lo de commande du type DC La commande DC notamment la stablsaton quadatque se base su la foncton quadatque de Lyapunov pou monte la convegence du modèle flou en boucle femée en l occuence détemne les etous d états coespondants à chaque modèle L composant le modèle -S. ns à pat d une telle foncton on peut touve une matce commune et stctement défne postve ente tous les modèles locaux en boucle femée. ou obten le modèle flou en boucle femée on applque la commande DC au modèle -S (.6). ns le modèle flou obtenu est le suvant: x& h ( z ) h ( z ) G x avec G B K (.7) Le peme ésultat concenant la stablsaton des modèles -S pa la commande DC a été donné pa [Wang 96]. n posant : Y G G (.8) 5

25 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S Nous pouvons énonce le théoème suvant. héoème. [Wang 96] L équlbe du modèle flou contnu (.7) est asymptotquement stable s l exste une matce > telle que : Y >... (.9) Y Y < < (.4) avec h ( z ( t )) h ( z ( t )) t > (.4) laboe un égulateu flou DC consste donc à détemne les matces de gans de etou d'état K satsfasant les condtons du théoème. avec l exstence d une matce commune stctement défne postve. ou mette au pont ce égulateu on se amène donc à un poblème de fasablté des LM qu peut ête ésolu à l ade des outls ssus de l optmsaton convexe et plus patculèement des LMs (Lnea Matx nequaltes) [Boyd 94]. ou cela on effectue les changements de vaables bectfs usuels suvants [Wang 96]: N et K Y d où apès conguence avec on obtent les expessons LM suvantes pa appot aux vaables N et N N des négaltés (.4) et (.5) N B Y Y B <... (.4) N N N N B Y Y B B Y Y B < < (.4) Remaque. Notons que le nombe de condtons à véfe est ( ) foncton du nombe de ègles. Y. / et que ce nombe cot en Le fat d utlse une foncton de Lyapunov quadatque mplque la echeche d une matce > unque qu se etouve dans toutes les ( ) / négaltés. l est alos cla que le nombe de ègles est un facteu essentel pou édue le consevatsme des ésultats ssus des condtons (.4) et (.4) du théoème.. ns dsposant d un modèle -S le poblème fondamental qu se pose los de la synthèse de commande du type DC est celu du consevatsme des condtons su les gans de etou d état. a conséquent dans le but d avo des ésultats beaucoup mons consevatfs des condtons de elaxaton LM ont fat l obet de pluseus tavaux notamment ceux développés dans [anaka 98a] qu se basent su le nombe maxmal de ègles actves à chaque nstant 6

26 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S pou édue le consevatsme de condtons de stablsatons. Km et Lee [Km ] s nspent de ces tavaux en ntodusant des condtons supplémentaes. Dans [exea ] les auteus poposent d utlse des fonctons de Lyapunov multples pou echeche pluseus matces défnes postves au leu de cheche qu une seule commune comme dans le cas de stablsaton pa la foncton de Lyapunov quadatque. am les ésultats de elaxaton utlsant une foncton de Lyapunov quadatque nous pouvons cte des condtons de elaxatons tès petnentes poposées pa [uan ] qu sont donnés dans le théoème suvant. héoème. [uan ] Les condtons (.9) et (.4) du théoème. sont véfées s l une des condtons suvantes est vae : ) Y <... (.44) Y ) ( Y Y ) < l exste des matces symétques Q Q telles que : (.45) Y Q < K (.46) Q Y ( Y Y ) < Q < ) l exste des matces symétques Q Q telles que : (.47) Y Q ( Y Y ) < Q Q (.48) euve n applquant L équaton (.8) on peut éce que : < h ( z ) Y h ( z ) Y h ( z ) h z L négalté (.46) devent alos : x x ( )( Y Y ) h ( z ) Y h ( z ) Y x h ( z ) h z < ( ) x ( Y Y ) x 7

27 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S l exste des matces Q telle que : h ( z ) Y h ( z ) h ( z ) Q h ( z ) pat la condton (.47) on touve : Y Q < h ( z ) h ( z ) Y h ( z ) Y h ( z ) h ( z ) Q Ce qu véfe (.44). La pemèe condton de ce théoème ne nécesste l exstence d aucune matce défne postve supplémentae ce qu faclte l obtenton d une soluton au poblème LM notamment quand l s agt pa exemple d un système augmenté avec un obsevateu flou. Dans le même obectf de ce dene théoème un aute ésultat complémentae concenant la elaxaton est pésenté dans [Lu ]. Le ésultat de ce théoème stpule l exstence de matces défnes postves qu peuvent ête lbes ce qu pemet de elâche les LM touvées. héoème. : [Lu ] L équlbe d un modèle flou contnu déct pa (.7) est asymptotquement stable s l exste une matce > des matces Y défnes en (.8) Q > et Y Q Q telle que : Q <... (.49) Y Y Q Q < (.5) Q Q M Q Q Q L Q L O ( ) Q Q M ( ) Q > (.5) Remaque.4 Dans le cade de la elaxaton. On note auss que ce type est utle que s lesy exstent et ne sont pas nuls c-à-d qu l est nécessae que les sous modèles cosés exstent [Km ]. Nous avons monté à pat du modèle -S une méthode de synthèse de commande type DC. Cette lo de commande tès utlsée est basée su la connassance de l état du système. a conséquence dans le cas où l état du système n est pas totalement dsponble l est nécessae d avo ecous à un obsevateu pemettant d estme l état du système. Dans le cas des modèles -S on pvlége les obsevateus flous -S se basant généalement su des 8

28 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S modèles lnéaes de type «Luenbege». Ces denes ont pou avantage d avo la même stuctue que les modèles -S...4. Stablté du modèle flou -S augmenté luseus tavaux concenant la synthèse de commande avec un obsevateu flou ont été élaboés pou la stablsaton des modèles -S [Xao-Jun 98] [Xadong ]. Les ésultats exstant pou ce type d obsevateu sont tès vaés selon la foncton de Lyapunov chose et selon le type de commande utlsée pou stablse le modèle flou. Les pncpes de base de ce type d obsevateus sont synthétsés dans ce qu sut Stablsaton avec obsevateu flou Un obsevateu flou est nécessae losqu une pate de l état du système n est pas accessble pou mesue. Le but étant d obten une convegence asymptotque de l eeu de pédcton d état x xˆ quand t où xˆ epésente le vecteu d état estmé pa l obsevateu [Moèe ]. Le modèle flou -S augmenté est composé d un modèle flou d un égulateu flou et d un obsevateu flou comme monte la fgue. suvante; - u Modèle Flou Obsevateu Flou Xˆ Contôleu Flou Fg... Repésentaton d un système augmenté Obsevateu flou -S La stuctue la plus smple d un obsevateu flou -S est obtenue pa nteconnexon de pluseus obsevateus locaux de type Luenbege. l s éct d une façon généale comme sut: xˆ & ŷ h ( ẑ )[ xˆ B u L ( y ŷ )] h ( ẑ )[ C xˆ ] (.5) 9

29 Chapte Où xˆ et ẑ Commande floue et stablté des modèles flous -S epésentent espectvement l état estmé de l obsevateu flou et le vecteu de pémsse econstut et L epésentent les gans de l obsevateu [anaka 98a] [Guea ]. Hypothèse. out au long de ce taval on supposea que toutes les vaables de pémsses sont mesuables c'est-à-de z ˆ z et les fonctons d actvaton de l obsevateu sont les mêmes que celles caactésant le modèle -S (.7). Dans le cas ou cette hypothèse n'est pas véfée pou assue la convegence de l obsevateu le nombe de condtons est augmenté de façon sgnfcatve pa l appaton des poduts h ( zˆ ) h ( z ) [Laube ]. ou évalue la convegence de l obsevateu flou (.5) on consdèe l eeu d estmaton du vecteu d état donnée pa : e o x xˆ (.5) Note : L ndce o ndque que l eeu est lée à l obsevateu un ndce p sgnfe l eeu de pousute. On adoptea cette notaton tout le long du manusct. enant compte du modèle -S (.6) et l obsevateu (.5) la dynamque de l eeu d estmaton est donnée pa l équaton suvante : h ( z ) h z ( )[ L C ] e e& (.54) o o ns la synthèse d un tel obsevateu consste en la détemnaton des gans locaux L afn d assue la convegence ves zéo de la dynamque de l eeu d estmaton (.54). Les condtons de synthèse d un obsevateu flou (.5) sont duales de celles d un contôleu flou (.7) [Ma 98] [Yoneyama ] Lo de commande DC avec obsevateu flou Dans le cas où tous les états du système ne sont pas mesuables la commande DC synthétsée emplo le etou d état econstut et nous pouvons alos éce. u h ( z ) K xˆ (.55)

30 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S Le système augmenté est composé de l état du système x et l eeu d estmaton peut éce: x& e& B K B K x eo h ( z ) h ( z ) LC o t ( ) e o on (.56) Jusqu c les los de commande développées ne tennent pas compte des eeus de modélsaton et/ou de petubatons extenes pou les modèles -S. a alleus d autes poblèmes écuents ont fat l obet de pluseus tavaux. Notamment la synthèse de commande obuste pou les modèles -S ncetans et/ou soums à des petubatons extenes. Nous pésentons dans la secton suvante de manèe synthétque cetanes appoches de synthèse de commande obuste pou les systèmes -S ncetans et petubés..4. COMMND ROBUS FLOU DS SYSMS NON LNRS La commande obuste concene les systèmes ncetans et/ou petubés. Dans la lttéatue pluseus tavaux ont été développés concenant la synthèse de commandes obustes pou les modèles flous ncetans. Nous pouvons cte les pncpaux ésultats qu tatent de la stablsaton avec une commande sans obsevateu pou les modèles -S ncetans et/ou petubés [anaka 96] [Zhao 96] [Lee ] [anaka ]. La commande floue avec obsevateu et les vaables de pémsses mesuables est abodée dans [Yoneyama ] avec le pncpe de sépaaton. n evanche dans le cas ou les vaables de pémsses ne sont pas mesuables dans [Laube ] l'auteu consdèe le découpage des vaables non mesuables comme des ncettudes de modélsaton. Vu la dvesté des ésultats exstant su la stablsaton des modèles -S ncetans et/ou petubés nous nous estendons su quelques concepts de base que nous avons exploté dans les chaptes suvants pou la mse en œuve des appoches développées dans le cas de la pousute de taectoe..4.. Modèles -S ncetans Le modèle -S avec ncettudes paamétques s éct d une manèe généale comme sut [anaka ]: x& h ( z ) ( ) x ( B B ) u y h ( z ) ( C C ) x (.57)

31 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S vec Ha a a B Hb b ( t ) b et ( t ) où Ha Hb Hc a b c C Hc c c c sont des matces constantes et les ncettudes a b sont bonées dans le temps de la façon suvante : a a b b c c n généal les ncettudes encontées dans ce type de modèle sont dues à la modélsaton du système qu est effectuée de manèe à édue le nombe de ègles [anguch ] [Laube ]. Le pncpe de synthèse de commande dans ce cas se base su l applcaton de la lo de commande (.55) au système (.57) avec l obsevateu flou (.5) en consdéant la dynamque de l eeu d estmaton (.6). Le poblème event alos à stablse le système augmenté suvant : x& e& o h ( z ) h ( z ) L ( B B ) K ( B B ) K x& ( ) C B K L C B K e& o t et (.58) ns en ce qu concene la commande obuste avec obsevateu flou pou les modèles -S ncetans et en se plaçant dans le cas ou le théoème de sépaaton [Ma 98] n est pas applcable on ntodut les non lnéatés qu dépendent des vaables de pémsse non mesuables dans les matces contenant les ncettudes. Dans [Laube ] une méthode basée su le couplage des pates commande et obsevateu est poposée elle consste à ésoude le poblème d une façon séquentelle gâce à deux poblèmes LM. Une pate des tavaux de [Chen ] eont également cette méthode. De la même manèe que pou le cas de stablsaton l étude de stablté de tels systèmes epose su la foncton de Lyapunov quadatque de la fome V ( x eo ) x x eo eo. Un ésultat écent consste à ésoude ce poblème sous fome de LM s d une manèe systématque [Laube 4]..4.. Modèles -S petubés : atténuaton des petubatons Les systèmes non lnéaes sont également susceptbles d ête soums à des petubatons extenes. ns l atténuaton des petubatons est pam les spécfcatons des pefomances qu l faut pende en consdéaton. Un modèle -S soums à une petubaton extene s éct sous la fome généale suvante :

32 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S x& p h ( z ) { x B u B ϕ } h ( z ){ C x D u D ϕ } où ϕ epésente la petubaton extene de bone supéeue connue ϕ up (.59) ϕ et p est la sote à égule. ou ce qu sut une défnton de la nome H est nécessae. Défnton. on appelle nome H du tansfet enteϕ et p [lazad 99]: zϕ ϕ ( t ) ϕ t ( ) xϕ p Sup (.6) L obectf en plus de la stablsaton est de détemne une lo de commande qu atténue l effet des petubatons extenes ϕ su la gandeu à égule (nome H ) en boucle femée avec un taux d atténuaton donnéeη : p η vec (.6) p défne pa p p p dt (.6) Une fable valeu de cette nome ndque un fable effet des petubatons le but est alos de détemne des los de commande qu pemettent de mnmse cette nome en l occuence une melleue atténuatonη. Remaque.5 Le taux d atténuaton η s appelle auss la pefomance H quadatque. ou assue la stablté du système (.59) ans qu une pefomance H quadatque nous consdéons une foncton de Lyapunov de type quadatque. Le théoème suvant donne une condton suffsante assuant cette pefomance : héoème.4 [Boyd 94] n consdéant le modèle (.59) la nome H est assuée pou un taux d atténuaton nféeu à η s et seulement s l exste une foncton quadatque de Lyapunov V ( x) x x telle que :

33 Chapte dv dt ( x) p p η ϕ ϕ < Commande floue et stablté des modèles flous -S (.6) Remaque.6 La condton (.6) peut ête écte en aoutant une matce de pondéaton à la vaable à égule [seng ]. dv dt ( x) Q η ϕ ϕ < avec Q > (.64) n se plaçant dans le cade des modèles -S contenant unquement des petubatons extenes sans matce d entée le modèle devent [Chang ]: h ( z ){ x B u ϕ } x& (.65) ou synthétse une commande DC (.5) pemettant de stablse et d atténue les petubatons du système (.64) le ctèe tf x Q x dt ϕ ϕ tf H coespondant seat donc défnt comme sut : η dt (.66) Le système en boucle femée est alos donné pa : h z ( )[ ( B K ) x ϕ ] x& (.67) n consdéant les condtons ntales de l état du système le ctèe (.49) devent : [lazad 99] [Chang ] tf x Q x dt x( ) x( ) ϕ ϕ tf η dt avec > (.68) Un peme ésultat mmédat s nspant de la condton (.68) monte une condton suffsante assuant la stablté avec atténuaton des petubatons. On consdèe dans (.8). Y défns héoème.5 [Chang ] Le système en boucle femée (.5) est stable s l exste une matce > une constante postve constante η et des etous d état condtons suvantes : K montés dans (.5) et qu satsfont les Y η <... (.69) 4

34 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S Y Y η < < (.7).4.. Modèles -S ncetans et petubés D autes ésultats en foncton des modèles étudés sont dsponbles. Notamment les ésultats concenant les modèles -S soums à des petubatons extenes et avec ncettudes paamétques. am les ésultats pncpaux on peut se éfée à [anaka 96] [Lee ]. Dans [Lee ] les modèles ps en compte peuvent s éce de la manèe suvante : x& y h ( z )[( ) x ( B B ) u ( B B ) ϕ ] h ( z )[ C x D u D ϕ ] (.7) ou ce type de modèle [Lee ] donnent une condton suffsante su les gans de etou assuant la stablté et l atténuaton des petubatons sous fome d un poblème LM. Ce ésultat epose su la stuctue patculèe des ncettudes qu sont de la fome suvante : [ B B ] H F[ ]... (.7) et H et le temps de la façon suvante : F sont des matces constantes et la matce ncetane F est bonée dans F... (.7) Notons que cette stuctue nécesste deux matces communes ente toutes les ègles notées H et F ce qu n est pas le cas dans la stuctue du modèle (.57). n posant : Y Y C λ H B B D Y B Y Y α Q ( ) ( ) ( ) ( ) λ η D ( ) ( ) λ (.74) Le symbole ( ) ndque la quantté tansposée dans une matce symétque. Le ésultat pncpal peut ête synthétsé pa le théoème suvant : 5

35 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S héoème.6 [Lee ] vec le modèle flou (.7) et les Y défns en (.74) l exste une lo de commande (DC) obuste stablsante avec un taux de décossanceα de la foncton de Lyapunov quadatque. La pefomance H (.64) est gaante pou un taux d atténuaton η pou les ncettudes admssbles s l exste une matce > des matces K et un scalae λ > tels que les condtons (.9) et (.4) sont satsfates. Les tavaux pésentés posent les bases de la synthèse de commande obuste dans le cas des systèmes -S. ns on peut touve également pluseus méthodes écentes pou tate le poblème de commande obuste pou des systèmes -S ncetans tels que dans le cas de systèmes -S ncetans et petubés..5. URS ROCHS D SYNHS.5.. Stuctue des Systèmes Flous Le système flou content tos composantes pncpales vo la fgue. le bloc fuzzfcaton qu va effectue une tansfomaton des vaables d entée défnes pa des fonctons d appatenance en des vaables lngustques qu peuvent ête tatées pa des opéateus flous. Le moteu d'nféence qu est le vétable ceveau du système "flou". l donne la elaton qu exste ente les vaables d entée (expmées comme vaables lngustques) et les vaables de sote (également expmées comme vaables lngustques). La base de ègles floues consste en une collecton de ègles de la fome S-los. pès l étape d nféence on obtent une valeu floue et pusque les entées du système à commande sont des valeus pécses alos l est nécessae de tansfome les valeus floues en des valeus numéques ben détemnées c est le ôle de la défuzzfcaton. x en U Fuzzfcateu Base de ègles Défuzzfcateu y en V nsembles flous en U Moteu d nféence nsembles flous en V Fgue. : Schéma synoptque généale d un système flou. 6

36 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S La ème ègle floue écte sous la fome suvante [Wang 97] : R ( l ) l l l : S x est F et...et xn est Fn los y est B (.75) Le système flou effectue une elaton de coespondance ente U U K U n R et l ensemble R où [ ] n x x K x n R le vecteu d entée et y R est la sote du système. F et l B sont les ensembles de fonctons d appatenance des entées et des sotes du système flou espectvement. K désgne le nombe d entée pou le système flou et l Km désgne le nombe des ègles floues S-los. On vot que les systèmes flous compennent une classe tès che de confguaton de systèmes statque de n U R à R pace que dans chaque bloc l y a dfféents chox et beaucoup de combnasons de ces chox peuvent about aux sous classes des systèmes flous qu seont utlsées comme des composants de note contôleu adaptatf flou. L ensemble du système flou avec la fuzzfcaton sngleton la défuzzfcaton pa cente de gavté et le podut d nféence sont tous des fonctons écte sous la fome suvante : y ( x) m l y m l n ( Π l ( x )) F n l ( x ) Π l F f : U R n R telles que la sote (.76) K n Où x ( x x ) U ( ) l x F l y est le pont auquel l ensemble des fonctons d appatenances l pend sa valeu maxmale (en généal on assue que ( ) ( y ) les ensembles flous [Wang 97]. S on fxe l ( ) x F ) et l G et consdèe l F et l G sont l y comme des paamètes austables alos l'équaton (V.) peut ête éécte sous la fome compacte suvante : ( x) θ ξ ( x) ξ ( x) θ y (.77) y K θ y est un vecteu des paamètes et ξ ( x) ξ ( x) K ξ m ( x) est vecteu de m où [ ] égesson dont la l ème composante est donnée pa : l ξ ( x) Π n l F m n l Π ( x ) l ( x ) F [ ] (.78) L éctue de la sote du système flou sous la fome (.77) pemet d une pat d explote les dfféents algothmes adaptatfs lnéaes et d aute pat d ntodue dectement des nfomatons lngustques émanant de l expet human. 7

37 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S.5.. Commande pa Mode Glssant Les pocessus physques sont les plus souvent non lnéaes. Mal défns et ont des paamètes vaables. a exemple dans le cas des obots les équatons dynamques sont non lnéaes couplées et les paamètes ntevenant dans leu descpton dépendant de la chage. D aute pat un modèle mathématque n est en d aute qu une epésentaton appoxmatve de la éalté physque et cependant on ne déposant que de ce modèle pou constue une lo de commande. La technologe des modes glssants consste à amene la taectoe d état d un système ves la suface de glssement. Dans la éalté l est souvent tès dffcle de epésente stctement un pocessus et connaîte toutes les vaables mse en eu. a conséquent la lo de commande qu lu sea assoce dot ête obuste afn de atténue à cetans non lnéatés ou eeus d dentfcaton. La commande pa mode glssant pemet de éponde à ce poblème. Cette obustesse se fea au détment des pefomances. n effet la dscontnuté et l entée ndut des vbatons haute-féquences ndésables en patque. De plus la suface de glssement défne dans ce fomalsme édut l ode du système en boucle femée ce qu ne pemet pas dans cetans cas d mpose au système un modèle désé de stablsaton Systèmes à stuctue vaable aux égmes glssants Un système à stuctue vaable est un système dont la stuctue change duant son fonctonnement. La commande de tels systèmes pa mode de glssement a en généal deux modes de fonctonnement (Fg..4.) : Le mode non glssant (eachng mode) ou mode d accès ou encoe mode de convegence (MC). Le mode glssant (sldng mode). ns la taectoe de phase patant d une condton ntale quelconque attent la suface de commutaton en un temps fn (mode non glssant) pus tend asymptotquement ves le pont d equlbe avec une dynamque défne pa le mode glssant. 8

38 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S ont d équlbe () Mode glssant hase d accès ( xx& ) S Fg..4. Modes de fonctonnement dans le plan de phases Condtons d exstence et de convegence du égme glssant Les condtons d exstence et de convegence sont les ctèes qu pemettent aux dfféentes dynamques du système de convege ves la suface de glssement et d y este ndépendamment de la petubaton. On pésente deux appoches :.5... ppoche decte Cette appoche est la plus ancenne elle est poposée et étudée pa [Utkn 77]. lle est donnée sous la fome : ( x) S( x) < S & (.79).5... ppoche de Lyapunov l s agt de chos une foncton canddate de Lyapunov V ( x) > (foncton scalae postve) pou les vaables d état du système et de chos une lo de commande qu fea décote cette &. foncton V ( x) < n défnssant pa exemple une foncton canddate de Lyapunov pou le système comme sut : V (.8) ( x) S ( x) n dévant cette denèe on obtent : ( x) S( x) S& ( x) V & (.8) 9

39 Chapte Commande floue et stablté des modèles flous -S ou que la foncton canddate de Lyapunov pusse décote l sufft d assue que : ( x) S( x) < S & (.8) Cette denèe appoche est utlsée pou gaant les pefomances de la commande l étude de la obustesse et de la stablté des systèmes non lnéaes..6. CONCLUSON Ce chapte a été pésenté en deux pates essentelles la pemèe consste à pésente un apeçu su la stablté et la commande flous (-S). Nous avons détallé le pncpe de la commande DC et la mse en œuve d'obsevateu -S. Ces outls pésentés sevont également pou les tavaux que nous abodons dans ce qu sut. a alleus nous avons pésenté quelques ésultats concenant la elaxaton des LM. Quant aux systèmes -S quelques ésultats de commande obustes ont été ctés notamment les appoches DC utlsant le ctèe H. Les ésultats ctés dans cette pate ne concenent que le poblème de stablsaton des modèles -S. n evanche le poblème de synthèse obuste et celu de l explotaton numéque des ésultats. n effet le passage du poblème de stablsaton au poblème de commande en pousute n'est pas tval et l obtenton des ésultats en temes de LM n est pas systématque. Mas d un cetan pont de vue la méthode d analyse este smlae pou tate le poblème de stablsaton et celu de la pousute de taectoe. Dans la deuxème pate nous avons pésenté une appoche de synthèse obuste pou les systèmes non lnéaes qu est la commande pa mode glssant. Un appel théoque su le pncpe de commande avec cette technque pou les systèmes non lnéaes à stuctue vaable est détallé et ensute nous avons abodés les condtons d exstence et de convegence du égme glssant. Dans la sute de ce manusct on va applque cette technque pou assue la obustesse et la pefomance en cas de la pousute des systèmes non lnéaes.