Table des matières. 2.1 Amplitude, phase, pulsation et fréquence. MPSI - Électrocinétique II - Régime sinusoïdal forcé page 1/7

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1 MPSI - Électrocinétique II - égime sinusoïdal forcé page /7 égime sinusoïdal forcé Table des matières ôle générique pour l étude des régimes périodiques forcés Signau sinusoïdau. Amplitude, phase, pulsation et fréquence Valeur moyenne et valeur efficace Notation complee eprésentation de Fresnel Étude du C série 3 3. égime sinusoïdal forcé Simplification apportée par la notation complee éponse en intensité - ésonance d intensité éponse en charge - ésonance de tension au bornes du condensateur Impédance 6 4. Définition Dipôles, et C Générateurs éseau linéaires en régime sinusoïdal forcé 7 5. oi des noeuds oi des mailles Association série - Diviseur de tension Association parallèle - Diviseur de courant oi des noeuds en terme de potentiel Générateurs équivalents de Thévenin et Norton Puissance en régime sinusoïdal forcé 7 6. Puissance instantanée - Puissance moyenne - Facteur de puissance 7 6. Notation complee ôle générique pour l étude des régimes périodiques forcés Nous allons reprendre l étude du régime libre en ajoutant à l équation différentielle un second membre sinusoïdal. ẍ + αẋ + ω = A cosωt) Tout signal périodique st) de période T = π peut s écrire comme une combinaison linéaire de signau sinusoïdau série de ω Fourier) st) = A n= + A n cosnωt) + B n sinnωt)) n= Si nous rajoutons à l équation différentielle un second membre périodique non sinusoïdal), connaissant la solution avec second membre sinusoïdal nous pouvons en déduire la solution avec second membre périodique. En effet équation différentielle étant linéaire, la solution avec second membre périodique peut s écrire comme une combinaison linéaire des solutions avec second membre sinusoïdal d où le rôle générique du régime sinusoïdal forcé pour l étude des régimes périodiques forcés. Signau sinusoïdau. Amplitude, phase, pulsation et fréquence Une grandeur sinusoïdale peut-être représentée par t) = X m cosωt + ϕ) Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 7

2 MPSI - Électrocinétique II - égime sinusoïdal forcé page /7 t) < >= pour une fonction sinusoïdale. X m T X m est l amplitude dimension de la grandeur ) ω est la pulsation en rad.s ωt + ϕ est la phase à l instant t en radian) ϕ est la phase à l origine des temps en radian) t On définit d une manière générale pour un signal périodique la valeur efficace notée X par Pour une fonction sinusoïdale.3 Notation complee X = T X = X m T T t)dt T X = X m Toute grandeur sinusoïdale de pulsation ω peut-être mise sous la forme t) = X m cosωt + ϕ) a représentation complee de t) est la fonction complee a période temporelle est la durée au bout de laquelle le signal se reproduit identique à lui-même T = π ω avec j = t) = X m epjωt + ϕ) = X m epjωt en seconde s) a fréquence du signal est le nombre de périodes ou cycles) par seconde f = T = ω π en hertz Hz). Valeur moyenne et valeur efficace On définit d une manière générale pour un signal périodique la valeur moyenne notée < > par < t) >= T T t) dt X m = X m epjϕ est l amplitude complee, son module est égale à l amplitude de la grandeur t) X m = X m son argument est égale à la phase à l origine des temps de la grandeur t) ϕ = argx m ) e retour à la grandeur réelle s effectue en prenant la partie réelle de la fonction complee t) = e{t)} Attention X m e{x m } Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 7

3 MPSI - Électrocinétique II - égime sinusoïdal forcé page 3/7.4 eprésentation de Fresnel a représentation de Fresnel de t) = X m cosωt + ϕ) est la représentation géométrique de X m dans le plan complee. 3 Étude du C série 3. égime sinusoïdal forcé et) Nous avons déjà étudié le régime libre et) = et la réponse à un échelon de tension et) = E. Nous allons étudié le cas où et) = cos ωt a solution est la somme q + α q + ω q = q = q h) + q p) cos ωt q h) correspond au régime libre qui disparaît au bout de quelques τ = α q p), solution particulière, est de la forme Q m cosωt + ϕ) En régime sinusoïdal forcé, le régime libre a disparu, on cherche donc une solution de la forme qt) = Q m cosωt + ϕ) a réponse qt) à la même pulsation que l ecitation et) ; reste à déterminer l amplitude et le déphasage. C i q u En reportant qt) dans l équation différentielle, on trouve Q m ω cos ωt cos ϕ sinωt sin ϕ) αq m ωsin ωt cos ϕ + cos ωt sin ϕ) +ω Q m cos ωt cos ϕ sinωt sin ϕ) = cos ωt En identifiant les termes en cosωt et les termes en sin ωt { ω ω )Q m cos ϕ αω Q m sinϕ = αω Q m cos ϕ ω ω )Q m sinϕ = cos ϕ = sinϕ = ω ω ) [ω ω ) + 4α ω ]Q m αω [ω ω ) + 4α ω ]Q m tan ϕ = αω ω ω cos ϕ + sin ϕ = Q m = ω ω ) + 4α ω 3. Simplification apportée par la notation complee Soit qt) la représentation complee de qt). équation différentielle étant linéaire, si qt) est solution alors qt) est aussi solution on remplace cosωt par epjωt) dans l équation différentielle) ω Q m epjωt) + αjω Q m epjωt) + ω Q m epjωt) = epjωt) On simplifie par epjωt) Q m = ω ω + j αω Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 7

4 MPSI - Électrocinétique II - égime sinusoïdal forcé page 4/7 et on en déduit directement l amplitude et le déphasage Q m = Q m = ω ω ) + 4α ω ϕ = argq m ) = arctan αω ω ω etenons que d une manière générale en notation complee : - dériver revient à multiplier par jω à tourner de π/ dans le plan complee); - intégrer revient à diviser par jω à tourner de π/ dans le plan complee). 3.3 éponse en intensité - ésonance d intensité et) = i + di dt + C En régime sinusoïdal forcé i h) ), on cherche une solution de la forme ayant pour représentation complee it) = I m cosωt + ϕ) it) = I m epωt) idt avec = ω ω et Q = ω Im/Em I m = I m = Q=5 Q=,5 + Q ) Q=, On observe un phénomène de résonance d autant plus marqué que le facteur de qualité est élevé. ϕ = argi m ) = arctanq ) avec I m = I m epjϕ) it) est solution de l équation différentielle epjωt) = i + di dt + C = + jω + ) I C jω m idt pi/ phi I m = + j ω ) = Cω + jq ) -pi/ Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 7

5 MPSI - Électrocinétique II - égime sinusoïdal forcé page 5/7 Quelque soit le facteur de qualité, il y a toujours résonance d intensité pour ω = ω ; à la résonance, l intensité est maimale et le déphasage entre la réponse l intensité) et l ecitation tension et)) est nul. Um/Em 3.4 éponse en charge - ésonance de tension au bornes du condensateur Q=5 et) = C du dt + C d u dt + u En régime sinusoïdal forcé u h) ), on cherche une solution de la forme ayant pour représentation complee ut) = U m cosωt + ϕ u ) Q=, Q=,5 On n observe pas toujours un phénomène de résonance. S il y a résonance, celle-ci est d autant plus marquée que le facteur de qualité est élevé. avec U m = U m epjϕ u ) ut) = U m epωt) ut) est solution de l équation différentielle epjωt) = C du dt + C d u dt + u phi ϕ u = argu m ) = arctan Q ) = Cjω Cω + ) U m U m = ω ω + jcω = + j Q -pi/ avec = ω ω et Q = Cω U m = U m = ) + Q -pi Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 7

6 MPSI - Électrocinétique II - égime sinusoïdal forcé page 6/7 Si le facteur de qualité est supérieur à, il y a résonance de tension au bornes du condensateur pour une pulsation d autant plus proche de ω que le facteur de qualité est élevé; à la résonance, la tension est maimale mais le déphasage entre la réponse la tension au bornes du condensateur) et l ecitation tension et)) n est pas nul. Il y a résonance si U m admet un maimum ou si ) + admet un minimum Q c est à dire si ) ) + Q = On trouve ω r = U m vaut alors = Q à condition que Q > Q U m ω r ) = Q est aussi appelé facteur de surtension. 4 Impédance 4. Définition Q 4Q Q Soit un dipôle passif linéaire fonctionnant en régime sinusoïdal forcé. Si U m et I m désignent les amplitudes complees associées à ut) et it), on appelle impédance complee du dipôle la grandeur notée Z et définie en convention récepteur par Z = u i = U m I m On définie aussi l admittance complee Y = Z Z contient tout ce qui caractérise le comportement du dipôle en régime sinusoïdal forcé Z = U m I m = U I rapport des valeurs maimales oscilloscope) ou rapport des valeurs efficaces multimètre) en ohm Ω) arg Z = ϕ u ϕ i déphasage de la tension par rapport à l intensité 4. Dipôles, et C Pour une résistance Pour une inductance u = i Z = u = di = jωi Z = jω dt a tension est en avance de π/ sur l intensité. Pour un condensateur C i = C du dt = Cjωu Z = jcω a tension est en retard de π/ sur l intensité. 4.3 Générateurs linéaire en régime sinusoïdal forcé si u = e Zi e est la fem complee du générateur Z est l impédance interne du générateur Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 7

7 MPSI - Électrocinétique II - égime sinusoïdal forcé page 7/7 5 éseau linéaires en régime sinusoïdal forcé Un réseau linéaire en régime sinusoïdal forcé est un réseau constitué de dipôles passifs linéaires et de générateurs linéaires délivrant des tensions ou des courants sinusoïdau que nous choisirons tous de même pulsation ω. Tous les résultats vus sur les réseau linéaires sont transposables à condition de raisonner sur les amplitudes complees et d élargir la notion de résistance à la notion d impédance. 5. oi des noeuds 5. oi des mailles 5.3 Association série - Diviseur de tension U m = Z Z + Z U m 5.4 Association parallèle - Diviseur de courant I m = Y Y + Y I m 5.5 oi des noeuds en terme de potentiel Y V N m = k V km Y k 5.6 Générateurs équivalents de Thévenin et Norton 6 Puissance en régime sinusoïdal forcé 6. Puissance instantanée - Puissance moyenne - Facteur de puissance Soit ut) = U m cosωt) la tension au bornes d un dipôle linéaire quelconque orienté en convention récepteur et it) = I m cosωt + ϕ) l intensité du courant le traversant. a puissance instantanée reçue par le dipôle pt) = ut)it) = U m I m cosωt)cosωt + ϕ) = U mi m cosωt + ϕ) + cos ϕ) a puissance moyenne P = U mi m cos ϕ est le facteur de puissance Au bornes d une résistance cos ϕ = UI cos ϕ P = UI Au bornes d une bobine ou d un condensateur 6. Notation complee a puissance moyenne peut s écrire P = e P = { } u i en effet u i = U m epjωt)i m ep jωt + ϕ) = U m I m ep jϕ Posons Z = + jx alors { } P = e Z I m I m { } = e Z I m = I m e {Z} = I Damien DECOUT - Dernière modification : janvier 7

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