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1 Université Paris-Sud 11 L3 MFA M304 1 Introduction à Matlab 1.1 Notations matricielles Pour définir une matrice, on utilise les symboles [ ] pour délimiter le début et la fin des éléments, l espace (ou la virgule, ) pour séparer les valeurs sur une ligne et le symbole ; pour délimiter les lignes. Par exemple >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0] A = définit une matrice A de dimension 3 3. Remarque: Matlab fait la distinction entre un vecteur ligne et un vecteur colonne! >> b=[366;804;315] b = définit un vecteur colonne de dimension 3 1. >> c=b c = donne la transposée du vecteur b (on utilise le symbole apostrophe ) définissant un vecteur ligne de dimension Opérateurs arithmétiques Les opérateurs arithmétiques s appliquent aux scalaires, aux vecteurs et aux matrices. Il faut juste vérifier que les opérandes soient compatibles. 1

2 L opérateur d addition est noté + et celui de la soustraction -. Pour la multiplication, on distingue la multiplication matricielle, le produit scalaire et le produit tensoriel notés tous *, et la multiplication terme à terme notée.*. >> A*b est la multiplication matricielle j A ijb j. L opérateur.ˆ correspond au carré des coefficients d une matrice. Par exemple : >> A.^ L opérateurs de division terme à terme est noté par./. Par exemple : >> A./A NaN Remarque : NaN signifie un nombre indéfini! 1.3 Fonctions standards et matrices spécifiques Quelques fonctions mathématiques standards sous MATLAB 1. les fonctions trigonométriques: sin, cos, tan, asin, acos, atan 2. les fonctions exponentielles: exp, log, log2, log10, sinh, cosh Les fonctions précédentes peuvent s appliquer à des matrices ou vecteurs : 2

3 1. zeros(n,m) : création d une matrice nulle n m 2. ones(n,m) : création d une matrice unité n m 3. eye(n,m) : création d une matrice identité n m 4. rand(n,m) : création d une matrice de coefficients aléatoires entre 0 et 1 5. size(a) : retourne la dimension (n,m) de A (sous forme d un vecteur ligne 1 2) 6. inv(a) : calcul la matrice inverse de A 7. norm(x) : calcul la norme d un vecteur (norme euclidienne) ou d une matrice (norme 2) 8. cond(a) : renvoie le conditionnement de la matrice A = A / A Une application Exercice 1. Résoudre le systã me d équation linéaire x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 366 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 = 804 7x 1 + 8x 2 = 351 Matlab 1. Définir les matrices A et b telles que Ax = b : >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0] A = >> b=[366;804;315] b = Vérifier le déterminant de la matrice A : >> det(a) Comme det(a) 0, le système a unique solution 3

4 >> x=inv(a)*b x = Il existe un autre opérateur de MATLAB permettant de résoudre ce système : >> x=a\b x = Structures de contrôle Boucle La boucle classique (répétition d un nombre fixé d itérations) s écrit sous Matlab: syntaxe: for i=1:n, inst., ; qui répète n fois la série d instructions inst. avec un compteur i variant de 1 à n. Les instructions sont séparées soit par une virgule, soit par une fin de ligne. >>X=rand(1,5); >>S=0; for i=1:length(x), S=S+X(i)^2, ; est calcul de n i=1 X2 i Dans beaucoup de cas, on peut éviter l écriture de ces boucles explicites en utilisant des boucles implicites sur les indices. L exemple précédent s écrit alors: >>S=X*X Boucle conditionnelle syntaxe: while cond., inst., 4

5 1.5.3 Choix conditionnel syntaxe: if cond, inst1, else inst2, 1.6 Script Matlab Un programme Un programme (ou une suite d instructions) Matlab peut être sauvegardé dans un fichier script (script M-File) ayant une extension.m, que l on peut créer avec un éditeur de texte externe ou avec l éditeur de l interface graphique. Exercice Faire un programme Matlab suite.m calculant la suite avec n = 10 S n = 1 n n n + n 2. S n est considéré comme la somme de Riemann de f(x) = 1 x+1. Lorsque n +, la suite S n converge alors vers 1 f(x)dx = ln(2) Tracer la courbe d erreurs en fonction de n. Matlab 2. Voici le programme Matlab suite.m : n = 10; Sn = 0.; for i=1:n Sn = Sn + 1./(n + i); Sn % Calculer Sn avec n = 11,..., 30 M = 20; N = 10+[1:1:M]; for n=1:m Sn = 0.; for i=1:n(n) Sn = Sn + 1./(N(n) + i); err(n) = abs(sn - log(2.)); % Tracer le graphe plot(n,err, r ); xlabel( n ); ylabel( erreurs ); 5

6 1.6.2 Une fonction Pour définir une nouvelle fonction sous Matlab, on écrit la définition de la fonction dans un fichier avec une extension.m (fonction M-File). Le nom du fichier doit être le nom de la première fonction définie (la seule visible). On l exécute en tapant le nom de la fonction avec entre parenthèses la liste des arguments. La première ligne du fichier de la fonction doit suivre la syntaxe suivante: syntaxe: function arguments de sortie = nom(arguments d entrée) On doit donc déclarer les valeurs calculées par la fonction dans les arguments de sortie, et les paramètres de la fonction dans les arguments d entrée (qui ne sont pas modifiés). Attention, contrairement au script, les variables d une fonction sont des variables locales, qui ne sont pas accessibles en dehors de la fonction. Pour passer des information à une fonction, il faut donc utiliser les paramètres d entrée ou de sortie. En fait on peut utiliser des variables globales (mot clé global) sous Matlab, mais cela est à éviter dans le cadre d une bonne programmation. Exercice 3. Réécrire le programme suite.m en introduisant la fonction Matlab somme qui calcule la somme S n. Matlab 3. Tout d abord, on écrit le fichier somme.m function val = somme(n) Sn = 0.; for i=1:n Sn = Sn + 1./(n + i); val = Sn; Grâce à cette fonction. Le nouveau programme nommé suite2.m est % Calculer Sn avec n = 11,..., 30 M = 20; N = 10+[1:1:M]; for n=1:m Sn = somme(n(n)); err(n) = abs(sn - log(2.)); % Tracer le graphe plot(n,err, r ); xlabel( n ); ylabel( erreurs ); 6

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