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1 Etude du mouvement de rotation autour d un axe fixe Définition des repères Considérons le solide (S) en rotation autour d un axe par rapport au solide (S), plaçons les repères R et R liés aux solides (S) et (S) de façon à ce que l axe de rotation soit confondu avec les axes x et x. On appelle angle de rotation, l angle θ/ entre y et y ou entre z et z La trajectoire du point M(quelconque) est un cercle contenu dans le plan(o,y,z) ou dans le plan O,y,z) Vitesse de rotation ou vitesse angulaire La vitesse de rotation ω/ ou θ / de (S) par rapport à (S) est égale à la dérivé par rapport au temps de l angle de rotation θ/=f(t) dθ ω = θ = & θ = θ/ est exprimé en radians (rd) ω/ est exprimée en rd/s (radians par seconde) /

2 Vecteur vitesse de rotation On appelle vecteur vitesse de rotation du solide(s) par rapport au solide (S), le vecteur noté Ω (oméga) tel que : & θ Ω - sa norme soit égale à la valeur absolue de θ / - son support soit l axe de rotation ( O, x) - son sens soit le sens positif si θ />, négatif si θ /< - son point d application soit un point appartenant à l axe de rotation ( O, x) z θ / z y θ / y O Ω / x Remarque : ne pas confondre vecteur vitesse de rotation et vecteur vitesse. Accélération angulaire L accélération angulaire du solide (S) par rapport à (S) est notée θ /. C est la dérivée par rapport au temps de la vitesse de rotation θ /. θ /= d θ / / = dω unité rd/s /

3 vecteur vitesse d un point. Soit un point M de (S) porté par l axe y,et ses coordonnées dans le repère (R) lié à (S) O M R.Le vecteur vitesse du point M s exprime en fonction du vecteur rotation Ω par la relation : θ = MO Ω = R = R z = R = R θ ω R R R θ Remarques z (,x) et = MA Ω A O = Propriétés La norme des vecteurs vitesse est proportionnelle à la distance séparant le point d application de l axe de rotation, On peut donc tracer le vecteur vitesse d un point à partir d un autre. Les vecteurs vitesse sont tangents à la trajectoire, donc perpendiculaires au rayon. Z z / Y R θ/ M Y M / Répartition des vecteurs vitesse /

4 Vecteur accélération d un point. Le vecteur accélération du point M noté ΓM rapport au temps du vecteur vitesse,soit : correspond à la dérivée par Γ d M = Le vecteur vitesse est exprimé dans le repère mobile R. R Rθ Le calcul de Γ M doit se faire par rapport au repère de base R, on a donc : ΓM d drθ = z drθ = d R z = θ ( θ. ) car dz y =Ω z=.. = z + Rθ y z + Rθ Rθ R Γ M. = Rθ z. y Dans un repère R lié à S ΓM R Rθ = V R Rθ = dv Portée par le rayon et dirigée vers le centre Tangente à la trajectoire γt=rθ est appelée accélération tangentielle γn=-rθ est appelée accélération normale En phase d accélération γt est de même sens que la vitesse. En phase de décélération γt est de sens opposé à la vitesse. Z Z ΓM/ γn γt θ/ Y O Y 4/

5 Mouvement circulaire uniforme Un mouvement circulaire est dit uniforme si : Son accélération angulaire est nulle θ /=,sa vitesse de rotation est donc constante θ /=ω/ Les équations de mouvement donnent : θ /=(accélération angulaire nulle) θ /=ω/=ω=constante θ = ωt + θ avec ω=vitesse angulaire initiale en rd/s θ= angle de rotation initial en rd θ(t)= angle de rotation à l instant t en rd Mouvement circulaire uniformément accéléré. Un mouvement circulaire est dit uniformément accéléré si son accélération angulaire est constante : θ /= constante. Les équations de mouvement sont : θ /= cste (accélération angulaire constante. θ /=ω/=θ /.t+ω θ t θ = + ωt + θ avec ω/=vitesse angulaire à l instant t ω=vitesse angulaire initiale θ=angle de rotation initial θ= angle de rotation à l instant t remarque : ω ω ω. en remplaçant t dans (t) = θ t+ ω t= θ = θ. + ω. t+ on obtient θ θ t ω ( θ θ) = θ ω mouvement plan sur plan définition un solide(s) est dit en mouvement plan par rapport à un solide de référence (S), lorsque tous les points appartenant à ce solide se déplacent parallélement à un plan fixe appartenant au solide (S). Exemple :carton traîné sur une dalle de béton. 5/

6 Centre instantané de rotation. Pour tout solide (S) en mouvement plan par rapport à un solide (S), il existe un point I appelé centre instantané de rotation noté CIR. Ce point I est tel que la vitesse de ce point est nulle à l instant t considéré, soit : VI / = Ce point est unique à l instant t. La position de ce point varie au cours du temps. Construction du CIR Le CIR se trouve sur les normales des vecteurs vitesse tracées à partir des points d application de ces vecteurs. Remarques Il suffit de connaître le vecteur vitesse d un point et la direction du vecteur vitesse d un autre point pour déterminer le CIR ainsi que les vecteurs vitesse des autres points. Pour un mouvement de rotation, le CIR est confondu avec le centre de rotation. Pour un mouvement de translation, le CIR est situé à l infini. Exemple : embiellage I CIR VA/ A VG/ G CIR VB/ B 6/

7 Vecteur vitesse de rotation instantanée. Ω A l instant t, le vecteur de rotation instantané est tel que : son point d application soit I, le CIR son support soit perpendiculaire au plan son sens soit tel que : MI Ω forment un trièdre direct, 4 sa norme soit égale à Ω =θ Remarque : La norme de Ω et la position de I varient au cours du temps. Vecteur vitesse instantanée. A l instant t, le vecteur vitesse d un point M s écrit : =MI Ω dans le plan on peut écrire : θ = MI V = R ω Distribution des vecteurs vitesse Soit P et M deux points appartenant à (S), on a la relation suivante entre VP et VP = Ω + PM La vitesse du point P peut ainsi être déterminée par le tracé I/ exemple : embiellage VB / VA/ B A B VB/ IB =IB on trace la répartition des vitesses à l aide de VA on déduit VB = VB, on reporte le vecteur perpendiculaire à IB 7/

8 propriété d équiprojectivité : soit M et P deux points appartenant à (S), on a la relation suivante entre et VP : VP PM = PM PH=MK M K VP/ P H / 8/

9 TORSEUR CINEMATIQUE Soit un solide (S) en mouvement par rapport à un repère R lié à un solide (S). Le champs des vecteurs vitesse des points du solide (S) dans son mouvement par rapport à R est modélisable en A par le torseur suivant : S { v R } S { v R } = Ω VA est appelé torseur cinématique de S par rapport à S Soit A et B deux points distincts de S, les vecteurs vitesses de ces points vérifient : VB = VA Ω + BA Composition de mouvement Soit un solide (S) en mouvement par rapport à un solide ( S) lui même en mouvement par rapport à un solide (S). Alors le mouvement de (S) par rapport à (S) est composé des deux mouvements précédents, nous avons alors : Mvt/=Mvt/ Mvt/ Exemple :Le voyageur dans le camion qui laisse tomber une bille (voir début du cours) Y Y Y X X X Mvt/ (bille/voyageur) Mvt/ (voyageur/camion) Mvt/ (bille/camion) Remarque :Mvt/=Mvt/ Mvt/ Mvt/ (repère lié à la route) 9/

10 Composition des vitesses Soit le point A appartenant à (S) en mouvement par rapport à (S) également en mouvement par rapport à (S).Nous avons la relation suivante : VA + = VA VA Vitesse de glissement On appelle vitesse de glissement en A, entre deux solides (S) et (S), la VA ou VA vitesse relative La vitesse de glissement est contenue dans le plan Π tangent au contact. Au pointa,il y a en réalité points confondus à l instant t A : pointa de S A : point A de S A : point A de S VA/ (S) (Π) Relation decomposition des vitesses en A : (S) VA + = VA VA condition de roulement sans glissement. Pour qu il y ait roulement sans glissement, il faut que la vitesse de glissement soit nulle, soit : VA = Remarque si VA = alors VA = VA /

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