I. Rappel synthétique sur les situations d introduction

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1 1 Etude d une progression les décimaux O. IO CONNAISSANCE DES FRACTIONS SIMPLES ET DES NOMBRES DÉCIMAUX Au cycle 3, les élèves mettent en place une première maîtrise des fractions et des nombres décimaux : compréhension de leurs écritures, mise en relation des écritures à virgule avec des sommes de fractions décimales, comparaison des nombres décimaux, utilisation de graduations. Leur étude sera poursuivie au collège. Les fractions et les nombres décimaux doivent d abord apparaître comme de nouveaux nombres, utiles pour traiter des problèmes que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre de façon satisfaisante : problèmes de partage, de mesure de longueurs ou d aires, de repérage d un point sur une droite. Les fractions sont essentiellement introduites, au cycle 3, pour donner du sens aux nombres décimaux. La compréhension des nombres décimaux est favorisée par la comparaison de certaines de leurs propriétés avec celles des nombres entiers : la notion de «nombres consécutifs» a du sens avec les nombres entiers, elle n en a plus avec les nombres décimaux, intercaler un nombre entre deux décimaux est toujours possible (ce qui n est pas vrai pour deux nombres entiers), le nombre de chiffres de l écriture décimale est un critère de comparaison de deux nombres entiers et ne l est plus pour deux nombres décimaux. Concernant les écritures à virgule des nombres décimaux, les élèves doivent comprendre que la valeur d un chiffre dépend de sa position : cette valeur se définit notamment par rapport à l unité (le dixième et le centième représentent dix fois moins et cent fois moins que l unité) et par rapport à celle des chiffres voisins (le centième représente dix fois moins que le dixième). Dans les situations où des décimaux sont utilisés, on rendra les élèves attentifs au choix des décimales pertinentes. Les connaissances relatives aux fractions et aux nombres décimaux concernent : les fractions simples : utilisation, écriture, encadrement entre deux nombres entiers successifs, écriture comme somme d un entier et d une fraction inférieure à 1, les nombres décimaux : utilisation, valeur des chiffres en fonction de leurs positions dans une écriture à virgule, passage de l écriture à virgule à une écriture fractionnaire (fractions décimales) et inversement, suites de nombres décimaux, lien entre désignations orales et écritures chiffrées, la comparaison, le rangement, l intercalation, l encadrement de nombres décimaux, leur placement sur une droite graduée, la valeur approchée d un décimal à l unité près, au dixième près, au centième près. I. Rappel synthétique sur les situations d introduction I.1. Le savoir social Nous avons évoqué la possibilité de s appuyer sur les connaissances sociales des enfants 1. Une séquence sur ce terme peut prendre la forme d une expression assez libre des enfants avec mise en commun par le maître. Il est alors possible de la prolonger pour établir assez rapidement plusieurs écritures (1/2 ; 0,5 ; 0,50 ) Par exemple, faire écrire deux ou trois phrases comportant le mot demi. Liste d exercices «Pour aller de l école à chez moi, il y a 1km. Quand j ai fait la moitié du chemin, combien de km ai-je parcouru?» 1 Archer M. Roy M. A la rencontre des décimaux à l école élémentaire 1993 IREM de Lyon

2 2 «Maman a acheté 1 litre de jus d orange. Pendant le goûter, nous en avons bu la moitié. Quelle quantité reste-t-il?» «Complète l étiquette» Introduction d autres nombres Inventaire des nombres décimaux ou fractionnaire trouvés sur des étiquettes. Passage à l oral. Exercices de calcul mental «J ai acheté.. à 1F50 et à 2F 50, combien ai-je payé» 0 1 Bâtir toute une progression avec cette seule référence semble délicat. I.2. Les fractions représentées Il paraît assez naturel d introduire une représentation des fractions. Si cela est fait, il convient très certainement d enrichir les exercices proposés 2 Diversité spatiale des représentations Lien entre plusieurs écritures Repérer des fractions identiques parmi plusieurs choix, vérifier que des fractions sont identiques par une représentation, Utiliser des dispositifs variés (par exemple les carreaux du cahier comme unités pour représenter 2 + 3/4) La critique de cette activité si elle n est pas mise en perspective est que les tâches à résoudre ne prennent sens que dans le contexte spécifique d une ou plusieurs séquences sans problème authentique à résoudre. I.3. Les situations de mesure Le problème est de mesurer une bande de longueur inconnue à l aide d une bande de papier commune aux élèves. Le travail peut se faire par groupe avec rédaction de messages. Les production risquent essentiellement d investir des fractions du type a/2 n. Pour le choix du matériel je vous renvoie au précédent polycopié. Afin d enrichir les procédures, on peut introduire le guide-âne afin que différentes fractions interviennent par exemple en laissant le choix aux enfants du fractionnement de leur bande unité en leur en fournissant au besoin plusieurs. Dans ce cas un problème effectif est bien posé, la phase ultime est de faire le lien avec les nombres décimaux. 2 Pour information sur des activités plus construites voir IV. Annexe

3 3 I.4. Usage de bandes graduées Dans un premier temps, on peut fournir les mêmes bandes graduées différemment (de 0 à 4 avec des dixièmes, des quarts, des cinquièmes) et laisser le choix aux élèves de placer sur l une ou l autre divers nombres décimaux (0,8 ; 3,2) et fractionnaires (4/5 ). Il est alors possible de débattre une nouvelle fois des diverses écritures et d institutionnaliser des égalités du type 3,5 = 3 + 5/10 avant d établir un tableau de numération centaines dizaines unités dixièmes On peut alors faire réaliser une grande bande graduée en centièmes et dixièmes. Elle peut être utilisée comme support ou validation de tâches variées (diverses écritures 3,5 ; 3,50-, règle de comparaison -2,4 ; 2,17-, opérations 2,7 + 1,4-). On notera la différence entre le placement de points et le calcul d écarts d une part et le codage de longueurs 3 d autre part. II. Points de repères 4 «Il est inutile de travailler sur les décimaux si les propriétés de la numération décimale sont flottantes pour des entiers : multiplier par 10, 100, 1000 ou par 20, 300, 4000 Doit se faire sans erreur. De même, en calcul mental, la recherche des quotients et restes dans les divisions par 10, 100, 1000 doit être un exercice banal; en calcul rapide écrit, celle des quotients et restes dans les divisions par 2, 5, 25, 50, 125, 250, etc. doit être conduite dans des temps "raisonnables". -L'entraînement au calcul préalable de l'ordre de grandeur doit devenir réflexe : 132 x 42 est proche de Cela servira également à contrôler des calculs du genre de 47,5-12,923 (erreur par alignement par le dernier chiffre à droite) ou 128,453-3,7 (erreur par soustraction séparée des parties entières et décimales). -La référence aux unités doit être faite dans les changements d'unités (compensation citée plus haut). C'est d'ailleurs une préparation à l'algèbre de l'enseignement secondaire. -Le recours à la droite numérique doit utiliser à la fois le codage de points et le codage de longueurs. pour mettre en évidence la structure additive sous-jacente (et donc les mesures d'écart). -La calculatrice peut être une boîte noire avec laquelle les élèves expérimentent les propriétés des décimaux. -Les propriétés de linéarité de la proportionnalité doivent être mises en évidence chaque fois que c'est possible. Pour multiplier 12.6 par on décomposera en 12 x x x 0.6 et 0,6 x On pourra travailler sur les "décimaux dans la vie sociale", car ils donneront des points de contrôle partiels pour les "vrais décimaux", mais ils présentent l'inconvénient d'assimiler les premiers décimaux rencontrés avec des entiers, source d'erreurs répétées. En parallèle, il sera 3 En particulier pour des sommes sur la seule bande graduée, les longueurs n apparaissent pas toujours clairement. 4 Bolon J. L enseignement des décimaux à l école élémentaire Grand N n

4 4 indispensable d'aborder les divergences de points de vue entre la mesure (physique) et le calcul. Par exemple, quand on mesure la diagonale d'un carré (dessiné), le nombre obtenu est décimal (ou mieux, c'est un intervalle) ; quand on calcule la longueur de la diagonale d'un carré de 10 cm de côté, le nombre obtenu n'est pas un décimal, mais un irrationnel. Je me demande si l'on peut étudier les propriétés des décimaux sans recourir aux fractions, présentées à la fois comme longueurs et comme aires (voir les puzzles de Régine Douady qui fournissent un répertoire additif et multiplicatif sur les fractions), sans utiliser la calculatrice comme un objet à fabriquer des nombres décimaux.» III. Les grandes difficultés des élèves

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7 7 Les causes de ces erreurs On peut parler de l obstacle didactique que constituent les nombres entiers (nombre décimal perçu comme juxtaposition de deux nombres entiers) ce qui induit de nombreux théorèmes en acte par exemple pour la comparaison «le nombre qui a la plus longue écriture est le plus grand» La maîtrise partielle de l algorithme fournit aussi son cortège de théorèmes en acte «Le nombre qui a le plus grand entier est le plus grand 12,113 > 12,4» «Le nombre qui a le plus grand nombre de décimales est le plus petit 12,04 < 12,4) «Causes d'erreurs 5 Voici quelques exemples d'erreurs relevées dans l'usage des décimaux: E 1 : on rencontre fréquemment chez les élèves des égalités du type : 2,3 x 2,3 = 4,9 ; 17,3 + 21,8 = 38,11 Ces erreurs sont interprétées généralement comme une difficulté à placer la virgule E 2 : Pour 37% des élèves de CM2 (Enquête INRP, 1979) le nombre 3,2 est inférieur à 3, Aides pédagogiques pour le cycle moyen, les nombres décimaux Elem-math VIII Publication de l A.P.M.E.P n

8 8 E 3 : L'exercice : écris un nombre dans la case vide, les nombres sont supposés rangés du plus petit au plus grand. 1,23 1,24 est peu traité en général. Pour les élèves 1,23 et 1,24 sont deux décimaux consécutifs: ils ne conçoivent pas qu'on puisse intercaler d'autres décimaux. E 4 : les élèves ressentent souvent deux écritures du type: 1,23 et 1,230 comme représentant des nombres différents. E 5 : A la question: lorsqu'on multiplie un nombre par un autre, le résultat sera-t-il automatiquement plus grand? La plupart des enfant répondent par l'affirmative. Que signifient ces erreurs? Les erreurs signalées plus haut, s'expliquent par le fait que les méthodes d'apprentissage des décimaux utilisées ne remettent pas en cause le modèle des entiers naturels, mais au contraire, l'utilisent. Considérons l' erreur désignée par E l : pour le produit et la somme indiqués, un décimal est considéré comme un couple de deux entiers naturels séparés par une virgule. Le produit et la somme portent alors sur chaque composante des couples 2,3 X 2,3 = 4,9 car 2 X 2 = 4 et 3 x 3 = 9 17,3+21,8 = 38,11 car = 38 et 3+ 8 = 11. Pour comparer 3,2 et 3,135 (erreur E 2 ), les élèves comparent 2 et 135. Les élèves pensent que multiplier un nombre par un autre nombre n c'est obtenir un "nombre plus grand", car exceptés les cas où le nombre n est nul ou égal à 1 (cas que l'on rencontre peu souvent) c'est ce qui est vrai pour l'ensemble des entiers naturels.»