V. «Pistes de réflexion sur l apprentissage du calcul» 9

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1 V. «Pistes de réflexion sur l apprentissage du calcul» 9 Le constat, souvent établi dans le second degré, «les élèves ne savent plus calculer» se généralise et fait objet d'une étude par la DGESCO depuis Plusieurs voies de remédiation ou d apprentissage s ouvrent alors : remédiation au calcul mental, au calcul posé, remédiation par l utilisation des TICE Une expérimentation basée sur l accentuation tant de certains critères des bulletins officiels que sur la maîtrise de la langue a été menée sur la préparation au calcul mental et posé intervenant sur plusieurs critères : Maîtrise du français Mécanismes techniques de résolution avec ou sans sémantique Initiation à la preuve par le calcul Prise de conscience des objets mathématiques Mise en place de stratégies de résolution. Ces pistes de réflexions ont pour but de mieux préparer les élèves au calcul instrumenté. Bien qu'elles soient fortement dépendantes des programmes de seconde, elles sont transposables à tout niveau. 1. Le Français et les Mathématiques, plus proches que jamais! Un élève de lycée ne maîtrise pas forcément toutes les notions vues au collège. Parfois il a «fait des impasses», parfois il a appliqué des techniques sans en comprendre le sens et le fond ; parfois il a pu atteindre un certain degré de maîtrise Ainsi, la vision des mathématiques peut paraître obscure, multipliant les techniques à maîtriser, augmentant ainsi le panel de connaissances ayant pour effet de saturer la mémoire d un élève ; alors que si un fil conducteur est mis en place et s il est maîtrisé, en partant d idées ou besoins naturels qui évoluent par la suite grâce à des règles (à l image d un jeu de société : on a le droit de faire ceci ou cela suivant tel cas de figure) les mathématiques deviennent une discipline plus abordable. La question devient donc «qu'est-ce qui est naturelle chez l élève?» ou «qu'est-ce qu'ils font quotidiennement depuis tout petit?» ou «quel a été le premier besoin?». La réponse est le langage. D ailleurs, dans les bulletins officiels, on note que les mathématiques ne se servent pas du français pour exister, mais se nourrissent aussi de ce dernier (il y a un jeu d aller-retour entre les mathématiques et le français) pour la construction «d images mentales», «l organisation et la gestion de données», «la représentation des nombres». (extrait du B.O. spécial N 6 du 28 aout 2008 : Ces apprentissages, qui se font en relation avec la maîtrise de la langue et la découverte des sciences, sont poursuivis tout au long de la scolarité obligatoire avec des degrés croissants de complexité nombre entiers naturels, nombres décimaux, fractions, nombres relatifs ( ) Enfin, en tant que discipline d expression, les mathématiques participent à la maîtrise de la langue, tant à l écrit rédaction, emploi et construction de figures, de schémas, de graphiques qu à l oral, en particulier par le débat mathématique et la pratique de l argumentation.). 9 Dans ce paragraphe, nous proposons des pistes de réflexions (qui n engagent que les auteurs), suite aux lectures des BO et documents ressources, notamment celui intitulé : «le calcul sous toutes ses formes au collège et au lycée». 78

2 En effet, il est intéressant dans certains cas de figures de résoudre des équations, non pas par une méthode «algébrique» (lorsque cela n est pas nécessaire), mais en utilisant le français. Cela a plusieurs objectifs : Mettre un sens concret sur une écriture mathématique Varier les méthodes de résolutions sans préconiser forcément la méthode «experte» Varier les registres (algébriques, langage naturel) qui peuvent intervenir dans la résolution d une équation 10. Exemples : 1) Résolution de Extrait du programme de 3 ème B.O. spécial N 6 du 28 aout 2008 : ( ) Les élèves, dans le cadre du socle commun, peuvent être amenés à résoudre des problèmes se ramenant à une équation du premier degré sans que la méthode experte soit exigible( ). L élève peut aisément résoudre cette équation uniquement en utilisant le français. L équation va se lire : Je suis un nombre (ici 3x mais on ne le dit pas), on m ajoute 5, je tombe sur 32. Quel est ce nombre? Réponse 27. Donc donc. (On retravaille ainsi la substitution, problème souvent rencontré lors du calcul d image avec les fonctions, et en calcul littéral). On recommence : Je suis un nombre, on me multiplie par trois, je tombe sur 27, quel est ce nombre? Réponse 9. Donc, donc x=9. Après plusieurs exemples, la méthode est vite remarquée et nous pouvons passer aux solutions rationnelles. 2) Ensemble des rationnels «Rationnel» a pour racine latine «Ratio», la raison qui signifie : «Le mot raison vient du latin ratio, qui désigne, en premier lieu, une «mesure», un «calcul», la «faculté de compter ou de raisonner» ( ) On continue d'utiliser le terme ratio en mathématiques où il signifie «rapport entre deux nombres (...) Autres mots dérivés de ratio : «prorata», «race», «ration», «ratifier» 11. Nous pouvons donc expliquer que le mot rationnel est de la même racine que le mot ration qui, associé à l opération de division, dénote le partage. Or, par son sens même en français, le partage implique forcément au moins un protagoniste. Il est donc impossible de partager entre zéro personne. De ce fait la division par zéro est impossible. Et pourtant, le français n'est pas maîtrisé, les consignes sont difficilement comprises et les nuances de langue sont très nombreuses. Il est donc conseillé de favoriser les entraînements à la langue et à la reformulation. Cf. extrait du B.O. spécial N 6 du 28 aout 2008 : L enseignant guide le travail des élèves et, éventuellement, l aide à reformuler les questions pour s assurer de leur sens, ( ) en s appuyant 10 «La bonne conduite d un calcul est également conditionné par le transfert dans un autre registre» - Extrait du document ressource «Le calcul sous toutes ses formes au collège et au lycée». 11 Définition extraite de WikiPédia : 79

3 notamment sur la reformulation écrite par les élèves ( ) des connaissances nouvelles acquises en fin de séquence). 2. Des exemples génériques permettant de mieux appréhender une définition ou une propriété. Comprendre ou réaliser la preuve d un théorème, d une propriété demande un certain degré de maturité. Cependant, beaucoup de propriétés du collège (notamment liées aux calculs) ont une démonstration très abordable qui va, de plus, renforcer la technique et les connaissances sur la manipulation des nombres. Les conséquences directes à la réalisation de ces preuves ne sont pas négligeables : Maîtrise de la notion concernée Meilleure connaissance des opérations sur les nombres Augmentation du capital confiance. Exemple : Soit, avec a qui apparaît n fois. Après quelques exemples direct (calculer ), il est intéressant de revenir sur les preuves de propriétés suivantes : ( ). Pour on remarquera que (cette «astuce» est à présenter car on la retrouve lors de la simplification de certaines fractions :.) Donc, où a apparaît 0 fois, donc. Pour, le résultat est évident, mais la manipulation de la définition n est pas inutile. Pour, on obtient au total 2 fois 4 fois fois Extrait de «Ressources Mathématiques pour les classes de 6 ème, 5 ème, 4 ème, 3 ème du collège Raisonnement et démonstration» : ( ) une preuve apportée sur un exemple générique est une forme de raisonnement déductif, car il s agit d une démonstration faite sur un exemple mais transférable. Dans ce cadre, il faut faire identifier aux élèves en quoi l exemple est générique, par exemple pour établir des propriétés des opérations, alors même que le professeur choisit de ne pas formaliser avec tous les élèves la généralisation du raisonnement utilisant le recours au calcul littéral( ). Ce qui est intéressant est l initiation à la stratégie et au réalisme, en effet, pour la plupart des cas, un élève ne saura pas comment commencer. L idée sera alors de le questionner sur ce qu il sait en relation avec le thème, ce qu il a déjà vu. L évidence lui fera dire qu il ne connaît que la définition et seulement que cela. Par conséquent il doit revenir à la définition, il n a que cette possibilité. Pour ( ), une idée sur laquelle on pourrait travailler est la disposition sous forme de tableau à l image des tables de multiplication. 80

4 3. Avant le calcul littéral : le calcul réfléchi permettant d appréhender une règle de calcul Extrait du B.O. spécial N 6 du 28 aout 2008 : ( ) L apprentissage des techniques opératoires est évidemment indissociable de l étude des nombres. Il s appuie sur la mémorisation des tables, indispensable tant au calcul mental qu au calcul posé par écrit ( ). Lors d un sondage effectué sur 45 élèves concernant la question suivante «Que vous évoque les notions suivantes : développer-réduire-factoriser?», les trois quarts des élèves ont répondu : «quelque chose avec des x» ou «des inconnues», le dernier quart n a rien répondu. Dans une réponse comme celle-ci, plusieurs aspects sont à interpréter : La notion est obscure La technique (savoir-faire) n est pas acquise Le dernier souvenir des élèves semblent être des exemples d applications techniques sur des expressions littérales L élève s est concentré sur des techniques de résolutions et des méthodes à connaître alors que, sous forme de jeux (avec bonus pour le gagnant selon le choix pédagogique de l enseignant), des calculs mentaux tels que ( ) deviennent vite abordables et utilisent les notions concernées. L idée sera alors d amener les identités remarquables à être utilisée pour des calculs du type : Extrait du programme de 3 ème B.O. spécial N 6 du 28 aout 2008 : Pour le calcul littéral, l un des objectifs visés est qu il prenne sa place dans les moyens d expression des élèves, à côté de la langue usuelle, de l emploi des nombres ou des représentations graphiques. C est en développant notamment des activités où le calcul littéral présente du sens et où il reste simple à effectuer que l on amène l élève à recourir à l écriture algébrique lorsqu elle est pertinente. ( ) Dans le cadre du socle commun, les élèves connaissent l existence des identités remarquables et doivent savoir les utiliser pour calculer une expression numérique mais aucune mémorisation des formules n est exigée. Le capital confiance des élèves sera alors renforcé et l'utilisation des techniques de calcul aussi. Le passage au calcul littéral présentera moins de barrières, l apprentissage des formules étant acquis. 4. Les objets mathématiques de type nombre L arrivée des nombres rationnels et irrationnels dans l esprit des élèves semble mal perçue et mal intégrée. En effet, le constat établi est le besoin, sans modération, de la présence de la calculatrice, non pas malheureusement pour un usage efficace, mais un passage systématique à la valeur approchée avec l intime conviction de l égalité parfaite. L observation des différentes réactions a permis de mettre en avant une éventuelle surcharge de formules mathématiques pour l exécution des opérations dites de base. Exemple : Nul besoin de formules mathématiques pour répondre à ce calcul, les objets mathématiques ont les caractéristiques d objet, c est-à-dire que si j ajoute trois objets avec huit objets de même nature, on 81

5 obtient 11 objets de même nature. On comprend aussi que l on ne peut ajouter des objets de natures différentes. On n'en revient à la lecture et à la compréhension en français. L'idée est alors de détacher l'esprit de la valeur approchée qui ne sera utilisée qu en cas de vérification. 82