f : I R 2x + x2 x 1 x 2 w : R R x x h un réel non nul tel que a + h I. On considère les points A(a; f(a)) et M(a + h; f(a + h)).

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1 1S1: doc 5 Dérivation I Pour bien commencer I.1 Limite en 0 d une fonction Soit I un intervalle contenant 0, I = I\ {0} et f : I R D é f i n i t i o n : On dit que f admet une limite finie L lorsque tend vers 0 si, et seulement si, pour tout choi d un intervalle ouvert centré sur L, on peut trouver une valeur int I telle que On note lim 0 f() = L I et ] int ; int [ implique que f() est dans l intervalle choisi. Eemple 1 Calculer la limite en 0 de f : R R. (Choisir plusieurs intervalles et finalement ]2 ǫ; 2 + ǫ[) Remarque 1 : En classe de première, pour les fonctions usuelles définies en 0, le calcul de la limite en 0 revient au calcul de l image de 0 : t : R R Perspectives : Une fonction peut avoir une limite infinie en 0 : g : R R Une fonction peut ne pas avoir de limite en 0 : Eemple 2 Calculer lim w : R R I.2 Tau de variation d une fonction en a Dans ce paragraphe, on considère un intervalle I, a un nombre réel de I et a A M C f f : I R h un réel non nul tel que a + h I. On considère les points A(a; f(a)) et M(a + h; f(a + h)). Pourquoi noter a + h l abscisse de M 1 Quel est le coefficient directeur de la droite a = (AM) a a + h My Maths Space 1 sur 7

2 Dans le contete précédent, quelle est la conséquence graphique de l eistence d un nombre finie L obtenue en f(a + h) f(a) calculant lim h 0 h Le quotient f(a + h) f(a) h s appelle le tau de variation en a de la fonction f. II II.1 Nombre dérivé Définition D é f i n i t i o n : Soit I un intervalle contenant un nombre réel a, et f une fonction f : I R. On dit que f est dérivable en a si, et seulement si, le tau d accroissement en a de f admet une limite finie L : f(a + h) f(a) lim = L h 0 h Ce nombre L est appelé nombre dérivé de la fonction f en a et se note f (a). Eemple 3 Soit. Déterminer f (3). = II.2 Équation de la tangente à la courbe d une fonction en A Soit un intervalle I contenant a et f : I R f est dérivable en I. La droite qui passe par A(a; f(a)) et de coefficient directeur f (a) est la tangente à C f au point A. Son équation réduite est : y = f (a)( a) + f(a) (démo) Remarque 2 «Localement», la tangente à une courbe en un point, ne coupe la courbe qu en 1 seul point. EXERCICE 1 : n os 7, 10, 11 page 116 My Maths Space 2 sur 7

3 EXERCICE 2 : f : [ 5; 1[ ]1; 7] R Construire une courbe possible pour f avec : j i f( 3) = 3 et f ( 3) = 1 f( 1) = 2 et f ( 1) = 0 f(0) = 3 et f (0) = 1 f(2) = 2 et f (2) = 2 f(5) = 1 et f (5) = 0, 5 EXERCICE 3 : = Déterminer l équation de la tangente à C f au point d abscissse 3. III Fonction dérivée III.1 Idée À ce stade de la leçon, il n est possible de calculer un nombre dérivé qu un par un calcul de limite ou par une lecture graphique. Il serait plus aisé de disposer d un mécanisme de calcul des nombres dérivés. Or, qui dit mécanisme, dit fonction. On va donc accompagner, lorsque c est possible, toute fonction d une autre fonction qui permettra le calcul des nombres dérivés. III.2 Définition D é f i n i t i o n : On dit qu une fonction f est dérivable sur un intervalle I, si elle est dérivable en tout réel a de cet intervalle (c.a.d si le nombre dérivé f (a) eiste). La fonction de I dans R qui à tout réel de I associe le nombre dérivé de f en est alors appelée la fonction dérivée (ou dérivée) de f sur I. On la note. III.3 dérivées des fonctions usuelles EXERCICE 4 Soit f : I R f () 2 Déterminer la fonction dérivée de la fonction carré. My Maths Space 3 sur 7

4 Tableau des dérivées des fonctions usuelles Fonction Dérivée Ensemble de dérivation k,k R 0 R 1 R 2 2 R R n,n N n n 1 R n,n N n n ] ; 0[ ]0; + [ ] ; 0[ ]0; + [ ]0; + [ sin cos R cos sin R Ensemble de dérivation de f : ensemble des réels en lesquels f est dérivable. Remarque 3 : La fonction racine carrée est définie en 0, mais n est pas dérivable en 0. (voir e 35 p 118) 0 + h 0 en effet, lim =... h 0 h Il en est de même pour la fonction valeur absolue : elle n est pas dérivable en 0. Particularités graphiques de fonctions non dérivables en a. III.4 Opérations sur les dérivées À ce stade de la leçon, on dispose des dérivées des fonctions usuelles. Une fonction quelconque est une somme, un produit, un quotient, une composée (TS) de fonctions usuelles, il faut donc définir des règles de calculs de dérivées pour ces fonctions là. Par eemple, comment par eemple dériver Dérivée d une somme f : R R Si u et v sont deu fonctions dérivables sur un intervalle I, alors u + v est dérivable sur I, et on a : (u + v) = u + v C est à dire, I, (u + v) () = u () + v (). Eemple 4 Quelle est la dérivée de 1 + My Maths Space 4 sur 7

5 Dérivée d un produit Si u et v sont deu fonctions dérivables sur un intervalle I, alors uv est dérivable sur I, et on a : (uv) = u v + uv C est à dire, I, (uv) () = u ()v() + u()v (). Eemple 5 Quelle est la dérivée de ( ) Conséquence très importante : Soit k un réel quelconque, u une fonction dérivable sur un intervalle I. D après le théorème précédent, ku est dérivable sur I et (ku) = ku Eemple 6 Quelle est la dérivée de 4 3 Dérivée d un quotient Si u et v sont deu fonctions dérivables sur un intervalle I et v ne s annulant pas sur I, alors u v sur I, et on a : ( u ) u v uv = v ( u ) u ()v() u()v () C est à dire, I, () = v (v()) 2. v 2 est dérivable Eemple 7 Quelle est la dérivée de Conséquence très importante : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I sur lequel elle ne s annule ) = u pas. D après le théorème précédent, 1 u est dérivable sur I et ( 1 u u 2 Eemple 8 Quelle est la dérivée de h : R R My Maths Space 5 sur 7

6 III.5 En résumé : III.5.1 Opération Fonction Dérivée Addition u + v u + v Multiplication uv u v + uv Multiplication par un scalaire ku ku Quotient Inverse Application des dérivées à l étude des fonctions Déterminer les variations d une fonction u v 1 u u v uv Depuis le chapitre 3, la détermination des variations d une fonction f définie sur un intervalle I passait par la connaisance des fonctions associées ou par «l inévitable» recherche du signe de f(a) f(b) dès lors que l on avait a < b avec a, b I. Ce nouveau chapitre donne un nouvel outil : Soit f une fonction dérivable sur un intevalle I : v 2 u u 2 Si la dérivée f est nulle sur I (f () = 0, I), alors f est constante sur I ; Si f est strictement positive sur I, sauf peut-être en des points «isolés» où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I ; Si f est strictement négative sur I, sauf peut-être en des points «isolés» où elle s annule, alors f est strictement décroissante sur I ; Remarque 4 La fonction cube (f() = 3 définie sur R) offre un eemple marquant : R, f () = III.5.2 Eemple d étude de variations d une fonction Je justifie la dérivabilité de f sur R, je calcule la dérivée sur R, je recherche les éventuelles valeurs qui annulent la dérivée, je détermine le signe de la dérivée sur R et je rassemble tous les renseignements dans un tableau de variations «amélioré» où figure une ligne pour le signe de la dérivée. My Maths Space 6 sur 7

7 III.5.3 Etremum d une fonction Un etremum est soit un minimum, soit un maimum. Local ou global Soit g définie sur R par g() = Compléter le tableau de variations suivant : Signe de g () Variations de g ts ts Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, et 0 I. Si f s annule en 0 (f ( 0 ) = 0) en changeant de signe alors f admet un etremum local en 0. Pour qu il y ait un etremuml local en 0 I, il faut que f ( 0 ) = 0 (on qualifie cette obligation de condition nécéssaire) Remarque 5 : En pratique, la lecture des etrema (etremums) se fait dans les tableau de variations. EXERCICE 5 Démontrer que admet un maimum. h : R R Boîte à raccourcis : Les fonctions polynômes sont dérivables sur R. Les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition (c est à dire sur tout ensemble où le dénominateur ne s annule pas). My Maths Space 7 sur 7