[M. Gubinelli - Contrôle des chaînes de Markov - M1 MMD 2011/ poly 2 - v.1] Arrêt optimal

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1 Rappels sur les processus et sur les temps d arrêt 1 [M. Gubinelli - Contrôle des chaînes de Markov - M1 MMD 2011/ poly 2 - v.1] Arrêt optimal 1 Rappels sur les processus et sur les temps d arrêt Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et F = {F n } n 1 une filtration (c-à-d une famille croissante des sous-tribus de A). La filtration détermine ce qu on sait et ce qu on n sait pas à un instant de temps donné: tout événement A F n est déterminé au temps n. Un processus (X n ) n 1 est dit adapté ssi X n F n pour tout n. Il est prévisible si X 1 est constante et X n F n1 pour tout n > 1. Il est intégrable si X n L 1 (Ω) pour tout n. Il est une martingale (sur/sous) si il est intégrable et X n = E[X n+1 F n ] (, ) pour tout n 1. L espérance conditionnelle d une v.a. F intégrable par rapport à une tribu G est une v.a. intégrable E[F G] telle que E[GF] = E[GE[F G]] pour tout v.a. bornée F qui est G mesurable. Un temps d arrêt T est une v.a. T: Ω telle que les événements {T = k} sont F k mesurables pour tout k. Cette condition équivaut à demander que {T k} F k pour tout k. Quelques propriétés des temps d arrêt: {T > k} F k, {T k} F k1, si T, S sont t.a. alors T S = min (T, S) et T S = max(t, S) sont t.a. ((T S)(ω)=min (T(ω), S(ω))). La tribu F T engendrée par le temps d arrêt T est la plus petite tribu qui contient les événements A A tels que {T k} A F k pour tout k, i.e. F T = σ(a A: {T k} A: k, A F k ) Une fonction G est F T mesurable ssi GI {T =k} est F k mesurable pour tout k. C est une caractérisation équivalente des fonctions F T mesurables. Pour le prouver on note que il est vrai pour les fonction caractéristiques G = I B où B F T et que on peut approcher n importe quelle fonction F T mesurable par des combinaison linéaires des fonctions caractéristiques. Si on note G k = GI {T =k} alors on a que (G k ) k 1 est un processus adapté et que G=G T. Donc toute fonction G F T peut être écrite comme la valeur au temps T d un processus adapté (G k ) k 1. Si (X n ) n 1 est un processus adapté alors le processus arrêté en T : X n = X n T est adapté et X T est F T mesurable. Si (M n ) n 1 est une martingale alors (M n) n 1 est une martingale. Si S, T sont deux t.a. alors on dit que S T si S(ω) T(ω) presque sûrement. Si S, T sont deux t.a. tels que S T alors F S F T. Preuve: La tribu F S est engendrée par les événements A A tels que {S k} A F k. Mais alors si A F S on a que {T k} A = {S T k} A = {T k} ({S k} A) F k car {T k} F k et {S k} A F k par hypothèse. Donc tous les générateurs A de F S sont aussi générateurs de F T et donc F S F T. Lemme 1. Si les t.a. sont bornées et (M n ) n 1 est une martingale, alors E[M T F S ] =M S. (1) Démonstration. Soit tel que S T par l hypothèse de borninude des t.a. On montre d abord que E[M F T ] = M T. Par la définition d espérance conditionnelle on doit montrer que E[M G] = E[M T G] pour toute fonction bornée G qui est F T mesurable. On a que GI {T =n} F n et que E[M G] = n=1 = n=1 E[M GI {T =n} ] = n=1 E[M n GI {T =n} ] = n=1 E[E[M F n ] GI {T =n} ] E[M T GI {T =n} ] = E[M T G]. Maintenant on a que E[M T F S ] = E[E[M F T ] F S ] = E[M F S ] =M S car F S F T.

2 2 Section 2 Remarque 2. Une propriétés analogues sont vraie pour les sous/sur martingales. Soit (X n ) n 1 une sous-martingale, alors il existe toujours une martingale (M n ) n 1 et un processus prévisible croissante (A n ) n 1 (i.e. A n F n1 et A n+1 A n ) tels que X n = M n + A n. En effet si M doit être une martingale on a que X n A n = M n = E[M n+1 F n ] = E[X n+1 A n+1 F n ] = E[X n+1 F n ] A n+1 et donc il suffit définir A par A 1 = 0 et A n+1 A n = E[X n+1 F n ] X n 0 pour tout n > 1. Alors si X est une sous-martingales avec décomposition X n =M n + A n on a que E[X T F S ] = E[M T F S ] + E[A T F S ] = M S + E[A T F S ] M S + E[A S F S ] = M S + A S =X S car A T A S par la croissance de (A n ) n 1 et le fait que T S. Remarque 3. Si F est une v.a. intégrable alors F n = E[F F n ] est une martingale. Donc le lemme précèdent donne que E[F F S ] = F S pour tout t.a. bornée S. Donc on peut calculer l espérance conditionnelle par rapport à la tribu F S en prenant la valeur au temps n = S de l espérance conditionnelle calculé par rapport à F n. 2 Arrêt optimal en horizon fini On considère un processus adapté (Y n ) n 1 et on se pose le problème d optimiser la valeur E[Y T ] parmi tous les temps d arrêt T (pour la filtration F). L interprétation est que Y n (ω) est le gain qu on obtient si on décide de s arrêter au temps n et qu on cherche à optimiser le gain moyen attendu en fonction de la règle d arrêt que on se donne (que est la seule chose raisonnable au temps initial, i.e. sans connaître au préalable l évolution du système). On retient seulement les règles d arrêt T: Ω R qui sont telles que {T = n} F n, c-à-d pour lesquelles on sait dire si il faut s arrêter au temps n seulement en fonction de l histoire observée jusqu à ce moment-là. On considère d abord le problème en horizon fini, i.e. on se donne fixé, on appelle T l ensemble des temps d arrêt bornés par et on optimise parmi tous les t.a. T T. Soit J = sup T T E[Y T ] le gain moyen optimal. On appelle T temps d arrêt optimal si E[Y T ] =J. otation: L infimum tronqué inf A pour un ensemble A R est donné par inf A = inf A si A et inf =. La solution du problème d arrêt optimal (comme de la plus part des problèmes d optimisation) passe par la détermination d une fonction valeur Z n associé aux différent choix qui sont encore disponibles au temps n. La fonction valeur représente le gain sur lequel on peut espérer en fonction de tous l information que j ai accumulé jusqu au temps n, i.e. de F n. Elle doit satisfaire les propriétés suivantes: Z n F n : elle est un processus adapté. On doit être capable de la déterminer seulement en fonction des informations disponibles au temps n. Z n Y n : au temps n ce que j espère gagner ne peut pas être inférieur à ce que je peux gagner en m arrêtant tout de suite à n. Z n E[Z n+1 F n ] : ma position a une valeur qui n est pas inférieure à ce que j espère gagner en moyenne à l étape suivante (étant donné que je connais déjà F n ). En effet à chaque étape j ai deux choix (m arrêter ou continuer) sauf au temps final où je dois forcement m arrêter et donc gagner Y. On défini donc la fonction valeur par Z = Y, Z n = sup (Y n, E[Z n+1 F n ]) pour 1 n< (2) Elle est une sur-martingale qui majore Y. En effet on va montrer qu elle est l enveloppe de Snell de Y, i.e. la plus petite sur-martingale Q tel que Q n Y n pour tout 0 n. Théorème 4. Soit (Y n ) n 1 un processus adapté tel que E Y n < pour tout n 1. On défini Z n par l eq. ( 2) et un t.a. T = inf {k : Y k = Z k }. Alors la suite (Z n T ) n 1 est une martingale et E[Z 1 ] = E[Z T ] = E[Y T ] = J.

3 Arrêt optimal en horizon fini 3 Le t.a. T est optimal et Z est l enveloppe de Snell de Y. Remarque 5. On utilisera souvent des écritures du genre T = inf {k : Y k = Z k } pour définir des temps d arrêt. Ils sont abrégées pour T (ω) = inf {k : Y k (ω) = Z k (ω)}. Exercice: montrer que il s agit bien d un temps d arrêt. Démonstration. Par définition Z n E[Z n+1 F n ] et Z n Y n. Sur l événement {T n} on a Z n = E[Z n+1 F n ] donc le processus Z n Z 6 n T est une martingale par rapport à (F n) n 1. En effet E[1 A Z (n+1) T ] = E[1 A Z n T ] pour tout A F n. Donc si on considère les deux temps d arrêt n T et T on a n T T et E[Z T F n T ] = Z n T qui équivaut à dire E[Z T F n T ] =Z n T. En prenant l espérance on a, pour tout t.a. T : E[Y T ] (1) E[Z T ] (2) E[Z 1 ] = (3) E[Z T ] = (4) E[Y T ] où l inégalité (1) est donne par la propriété que Y n Z n pour tout n et donc pour tout t.a. T, l inégalité (2) est la propriété de sur-martingale de Z n par rapport au t.a. T, l égalité (3) est donne par la propriété de martingale du processus arrêté Z n et enfin l égalité (4) est du au fait que Y T = Z T par définition de T. Cela étant vrai pour n importe quelle t.a. T on a que E[Y T ] = J et donc que T est un t.a. optimal pour Y. Le gain optimal est donné par J = E[Z 1 ]. On va montrer que Z est l enveloppe de Snell de Y : en effet soit Q un autre sur-martingale qui domine Y : au temps final on a Q Y = Z. De plus si on a Q n Z n pour tout n > k alors Q k E[Q k+1 F k ] E[Z k+1 F k ] et Q k Y k, donc on a aussi Q k Z k et on a établi la domination aussi a l instant k. Par induction (rétrograde) on a domination à tout temps 1 k et donc Z est effectivement la plus petite des sur-martingales qui dominent Y. On peut conclure que le gain optimal est donné par l espérance en 1 de l enveloppe de Snell de Y. Corollaire 6. Le t.a. T est le plus petit t.a. optimal: si S est un autre t.a. optimal alors T S presque sûrement. Démonstration. Supposons que P(T > S) > 0. Alors pour ω Ω tel que T (ω) > S(ω) on a que Y S (ω) < Z S (ω) car T (ω) est le premier k ou on a l égalité Y k (ω) = Z k (ω). Comme l événement {T > S } a une probabilité positive on obtient que E[Y S ] < E[Z S ] strictement. Mais par la propriété de sur-martingale de Z on en déduit que E[Y S ] < E[Z S ] E[Z 1 ] = J et cela est en contradiction avec l hypothèse que S est optimal (i.e. E[Y S ] = sup T E[Y T ] = J ). Remarque 7. Si F est une v.a. positive ( 0) et l événement {F > 0} a probabilité strictement positive, alors E[F] > 0. En effet si P(F > 0) > 0 alors P(F ε) > 0 pour ε > 0 suffisamment petit (pourquoi?). Et donc E[F] E[F I F ε ] E[εI F ε ] εp(f ε) >0. Remarque 8. On observe qu une définition équivalente de T est T = inf {k : Y k E[Z k+1 F k ] } Corollaire 9. Le temps d arrêt T = inf {k : Y k > E[Z k+1 F k ]} est le plus grand temps d arrêt optimal: si S est un t.a. optimal alors S T p.s.. Démonstration. Supposons que P(T < S) > 0. On remarque que Z n = Z n (T +1) est une martingale (en effet si n T alors Y n E[Z n+1 F n ] et donc Z n = E[Z n+1 F n ]). D une part on a que E[Z S F S ] = Z S par la martingalité de Z. On remarque aussi que {T S} F S et donc que Y S I T S Z S I T S = Z S I T S = E[Z T I T S F S ] =E[Z T I T S F S ]. (3) D autre part, si on pose Z +1 = Z alors (Z n ) n=1,,+1 est encore une sur-martingale et donc on a que E[Z S (T +1) F T +1] Z T +1 (inégalité de sur-martingale avec les deux t.a. T + 1 S (T +1) + 1). Pour le fait que {T <S} F T et que Y S Z S : E[Y S I T <S] E[Z S I T <S] = E[Z S (T +1) I T <S] = E[E[Z S (T +1) F T +1] I T <S] (4) E[Z T +1 I T <S] = E[E[Z T +1 F T ] I T <S] < E[Y T I T <S] E[Z T I T <S]

4 4 Section 2 où on a utilisé aussi le fait que par la définition de T on a Y T > E[Z T +1 F T ]. L eq. (3) et l eq. (4) donnent que E[Y S ] = E[Y S I T S] + E[Y S I T <S] < E[Z T I T S] + E[Z T I T <S] = E[Z T ] = E[Y T ] qui est en contradiction avec l hypothèse d optimalité de S. Remarque 10. Il sera utile de donner une preuve détaillé du fait que Y T > E[Z T +1 F T ]. Commencer par montrer que si F est une v.a. intégrable et T est un t.a. alors E[F F T ]I T =n = E[F F n ]I T =n = E[F I T =n F n ]. De suite écrire Y T = n=1 Y n I T =n et conclure. 2.1 Problèmes avec structure markovienne Dans cette section on considère des problèmes d arrêt optimal (horizon fini) pour lesquels le processus des gains Y est une fonction connue d une chaîne de Markov X pour la filtration F. On montre que pour cette classe de problèmes la fonction valeur Z a une forme simple. Un processus de Markov X pour la filtration F et à valeurs dans l espace dénombrable S est un processus adapté (X n ) n=1,2, tel que X n : Ω S et que P(X n+1 = x F n )=P(X n+1 = x X n ) =P n (X n, x) x S, n 1 où P n est le noyau de transition du processus de Markov au temps n P n (x, y) = P(X n+1 = y X n = x) qui vérifie y S P n(x, y) = 1 pour tout x S et n 1. Si P n (x, y) = P(x, y) indépendamment de n on dit que le processus de Markov est homogène. P n est aussi appelé matrice de transition. Exemple 11. Dans le problème de la princesse la suite (X n ) n=1,, est un processus de Markov avec espace d états S = {1,, } et noyau de transition donné par P n (x, y) = P(X n+1 = y X n = x)=p(x n+1 = y)= 1 n + 1 I 1 y n+1 par indépendance des X n. On remarque que ce n est par un processus homogène en temps. Exemple 12. Dans le problème de Moser si on fait l hypothèse que la loi des X n est à valeurs dans l espace dénombrable S on a que les X n constituent un processus de Markov avec matrice de transition homogène P(x, y) =π(y) où π(y)=p(x 1 = y). Soit X un processus de Markov pour la filtration F et le processus des gains soit de la forme Y n = ϕ n (X n ) pour une famille de fonctions {ϕ n : S R: n = 1,, }. Considérons le problème d arrêt optimal associé. Par induction on montre que Z n σ(x n ) i.e. qu il existent des fonctions V n : S R telles que Z n = V n (X n ). En effet Z = Y = ϕ (X ) σ(x ) donc on peut prendre V (x) = ϕ (x). Si on suppose que Z n+1 = V n+1 (X n+1 ) σ(x n+1 ) alors on a que E[Z n+1 F n ] = E[V n+1 (X n+1 ) F n ] = E[V n+1 (X n+1 ) X n ] par la propriété de Markov et donc que Z n = sup (Y n, E[Z n+1 F n ]) = sup (ϕ n (X n ), E[V n+1 (X n+1 ) X n ]) = V n (X n ) pour une fonction V n. Cela conclut l argument d induction. En utilisant la matrice de transition on peut écrire que E[V n+1 (X n+1 ) X n ] = y S V n+1 (y)p n (X n, y)=p n V n+1 (X n ) où on a utilisé la notation Pψ(x) = y S P(x, y)ψ(y). Les fonctions V n sont données par l itération suivante: V (x) = ϕ (x) et V n (x)=sup (ϕ n (x), P n V n+1 (x)) pour1 n <. La règle d arrêt T devient T = inf {n : ϕ n (X n ) = V n (X n )} = inf {n : ϕ n (X n ) P n V n+1 (X n )}. Donc si on défini les ensembles D n = {x S: ϕ n (x) = V n (x)} = {x S: ϕ n (x) P n V n+1 (x)} on a que T = inf {n : X n D n }: le premier temps où X n entre dans le domaine D n (qui change lui aussi avec le temps).

5 Arrêt optimal en horizon fini 5 Supposons que la suite X soit donnée par des v.a. indépendantes. Dans ce cas la matrice de transition est P n (x, y) = π n (y) où π n (y) = P(X n = y) est la loi de X n. On voit que P n ψ(x) ne dépend pas de x et P n ψ(x) = y S ψ(y)π n(y) = E[ψ(X n )]. La fonction valeur est V n (x) = sup (ϕ n (x), E[V n+1 (X n+1 )]). Si on note c n = E[V n (X n )] alors c = E[ϕ (X )], c n = E[sup (ϕ n (X n ), c n+1 )] et T = inf {n : ϕ n (X n ) > c n+1 }. Le problème de la détermination de la fonction valeur est donc ramené au calcul des constantes c n qui dépendent seulement des ϕ n et des lois des X n. Le gain moyen optimal est donné par c 1 = E[Z 1 ]. 2.2 Problèmes monotones Définition 13. On défini la règle d anticipation à une étape (1-step lookahead rule ou 1-sla) pour le problème avec horizon en étant donnée par le temps d arrêt T 1sla = inf {n < : Y n E[Y n+1 F n ]}. Autrement dit la règle 1-sla demande de s arrêter à n si n est le premier temps où le gain Y n est supérieur ou égale au gain moyen qu on peut réaliser en s arrêtant à la prochaine étape. On s arrête à si Y n < E[Y n+1 F n ] pour tout n [1, 1]. Lemme 14. On a que T 1sla T et donc par le Corollaire 6 que T 1sla Tˆ pour tout t.a. optimal Tˆ. Démonstration. Pour tout n < on a que E[Y n+1 F n ] E[Z n+1 F n ]. Alors Y n < E[Y n+1 F n ] E[Z n+1 F n ] pour tout n < T 1sla ce que implique que T 1sla T. Le lemme dit que si la règle 1-sla demande de continuer alors il est optimale de le faire (car n importe quelle règle d arrêt optimale demande aussi de continuer). Définition 15. Le problème d arrêt est dit monotone ssi A 1 A 2 A 3 sûrement où A k est l événement A n = {Y n E[Y n+1 F n ]} F n. A 1 presque Théorème 16. La règle 1-sla est optimale pour tout problème monotone d horizon fini. Démonstration. Il suffit de montrer que T 1sla = T. On sait déjà que T 1sla T. Pour conclure il nous reste à établir que T 1sla T p.s.. Sur l événement {T 1sla = k} on a que A k est vérifie. En conséquence, pour la monotonie du problème, on a que tout A n pour k n 1 sont vérifies. Mais cela entraîne que A 1 Y 1 E[Y F 1 ] = E[Z F 1 ] Z 1 = Y 1 par A 2 on a que Y 2 E[Y 1 F 2 ] = E[Z 1 F 2 ] Z 2 = Y 2 et aussi de suite jusqu au prouver que Y k = Z k et donc que T k = T 1sla car T est le premier temps n où l égalité Y n = Z n est vérifié. Donc on a montré que nécessairement T T 1sla et donc que T = T 1sla.