Schéma d Euler explicite

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Schéma d Euler explicite"

Transcription

1 Schéma d Euler explicite Définition Étant donnés un pas de temps t et une suite d instants t n = t + n t n N, le schéma d Euler explicite associé à l équation différentielle du dt = ft, u, où f est une fonction continue de R + U dans R d, est donné par la relation de récurrence 2 v n+ = v n + t ft n, v n. Une «solution» de ce schéma est un N-uplet v n n {,...,N} de vecteurs de U vérifiant 2 pour tout n {,..., N }. Ce schéma approche ut n+ par ut n + t ft n, ut n, ce qui revient à remplacer f par la fonction constante égale à ft n, ut n sur l intervalle [t n, t n+ ] dans la formule intégrale ut n+ = ut n + n+ t n fs, us ds. Théorème Si f : R + U R d est continue, quel que soient t R +, u U, il existe T > t tel que, si pour < t < T t et N T t, la donnée initiale v = u et le schéma 2 définissent un unique N-uplet v n n {,...,N} de vecteurs de U. Soit alors la fonction v t : [t, T ] U, continue affine par morceaux valant v n en t n, c est-à-dire que v t t = v n + v n+ v n t tn t, si t [t n, t n+ [, n {,..., N }. Il existe une suite h k k N, strictement décroissante et tendant vers telle que v hk tend vers une fonction u C t, T ; U solution de l équation intégrale ut = u + T t fs, us ds, ce qui implique que u est solution de pour la donnée initiale u = u. Ce théorème de convergence à sous-suite près du schéma d Euler démontre «au passage» un théorème d existence de solutions pour l équation différentielle en supposant seulement f continue : ce résultat est en général attribué à Cauchy, Peano et Arzelà en ne retenant parfois que deux noms sur les trois. Sa démonstration repose sur un théorème d analyse fonctionnelle, attribué à Arzelà et Ascoli, souvent appelé simplement théorème d Ascoli. Théorème 2 Ascoli On considère l espace C K; R d des fonctions continues sur un intervalle compact K et à valeurs dans R d, muni de la norme sup : v := max t K vt R d. Si une suite v k k N est bornée dans C K; R d et équicontinue, c est-à-dire que pour tout ε >, il existe δ > tel que pour t, s K, si t s δ alors v k t v k s R d ε quel que soit k N.

2 Schémas explicites Définition 2 Étant donnés un pas de temps t et une suite d instants t n = t + n t n N, un schéma explicite à un pas est une relation de récurrence de la forme 3 v n+ = v n + t φt n, v n, t, où φ est une fonction de R + U R + avec U un ouvert de R d dans R d. Une «solution» du schéma est un N-uplet v n n {,...,N} de vecteurs de U vérifiant 3 pour tout n {,..., N }. Exemples : Schéma d Euler : φt, w, t = ft, w comme on l a déjà vu. Schéma de Runge : φt, w, t = ft + t, w + tft, w. Ce schéma provient de 2 2 l approximation de l intégrale n+ par la «formule des trapèzes», c est-à-dire par t n fs, us ds t ft n+/2, ut n+/2 où t n+/2 = t n + t 2, en approchant utn+/2 par le schéma d Euler entre t n et t n+/2. Définition 3 Le schéma 3 est dit consistant avec l équation différentielle si pour toute solution u C [t, T ]; U de, pour tout t [t, T ], l erreur de consistance : Rt, u, t := ut + t ut t φt, ut, t tend vers lorsque t tend vers, uniformément pour t [t, T ]. Le schéma 3 est dit consistant à l ordre p p N, ou simplement d ordre p, si de plus en supposant u de classe C p+ il existe C >, indépendant de t et de t [t, T ] tel que Rt, u, t C t p. Proposition Si φ est continue, le schéma 3 est consistant avec si et seulement si φt, w, = ft, w quel que soit t, w R + U. Si f est de classe C p, on définit f [] := f et par récurrence, pour tout k {,..., p }, f [k+] : R + U R d t, w f [k+] t, w := f [k] t t, w + d f [k] w j t, w f j t, w, et si φ est de classe C p, alors le schéma 3 est consistant avec à l ordre p si et seulement si pour tout k {,..., p }, quel que soit t, w R + U. k φ t, w, = t k k + f [k] t, w 2

3 Exemples : Le schéma d Euler est d ordre. En effet, pour φt, w, t = ft, w on a évidemment φ φt, w, = ft, w, mais t, w, =, ce qui n est pas égal à f t, w si la fonction f n est pas nulle. Donc en général, le schéma d Euler n est pas d ordre 2. t Le schéma de Runge est d ordre 2. En effet, pour φt, w, t = ft+ t, w+ tft, w, 2 2 φt, w, = ft, w, φ t t, w, = f d f t, w + t, w f j t, w = 2 t w j 2 f [] t, w. Donc le schéma de Runge est au moins d ordre. Plus généralement, φ t t, w, t = f 2 t t + t, w + tft, w d f w j t + 2 t, w + 2 tft, w f jt, w 2 f [] t + t, w + tft, w d f t + 2 w t, w + tft, w f 2 2 jt, w f j t + t, w + tft, w, 2 2 j d où 2 φ t 2 t, w, = 4 f [2] t, w d f t, w f [] w j = f [] 4 t t, w + d f [] j t, w w j t, w f j t, w f w j t, w f [] j t, w, ce qui n est pas égal à f [2] t, w en général. On voit cependant sur cet exemple que la vérification de l ordre d un schéma devient rapidement très technique. Dém. [Proposition ] Pour u C [t, T ]; U, pour tout t [t, T ], ut + t ut t = u t + θ t dθ tend vers u t lorsque t tend vers, uniformément par rapport à t car u est uniformément continue sur le compact [t, T ]. Par suite, si u est solution de, l erreur de consistance Rt, u, t tend vers ft, ut φt, ut, uniformément pour t [, T ] puisque φ est uniformément continue sur les compacts de la forme [, T ] u[, T ] [, t ]. Par définition, le schéma 3 est consistant avec si et seulement si cette limite est nulle quelle que soit la solution u. Ceci est par conséquent équivalent à ft, w = φt, w, quel que soit t, w R + U. Maintenant si u C p+ [t, T ]; U, pour tout t [t, T ], ut + t ut t = p k= k! tk u k t + p! tp θ p u p+ t + θ t dθ Si de plus u est solution de, on vérifie par une récurrence immédiate que pour tout k {,..., p + }, u k t = f [k ] t, ut. 3 =

4 Par ailleurs, si φ est de classe C p, φt, ut, t = p k= donc l erreur de consistance s écrit Rt, u, t = p! tp k φ k! tk t t, ut, + k p! tp θ p p φ t, ut, dθ t p p k= k! tk θ p θ p k + f [k] t, ut f [p] t, ut k φ t, ut, + t k p φ t, ut, dθ. t p Si tous les termes de la somme sont nuls, alors il existe bien C > tel que Rt, u, t C t p. Inversement, si l un des termes de la somme autre que le premier est non nul, soit k {,..., p } le plus petit entier tel que k φ t, ut, t k k + f [k] t, ut. Alors il existe t > et γ > tels que pour < t < t, Rt, u, t γ t k, ce qui interdit une majoration du type Rt, u, t C t p. Définition 4 Le schéma 3 est dit stable par rapport aux erreurs sur l intervalle [t, T ] s il existe t >, et C > tels que, pour N N tel que N T t / t, t = T t /N, ε n n {,...,N} R N+d, si v n n {,...,N} est solution du schéma 3 et u n n {,...,N} est solution du schéma perturbé 4 u n+ = u n + t φt n, u n, t + ε n, alors pour tout n {,..., N}, u n v n C u v + n m= ε m. Proposition 2 S il existe t > et Γ > tels que, pour tout t R +, pour u, v U, t < t, φt, u, t φt, v, t Γ u v, alors le schéma 3 est stable par rapport aux erreurs sur tout intervalle [t, T ]. d où Dém. Si v n n {,...,N} vérifie 3 et u n n {,...,N} vérifie 4, alors pour tout n {,..., N}, u n+ v n+ = u n v n + t φt n, u n, t φt n, v n, t + ε n, On en déduit par une récurrence facile que u n+ v n+ + Γ t u n v n + ε n. u n v n + Γ t n u v + 4 n m= + Γ t n m ε m.

5 Ce résultat est parfois énoncé sous l appellation lemme de Gronwall discret, par analogie avec le résultat analogue pour les fonctions : si w t cwt + εt quel que soit t alors wt e ct w + ect τ ετdτ, voir l appendice. Or pour tout réel x, + x e x. Donc u n v n e nγ t u v + n m= ε m et l on a la majoration cherchée pour C = e ΓT t. L hypothèse de la proposition 2 est très forte, puisqu elle demande à la fonction φ d être globalement Lipschitienne par rapport à w : ceci semble par exemple exclure la fonction φ : t, w w 2, correspondant au schéma d Euler pour l équation de Riccati u = u 2. On peut énoncer un résultat plus faible, avec une limitation sur l intervalle de résolution analogue à celle que l on connaît pour les équations différentielles. Pour l équation de Riccati par exemple, les solutions «explosent» en temps fini : une solution ne s annulant pas vérifie d où et donc lim t t +/ut ut = +. u t ut 2 = ut + ut = t t Proposition 3 Supposons φ de classe C. Quels que soient t R +, u U et v U assez proches, il existe t >, T >, ρ > et C > tels que pour tout N N tel que N T t / t, pour t = T t /N, si v n n {,...,N} est solution de 3 et u n n {,...,N} est solution de 4 avec N n= εn ρ pour tout n, alors pour tout n {,..., N}, u n v n C u v + n m= ε m Dém. Soient u, v U : s ils sont assez proches l un de l autre il existe une boule fermée B, de rayon R >, dans R d, incluse dans U et les contenant tous les deux. On notera B 3 la boule de même centre et de rayon 3R. Soient t R +, T > t et t ], T t [. Alors sur le compact [t, T ] B 3 [, t ], la fonction φ est bornée, disons par M >, et uniformément Lipschitzienne par rapport à w. Si l on choisit T ], T ] tel que T t M R, alors toute solution v n n {,...,N} de 3 avec N T t / t et t = T t /N vérifie v n v n t M R pour tout n {,..., N}. Ceci résulte d une récurrence facile : c est vrai pour n = ; si c est vrai pour n, v n+ v n tm d où par l inégalité triangulaire, v n+ v n + t M. De la même manière, si u n n {,...,N} est solution de 4 avec N n= εn R, u n u n t M + n m= εm 2R. Ainsi v n n {,...,N} et u n n {,...,N} restent dans le domaine de validité de la constante de Lipschitz de φ, et on peut donc faire le même calcul que dans la proposition 2. Dans ce qui suit on suppose la fonction f de classe C, de sorte que le théorème de Cauchy- Lipschitz s applique à l équation différentielle.., 5

6 Définition 5 Étant donnée une solution u C [t, T ]; U de, on appelle erreur globale du schéma 3 : E t := max n T/ t vn ut n. Le schéma 3 est dit convergent vers u sur l intervalle [t, T ] si l erreur globale tend vers lorsque t tend vers. Théorème 3 On suppose l équation différentielle admet une solution u C [t, T ]; U. On considère le schéma 3 avec la donnée initiale u = v. S il est stable par rapport aux erreurs sur [t, T ] et consistant avec l équation différentielle, alors il est convergent vers la solution exacte u. En outre il existe C > tel que E t C t p. Dém. Par définition de l erreur de consistance, ut n+ = ut n + t φt n, ut n, + t Rt n, u, t. Autrement dit ut n est solution de 4 avec ε n = t Rt n, u, t. Donc d après la stabilité du schéma, n ut n v n C m= Rt m, u, t C n t max m Rtm, u, t. Comme n t T t, ceci tend vers puisque l erreur de consistance tend vers. Si de plus on a une majoration de l erreur Rt, w, t C t p, on en déduit ut n v n C T t C t p. La question de la stabilité des schémas est en fait plus délicate qu il n y paraît, car la constante C de la définition 4 peut être colossale, de sorte qu une petite erreur u v sur la donnée initiale dûe par exemple à l imprécision d une mesure physique, ou à l arrondi dans l ordinateur entraîne une erreur démesurée sur la solution approchée. Ce problème de stabilité se pose également pour les solutions exactes de l équation différentielle sous-jacente. Prenons simplement le cas d une équation linéaire 5 du dt = λ u, où λ est un paramètre réel. S il est positif, l équation 5 modélise par exemple la croissance d une population dont le nombre d individus à l instant t est ut et dont le taux de natalité c est-à-dire le nombre de naissances par unité de temps et nombre d individus est λ. Par exemple en France ce taux est de l ordre de 4 par an. On sait que les solutions exactes de 5 sont de la forme ut = u e λt. Ceci implique qu une erreur commise à l instant initial est multipliée par e λt au bout d un temps T. La solution du problème de Cauchy pour la donnée initiale u = u + ε est donnée par ut = u e λt + ε e λt. Pour λ = 4 par exemple, e λ.527 est une valeur «raisonnable», mais e λ 2264! Si le modèle est pertinent sur 6

7 quelques dizaines d années, il perd son sens sur un millénaire. La même critique s applique au modèle discret toujours pour la croissance de cette population s écrivant simplement 6 v n+ = + λ v n, et se résolvant en v n = + λ n v. Pour λ = 4, on trouve + λ.496, tandis que + λ 9327! Noter que le modèle discret 6 n est rien d autre que le schéma d Euler explicite appliqué à 5 avec t =. Un tel «pas» peut paraître grossier, mais cela dépend de la valeur de λ et de l intervalle de temps auquel on s intéresse. Pour λ = 4 à nouveau, l erreur relative en un an c est-à-dire à t = t = = n entre la solution du modèle continu 5 et la solution du modèle discret 6 est pour des données initiales identiques e λ / + λ 4. Les erreurs s accumulant, on trouve une erreur relative de 3 au bout de dix ans, 2 à un siècle, après un millénaire, etc. Mais le principal problème reste le facteur + λ n, qui devient assez rapidement gigantesque lorsque n augmente, puisque + λ >. Considérons maintenant le cas où λ est strictement négatif. L équation différentielle 5 modélise alors par exemple une population en déclin, sans naissances et avec un taux de mortalité égal à µ := λ. Évidemment les solutions de 5, toujours de la forme ut = u e λt = u e µt, tendent vers lorsque t tend vers +. De même, si µ est effectivement un taux de mortalité, par nature inférieur à et même strictement en général, les solutions v n = µ n v tendent vers lorsque n tend vers +. En revanche, si l on applique le schéma d Euler à 5 avec un pas t trop grand, les solutions prétendûment approchées v n = µ t n v divergent : en effet, si 2 < µ t alors µ t > et donc lim n + v n = + si v! Une façon de remédier à ce problème est de considérer le schéma d Euler implicite. Avant d introduire le schéma d Euler implicite pour l équation dans un premier temps, rappelons que pour tout x R, lim + x n = e n + n x. Cette formule est même une façon la plus élémentaire, vue en principe en L de définir la fonction exponentielle. Ce n est pas hasard si elle est attribuée à Euler : elle explique pourquoi le schéma d Euler explicite v n+ = + λ t v n approche la solution de 5 : à T = N t > fixé, v N = + λ T N u e λt u N lorsque N + et par conséquent t. Maintenant on remarque que l on a aussi λ T N N e = λt eλt lorsque N +. Autrement dit, si l on définit w n n {,...,N} par w = u et λ t w n+ = w n pour tout n, c est-à-dire qu en fait w n = λ t n u, on a encore w N e λt u lorsque N + et t. Le calcul de w n est une autre façon d approcher la solution exacte. L avantage de w n sur v n est que, à t > fixé aussi grand qu on veut, lim n + w n =, puisque λ t < λ étant strictement négatif. 7

8 Schéma d Euler implicite Définition 6 Étant donnés un pas de temps t et une suite d instants t n = t + n t n N, le schéma d Euler implicite ou rétrograde associé à l équation différentielle est donné par la relation de récurrence implicite 7 w n+ = w n + t ft n+, w n+. Une solution de ce schéma est un N-uplet w n n {,...,N} de vecteurs de U vérifiant 7 pour tout n {,..., N }. Contrairement aux schémas explicites, il n est pas évident a priori que ce schéma ait des solutions. Cependant, si f est de classe C cela découle du théorème de Banach-Picard pour l existence et du théorème des fonctions implicites pour la régularité utile ensuite à la stabilité. Soient en effet t R +, u U, T > t, R >, M > et L > tels que T t M R et pour tous w, z Bu ; R la boule fermée de centre u et de rayon R, ft, w M, ft, w ft, z L w z. Si L t < et N t T t alors la condition initiale w = u et le schéma 7 définissent de façon unique un N-uplet w n n {,...,N} de vecteurs de U tels que pour tout n {,..., N}, w n Bu ; n tm Bu ; R. La preuve se fait bien sûr par récurrence. L initialisation est évidente. Si l on suppose w k Bu ; k tm construits pour k n N, alors l application ψ n : z w n + t ft n+, z laisse la boule fermée Bu ; n + tm invariante car ψ n z u w n u + tm et elle est contractante dans cette boule car ψ n z ψ n w L t z w et L t <. Donc d après le théorème de Banach-Picard elle admet un unique point fixe w n+. La fonction Ψ : R + R + U U R d t, s, w, z Ψ t, s, w, z := z w t fs, z. est de classe C comme f, et pour tout s, w, z R + U U, d z Ψ, s, w, z = I d. Or d z Ψ uniformément continue sur tout compact et l ensemble des isomorphismes de R d est ouvert. Donc il existe t > tel que pour t t et s, w, z [t, T ] Bu ; R Bu ; R, d z Ψ t, s, w, z est inversible. Ceci montre que le théorème des fonctions implicites s applique à Ψ en chaque point de [, t ] [t, T ] Bu ; R Bu ; R et par conséquent que l application Φ : t, s, w z = Φ t, s, w telle que z = w + t fs, z est de classe C. Ainsi, le schéma 7 se réécrit, au prix du calcul de Ψ, comme un schéma du type 3 avec φs, w, t := fs + t, Φ t, s + t, w. Par composition, φ est aussi de classe C. On vérifie que le schéma d Euler implicite est d ordre en remarquant que, par définition, Φ, s, w = w quel que soient s et w, d où φt, w, = ft, w. 8

9 θ-schéma Définition 7 Étant donnés θ [, ], un pas de temps t et une suite d instants t n = t + n t n N, le θ-schéma associé à l équation différentielle est défini par la relation de récurrence implicite 8 w n+ = w n + t θ ft n+, w n+ + θ ft n, w n. Une solution de ce schéma est un N-uplet w n n {,...,N} de vecteurs de U vérifiant 8 pour tout n {,..., N }. Autrement dit, le θ-schéma est obtenu comme combinaison convexe des schémas d Euler explicite et implicite. Comme pour le schéma d Euler implicite, on montre qu il admet des solutions par application d un théorème de point fixe. Le cas particulier θ = /2 correspond à ce que l on appelle le schéma de Crank-Nicholson. On vérifie que ce schéma est d ordre 2. 9

10 Schémas de Runge-Kutta Si l on veut «monter en ordre» il faut imaginer des schémas plus sophistiqués. C est le cas des schémas dits de Runge-Kutta. Ils généralisent le schéma de Runge, en raffinant l approximation de l intégrale n+ t n fs, us ds. Étant donnés des instants intermédiaires t n i = t n + c i t pour i {,..., q}, avec c i [, ], et des coefficients b j positifs ou nuls dont la somme vaut, on peut approcher l intégrale ci-dessus par la combinaison convexe q t b j ft n j, ut n j, et ut n i par une expression analogue entre t n et t n i : ut n i ut n + t q a i,j ft n j, ut n j, où les coefficients a i,j sont positifs ou nuls et tels que q i= a i,j = c j. Définition 8 Étant donnés un pas de temps t, une suite d instants t n = t + n t n N, c i [, ], b j [, ] tels que j b j =, a i,j [, ] tels que q a i,j = c i, on définit un schéma de Runge-Kutta à q étages par t n i = t n + c i t pour i {,..., q} et q vi n = v n + t a i,j ft n j, vj n, 9 q v n+ = v n + t b j ft n j, vj n. Une solution de ce schéma est un N-uplet v n n {,...,N} de vecteurs de U pour lequel il existe vi n U vérifiant 9 pour tous i {,..., q} et n {,..., N }. Ce schéma est explicite si a i,j = pour j i. Tous les schémas rencontrés jusqu à présent entrent dans la catégorie des schémas de Runge- Kutta, à un étage Euler ou deux étages Runge, θ-schéma. Parmi les autres schémas classiques on trouve celui à quatre étages, défini par v n = v n, v n 2 = v n + 2 t ftn + 2 t, vn, v n 3 = v n + 2 t ftn + 2 t, vn 2, v n 4 = v n + t ft n + t, v n 3, v n+ = v n + 6 t ft n, v n + 2ft n + 2 t, vn 2 + 2ft n + 2 t, vn 3 + ft n, v n 4, dont on peut montrer qu il est d ordre 4 ce qui est le maximum que l on puisse espérer pour un schéma explicite à 4 étages.

11 Appendice : Lemme de Gronwall Inéquations différentielles On appelle souvent lemme de Gronwall l observation suivante. Supposons qu une fonction u C I; R vérifie u t at ut + bt, avec a et b C I; R. Alors en s inspirant de la résolution de l équation différentielle u = at u + bt, on multiplie l inégalité par le nombre strictement positif e R t t aτ dτ et l on en déduit d e R t t aτ dτ ut e R t t aτ dτ bt, dt d où en intégrant : et finalement : e R t t aτ dτ ut ut R t t aτ ut ut e dτ + t t e R s t aτ dτ bs ds, e R t s aτ dτ bs ds. Inéquations intégrales Le «vrai» lemme de Gronwall est un peu plus subtil, puisqu il suppose une inégalité intégrale et non une inégalité différentielle la seconde impliquant la première mais pas l inverse. Or les estimations a priori que l on obtient en général sont plutôt du type intégral, d où l intérêt de ce lemme, dont la preuve est néanmoins élémentaire. Lemme Gronwall Si u C [, T ]; R + est telle qu il existe a C [, T ]; R + et c C [, T ]; R avec alors ut ct + ut ct + aτ uτ dτ, pour tout t [, T ], cτ aτ e R t τ as ds dτ, pour tout t [, T ]. Dém. L astuce consiste à démontrer l inégalité voulue non pas pour u directement mais pour le second membre de l inégalité dont on dispose. Plus précisément, posons vt = aτ uτ dτ. Alors on a, et c est ici qu intervient l hypothèse a, v t = at ut at ct + vt pour tout t [, T ]. Ainsi v satisfait une inéquation différentielle comme au paragraphe précédent, avec bt = at ct. En observant que v =, on en déduit que vt aτ cτ e R t τ as ds dτ, pour tout t [, T ].

12 On conclut en injectant cette majoration de vt dans l inégalité de départ. Suivant le contexte, l inégalité de Gronwall peut se simplifier ou s exprimer différemment. Si c est constante par exemple, on obtient la majoration : ut c e R t as ds. D autre part, on peut écrire une formule analogue avec un point t quelconque à la place de. Mais attention aux bornes des intégrales que l on manipule, il faut penser à mettre des valeurs absolues au bon endroit. Enfin, si c est dérivable on peut donner une autre version de l inégalité de Gronwall : en intégrant par parties on obtient en effet ut c e R t as ds + c τ e R t τ as ds dτ, pour tout t [, T ]. 2

Méthodes numériques de résolution d équations différentielles

Méthodes numériques de résolution d équations différentielles Méthodes numériques de résolution d équations différentielles Motivation. Quelques exemples de problèmes différentiels Modèle malthusien de croissance de population Modélisation de l évolution d une population

Plus en détail

Equations Différentielles Ordinaires. Théorie et Approximation Numérique. 13 mars 2016

Equations Différentielles Ordinaires. Théorie et Approximation Numérique. 13 mars 2016 Equations Différentielles Ordinaires. Théorie et Approximation Numérique 13 mars 2016 Plan Général EDO Réduction d ordre - Problème de Cauchy Exemples de problèmes différentiels Problème de Cauchy EDO

Plus en détail

Équations différentielles - Cours no 2 Résultats Généraux sur les équations différentielles

Équations différentielles - Cours no 2 Résultats Généraux sur les équations différentielles Équations différentielles - Cours no 2 Résultats Généraux sur les équations différentielles 1 Problème de Cauchy Cadre : I intervalle ouvert de R, Ω ouvert connexe d un espace de Banach E, f application

Plus en détail

Espaces de Banach. 1 Normes sur un espace vectoriel. 2 Topologie des espaces vectoriels normés. 2.1 Rappels

Espaces de Banach. 1 Normes sur un espace vectoriel. 2 Topologie des espaces vectoriels normés. 2.1 Rappels 1 Normes sur un espace vectoriel Espaces de Banach Définition 1.1. (Norme) Soit V un R-espace vectoriel (abrégé R-ev dans la suite). Une norme est une application définie sur V à valeurs dans R +, notée

Plus en détail

Analyse Numérique CP2. ENSA de Tanger Université AbdelMalek Essaadi, Maroc

Analyse Numérique CP2. ENSA de Tanger Université AbdelMalek Essaadi, Maroc Analyse Numérique CP2 ENSA de Tanger Université AbdelMalek Essaadi, Maroc Méthodes numériques pour la résolution d équations différentielles ENSA, Mai 2015 CP2 (ENSA de Tanger) Cours d analyse numérique

Plus en détail

1) Discrétisation en temps Nous avons vu au chapitre précédent qu un système dynamique composé

1) Discrétisation en temps Nous avons vu au chapitre précédent qu un système dynamique composé Chapitre Différences finies ) Discrétisation en temps Nous avons vu au chapitre précédent qu un système dynamique composé d une équation d évolution du () = f(u), t > 0 dt et d une condition initiale ()

Plus en détail

CONCOURS 2014 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Filière MP. (Durée de l épreuve : 4 heures) L usage d ordinateur ou de calculette est interdit.

CONCOURS 2014 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Filière MP. (Durée de l épreuve : 4 heures) L usage d ordinateur ou de calculette est interdit. A 2014 MATH. II MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP),

Plus en détail

Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007

Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007 Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Strasbourg, octobre 2007 Corrigé en janvier 2009 Rapidité de convergence d une suite réelle L objectif de ce texte est de se donner des outils pour «mesurer» la rapidité

Plus en détail

RÉSOLUTION APPROCHÉE D ÉQUATIONS

RÉSOLUTION APPROCHÉE D ÉQUATIONS D ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Objectifs A la fin de la séquence d enseignement l élève doit pouvoir résoudre un problème dynamique à une dimension, linéaire ou non, conduisant à la résolution approchée d

Plus en détail

Complétude et dimension d un espace vectoriel normé. Introduction et rappels. Espaces métriques. Jean-Baptiste Campesato 10 février 2010

Complétude et dimension d un espace vectoriel normé. Introduction et rappels. Espaces métriques. Jean-Baptiste Campesato 10 février 2010 Complétude et dimension d un espace vectoriel normé Jean-Baptiste Campesato 10 février 2010 Le but de cet article est de présenter les liens entre la dimension d un espace vectoriel normé et de sa possible

Plus en détail

Convergence : vitesse et accélération

Convergence : vitesse et accélération 1 Convergence : vitesse et accélération 1. Rapidité de convergence. a) Introduction. Daniel PERRIN Soit (u n ) n N une suite de nombres réels qui converge vers a. On cherche à préciser la rapidité de convergence

Plus en détail

1 Fonctions périodiques

1 Fonctions périodiques L - cursus prépa (6 mars 14) Séries de Fourier 1 Les séries de Fourier constituent un outil fondamental d approximation des fonctions périodiques, qu il faut commencer par bien comprendre. 1 Fonctions

Plus en détail

Analyse Numérique Equations différentielles ordinaires

Analyse Numérique Equations différentielles ordinaires 1 Master Mathématiques et Applications 1ère année Aix-Marseille Université Année 2010-2011 Analyse Numérique Equations différentielles ordinaires Exercice 1 Résoudre les équations différentielles suivantes

Plus en détail

TD 3: Suites réelles

TD 3: Suites réelles Université Pierre et Marie Curie Année 2011/2012 LM115 TD 3: Suites réelles MIME Convergence des suites : Par définition, une suite (u n ) converge vers un réel l si : Pour tout ɛ réel strictement positif,

Plus en détail

Une définition et des caractérisations des fonctions exponentielles à partir d une équation fonctionnelle

Une définition et des caractérisations des fonctions exponentielles à partir d une équation fonctionnelle DOCUMENT 36 Une définition et des caractérisations des fonctions exponentielles à partir d une équation fonctionnelle Une propriété importante des fonctions exponentielles est qu elles sont solutions de

Plus en détail

Nombres réels. Définition On définit également le produit de deux suites u et v de S comme le produit terme à terme : u v = (u n v n ) n N

Nombres réels. Définition On définit également le produit de deux suites u et v de S comme le produit terme à terme : u v = (u n v n ) n N Nombres réels 1 Suites de rationnels Définition Une suite de rationnels (ou suite rationnelle) est une application u : N Q. Notation : Pour tout entier n, on note u n l image u(n) de l entier n par l application

Plus en détail

On note l évènement : «les nombres 1, 2 ou 3 sortent au moins une fois lors de ces 10 tirages». On

On note l évènement : «les nombres 1, 2 ou 3 sortent au moins une fois lors de ces 10 tirages». On DS n 2 Correction Exercice 1 Une urne contient boules numérotées de 1 à indiscernables au toucher. On tire cinq boules dans cette urne, successivement, en remettant chaque boule tirée dans l'urne avant

Plus en détail

Méthodes numériques. Transport et diffusion G. ALLAIRE. Cours no. 5 le 11/I/2016. Différences finies en 1-d: rappels

Méthodes numériques. Transport et diffusion G. ALLAIRE. Cours no. 5 le 11/I/2016. Différences finies en 1-d: rappels 1 G. ALLAIRE Cours no. 5 le 11/I/2016 Méthodes numériques Différences finies en 1-d: rappels Equation de diffusion stationnaire Equation de transport Equation de transport stationnaire 2 (1) Rappels: différences

Plus en détail

Equations Paraboliques

Equations Paraboliques Chapitre 3 Equations Paraboliques Nous allons nous intéresser dans ce chapitre à des équations dont le modèle est l équation de la chaleur : 3.1 t 1 u x = 0 associée à la donnée initiale : dans 0,T 3.

Plus en détail

Chapitre 04 : Séries Entières

Chapitre 04 : Séries Entières Chapitre 04 : Séries Entières On étudie dans ce chapitre une famille particulière des séries de fonctions : celles de la forme ou dites séries entières. On s intéresse dans un premier temps aux propriétés

Plus en détail

Le Béaba des Espaces Normés et Algèbres de Banach

Le Béaba des Espaces Normés et Algèbres de Banach Le Béaba des Espaces Normés et Algèbres de Banach Alain Prouté Université Denis Diderot-Paris 7 Dernière révision de ce texte : 21 novembre 2012 Ce texte a été écrit pour le niveau Licence 2. Table des

Plus en détail

Rappels de théorie de l intégration et des probabilités

Rappels de théorie de l intégration et des probabilités CHAPITRE 26 Rappels de théorie de l intégration et des probabilités 26.1 Résultats de théorie de l intégration 26.1.1 Théorème de dérivation des intégrales à paramètre On en énonce une version lisible

Plus en détail

Différentes formules de Taylor pour une fonction d une variable réelle

Différentes formules de Taylor pour une fonction d une variable réelle 25 Différentes formules de Taylor pour une fonction d une variable réelle Il y a beaucoup de résultats dans cette proposition de leçon (en prévision de questions que pourrait poser le jury). Comme il n

Plus en détail

Variables aléatoires réelles

Variables aléatoires réelles 23 Variables aléatoires réelles Pour ce paragraphe, (Ω, B, P est un espace probabilisé. 23.1 Définition et propriétés des variables aléatoires réelles Définition 23.1 On dit qu une application X : Ω R

Plus en détail

Formules de Taylor. Applications.

Formules de Taylor. Applications. CAPES 27 Décembre 27 Oral Analyse Formules de Taylor. Applications. Remarques Le niveau naturel de cette leçon est celui du Deug. Pré-requis. Continuité, dérivabilité, inégalité des accroissements finis,

Plus en détail

Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle

Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle 7 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle Pour ce chapitre I désigne un intervalle réel et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. 7. Continuité en un point,

Plus en détail

Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES

Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES Mathématiques 2 1 Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES Question 1 Un circuit électrique : exemple de système non linéaire Montrer que les lois de Kirchhoff (la somme des intensités arrivant

Plus en détail

Université de Metz. Licence de Mathématiques - 2ème année 1er semestre CALCUL DIFFERENTIEL

Université de Metz. Licence de Mathématiques - 2ème année 1er semestre CALCUL DIFFERENTIEL Université de Metz Licence de Mathématiques - 2ème année 1er semestre CALCUL DIFFERENTIEL par Ralph Chill Laboratoire de Mathématiques et Applications de Metz Année 2010/11 1 Table des matières Chapitre

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Fonction exponentielle 1 Fonction exponentielle Définition et variation Théorème Définition Il existe une unique fonction définie et dérivable sur telle que et Cette fonction est appelée fonction exponentielle

Plus en détail

Examen terminal (Éléments de correction)

Examen terminal (Éléments de correction) Université Rennes 1, ENS Cachan Bretagne Mercredi 25 avril 2012 Cours Équations différentielles 2 L3, Math 1ère année Examen terminal (Éléments de correction) Durée: 2 heures Examen sans document ni calculatrice.

Plus en détail

Chapitre 2 : Suites numériques

Chapitre 2 : Suites numériques Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 013-014 Chapitre : Suites numériques Dans tout ce qui suit on considère des suites (u n ) n N à valeurs réelles, c est à dire des applications de N

Plus en détail

1. Espaces métriques. 1 Distance, boules, ouverts, fermés...

1. Espaces métriques. 1 Distance, boules, ouverts, fermés... 1. Espaces métriques 1 Distance, boules, ouverts, fermés... Définition 1.1. Soit E un ensemble (non vide). On appelle distance sur E une application d de E E dans [0, + [ vérifiant les trois propriétés

Plus en détail

Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct

Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct Exercice III.1 Ch3-Exercice1 Soient α et u 0 deux réels donnés. Soit alors (u n ) une suite géométrique définie par u n = αu n 1. Donner le terme général de

Plus en détail

Université Lyon 1 Année Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles

Université Lyon 1 Année Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles Université Lyon 1 Année 213-214 Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles Feuille 7 - Équations de transport I- Solutions classiques Exercice 1.

Plus en détail

Calcul de norme d application linéaire

Calcul de norme d application linéaire [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 1 juillet 214 Enoncés 1 Calcul de norme d application linéaire Exercice 1 [ 491 ] [correction] On note E = l ( l espace vectoriel normé des suites réelles bornées

Plus en détail

Chapitre 3: Les espaces de Hilbert

Chapitre 3: Les espaces de Hilbert Université de Bourgogne Département de Mathématiques Licence de Mathématiques Compléments d analyse Chapitre 3: Les espaces de Hilbert 1. Produit scalaire et espaces de Hilbert Définition (Produit scalaire)

Plus en détail

La méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis Chapitre 6 La méthode des éléments finis 6.1 Introduction La méthode des éléments finis est actuellement la méthode la plus utilisée pour la résolution de problèmes aux limites. Elle découle directement

Plus en détail

Une condition nécessaire de convergence Considérons une série de terme général. Supposons cette série convergente. Soit sa somme.

Une condition nécessaire de convergence Considérons une série de terme général. Supposons cette série convergente. Soit sa somme. Séries numériques I) Définitions - Notions essentielles.) Séries numériques Définition Soit une suite numérique. On appelle série de terme général la suite dont les termes successifs sont : ₀ ₀ ₁ ₀ ₁ ₂

Plus en détail

Exercices type bac sur les suites.

Exercices type bac sur les suites. Exercices type bac sur les suites Corrigés NB : On ne donne dans ce document que des indices, la preuve complète reste à faire Exercice D après sujet du baccalauréat Centres étrangers, juin 003 On définit,

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Enoncés 1 Ouverts et fermés Exercice 1 [ 113 ] [correction] Montrer que tout fermé peut s écrire comme intersection d une suite décroissante d ouverts.

Plus en détail

Différentielle seconde, extremums.

Différentielle seconde, extremums. Différentielle seconde, extremums Exercice 1 Soit A une matrice de taille n n Pour tout x R n, on pose qx) = x, Ax Montrer que q est C et calculer son gradient et sa matrice hessienne Indication On remarquera

Plus en détail

Equations différentielles

Equations différentielles Chapitre 5 Equations différentielles Contenu 5.1 Introduction....................... 41 5.2 Définitions......................... 42 5.3 Equations différentielles spéciales.......... 42 5.3.1 Introduction.......................

Plus en détail

Croissance comparée des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles

Croissance comparée des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles DOCUMENT 30 Croissance comparée des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles Rappelons que : 1. Introduction et résultats préinaires Les fonctions logarithmes sont les primitives sur R + des

Plus en détail

CHAPITRE 2 SUITES NUMÉRIQUES

CHAPITRE 2 SUITES NUMÉRIQUES CHAPITRE 2 SUITES NUMÉRIQUES Définition 2.0. Une suite réelle est une application u : N R qui à tout n de N associe un élément u n de R, appelé terme général de la suite. On notera donc la suite (u n ),

Plus en détail

Filière SMA Module de topologie

Filière SMA Module de topologie Université Mohammed V-Rabat Faculté des sciences Département de mathématiques Filière SMA Module de topologie Semestre 5 Hamza BOUJEMAA 1 Introduction Le contenu du module de topologie enseigné en semestre

Plus en détail

Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016

Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016 Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016 CPUS I. Les suites numériques I.1. Premières définitions. Définition. Une suite réelle est une fonction dont l ensemble de départ est une partie de N du

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs Application à l étude d extrema On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Chapitre 5 Espaces métriques connexes

Chapitre 5 Espaces métriques connexes Chapitre 5 Espaces métriques connexes Semaine 1 : Etude du paragraphe 1 et des sous-paragraphes 2.1 et 2.2. Faire les exercices d apprentissage 5.1 5.11 et les exercices d approfondissement 5.18 5.20.

Plus en détail

2. Espaces de Hilbert

2. Espaces de Hilbert 2. Espaces de Hilbert 2.1. Produits scalaires Définition 2.1.1. Soient X et Y deux espaces vectoriels complexes ; une application f : X Y est dite antilinéaire si, pour tous x, y X et tout λ C on a f(x

Plus en détail

CH V : Généralités sur les suites réelles

CH V : Généralités sur les suites réelles CH V : Généralités sur les suites réelles I. Notion de suite I.1. Définition générale Définition Une suite de nombre réels u est une application de N dans R i.e. une fonction de N dans R telle que tout

Plus en détail

AS - DECOMPOSITION D UN NOMBRE REEL EN BASE a COURBE DE PEANO

AS - DECOMPOSITION D UN NOMBRE REEL EN BASE a COURBE DE PEANO AS - DECOMPOSITION D UN NOMBRE REEL EN BASE a COURBE DE PEANO Soit a un entier strictement plus grand que 1. Notons N a = {0,1,...,a 1}. Définition On dira qu un nombre réel positif x est de classe a,

Plus en détail

Equations différentielles

Equations différentielles Chapitre 4 Equations différentielles 4. Introduction On s intéresse ici à la résolution numérique d équations différentielles avec conditions initiales (ou problème de Cauchy) : { x (t) = f(x(t), t) t

Plus en détail

Calcul Formel et Numérique

Calcul Formel et Numérique Cours de calcul numérique p. 1/55 Calcul Formel et Numérique INFO-F-205 Gianluca Bontempi C. Olsen, S. Ben Taieb Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di Cours

Plus en détail

Etude théorique d équation d ordre 2

Etude théorique d équation d ordre 2 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Etude théorique d équation d ordre 2 Eercice 1 [ 01555 ] [Correction] Soit q : R R + une fonction continue non nulle. On se propose de

Plus en détail

SCHÉMAS D INTÉGRATION TEMPORELLE POUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

SCHÉMAS D INTÉGRATION TEMPORELLE POUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE SCHÉMAS D INTÉGRATION TEMPORELLE POUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech 28 septembre 2015 Plan du cours 1 Motivations 2 θ-méthode 3 Stabilité

Plus en détail

1 Notions de logique mathématique.

1 Notions de logique mathématique. Université de Provence 2012 2013 Introduction à l Analyse Chapitre 3 - Logique et Suites. 1 Notions de logique mathématique. 1.1 Assertions, propositions logiques, tables de vérité. On rappelle la notion

Plus en détail

AH - FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLES

AH - FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLES AH - FONCTIONS AFFINES PAR INTERVALLES Définition On appelle fonction affine par intervalles une fonction f définie et continue sur R pour laquelle il existe une subdivision a 1 < a 2 < < a n telle que

Plus en détail

Première épreuve écrite

Première épreuve écrite CAPES EXTERNE DE MATHÉMATIQUES SESSION 25 Première épreuve écrite Notations et objet du problème On désigne par : N l ensemble des entiers naturels ; Z l anneau des entiers relatifs ; Q le corps des nombres

Plus en détail

(Q) non vide et majorée, alors il existe dans R un plus petit majorant de A, appelé la borne CHAPITRE 1 R, BORNE SUPÉRIEURE ET CONSÉQUENCES

(Q) non vide et majorée, alors il existe dans R un plus petit majorant de A, appelé la borne CHAPITRE 1 R, BORNE SUPÉRIEURE ET CONSÉQUENCES CHAPITRE 1 R, BORNE SUPÉRIEURE ET CONSÉQUENCES 1.1. Propriétés de R On suppose connus N = {0, 1, 2, 3,...}, l anneau des entiers Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} et le corps des rationnels Q = { a a, b Z,

Plus en détail

Corrigés d exercices pour les TD 1 et 2

Corrigés d exercices pour les TD 1 et 2 Corrigés d exercices pour les TD et 2 Soit E = C 0 ([0, ]; R) et A = {f E; f(x) 0 pour tout x [0, ]}.. Montrer que les applications qui à tout élément (f, g) E 2 associent respectivement d (f, g) = définissent

Plus en détail

AR - SUITES RECURRENTES LINEAIRES ET EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES

AR - SUITES RECURRENTES LINEAIRES ET EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES AR - SUITES RECURRENTES LINEAIRES ET EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES Suites de nombres complexes Notons l(c) l espace vectoriel sur C des suites de nombres complexes. Si (s n ) n 0 est un élément de

Plus en détail

Chapitre 4. Séries entières. I. Disque et rayon de convergence

Chapitre 4. Séries entières. I. Disque et rayon de convergence Chapitre 4 Séries entières On appelle série entière réelle (resp. complexe) une série de fonction de la forme a n x n où x est une variable réelle (resp. a n z n où z est une variable complexe). Les nombres

Plus en détail

Bibliothèque d exercices L1 Feuille n 10. Suites

Bibliothèque d exercices L1 Feuille n 10. Suites Bibliothèque d exercices Énoncés L Feuille n 0 Suites Convergence Exercice Soit (u n ) n N une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si (u n ) n converge vers un réel l alors (u n )

Plus en détail

valeurs dans un espace normé de dimension finie

valeurs dans un espace normé de dimension finie Séries numériques, ou séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie Définitions. Dans ce chapitre K représente indifférement le corps des réels R, ou le corps des complexes C. Le symbole E représente

Plus en détail

TD1. A. Leclaire, P. Roussillon ENS Paris-Saclay M1 Hadamard

TD1. A. Leclaire, P. Roussillon ENS Paris-Saclay M1 Hadamard Analyse A. Leclaire, P. Roussillon ENS Paris-Saclay M1 Hadamard 2017-2018 TD1 Exercice 1 Autour de la continuité Soient E, F, G trois espaces topologiques et f : E F, д : F G. 1) Démontrer que f est continue

Plus en détail

Équations différentielles ordinaires. Sylvie Benzoni

Équations différentielles ordinaires. Sylvie Benzoni Équations différentielles ordinaires Sylvie Benzoni 11 mai 2007 2 3 Chapitre I Introduction La forme la plus générale d une équation différentielle ordinaire (en abrégé É.D.O.) est F (t, u, u,..., u (k)

Plus en détail

Ingénierie numérique et simulation

Ingénierie numérique et simulation Ingénierie numérique et simulation Recherche de zéro Intégration Numérique Problème dynamique à une dimension Problème linéaire à plusieurs dimensions Recherche de zéro Résoudre f(x) = 0 Recherche de zéro

Plus en détail

1 q. = 1 q n. (un + v n ) (l + l ) = (un l) + (v n l ) n n 0, u n + v n A.

1 q. = 1 q n. (un + v n ) (l + l ) = (un l) + (v n l ) n n 0, u n + v n A. 16 Proposition : La somme des n premiers termes d une suite géométrique de raison q 1 est : n 1 u 0 q k 1 q n = u 0 1 q k=0 Il suffit de calculer (1 q) n 1 k=0 qk = n 1 k=0 qk n 1 k=0 qk+1 = n 1 k=0 qk

Plus en détail

EXERCICES. 1 - Montrer que A et B sont non vide, que A est majoré par tout élément de B et que B

EXERCICES. 1 - Montrer que A et B sont non vide, que A est majoré par tout élément de B et que B EXERCICES 1 Soit E l ensemble des rationnels inférieurs à 2. 1 - Montrer que E admet une borne supérieure M dans R. 2 - Montrer que M = 2 (on pourra raisonner par l absurde). 3 - E est-il une partie fermée

Plus en détail

N K, n 0 < n 1 < n 2 <

N K, n 0 < n 1 < n 2 < Chapitre 1 Suites réelles et complexes Dans ce chapitre, K désigne le corps R des nombres réels, ou le corps C des nombres complexes. Pour x K, nous noterons x le module de x (égal à la valeur absolue

Plus en détail

I ESPACES METRIQUES. d : E E R +

I ESPACES METRIQUES. d : E E R + I ESPACES METRIQUES 1. Espaces métriques 1.1 Définitions Soit E un ensemble non vide. On appelle distance sur E toute application vérifiant les propriétés suivantes : d : E E R + a) x, y E, d(x, y) = 0

Plus en détail

1 Quelques propriétés du spectre d un opérateur borné

1 Quelques propriétés du spectre d un opérateur borné Université Paris 7, Master 1 de Mathématiques Année 008/009 Notes pour le cours de théorie spectrale 1 Quelques propriétés du spectre d un opérateur borné Nous supposons ici que E est un espace de Banach

Plus en détail

EXERCICES D ANALYSE ET METHODES NUMERIQUES GR-EA

EXERCICES D ANALYSE ET METHODES NUMERIQUES GR-EA EXERCICES D ANALYSE ET METHODES NUMERIQUES 01-013 s.achakir 0.1 INTERPOLATION I- Interpolation On donne x 0 = 1 et h = 1 4 et x i = x 0 + ih pour i=0,1,. et y 0 = 1, y 1 = 1, y = 3. (a) Déterminer le polynôme

Plus en détail

Polynômes de Legendre sur [0,1], quadratures de Gauss

Polynômes de Legendre sur [0,1], quadratures de Gauss Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss Énoncé Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss On définit les suites de polynômes (U n ) et (P n ) de la manière suivante : U = 1 n 1,

Plus en détail

EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS. 1 x 2 si x < 1. ϕ(x) = 0 si x 1 2

EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS. 1 x 2 si x < 1. ϕ(x) = 0 si x 1 2 Université Chouaib Doukkali Faculté des Sciences Département de Mathématiques El Jadida A. Lesfari lesfariahmed@yahoo.fr http://lesfari.com EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS Eercice. Soit ϕ : R R définie

Plus en détail

Corrigés d exercices pour le TD 4

Corrigés d exercices pour le TD 4 Corrigés d exercices pour le TD 4 Série harmonique. Montrer que la série harmonique n n ne vérifie pas le critère de Cauchy et en déduire qu elle diverge. On pose pour n N, 2. Montrer que pour tout p,

Plus en détail

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ

COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ Chapitre 8 : COMPLÉMENTS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES, VARIABLES À DENSITÉ ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2015/2016 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles 2 1.1 Généralités.............................................

Plus en détail

TD9. ENS Cachan M1 Hadamard Exercice 1 Opérateurs compacts et extraction de sous-suites

TD9. ENS Cachan M1 Hadamard Exercice 1 Opérateurs compacts et extraction de sous-suites Analyse fonctionnelle A. Leclaire ENS Cachan M1 Hadamard 2016-2017 TD9 Exercice 1 Opérateurs compacts et extraction de sous-suites Soient E,F deux espaces de Banach. On note B la boule unité fermée de

Plus en détail

Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques Jérôme Germoni Novembre 2 Première étude : par équation différentielle.. Définition On s inspire de la définition de l exponentielle vue en terminale. Théorème (admis) Il existe

Plus en détail

Limites à l infini d une fonction

Limites à l infini d une fonction 9 Limites à l infini d une fonction On garde les notations du chapitre précédent en supposant ici que a = ou a = + est adhérent à l ensemble I, ce qui signifie que : ou : m R, ], m[ I M R, ]M, + [ I ce

Plus en détail

1. Déterminant d une matrice carrée

1. Déterminant d une matrice carrée Déterminants 2-1 Sommaire 1. Déterminant d une matrice carrée 1 1.1. Déterminant d une matrice carrée A.. 1 1.2. Interprétation en dimensions 2 et 3... 2 1.3. Propriétés élémentaires.......... 2 1.4. Déterminant

Plus en détail

Le Théorème de Hahn-Banach et ses conséquences

Le Théorème de Hahn-Banach et ses conséquences Université d Artois Faculté des Sciences Jean Perrin Analyse Fonctionnelle (Master 1 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Chapitre 6 Le Théorème de Hahn-Banach et ses conséquences 1 La forme analytique

Plus en détail

Corrigé des exercices sur les Opérateurs

Corrigé des exercices sur les Opérateurs Corrigé des exercices sur les Opérateurs 31 mars 28 1 Exercice 5 1.1 Énoncé Sur l espace de Hilbert H = L 2 ([, π], on considère l opérateur intégral T qui à tout x H associe la fonction T x définie par

Plus en détail

DÉRIVABILITÉ. 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée. 1.1 Définitions et premières propriétés. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

DÉRIVABILITÉ. 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée. 1.1 Définitions et premières propriétés. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot DÉRIVABILITÉ 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée 1.1 Définitions et premières propriétés Définition 1.1 Dérivabilité en un point Soient f : I R une application et a I. On dit que f est dérivable

Plus en détail

Exercice. dont le dénominateur ne s annule pas. Donc I(r) est bien définie. 2 Posons: u = Ze it r convergence de n 0u n et l égalité

Exercice. dont le dénominateur ne s annule pas. Donc I(r) est bien définie. 2 Posons: u = Ze it r convergence de n 0u n et l égalité Corrigé de la première épreuve de l ENSIETA 96 Exercice f, étant la somme d une série entière de rayon de convergence R, est continue sur le disque ouvert de centre O, et de rayon R. On en déduit que l

Plus en détail

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés.

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. Université de Nice SL2M 2009-10 Algèbre 2 Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. On travaille avec le corps des réels, noté R. Pour tout entier naturel n, on considère l ensemble

Plus en détail

Épreuve d analyse numérique

Épreuve d analyse numérique Épreuve d analyse numérique Projections convexes, décomposition, et algorithme de projections alternées Dans tout ce sujet, on se place dans un espace de Hilbert : H désigne un espace vectoriel réel complet

Plus en détail

u n lim S n (2) n=0 u n = ± quand lim n S n = ±. u n, ou n N u n si n 0 = 1.

u n lim S n (2) n=0 u n = ± quand lim n S n = ±. u n, ou n N u n si n 0 = 1. Chapitre III Séries III.a. Introduction Définition 31 (série) Soit (u n ) une suite de N dans un K-espace vectoriel normé E. La somme partielle S n = u 0 + u 1 + u 2 + + u n (1) définit une nouvelle suite,

Plus en détail

Un complément à la leçon sur l équation fonctionnelle de la fonction exponentielle

Un complément à la leçon sur l équation fonctionnelle de la fonction exponentielle Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Un complément à la leçon sur l équation fonctionnelle de la fonction eponentielle Il est naturel de construire la leçon Caractérisation des fonctions eponentielles

Plus en détail

Corrigé du concours commun 2010 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes Épreuve spécifique.

Corrigé du concours commun 2010 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes Épreuve spécifique. Corrigé du concours commun 2 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes Épreuve spécifique. Problème Partie (Étude de courbes paramétrées) Si a = b, (t) = y(t) pour t dans [, + [. L application t

Plus en détail

CHAPITRE 2. Courbes paramétrées

CHAPITRE 2. Courbes paramétrées CHAPITRE Courbes paramétrées Dans tout ce chapitre nous choisissons un repère du plan affine ce qui permet d identifier les points du plan avec les éléments de R (par leurs coordonnées) et les vecteurs

Plus en détail

4.1 L ensemble des réels est un corps ordonné

4.1 L ensemble des réels est un corps ordonné Table des matières 4 Propriétés de R 4. L ensemble des réels est un corps ordonné....................... 4.. Propriétés d ordre de R............................. 4..2 Valeur absolue..................................

Plus en détail

Une remarque sur les fonctions conditionnellement de type négatif

Une remarque sur les fonctions conditionnellement de type négatif Une remarque sur les fonctions conditionnellement de type négatif Vincent Lafforgue 8 février 2012 Résumé. Nous montrons qu un groupe localement compact n ayant pas la propriété (T) possède des fonctions

Plus en détail

LEÇON N 46 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence.

LEÇON N 46 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence. LEÇON N 46 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence. Pré-requis : Suites numériques : monotonie, convergence, divergence ; Théorème des valeurs intermédiaires ; R est complet :

Plus en détail

Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues.

Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues. DOCUMENT 23 Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues. 1. Introduction et notations Considérons la fonction f : x sin x définie sur R. La valeur 0 n appartient pas à x l ensemble de définition

Plus en détail

La formule de Taylor et les développements limités

La formule de Taylor et les développements limités La formule de Taylor et les développements ités I) La formule f de Taylor 1.1 ) Formule de Taylor avec reste intégral On considère une fonction de classe (c est-à-dire 1 fois dérivables et à dérivées continues,

Plus en détail

1. Schéma d Euler direct On donne l équation différentielle suivante :

1. Schéma d Euler direct On donne l équation différentielle suivante : 1 Feuille n o 1 : Schémas à un pas pour les équations différentielles 1. Schéma d Euler direct On donne l équation différentielle suivante : y (x) = x x 3, y() = On calcule la valeur approchée yj h de

Plus en détail

CALCUL 1. (x), g (x i ) = f x i

CALCUL 1. (x), g (x i ) = f x i CALCUL 1 LEÇON 3 : DÉRIVÉES PARTIELLES Dans cette leçon, nous généralisons la notion de dérivée aux fonctions de plusieurs variables. Nous obtenons ainsi un outil très puissant pour l analyse locale de

Plus en détail

CONCOURS AGRO-VETO, SESSION 2012 Corrigé de l'épreuve A

CONCOURS AGRO-VETO, SESSION 2012 Corrigé de l'épreuve A Problème I.. J = et K = CONCOURS AGRO-VETO, SESSION Corrigé de l'épreuve A sont des matrices symétriques à coecient réels donc : J et K sont diagonalisables.. Recherche des éléments propres de K.. Soient

Plus en détail

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle

Chapitre 4. Fonction exponentielle. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. propriétés numériques de la fonction exponentielle Chapitre 4 Fonction exponentielle Objectifs du chapitre : item références auto évaluation propriétés numériques de la fonction exponentielle propriétés de la fonction exponentielle calculs de ites avec

Plus en détail