Première ES-L Composition de mathématiques n

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1 NOM : Prénom : Exercice 1 : évolution du prix du pétrole en 2008 (4 points) Le tableau ci-dessous donne les cours du baril de pétrole brut (en dollars) sur plusieurs mois de l année Mois Mai Juin Juillet Août Cours 123,2 132,5 133,3 113,2 Indice 100 1) On considère l indice 100 en mai. Calculer sur cette base l indice du cours du pétrole pour les mois de juin, juillet et août. 2) Quel est le taux d évolution du cours du pétrole entre mai et Août 2008? 3) Que devrait être le pourcentage d évolution du cours du pétrole en septembre 2008 pour que l indice reprenne la valeur 100? Donner alors le cours du pétrole en septembre Exercice 2 (4 points) Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse. 1) Le prix d un article diminue de 10% puis augmente de 10%. Proposition 1 : le prix final est donc identique au prix initial. 2) Le montant d un loyer de subit deux évolutions successives : une hausse de 12% puis une baisse de 2%. Proposition 2 : le nouveau montant du loyer est donc 1 646,40. Proposition 3 : le taux d évolution global après ces deux évolutions est de + 10%. 3) Début septembre 2014, monsieur Le Boulet place sur un livret A qui est rémunéré, depuis le 1 er août 2014 à 1%. Proposition 4 : après 5 années de placement, il aura environ 5 255,05 sur ce compte. 1

2 Exercice 3 (12 points) Partie A : Le coût de fabrication Une entreprise fabrique et vend des casques audio dont la production varie entre 5 et 150 pièces par jour. Elle estime que le coût de fabrication en euro de q casques est donné par : C(q) = 0,5q² + 10q ) Combien coûte la fabrication de 80 casques audio? 2) Quel est le nombre de casques fabriqués pour un coût de fabrication journalier égal à Justifier par la résolution d une équation. Partie B : Le bénéfice et prix de vente fixe à l unité. Première situation : L entreprise vend les casques à 84 euros l unité quel que soit le nombre de casques vendus. 3) a) Exprimer la recette notée R 1(q), en euros, en fonction de la quantité produite et vendue en un jour. b) Montrer que le bénéfice journalier noté B 1 (q) pour la fabrication et la vente de q casques est : B 1 (q) = -0,5q q 690 4) Combien faut-il construire et vendre de casques pour que l entreprise réalise un bénéfice chaque jour? Vous indiquerez vos calculs. Partie C : Le bénéfice et prix de vente à l unité variable. Deuxième situation : L entreprise décide de fixer le prix unitaire en fonction de la quantité de casques produits. Ainsi pour une quantité de q casques produites, le prix de chaque casque est donné en fonction de q par : -0,1q ) Après avoir reconnu la nature de la fonction qui à q associe -0,1q + 94, indiquer comment varie le prix unitaire en fonction de la quantité q de casques produites. 6) Exprimer dans la nouvelle situation, la recette R 2(q) pour la vente journalière de q casques. 7) Montrer que le bénéfice journalier noté B 2 (q) pour la fabrication et la vente de q casques est : B 2 (q) = -0,6q q

3 Partie D : Comparaison de modèles. 8) Sur la figure de la feuille annexe, sont construites des courbes représentatives de fonctions étudiées dans les questions précédentes. L axe des abscisses porte les quantités q produites et l axe des ordonnés porte le bénéfice ou le coût. Associer sur le graphique de l annexe chaque courbe à une des fonctions C, R 1, B 1, R 2 ou B 2 en complétant le tableau suivant : La courbe. Quelle fonction représente-t-elle?. Justification. Courbe 1 Courbe 2 9) a) Déterminer graphiquement une valeur approchée à l unité du bénéfice maximal dans chacune des situations. b) Quelle situation produit un bénéfice maximal plus important? 10) a) Justifier que B 2(q) = -0,6 (q 70)² b) En déduire la valeur exacte du bénéfice maximal de la deuxième situation (Partie C). Et indiquer pour combien de casques fabriqués et vendus ce bénéfice maximal est atteint. c) Dresser le tableau des variations de la fonction B 2 sur l intervalle [5 ;150]. 3

4 NOM : Prénom : Feuille annexe Courbe 1 Courbe 2 4

5 Exercice 1 : évolution du prix du pétrole en 2008 (4 points) Le tableau ci-dessous donne les cours du baril de pétrole brut (en dollars) sur plusieurs mois de l année Mois Mai Juin Juillet Août Cours 123,2 132,5 133,3 113,2 Indice 100 1) On considère l indice 100 en mai. Calculer sur cette base l indice du cours du pétrole pour les mois de juin, juillet et août. 2) Quel est le taux d évolution du cours du pétrole entre mai et Août 2008? 3) Que devrait être le pourcentage d évolution du cours du pétrole en septembre 2008 pour que l indice reprenne la valeur 100? Donner alors le cours du pétrole en septembre ) Mois Mai Juin Juillet Août Cours 123,2 132,5 133,3 113,2 Indice ,6 108,2 91,9 Pour Juin : ,5 123,2 Pour Juillet : ,3 123,2 Pour Août : ,2 123,2 107,6 108,2 91,9 2) Le taux d évolution du cours du pétrole entre mai et août 2008 est : Soit une baisse de 8,1 %. Autre calcul possible : 113,2 123,2 123,2 91,9 100 = -8,1-0,0811 soit environ 8,1 %. 3) Soit t le pourcentage d évolution entre août et septembre 2008 tel que l indice reprenne la valeur 100. t vérifie l équation : 1 8, t = 1 Soit : 1 + Donc Soit : t = t 100 = 1 0,9189 t 100 = 1 0, ,83. 0,9189 5

6 Le pourcentage d évolution du cours du pétrole entre mai et août 2008 pour que l indice reprenne la valeur 100 doit être environ égal à 8,83 %. Le cours du pétrole en septembre 2008 sera : 113, , = 123,2 Exercice 2 (4 points) Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse. 1) Le prix d un article diminue de 10% puis augmente de 10%. Proposition 1 : le prix final est donc identique au prix initial. 2) Le montant d un loyer de subit deux évolutions successives : une hausse de 12% puis une baisse de 2%. Proposition 2 : le nouveau montant du loyer est donc 1 646,40. Proposition 3 : le taux d évolution global après ces deux évolutions est de + 10%. 3) Début septembre 2014, monsieur Le Boulet place sur un livret A qui est rémunéré, depuis le 1 er août 2014 à 1%. Proposition 4 : après 5 années de placement, il aura environ 5 255,05 sur ce compte. 1) Faux : le coefficient multiplicateur global est : = 0,9 1,1 = 0,99 = Soit une baisse globale de 1%. 2) Proposition 2 : Le nouveau prix du loyer est : = ,12 0,98 = 1646,40 La proposition 2 est donc vraie. Proposition 3 : Le coefficient multiplicateur global est : 1,12 0,98 = 1,0976 = 1 + 9, Soit un taux d évolution global de 9,76%. La proposition 3 est donc fausse. 3) Proposition 4 Après 5 années de placement, la somme sera de : , ,05. La proposition 4 est donc vraie. 6

7 Exercice 3 (12 points) Partie A : Le coût de fabrication Une entreprise fabrique et vend des casques audio dont la production varie entre 5 et 150 pièces par jour. Elle estime que le coût de fabrication en euro de q casques est donné par : C(q) = 0,5q² + 10q ) Combien coûte la fabrication de 80 casques audio? 2) Quel est le nombre de casques fabriqués pour un coût de fabrication journalier égal à Justifier par la résolution d une équation. 1) C(80) = 0,5 80² = La fabrication de 80 casques audio coûte ) Il faut résoudre l équation C(q) = C(q) = ,5q² + 10q = ,5q² + 10q = 0 0,5q² + 10q 8400 = 0 q² + 20q = 0 Le discriminant de cette équation du second degré est : = b² - 4ac = 20² - 4 (-16800) = = 260². Comme > 0, l équation admet deux solutions distinctes : x 1 = - b - 2a = = et x 2 = - b + 2a = = 120. Seule la solution positive convient. Il faut donc produire 120 casques pour que le coût de fabrication soit de Vérification : C(120) = 0,5 120² =

8 Partie B : Le bénéfice et prix de vente fixe à l unité. Première situation : L entreprise vend les casques à 84 euros l unité quel que soit le nombre de casques vendus. 3) a) Exprimer la recette notée R 1(q), en euros, en fonction de la quantité produite et vendue en un jour. b) Montrer que le bénéfice journalier noté B 1 (q) pour la fabrication et la vente de q casques est : B 1 (q) = -0,5q q 690 4) Combien faut-il construire et vendre de casques pour que l entreprise réalise un bénéfice chaque jour? Vous indiquerez vos calculs. 1) a) R 1(q) = 84q b) B 1(q) = R 1(q) C(q) = 84q (0,5q² + 10q + 690) B 1(q) = 84q 0,5q² - 10q B 1(q) = -0,5q² + 74q 690 2) Il faut résoudre l inéquation B 1(q) > 0 B 1(q) > 0-0,5q² + 74q 690 > 0 -q² + 148q 1380 > 0 Le discriminant de l équation du second degré associé à cette inéquation est : = b² - 4ac = 148² - 4 (-1) (-1380) = = = 128² Comme > 0, l équation -q² + 148q 1380 > 0 admet deux solutions : x 1 = - b - 2a = (-1) = 138 et x 2 = - b + 2a = (-1) Comme a = -0,5 < 0, -05q² + 74q 690 > 0 si x [x 2 ; x 1]. = 10. Conclusion : l entreprise réalise un bénéfice pour un nombre de casques fabriqués et vendus compris entre 10 et

9 Partie C : Le bénéfice et prix de vente à l unité variable. Deuxième situation : L entreprise décide de fixer le prix unitaire en fonction de la quantité de casques produits. Ainsi pour une quantité de q casques produites, le prix de chaque casque est donné en fonction de q par : -0,1q ) Après avoir reconnu la nature de la fonction qui à q associe -0,1q + 94, indiquer comment varie le prix unitaire en fonction de la quantité q de casques produites. 6) Exprimer dans la nouvelle situation, la recette R 2(q) pour la vente journalière de q casques. 7) Montrer que le bénéfice journalier noté B 2 (q) pour la fabrication et la vente de q casques est : B 2 (q) = -0,6q q ) La fonction qui à q associe -0,1q + 94 est une fonction affine de coefficient directeur a = -0,1 négatif. Donc cette fonction affine est décroissante. Le prix unitaire diminue lorsque la quantité q de casques produits augmente. 6) R 2(q) = (-0,1q + 94) q = -0,1q² + 94q 7) B 2(q) = R 2(q) C(q) = -0,1q² + 94q (0,5q² + 10q + 690) B 2(q) = -0,1q² + 94q 0,5q² - 10q 690 B 2(q) = -0,6q² + 84q 690 9

10 Partie D : Comparaison de modèles. 8) Sur la figure de la feuille annexe, sont construites des courbes représentatives de fonctions étudiées dans les questions précédentes. L axe des abscisses porte les quantités q produites et l axe des ordonnés porte le bénéfice ou le coût. Courbe 1 Courbe 2 Associer sur le graphique de l annexe chaque courbe à une des fonctions C, R 1, B 1, R 2 ou B 2 en complétant le tableau suivant : La courbe. Quelle fonction représente-t-elle? Justification. Courbe 1 Courbe 2 La courbe 1 correspond à la B 2(50) = -0,6 50² fonction B 2 B 2(50) = Valeur que l on retrouve approximativement avec le point d abscisse 50 de la courbe 1. La courbe 1 correspond à la fonction B 1. B 1(50) = -0,5 50² B 2(50) = Valeur que l on retrouve approximativement avec le point d abscisse 50 de la courbe 2. 9) a) Déterminer graphiquement une valeur approchée à l unité du bénéfice maximal dans chacune des situations. b) Quelle situation produit un bénéfice maximal plus important? 10

11 10) a) Justifier que B 2(q) = -0,6 (q 70)² b) En déduire la valeur exacte du bénéfice maximal de la deuxième situation (Partie C). Et indiquer pour combien de casques fabriqués et vendus ce bénéfice maximal est atteint. c) Dresser le tableau des variations de la fonction B 2 sur l intervalle [5 ;150]. 9) a) On lit l ordonnée du point le plus de la courbe 1 pour le bénéfice 2 : On lit environ b) On lit l ordonnée du point le plus de la courbe 2 pour le bénéfice 1 : On lit environ ) a) -0,6 (q 70)² = -0,6 (q² - 2 q ²) ,6 (q 70)² = -0,6q² + 0,6 140q 0, ,6 (q 70)² = -0,6q² + 84q 690 = B 2(q) b) -0,6 (q 70)² est la forme canonique du polynôme du second degré B 2. Comme a = -0,6 ; B 2 admet un maximum égal à et atteint en q = 70. Conclusion : L entreprise réalise un bénéfice maximal de pour 70 casques vendus. c) B 2(5) = -0,6 5² = B 2(150) = -0,6 150² = q B 2(q)

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