La convergence faible des U-statistiques multivariées pour des processus non stationnaires.

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1 La covergece faible des U-statistiques multivariées pour des processus o statioaires. Michel Harel a, Echarif Elharfaoui b. Laboratoire de Statistique et Probabilités U.M.R. C Uiversité Paul Sabatier-Toulouse III Toulouse - Frace. Résumé Le but est d'étudier le comportemet asymptotique de la U-statistique multivariée pour des processus o statioaires, d'ue foctioelle régulière θ(f) où F est la foctio de répartitio (f.r.) d'ue observatio. O étudie pour commecer le comportemet asymptotique des processus de vecteurs aléatoires o statioaires, idépedats. Puis o examie le cas des processus de vecteurs aléatoires o statioaires, dépedats avec u coeciet de mélage (taux d'absolue régularité β(m), m 1). O établit la covergece e loi, sous des hypothèses d'itégrabilité uiforme d'ordre q (> 2) des foctios à oyaux symétriques pour des observatios idépedates o statioaires, et sous l'hypothèse importate : la covergece des foctios de répartitio o statioaires pour ue certaie orme. Mots clés : U-statistique multivariée ; foctioelle régulière asymptotique ; orme de variatio totale ; processus o statioaire ; covergece faible ; coeciet d'absolue régularité ; covergece géométrique. Abstract The object is to study the asymptotic behavior of the multivariate U-statistic for ostatioary idepedet processes of a regular fuctioal θ(f) where F is the disributio fuctio of a observatio. First, the asymptotic behavior of ostatioary idepedet processes is studied. The the use of ostatioary depedet processes with a coeciet of mixig (absolute regularity rate β(m), m 1) is addressed. The covergece i law is established, uder assumptios of uiform itegrability of order q (> 2) of the kerel symmetric fuctios for ostatioary idepedet observatios ad uder the importat assumptio : the covergece of the ostatioary distributios fuctios for some orm. Keywords : multivariate U-statistic ; asymptotic regular fuctioal ; orm of total variatio ; ostatioary processes ; weak covergece ; absolute regularity ; geometric rate. a IUFM Limousi. 209, Bd. de Vateaux Limoges Cedex. harel@uilim.fr (M. Harel) b Dépt. GLT. IUT "B" Lille 3. B.P Tourcoig Cedex. elharfa@cict.fr (E. Elharfaoui) 1

2 1 Itroductio Soit X 1,..., X,... ue suite de vecteurs aléatoires idépedats à valeurs das IR r (r 2), où X α a pour f.r. F α (α IN ), soit Φ (γ) (x 1,..., x ) ue foctio à oyau symétrique e ses ( ) vecteurs. Si la suite de f.r. F α coverge pour ue certaie orme vers ue f.r. F, o déit le réel θ (γ) (F) par θ (γ) (F) = Φ (γ) (x 1,..., x ) df(x 1 )... df(x ) ; γ = 1,..., g (g 1) (1) θ (γ) (F) est appelée la foctioelle régulière de F. O déit l'estimateur sas biais asymptotique de θ (γ) (F) par : ( ) 1 U (γ) = Φ (γ) (X α1,..., X α ) ; γ = 1,..., g, (2) où désige la somme sur les La statistique U (γ) 1 α 1 <...<α ( ) est appelée U-statistique multivariée. combiaisos de élémets disticts das 1,..., }. Das cet article, o étudie le comportemet asymptotique de la U-statistique multivariée pour des processus o statioaires, d'ue foctioelle régulière θ(f) où F est la f.r. d'ue observatio. Das la sectio 2, o gééralise les résultats de Hoedig [2] pour des U-statistiques multivariées quad les X α ot des distributios diéretes, et o étudie la covergece e loi des processus o statioaires idépedats. Das la sectio 3, o prologe le résultat de Yoshihara [5] au cas des processus idetiquemet distribués, absolumet réguliers et o gééralise aussi le résultat de Harel et Puri [1] établi pour des processus de variables aléatoires o statioaires au cas des processus de vecteurs aléatoires o statioaires dépedats, Nous passeros doc du cas idépedat étudié das la sectio 2 au cas dépedat. Esuite das la sectio 4, o présete des applicatios à des processus ARMA (autorégressif) et Markovies géométriquemet ergodiques, absolumet réguliers avec des taux géométriques. Sigalos e que les U-statistiques itervieet das plusieurs domaies de la statistique mathématique. Nos résultats peuvet être appliqués, par exemple, à la distributio asymptotique d'ue large classe de tests de rags qui sot des outils fodametaux das de ombreuses applicatios. 2 Théorème limite d'ue U-statistique pour des processus idépedats Pour établir le théorème limite cetral de la U-statistique, ous commeceros par déir ue foctio à oyau symétrique associée à des processus o statioaires comme suit : 2.1 Déitios Soiet i 1, i 2,..., i p des etiers arbitraires tels que 1 i 1 < i 2 <... < i p, pour tout p (1 p 1), o pose : } I p, (i 1,..., i p ) = (i p+1,..., i ) ; 1 i p+1 <... < i, i l i 1,..., i p }, p + 1 l et où λ(x 1,..., x p ) = Φ (γ),(i 1,...,i p ) p, (x 1,..., x p ) = (i p+1,...,i ) I p,(i 1,...,i p) λ(x 1,..., x p ), (3) ( IR r ) p Φ(γ) (x 1,..., x ) df ip+1 (x p+1 )... df i (x ). O pose aussi : I 0, = (i 1,..., i ) ; 1 i 1 <... < i } et Φ 0, = ( ) Φ(x IR r 1,..., x ) df i1 (x 1 )... df i (x ). (i 1,...,i ) I 0, 2

3 Si p =, o pose Φ (i 1,...,i ), = Φ. Par suite pour tout p (1 p 1), o déit : ( ) 1 U p, (γ) = ( ) 1 i 1 <...<i p IR r p Φ(γ),(i 1,...,i p) où 1l [ ] désige la foctio idicatrice de [ ]. Par déitio, o vérie facilemet que : où avec U (γ) = θ (γ) + p=1 ( p p, (x 1,..., x p ) p j=1 d ( 1l [X ij x j ] F ij (x j ) ). (4) ) U (γ) p, ; γ = 1,..., g (g 1) (5) ( ) 1 θ (γ) = θ α (γ) 1,...,α, (6) 1 α 1 <...<α θ (γ) α 1,...,α = E [ Φ (γ) (X α1,..., X α ) ] ; γ = 1,..., g (g 1). (7) O peut écrire aussi que : ( ) 1 θ (γ) = Φ 0,. Ceci gééralise la décompositio de Hoedig au cas o statioaire. 2.2 Théorème pricipal E utilisat les déitios et les otatios ci-dessus, o obtiet le théorème suivat : Théorème 2.1. Supposos qu'il existe u ombre strictemet positif δ tel que pour q = 2 + δ : et que sup IN max E Φ (γ) (X α1,..., X α ) q < + (8) 1 α 1 <...<α [ U lim E (γ) ] (δ) + 1, U 1, := σ γ,δ (9) existe, lorsque 1 γ g, 1 δ g où U (γ) 1, (1 γ g) est déie comme das (4). Posos 0 = (0,..., 0) t IR g et Σ (= (σ γ,δ ) γ,δ=1,...,g), où σ γ,δ = m(δ)σ γ,δ. Alors o a la covergece e loi de ( U (1) θ (1) },..., U (g) θ (g) } ) vers la loi ormale N (0, Σ ), quad ted vers +. E utilisat la décompositio de Hoedig, la preuve du théorème 2.1 est établie grâce aux deux résultats suivats : Lemme 2.1. Sous les coditios du théorème 2.1, le vecteur aléatoire ( U (1) 1,,..., U 1,) (g) coverge e loi vers la loi ormale g-variée de moyee 0 et de matrice covariace Σ (= (σ γ,δ ) γ,δ=1,...,g ), quad ted vers +. Lemme 2.2. Sous les coditios du théorème 2.1, pour tout p 2, U (γ) p, probabilité vers 0, quad ted vers +. (γ = 1,..., g) coverge e Déitio 2.1. Soiet P et Q deux mesures de probabilité déies sur l'espace probabilisable (IR r, B r ) où B est la tribu boréliee, o rappelle que la distace etre P et Q e orme de variatio totale est déie par : P Q V = sup A B r P (A) Q(A). 3

4 Par coséquet, si F et G sot les foctios de répartitio de deux vecteurs aléatoires réels X et Y, o ote par covetio : F G V = PX PY V, où PX et PY sot les lois images de X et Y. O déduit du théorème 2.1, le corollaire suivat : Corollaire 2.1. O cosidère la U-statistique déie das (2). Si la coditio (8) est satisfaite, et si l'o suppose de plus qu'il existe ue foctio de répartitio F telle que : alors : F α F V = O(τ α ) ; 0 < τ < 1, α IN, (10) lim + θ(γ) = θ (γ) (γ = 1,..., g), où la foctioelle θ (γ) est déie e (1). De plus, la coclusio du théorème 2.1 reste vraie e remplaçat θ (γ) par θ (γ). Pour des U-statistiques multivariées légèremet perturbées, ous avos le théorème suivat : Théorème 2.2. Soit la statistique U (γ) déie par : U (γ) = U (γ) + b(γ) ; γ = 1,..., g où U (γ) est déie das (2) et b (γ) est ue variable aléatoire. Si les coditios du théorème 2.1 sot satisfaites et lim E[b (γ) ] 2 = 0 (γ = 1,..., g), alors le vecteur aléatoire ( U (1) θ (1) },..., U (g) θ (g) } ) coverge e loi vers la loi ormale de moyee 0 et de matrice de covariace Σ, quad ted vers +. 3 Théorème limite d'ue U-statistique sous la coditio d'absolue régularité O cosidère, maiteat X } IN ue suite de vecteurs aléatoires à valeurs das IR r et absolumet réguliers de taux de mélage β(m), m 1. Supposos qu'il existe u réel δ (0 < δ < δ) tels que : β(m) = O ( m 2+δ δ ). (11) Déitio 3.1. O dit que la suite o statioaire X α } est absolumet régulière si sup max E IN 1 j m sup A σ(x i ; i j+m) P (A σ(xi ; 1 i j)) P (A) } = β(m) 0 (12) où σ(x i ; 1 i j) la σ-algèbre egedrée par (X 1,..., X j ) et σ(x i ; i j + m) la σ-algèbre egedrée par (X j+m,..., X ). O ote H i,j la f.r. cojoite du vecteur aléatoire (X i, X j ) et o suppose qu'il existe ue suite de vecteurs aléatoires X i strictemet statioaire, de f.r. F, absolumet régulière et de même taux que la suite X i telle qu'e otat H l la f.r. cojoite déie sur IR r IR r de (X i, X j), l = j i o ait O déit la suite σ 2 γ, par : H i,j H j i V = O(τ i ) ; 0 < τ < 1, m i < j (i, j IN ). (13) σ 2 γ, = 1 E ( Φ (γ),(i) 1, (X i ) ) 2 (θ (γ) ) 2} + 2 i=1 i i=1 j=1 4 E ( Φ (γ),(i) 1, (X i )Φ (γ),(j) 1, (X j ) ) (θ (γ) ) 2} (14)

5 et la costate σ 2 γ strictemet positive par : où σ 2 γ = Sous la coditio (13), o déit : σ γ,δ = E ( Φ (γ) 1 (X 1) ) 2 (θ (γ) ) 2} + 2 k=1 E ( Φ (γ) 1 (X 1)Φ (γ) 1 (X k+1 )) (θ (γ) ) 2}, (15) Φ (γ) 1 (X i ) = ( ) IR r 1 Φ(γ) (X i, x 2,..., x ) df(x 2 )... df(x ). E [( Φ (γ) 1 (X 1) θ (γ))( Φ (δ) 1 (X 1) θ (δ))]} + 2 k=1 E ( Φ (γ) 1 (X 1)Φ (δ) 1 (X k+1 ) θ(γ) θ (δ))}. (16) Théorème 3.1. Si les coditios (8), (11) et (13) sot satisfaites, alors la suite σ 2 γ, déie e (14) coverge vers la costate σ 2 γ déie e (15), et le vecteur aléatoire ( U (1) θ (1) },..., U (g) θ (g) } ) coverge e loi vers la loi ormale g-variée de moyee 0 et de matrice de covariace ( m(δ)σ γ,δ )γ,δ=1,...,g où σ γ,δ est déi e (16). Pour motrer le théorème 3.1, o a besoi du lemme suivat : Lemme 3.1. Supposos qu'il existe deux ombres réels δ et δ (0 < δ < δ), tels que les coditios (8) et (11) sot vériées, alors o a : où λ = 2(δ δ )/(δ (2 + δ)) > 0 et λ 1. 4 Applicatios ( 2 E U p,) (γ) = O( 1 λ ) ; p 2 (17) Exemple 1 : (Processus ARMA) O cosidère ue suite de processus ARMA X } IN déie par : X = a () 1 X 1 + a () 2 ɛ où ɛ } IN est ue suite de variables aléatoires de même loi et géométriquemet absolumet régulières telle que, E(ɛ ) = 0, de desité strictemet positive. Si l'o a : (a 1, a 2 ) IR 2 telle que, La suite X } IN vérie les coditios du théorème 3.1. lim + a() 1 = a 1, lim + a() 2 = a 2. Exemple 2 : (Chaîe de Markov) O cosidère la suite de processus X } IN déie par la relatio de récurrece : X = a () 1 X 1 + a () 2 X 1ɛ + a () 3 ɛ + a () 4 ɛ2 + a () 5, où les paramètres a () i, i = 1,..., 5 sot des ombres réels et ɛ } IN est ue suite de variables aléatoires de même loi et géométriquemet absolumet régulières telle que E(ɛ ) = 0, de desité strictemet positive. Si (a () 1 )2 + (a () 2 )2 E(ɛ 2 1) < 1 et E(ɛ 4 1) < +, alors : X } IN est ue suite de chaîes de Markov Harris récurretes et géométriquemet ergodiques et par suite elle est absolumet régulière à taux géométrique Mokkadem [3]. Si l'o a : j 1,..., 5}, a j IR tel que, alors les hypothèses du théorème 3.1 sot vériées. lim + a() j = a j et a a 2 2E(ɛ 2 1) < 1, 5

6 Référeces [1] Harel M. ad Puri Mada L. Limitig behavior of U-statistics, V -statistics ad oe-sample rak order statistics for ostatioary absolutely regular processes. J. Multiv. Aal. 1989, 30, [2] Hoedig Wassily. A class of statistics with asymptotically ormal distributio. Aals of Mathematical Statistics, 1948, vol. 14, o. 3, september. [3] Mokkadem A. Sur u modèle autorégressif o liéaire, ergodicité et ergodicité géométrique. J. T. S. A., 1987, 2, [4] Rio E. Covariace iequalities for strogly mixig processes. A. Ist. Heri Poicaré, 1993, vol. 29, 4, [5] Yoshihara K. Limitig Behavior of U-statistics for statioary, absolutely regular processes. Z. Wahrscheilichkeitstheorie verw. Gebiete, 1976, 35,