UNIVERSITE PARIS VI INSTN DE SACLAY DIPLOME D'ETUDES APPROFONDIES. Spécialité : MECANIQUE MEMOIRE DE DEA

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1 co Ck FR UNIVERSITE PARIS VI INSTN DE SACLAY DIPLOME D'ETUDES APPROFONDIES Spécialité : MECANIQUE MEMOIRE DE DEA INFLUENCE DU MOUVEMENT D'UNE STRUCTURE SUR LE DEVELOPPEMENT DE LA COUCHE LIMITE BriceROUBY ANNEE UNIVERSITAIRE :

2 Ce travail a été réalisé au centre d'études de mécanique d'île de France (CEMIF) au sein du groupe de mécaniques des fluides et énergétiques de l'université d'evry val d'essonne. J'exprime ma profonde gratitude à Monsieur PORCHER, responsable de mon stage, pour m'avoir permis de mener à bien ce travail. J'adresse également mes remerciements à Messieurs I.KOUDOUGOU docteur et enseignant-chercheur à l'université d'evry, F ATTOUI, M.GRIGNON pour leur aide, leur soutien et leur sympathie dont ils ont fait preuve à mon égard durant ce stage

3 SOMMAIRE page INTERET DE LA METHODE 4 l.interaction ENTRE UN FLUIDE ET UNE STRUCTURE VIBRANTE Quelques définitions Equations du problème Equations de Naviers-Stokes du mouvement d'un fluide newtonien Equations dynamiques des systèmes à plusieurs degrés de liberté amortis Conditions aux limites 8 2. PRESENTATION DE LA PARTIE FLUIDE 2.1 Forme adimensionnelle de l'équation de Naviers-Stokes Ecoulement à faibles nombres de Reynolds Ecoulement à nombres de Reynolds (l<re<l000), couches limites laminaires METHODE DE RESOLUTION NUMERIQUE Discrétisation des équations du fluide Méthode de projection Discrétisation temporelle Etape de prédiction 13

4 3.1.4 Etape de projection Discrétisation spatiale Discrétisation de l'équation de la structure Conditions aux limites Présentation de la méthode PMDF Algorithme de calcul ANALYSE DES RESULTATS Ecoulement de Poiseuille Oscillateur harmonique Couplage fluide structure 23

5 INTERET DE LA METHODE Le comportement vibratoire d'une structure peut être considérablement modifié par la présence d'un fluide. L'étude des interactions fluide-structures trouve son origine en milieu industriel. En effet, elle a été motivée par des problèmes industriels de vibrations rencontrés dans des situations très variées. Dans de nombreux cas, les structures n'étaient pas dimensionnées pour résister à de telles excitations. Ainsi la rupture des composants a eu lieu avant que l'on ne puisse intervenir. Les lignes de tuyauteries ont été un des premiers problèmes étudiés en raison de leur enclin aux instabilités fluide-élastiques. On peut ainsi citer le «Pipeline Trans-Arabian» dont les vibrations ont motivé une série d'études approfondies. De même, le bon fonctionnement des réacteurs nucléaires a été perturbé plusieurs fois dans le passé. Par exemple, on a observé sur plusieurs centrales des usures anormales au niveau du générateur de vapeur, voire des ruptures de tubes qui constituent un incident grave puisqu'une rupture a pour conséquence la contamination du circuit secondaire. Le coût de remplacement d'un faisceau de tube est tel que de nombreuses études ont été lancées sur les vibrations de faisceaux de tubes sous écoulement, afin de mieux connaître les mécanismes d'instabilités observées et éventuellement apporter des solutions technologiques permettant de les éviter. Par ailleurs, les structures élancées soumises à un écoulement peuvent voir facilement apparaître des instabilités fluide-élastiques. Par exemple, le risque de flottement des ailes d'avions est un problème majeur dont il faut tenir compte dés la conception. De même, les caractéristiques vibratoires des ponts sous écoulement doivent être établies avec précision. Cependant, pour de telles structures, il est souvent difficile de faire la part des choses entre les excitations purement fluideélastiques et les excitations dues à des écoulements périodiques. Par exemple, l'accident du pont de takoma aux Etats-Unis semble provenir d'une superposition de forces dues aux détachements tourbillonnaires ainsi qu'à des phénomènes fluide-élastiques encore mal connus. Dans d'autres domaines industriels tels que la biomécanique, l'étude des forces fluide-élastiques constitue un nouvel axe de recherche. Le but de ce stage est d'étudier l'influence du mouvement d'une structure sur le développement de la couche limite. Pour cela nous examinerons le mouvement d'une plaque soumise à une force induite par un écoulement de fluide. Le fluide sera incompressible et l'écoulement bidimensionnel.

6 Le système étudié comporte deux plaques parallèles. L'une est fixe (la plaque inférieure) l'autre est mobile et animée d'un mouvement de translation selon Oy. Le fluide s'écoule dans l'espace délimité par ces deux plaques (voir dessin ci-dessous). y t K M^ 5* Pour modéliser cette structure nous utiliserons un programme déjà existant, représentant une cavité bidimensionnelle remplie de fluide. En modifiant les conditions aux limites à l'entrée et à la sortie de la cavité nous voulons nous ramener à notre problème.

7 1. INTERACTION ENTRE UN FLUIDE ET UNE STRUCTURE VIBRANTE 1.1 Quelques définitions. L'étude du couplage entre, une structure vibrante et un fluide distingue traditionnellement trois types interactions. En effet, la nature du couplage dépend fortement de la présence ou de l'absence d'écoulement propre au fluide. Nous appellerons : -couplage fluide-structure l'interaction entre un fluide au repos et une structure vibrante. -couplage fluide élastique l'interaction entre une structure vibrante et un fluide soumis à un écoulement. -excitations de vibrations aléatoires ou excitations dues à la turbulence les mécanismes responsables de la vibration de structures sous écoulement à forts débits, en raison des fluctuations turbulentes ou des fluctuations de phase pour les écoulements diphasiques. 1.2 Equations du problème Equation de Naviers-Stokes du mouvement d'un fluide newtonien Pour le fluide, nous adopterons les notations suivantes : Qf le domaine fluide ; p la masse volumique ; // et v la viscosité dynamique et cinématique ; la viscosité de volume ; v la vitesse ; p la pression ; T le tenseur des contraintes visqueuses ; e le tenseur des gradients de vitesse ; Le fluide est supposé newtonien et incompressible, il vérifie donc les équations suivantes : divv = 0 (1) Le mouvement du fluide est défini par les équations de

8 Naviers-Stokes en formalisme eulérien conservation de débit. i a - A j P^ + pv»gradv = gradp + (iav pour le fluide >j ôt (3) divv = 0 les équations de Naviers-Stokes, pour un fluide incompressible (3), seront couplées à un mouvement vibratoire de la structure par l'intermédiaire de conditions aux limites d'adhérence et de continuité du tenseur des contraintes qui seront explicitées par la suite Equations dynamiques des systèmes à plusieurs degrés de liberté amortis Pour la structure nous adopterons les notations suivantes : K l'opérateur de raideur ; M l'opérateur de masse ; A l'opérateur d'amortissement ; jc(t) le vecteur des DDL fonction du temps de la structure ; jc(t) et x(t) les champs des vitesses et des accélérations ; /(t) le vecteur des forces extérieures ; a s (r,t) le tenseur des contraintes dans la structure ; (Pj(r) avec 1 <I< N la base modale ; K,, M, et A, raideur, masse et amortissement généralisés ; j la pulsation de résonance ; D'une façon générale, dans le cas des systèmes à amortissement visqueux, l'équation du système est de la forme : Mx + Ax +Kx = f(t) (4) L'hypothèse de petits déplacements de la structure nous permet de modéliser celle-ci par ses modes propres. Nous choisirons d'utiliser une troncature au rang N de la base des modes propres en air pour décrire la dynamique de la structure. Nous pourrons ainsi effectuer une décomposition modale des mouvements de la structure. 7

9 Les fonctions généralisés de déplacement correspondantes seront notées q t (t) de telle sorte qu'un déplacement cmématiquement admissible sera noté par : 1=1 (5) Les déformées modales sont deux à deux orthogonales par rapport aux opérateurs de masse et de rigidité de la structure : I,9 J >=M I S u (6) [ I ; (p : >=K I 5 U On introduit à ce niveau des coefficients d'amortissement généralisé A t pour tenir compte de la dissipation d'énergie vibratoire observée expérimentalement. Dans la base tronquée des vecteurs propres (<i>i(r)) ]<I<N, les équations de la dynamique de la structure se réduisent à N équations différentielles du second ordre indépendantes sur les variables q^t). L'équation (4) s'écrit alors : F 1 (t) (7) où : F I (t)=jf(t)q> I (r)dv (8) ( v ) Conditions aux limites Le couplage entre la structure et le fluide se réalise à l'interface grâce à la continuité de la vitesse normale du fluide et de la paroi. Soient (I) la surface limitant le volume fluide n la normale extérieure au domaine fluide Les conditions aux limites s'écrivent : v n = x«n

10 2 PRESENTATION DE LA PARTIE FLUIDE 2.1 Forme adimensionnelle de l'équation de Naviers-Stokes Nous allons écrire l'équation de Naviers-Stokes (3) à l'aide de combinaisons sans dimensions (que nous noterons par des étoiles) des différentes quantités qui y interviennent. Soient H et U les grandeurs caractéristiques de taille et de vitesse de l'écoulement. On a donc : r* = % L'équation de Naviers-Stokes devient, après division des deux membres par dv! ^ A*v*(9) dt* V J phu L'équation d'incompressibilité s'écrit : div*v* = 0 (10) Nous voyons apparaître en facteur du terme A*v* l'inverse du nombre de Reynolds Re = = associé à l'écoulement. Ce nombre représente le v M rapport des termes non linéaires v * grad *v * aux termes de viscosité \x A * v *. 2.2 Ecoulements à faibles nombres de Reynolds Rappelons tout d'abord l'expression du nombre de Reynolds que nous avons introduit au paragraphe (2.1) Re= V U et H représente respectivement la vitesse et la taille caractéristiques de l'écoulement et u la viscosité cinématique du fluide. Les écoulements aux faibles nombres de Reynolds sont caractérisés par la prédominance des effets dus à la viscosité sur ceux liés à l'inertie. L' équation de Naviers-Stokes qui régit ces écoulements est linéaire, car le terme convectif non linéaire v» grad v peut alors être négligé devant le terme qui représente les forces de frottement visqueux par unité de volume piav.

11 Ordres de grandeurs : terme d'inertie -?-. u v grad v = o ^~ l H I A-l U U terme visqueux u A v = o ^ termed'inertie = o(re) terme visqueux L'équation de Naviers-Stokes s'écrit alors : p = - grad p + fj. A v et 2.3 Ecoulements à nombres de Reynolds (l<re<1000), couches limites laminaires Dans un écoulement laminaire à nombre de Reynolds (l<re<1000) autour d'un solide, les termes de viscosité de l'équation du mouvement ne sont à prendre en compte que dans une zone de petite épaisseur appelée couche limite. Loin du corps et tant que l'écoulement incident n'est pas turbulent, les termes de forces de viscosité de l'équation de Naviers-Stokes sont négligeables. L'écoulement a alors pratiquement le profil qui correspondait à celui d'un fluide parfait. Le raccordement entre la solution d'écoulement de fluide parfait et la condition de vitesse nulle sur les parois solides se fait dans la couche limite, d'épaisseur d'autant plus faible que le nombre de Reynolds est grand. Dans cette région, les termes de viscosité et de convection sont à prendre en compte simultanément. Considérons un écoulement laminaire uniforme de vitesse Û arrivant entre deux plaques planes semi-infinies parallèles (voir figure ci-dessous) : -LU \ 5(x,) / H / / / / /y(y / '/////. S(x,) a Les gradients de vitesse sont concentrés sur une distance à la paroi de l'ordre de 10

12 5(x 0 ) représente donc l'épaisseur de la couche limite sur laquelle a lieu la transition entre l'écoulement de fluide parfait loin de la plaque et l'écoulement près de celle-ci. On a alors : ô ( X ol l_«!_«! où Re x0 est le nombre de Reynolds local obtenu en prenant la distance x 0 à l'arête comme échelle locale de longueur. 11

13 3. METHODE DE RESOLUTION NUMERIQUE 3.1 Discrétisation des équations du fluide Méthode de projection Le système adimensionnel à résoudre se met sous la forme : hv» grad v = - grad p H Av (il) ôt Re divv = 0 (12) On a à résoudre un problème de multiplicateur de Lagrange associé à un champ de divergence nulle. Nous allons alors réaliser, une discrétisation temporelle puis spatiale des équations Discrétisation temporelle Nous allons effectuer une discrétisation temporelle en prenant un pas de temps At positif. At correspond au pas de temps de calcul ; n correspond à l'indice du temps t ; n+1 correspond à l'indice du temps t+ At ; Notre écoulement étant bidimensionnel le vecteur vitesse v à pour composantes (V) Dans l'équation (11), on exprimera les termes de convection v«gadv explicitement (à l'instant n At ou ordre antérieur) et les termes de diffusion grad p ; Av ; implicitement c'est à dire à l'instant (n+1 ) A t. On suppose que (v n et p n ) sont connus à l'instant n A/, on cherche donc approximé Pour satisfaire la stabilité du système numérique le terme 12 5v n+1 ôt sera

14 par une discrétisation d*euler retardé d'ordre 2, soit : dv n+l _ 3v n+1-4v n +v n "' at ~ 2Ât o(at') De même, à partir d'une interpolation linéaire le terme non linéaire v»gradv s'exprimera sous la forme suivante : v.~g7ad*v = 2(NL)"-(NL) n " 1 ou (NL) signifie non linéaire et a pour expression : selon Ox : ôx + V ôy selon Oy : U + V ôx ôy Le système à résoudre à chaque pas de temps devient donc : divv n+1 = 0 (14) +2(NL)»-(NL)- 1 = - ^ d V + ^Av- (13) Conditions aux limites: v n+1 = v r Etape de prédiction: Nous définissons un champ de vitesse auxiliaire v solution de l'équation ou la pression est exprimée au pas de temps n At. Nous résolvons donc : 3v ~Zt +r ~ l w-w 11 " 1 = -^p n + ^ ( i5 ) conditions aux limites : V =v r On a ici un problème elliptique à conditions de Dirichlet. Bien que la solution numérique v approxime l'équation de Naviers-Stokes au temps t = n At, elle ne satisfait pas à priori l'équation de continuité divv = 0 On va donc chercher v de manière à avoir un champ de divergence nul. 13

15 3.1.4 Etape de projection On fait intervenir un terme de correction O pour obtenir un champ de divergence nul. Soit : v n+i = v + grad<j> (16) On a alors la condition (10) qui s'écrit : (17) Conditions aux limites : v n+1 n = f fi + grad <j>«n => - 0 on Comme l'on connaît v d'après l'équation (15) on en déduit O. Connaissant O et v, on en déduit v n+1 d'après l'équation (16). Remplaçons maintenant v par son expression (16) dans (15) on obtient : 1 I 3v n+1-4v n +v n -' -3 grad^ +2(NL) n -(NL)"' =- gradp" + v nil - gradv (18) En identifiant cette équation avec l'équation (13) on obtient : 2At grad O = - grad p n + grad p n+l grad <î> p n+i = gradv - - ffad + A 2 At Re V Re, p n,?) étant connus on en déduit p"* Discrétisation spatiale La résolution numérique des équations est faite par la méthode des volumes finis, le domaine de calcul est divisé en sous domaines appelés volumes de contrôle, chacun entourant un point appelé noeud. Les équations de chaque variable sont intégrées sur chaque volume de contrôle. On utilise la technique du maillage décalé, dans laquelle les différentes variables ne sont pas placée aux mêmes noeuds. En effet, la pression sera calculée au centre de la maille, alors que la vitesse sera déterminée au milieu de chaque coté d'une maille. 14

16 La discrétisation spatiale conduit à la définition d'un maillage de calcul constitué de (Nx)x(Ny) noeuds où sont résolues les équations du problème. Chaque noeud du maillage est repéré par ses coordonnées cartésiennes : [x(i), y(i)] i = 1 à Nx j = 1 à Ny Nous avons les équations: - AO = -div grad O = divv an = 0 sur (r) (19) Soient Ax et Ay les pas de discrétisation suivants les axes (Ox) et (Oy) Nous noterons par la lettre : c le centre d'un volume de contrôle de longueur Ax et de hauteur A y e le centre de la face est d'un volume de contrôle w le centre de la face ouest d'un volume de contrôle n le centre de la face nord d'un volume de contrôle s le centre de la face sud d'un volume de contrôle Figure 3 : Volumes de contrôle relatifs au noeud C et aux noeuds voisins Intégrons sur un volume de contrôle la relation (19) : 15

17 JJJ-div grad <D d V = jj- grad 0>*ndS = -(AxAy) (AX)' _ {Jdivvdv = AX(U E - Uw) + ^y(v N - Vs) (21) Les équations (20) et (21) étant égales on en déduit la relation: + (Ay) 2 (20) L'équation de Naviers-Stokes (15) peut s'écrire sous la forme suivante : Re ~ M 2(NL)n " (NL)B 1 (23) L'intégration de cette équation se fait sur le volume de contrôle centré en C Q+1/2J+1/2 fc Ï J- t : ' Figure 4 : Volume de contrôle En discrétisant l'équation (23) suivant x et y, on obtient deux équations, suivant l'axe Ox : 16

18 3Re 2ÂT u : n+l U : n + l n+l, TT n+ l, -2U,+ u rn + 1, TTn U 1 2 ' 2-1 U n+1 3-2U n+ ',+U 11 IJ ij (Ay) 2 U n, -U n, -Re-, -P n,, 4U", -U n ~ 1 r "?^ + Re- U+3 Ax 2At V i^u +_ i t.j-i 2 2_ 2Ax IJ+- V n 3-V n, I.J+- I.J- 2Ay -Re U r - IT i I+U + - w 2Ax i I-V+- n-l V n "' 3 -V. i,j+- 2Ay u-i (24) suivant l'axe Oy: v 2At i+v' pn -Re - I V _?V +V V 3 Ù V, -I- V, 1<--,J I + -.J I -,J pn Ay V n+1 _7V n+i +V 1 3 H,J (Ax) 2 (Ay) 2 4V n, -V""! 1 2At Re, 1, 1 2 2^ -I V n, +V n. +V", +V n, 4\, I--,J U-,J I,J+I I+Ô J + 1 J ilv", +V, +V n, +V", U n V n * 3, ', -U n 2Ax -V" v ' *2 2Ay -Re v7 +v, +v^ 4i I,1 I + -.J I--.J + 1 V Ax + 4l I~.J '"U.+Y". 1..]' yn-1 _ yn-1 V 3 1!J IJ 2Av V 3.2 Discrétisation de l'équation de la structure Le couplage des équations de la structure avec la résolution du problème fluide suppose la connaissance explicite des matrices de masse, de rigidité et d'amortissement de la structure, ainsi que la trace sur la frontière vibrante des déformées modales. Nous utiliserons une discrétisation explicite des équations différentielles du second ordre caractérisant les vibrations de la structure, plus spécifiquement un schéma de Newmark centré. Nous devons donc discrétiser N équations dynamiques : Ne connaissant les forces généralisées provenant des tensions fluides qu'à l'instant précédent, un schéma explicite s'impose : At (26) 17

19 L'itération d'un pas de temps est effectuée ainsi : résolution de N équations différentielles caractérisant le déplacement de la structure en utilisant un schéma de type Newmark explicite : qî = f ^ ^Ifpr' + 2M.+M'-Mt qr. _ M ^ (2?) VM,+A,AtA At At" ) calcul des fonctions qj(t) à partir des i-^f- (28) 3.3 Conditions aux limites Le couplage entre la structure et le fluide se réalise grâce à la continuité du champ de vitesse et des tensions surfaciques. Les différentes modélisations utilisées couramment pour résoudre des problèmes d'écoulement distinguent traditionnellement deux types de conditions en vitesse : les conditions aux limites d'adhérence les lois de parois L'adhérence est naturellement retenue lorsqu'on résout les équations de Navier-Stokes dans la totalité du domaine fluide. A ce stade, nous retiendrons donc une condition limite d'adhérence (29.a) au niveau de la position spatiale réelle de l'interface. Cette condition d'adhérence sera plus tard transformée en loi de paroi, appliquée à la position moyenne de l'interface. La remarque précédente s'applique aussi pour les conditions aux limites en contraintes. Ainsi, au niveau de la position réelle de l'interface, nous retiendrons la continuité des tensions (29.b) A l'interface nous avons donc : v = (29. a) a s»n (29. b) A partir du problème de la cavité, nous avons modifié les conditions aux limites afin de retrouver l'écoulement de Poiseuille. Nous avons imposés les conditions suivantes : en amont de l'écoulement nous avons Vj=o,Ny -1 v x (l,j) = 1 en aval de l'écoulement on impose un gradient de vitesse nul selon Oy donc: Vj = 0,Ny-l v x (Nx,j) = v x (Nx-lJ) Nous avons également veiller à ce que la conservation du débit soit vérifiée 18

20 3.4 Présentation de la méthode PMDF L'objectif du développement de la méthode PMDF (Parois Mobiles sur Domaine Fixe) est de pouvoir réaliser des calculs fluides avec domaine spatial vibrant sur maillage fixe en formalisme eulérien La méthode PMDF est largement inspirée des travaux de Renou ([5]) Soit v la vitesse résultant d'un champ stationnaire ; Soit (x,y,z) le repère local à la paroi non déformée ; La condition limite d'adhérence s'écrit : gradv ) La loi de paroi PMDF s'exprime donc dans le repère local à la paroi (x,y,z) : N n N n (30) ôw Début 3.5 Algorithme de calcul initialisation de toutes les variables de l'écoulement Choix des conditions initiales et aux limites avec paroi fixe = t initial itial = 0 j /\ ( t = t +dt Calcul des champs de vitesse auxiliaire V Calcul du terme de correction 4 Calcul du champ de vitesse V Calcul du champ de pression ~ 0 OO (t>t 19

21 4. ANALYSE DES RESULTATS Afin de vérifier que les deux programmes modélisant la structure et le fluide fonctionnent, nous allons les utiliser dans des cas simples dont les résultats théoriques sont connus. 4.1 Ecoulement de Poiseuille L'écoulement de Poiseuille présente l'avantage d'être bien connu. Il est important que le code numérique retrouve bien les champs analytiques de vitesse. Les principales données dimensionnelles des calculs sont : longueur totale L = 10m ; hauteur h = lm ; masse volumique du fluide p = 10 3 kg m" 3 ; viscosité cinématique v = l(t 5 m 2 s" 1 ; nombre de Reynolds Re = 400 ; débit Q=lmV pas de temps At = o.oois Pour obtenir le profil d'écoulement nous allons utiliser l'équation de Naviers- Stokes en incompressible : p + pv«gradv =-gradp + >iav (3) ôt Nous considérons un écoulement unidirectionnel et bidimensionnel où la vitesse est parallèle à l'axe (Ox). v à donc pour composantes : (v x (y);0) Le terme non linéaire pv»gradv est donc nul. L'équation de Naviers-Stokes (3) s'écrit alors : E ^ (3.) ôy L'écoulement étant induit par un gradient de pression = -K = - (P, - P o )/L dans ex la direction Ox. L'équation (31) devient donc : ^ = -K (32) Compte tenu des conditions aux limites v x (o) = 0 et v x (h) = 0 on obtient : (33) Le débit de fluide dans le canal dans la direction Ox par unité de largeur vérifie : 20

22 (34) L h 3 = K Connaissant Q et h nous pouvons tracer le profil théorique de v x (y) (y) 0.4 Profil théorique de Poiseuille 21

23 Profil numérique de Poiseuille en sortie de l'écoulement Les résultats obtenus numériquement sont en accord avec la théorie. On s'aperçoit que le profil de vitesse numérique est plus aplati au sommet de la parabole que le profil théorique. Ce dernier n'est en fait qu'une approximation de la réalité. En ce qui concerne la couche limite, on constate que celle-ci est plus grande dans la théorie que dans la réalité. En effet à la sortie de l'écoulement on obtient : 5 nu (y)*0.3m 5 lh (y) = 0.5m Les calculs numériques de la partie fluide étant validé par la théorie, nous allons maintenant vérifier la validité du calcul numérique de la structure. 4.2 Oscillateur harmonique Soit un oscillateur harmonique conservatif dont le mouvement est défini par x(t). Au temps t = 0 nous considérons que x(t) = 0 et que l'oscillateur est animé d'une vitesse initiale x(0) = v c 'o 22

24 L'oscillateur n'est soumis à aucune force extérieure. Nous pouvons résoudre directement le problème : fx = 0 avec \ IX = V o ent=o Ce qui donne en posant 0 = J : x(t) = sinco o t co o Pour simplifier les calculs nous prendrons les valeurs numériques suivantes : K = lnm~ l M = lkg v 0 = lms -i A = 0 On constate que lorsque l'on diminue le pas de temps les résultats numériques sont proches des résultats expérimentaux. En effet l'erreur de troncature est proportionnelle au pas de temps. Pour un pas de temps valant 0.01s nous obtenons la coube ci-apres. Les résultats théoriques et numériques étant en accord pour les parties fluides et structure, nous pouvons donc passer au couplage fluide-structure. 4.3 Couplage fluide structure Faute de temps, les résultats seront communiqués lors de la soutenance. 23

25 courbe obtenue numériquement de l'oscillateur harmonique ( temps(s)

26 BIBLIOGRAPHIE [1] ACHESOND.J. Elementary fluid dynamics Oxford applied mathematics and computing science series [21 GIBERT R. J. Vibrations des structures. Editions Eyrolles, Paris, 1988 [31 GUYON E.. HULIN J.P.. PETIT L. Hydrodynamique physique. Editions du CNRS, Paris, 1991 [41 NOUGIER J. P. Méthodes de calcul numérique. Editions Masson, Paris, 1991 [51 RENOU J. Y. Une méthode eulérienne de calcul numérique de forces fluide-élastiques.thése de Doctorat, Université PARIS VI, 1998