Processus de Poisson

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1 Processus de Poisso D après «Costructio d u modèle de Poisso» de Michel Hery Das Autour de la modélisatio e probabilités, Presses Uiversitaires Frac-Comtoises, 2001 Rappel des programmes de BTS «La loi de Poisso est itroduite comme correspodat au ombre de réalisatios observées, durat u itervalle de temps de logueur doée, lorsque le temps d'attete etre deux réalisatios est fouri par ue loi expoetielle». Problème de vacaces : Par ue belle uit d été, o observe e moyee 12 étoiles filates par heure. Quelle est la probabilité d e voir trois das le prochai quart d heure? Hypothèses de travail Cosidéros l évéemet A : «observer ue étoile filate». A partir d u istat iitial t 0 = 0, o peut observer à tout istat la maifestatio d u évéemet A. O suppose que cet évéemet est istataé. L esemble de ces observatios costitue ue suite croissate d istats successifs. O s itéresse au ombre d évèemets A produits das ue durée d observatio [0 ; T]. O suppose que : o il y a pas de momets où ue étoile apparaît plus souvet que d autres (o suppose doc que la fréquece d arrivée des étoiles filates e déped pas de l istat du début de l observatio) ; o les étoiles filates e sot pas très fréquetes ; o l istat où l o observe l ue d etre elles e déped pas des arrivées précédetes. Nous sommes e présece d u phéomèe homogèe das le temps, rare et sas mémoire. Cette situatio est caractérisée par u paramètre qui peut être évalué : o peut observer que, das des coditios aalogues, A se produit e moyee c fois das u itervalle de temps uité (cadece du phéomèe). Modèle probabiliste O cosidère comme esemble des issues possibles, l esemble cotiu Ω de tous les istats où A peut théoriquemet se produire à partir d u istat iitial d observatio ( Ω = ]0 ; + [ ). Ces hypothèses se traduiset mathématiquemet de la faço suivate : o la probabilité d observer A das l itervalle [t i ; t i+1 ] e déped que de la durée t i+1 t i (phéomèe o homogèe das le temps) ; la probabilité qu il se produise deux (ou plus) évèemets A à la fois (c est-à-dire das u petit itervalle de temps Δt) est égligeable devat la probabilité d e observer u seul das ce même itervalle de temps (phéomèe rare). De plus cette probabilité ted vers 0 avec Δt. Aisi, la probabilité que A se produise à u istat détermié a priori est cosidérée comme ulle ; o les évèemets : «A se produit etre les istats t i et t i+1» sot idépedats (phéomèe sas mémoire). Des deux premières hypothèses, o va pouvoir supposer que la probabilité d observer A das u petit itervalle de temps Δt est proportioelle à la logueur de cet itervalle, le coefficiet de proportioalité état λ. Schéma Poissoie O désige par : t 1, t 2,, t, les istats aléatoires où l o observe les étoiles filates. X 1, X 2,, X, les durées aléatoires égales à t 1 0, t 2 t 1,, t t -1, ; aisi les X i désiget les temps séparat deux observatios successives de A. N le ombre d étoiles filates observées etre les istats 0 et T. X 1 X 2 X 0 t 1 t 2 t -1 t T Ce schéma décrit u processus de Poisso homogèe. 1

2 Lois des variables aléatoires Das ce modèle, X i représete la durée qui sépare l istat t i 1 de l observatio de la prochaie étoile filate. Comme o a supposé que le phéomèe est homogèe das le temps, les variables X 1, X 2,, X suivet la même loi. De plus les X i coceret des itervalles de temps disjoits au cours desquels les arrivées évetuelles de A sot supposées idépedates : les variables X 1, X 2,, X sot doc idépedates. La loi commue des X i est la loi expoetielle 1 de paramètre λ. Leur desité de probabilité est doc : f X i (t) = λe λt pour t 0. O a : E( X i ) = 1 λ (c est le temps moye d attete de A) Var( X i ) = 1 λ. 2 La variable N suit la loi de Poisso 2 de paramètre λt. O a : E N ( ) = λt (c est le ombre moye d évèemets A qui se produiset das ue durée T) ( ) = λt. Var N Remarque : Il y a c évèemets A par uité de temps, doc c = E(N) = λ. Par coséquet, λ représete la T cadece c du phéomèe (ombre moye d étoiles filates par uité de temps). Répose à la questio posée O veut calculer la probabilité d observer 3 étoiles filates e u quart d heure. Preos pour uité de temps ue heure. Les doées statistiques idiquet ue moyee de 12 étoiles filates à l heure ; o a doc pour u quart d heure : λt = = 3 Et : P(N = 3) = 33 3! e 3 0,224 1 La démostratio est das l article cité e itroductio, à savoir «Costructio d u modèle de Poisso» de Michel Hery das Autour de la modélisatio e probabilités, Presses Uiversitaires Frac-Comtoises, 2001, p La démostratio est das le même article, p

3 Autre exemple : la désitégratio radioactive Pour étudier le comportemet d u élémet radioactif, u capteur eregistre les istats successifs où l u des atomes se désitègre, ceci afi de détermier la «période» (ou «demi-vie») de l élémet radioactif cosidéré, c est-à-dire la durée au bout de laquelle le ombre d'atomes de l élémet a dimiué de moitié. Si o cosidère l évéemet A : «u atome se désitègre», o observe expérimetalemet que A est rare, homogèe das le temps et sas mémoire. O est doc e présece d u processus de Poisso. 1. A chaque atome radioactif, o associe le temps d attete de sa désitégratio (doc égal à sa durée de vie). O ote X cette variable aléatoire. X suit la loi expoetielle de paramètre λ (λ : taux de désitégratio de l élémet radioactif correspodat à la cadece du phéomèe). a) Au bout de la période T, la proportio des atomes désitégrés est 1. O admet que cette fréquece est égale à 2 la probabilité pour u atome d être désitégré. Motrer que la période T est égale à l2 λ. b) Calculer le taux de désitégratio de l'iode 131 sachat que sa période est de 8,06 jours et celui du radium pour lequel la période est de 1580 aées. c) Lors d ue expériece, o étudie ue quatité d uraium 238 et o observe ue cadece de λ 12 désitégratios par secode. Calculer la période de l uraium O ote N le ombre de désitégratios etre les istats 0 et τ pour u échatillo de matière radioactive coteat atomes. N suit la loi de Poisso d espérace E(N) = λ τ. a) Calculer le ombre moye jouralier de désitégratios avec atomes d iode 131. E déduire le ombre moye de désitégratios par secode. b) Détermier la probabilité qu il y ait aucue désitégratio pedat ue secode avec atomes de radium. c) Quelle est la probabilité qu il y ait 3 ou 4 désitégratios pedat ue aosecode avec 10 8 atomes d uraium 238? 3. Datatio par la méthode du carboe 14. Le carboe 14 est produit régulièremet e haute atmosphère lors de réactios ucléaires iduites par des protos rapides d origie galactique. Il est e proportio à peu près costate das les eviroemets terrestres : la proportio est d u oyau de carboe 14 pour 7, oyaux de carboe 12. Lorsqu u idividu ou ue plate meurt, so métabolisme cesse de foctioer, so carboe est plus reouvelé et le carboe 14 qu il cotiet se désitègre e redoat u oyau d azote 14 avec ue demi-vie de 5730 as. Il suffit alors de mesurer la proportio du carboe 14 das les restes (os, cheveux, bois ) pour coaître l époque de la mort. Das 1g de carboe aturel, il y a oyaux parmi lesquels eviro 6, de carboe 14. Calculer le ombre moye de désitégratio par siècle du carboe 14. Correctio 1.a) X suit la loi expoetielle de paramètre λ : P(X T) =1 e λt = 1 2 T = l1 2 λ b) si T = 8,06 jours, λ = l2 0,086 désitégratios par jour. 8,06 l2 si T =1580 aées, λ = 0,0004 désitégratios par a c) si λ 12, T = secodes, soit 4, aées. = l2 λ 2. N suit P (µ) avec µ = λ τ. a) E(N) = 0, par jour, soit 0, par secode. 10 0, b) P(N = 0) = e = e 0,127 0, c) N suit P (µ) avec µ = =1,2. P(3 N 4) = P(N = 3) + P(N = 4) = 0, ,026 0, l2 6, E(N) = 100 soit eviro désitégratios par siècle

4 Exercices Exercice 1 Ladislaus vo Bortkiewicz ( ) a étudié le ombre auel de morts par ruade de cheval das 10 corps d'armée de l'armée prussiee de 1875 à Il y a doc 200 observatios. Nombre de morts Total Nombre de corps d'armée O ote X la variable aléatoire qui, à u corps d'armée associe so ombre de victimes par ruade. Etablir le tableau de la loi de probabilité de X et so espérace mathématique. (O predra pour probabilités les fréqueces observées.) 2. O désire approcher X par ue loi de Poisso. Quel paramètre va-t-o predre? Comparer les probabilités obteues avec cette loi aux valeurs observées. Exercice 2 Le ombre X de désitégratios d ue substace radioactive durat u itervalle de temps de 7,5 secodes suit ue loi de Poisso de paramètre 3, Quel est le ombre moye de désitégratios durat u itervalle de temps de 7,5 secodes? Calculer l écarttype correspodat. 2. Détermier la probabilité qu il y ait aucue désitégratio durat u itervalle de temps de 7,5 secodes. 3. Quelle est la probabilité qu il y ait 3 ou 4 désitégratios durat u itervalle de temps de 7,5 secodes? Exercice 3 Ue etreprise de logistique observe qu'e moyee il arrive chaque jour 4 camios pour le déchargemet. So etrepôt dispose de 5 quais de déchargemet. O admet que les arrivées des camios sot idépedates les ues des autres. Soit X la variable aléatoire qui à u jour doé associe le ombre de camios arrivat pour décharger. O admet que X suit ue loi de Poisso. O cosidère que lorsqu'u camio arrive, il lui faut ue jourée pour décharger. 1. Quelle est la probabilité qu'u jour doé, aucu camio 'attede pour décharger? 2. L'etreprise souhaite augmeter le ombre de quais de déchargemet. Combie doit-elle e costruire pour que la probabilité de avoir aucu camio e attete soit supérieure à 95%? 3. O prévoit u doublemet de la fréquece d'arrivée des camios. Combie l etreprise doit-elle alors costruire de quais pour que la probabilité de avoir aucu camio e attete soit supérieure à 95%? Exercice 4 Das ce service, à l'ouverture, 6 guichets sot ouverts. Il faut e moyee 5 miutes à ue persoe travaillat derrière u guichet pour traiter u cliet. O suppose que das ce service, il arrive e moyee ue persoe toutes les miutes et que les arrivées sot idépedates. 1. J'arrive das ce service 5 miutes après l'ouverture. Soit X la variable aléatoire qui pred pour valeurs le ombre de cliets arrivés avat moi. O admet que X suit ue loi de Poisso. a) Doer le paramètre de la loi de Poisso. b) Quelle est la probabilité que 4 guichets soiet occupés lorsque j'arrive? c) Quelle est la probabilité que je 'attede pas? d) Quelle est la probabilité que tous les guichets soiet occupés? e) Quelle est la probabilité que j'attede mois de 10 miutes? 2. Ue persoe arrive das le service 5 miutes après l'ouverture. Combie devrait-o ouvrir de guichets pour que la probabilité qu elle attede soit iférieure à 5%? 3. O se red compte qu'u certai jour de la semaie, la fréquece d'arrivée des cliets double par rapport aux autres jours. Si ue persoe arrive das le service 5 miutes après l'ouverture, combie devrait-o alors ouvrir de guichets pour que la probabilité qu elle attede soit iférieure à 5%? 4

5 Exercice 5 U distributeur automatique élabore du jus d'orage e mélageat de l'eau et du cocetré d'orage. Ue equête a motré que la variable aléatoire Z qui, à toute période de 30 jours associe le ombre de paes mécaiques du distributeur, suit la loi de Poisso telle que : P(Z = 1) = 6 P(Z = 3). 1. Calculer le paramètre de cette loi de Poisso. 2. Détermier la probabilité qu'il y ait au mois deux mises hors service du distributeur, e u mois de 30 jours, par défaillace mécaique du distributeur. Exercice 6 O admet que le ombre d'appels téléphoiques reçus par u stadard pedat u temps t > 0, suit ue loi de Poisso de paramètre λ. O ote X le temps d'attete du premier appel et Y t le ombre d'appels reçus etre 0 et t. 1. Comparer les évèemets (X > t) et (Y t = 0). Calculer la probabilité de ces deux évèemets. 2. E déduire que le temps d'attete du premier appel suit ue loi expoetielle. Exercice 7 Si das ue populatio ue persoe sur cet est u ceteaire, quelle est la probabilité de trouver au mois u ceteaire parmi 100 persoes choisies au hasard? (Quelle loi peut-o utiliser?) Et la probabilité de trouver au plus deux ceteaires parmi 200 persoes? Exercice 8 Ue populatio comporte e moyee ue persoe mesurat plus de 1m90 sur 80 persoes. Sur 100 persoes, calculer la probabilité qu il y ait au mois ue persoe mesurat plus de 1.90m (quelle loi peut-o utiliser?). Sur 300 persoes, calculer la probabilité qu il y ait au plus deux persoes mesurat plus de 1.90m. Exercice 9 Soit X ue variable aléatoire réelle à valeurs das telle que pour tout etier k o ul : P(X = k) = 4 P(X = k 1). k Détermier la loi de X. 5

6 Correctio des exercices Exercice 1 1. Loi de probabilité de X : xi pi 0,545 0,325 0,11 0,015 0, Loi de probabilité de la loi de Poisso P (0,61) : xi pi 0,543 0,331 0,101 0,021 0,003 E(X) = 0,61 Exercice 2 1. X suit P (3,87) ; E(X) = 3,87 ; σ(x) = 3,87 1, P(X = 0) = e 3,87 0,021 ; 3. P(3 X 4) = P(X = 3) + P(X = 4) 0,201+ 0,195 0,396 Exercice 3 1. X suit P (4). Il 'y a aucu camio e attete si X est au plus égal à 5 puisqu'il y a 5 postes de déchargemet : P(X 5) 0, O doit trouver le ombre N tel que P(X N) 0,95. Or P(X 7) = 0,948 et P(X 8) = 0,978 : il faut doc 8 quais de déchargemet. 3. E moyee 4 camios par jour veat livrer. O prévoit u doublemet, doc 8 camios par jour e moyee viedrot livrer. Par coséquet, X suivra la loi de Poisso de paramètre 8. Or P(X 12) = 0,937 et P(X 13) = 0,967 : il faut doc 13 quais de déchargemet. Exercice 4 1. a) X suit P (5). b) P(X = 4) 0,175 ; c) P(X 5) 0,616 ; d) P(X 6) = 1 P(X 5) 0,384 ; e) P(X < 12) = P(X 11) 0, Soit k le ombre de guichets écessaires. O doit avoir : P(X k) < 0,5, soit : P(X < k) > 0,95. Or P(X 8) 0,932 et P(X 9) 0,968. Il faut doc ouvrir 10 guichets. 3. X suit P (10). O doit avoir P(X < k) > 0,95. Or P(X 14) 0,917 et P(X 15) 0,951. Il faut doc ouvrir 16 guichets. Exercice 5 1. Si Z suit la loi de Poisso de paramètre µ, alors o doit avoir : µ e µ = 6 µ3 6 e µ µ = µ 3 doc µ = 1 (car µ > 0) doc Z suit P (1). 2. P(Z 2) = 1 P(Z 1) = 1 0,736 0,264. 6

7 Exercice 6 1. X est le temps d'attete du premier appel et Y t le ombre d'appels reçus etre 0 et t. Pour t > 0, les évèemets (X > t) et (Y t = 0) sot égaux. Doc : P(X > t) = P(Y t = 0) = λ0 0! e λt = e λt 2. Foctio de répartitio de X : F(t) = P(X t) = 1 e λt Desité de probabilité de X : f (t) = F ʹ (t) = λe λt X suit bie la loi expoetielle de paramètre λ. Exercice 7 O appelle X le ombre de ceteaires pris parmi 100 persoes. La probabilité p = 1/100 état faible, o peut appliquer la loi de Poisso d espérace 100p = 1 à X : X suit P (1). O cherche doc : P(X 1) = 1 P(X = 0) = 0,63. Si Y est le ombre de ceteaires pris parmi 200 persoes, alors l espérace est 2 et : P(Y 2) = 0,68. Exercice 8 O appelle X le ombre de persoes mesurat plus de 1.90m parmi 100. X a pour espérace 100 =1,25, doc X suit la loi de Poisso de paramètre 1, P(X 1) = 1 P(X = 0) = 0,71. Si Y est le ombre de persoes mesurat plus de 1.90m parmi 300, Y a pour espérace = 3,75. P(Y 2) = 0,28. Exercice 9 Par itératios successives : k IN, P(X = k) = 4 k 4 k 1 4 k k 4 P(X = 0) = P(X = 0) 1 k! X est ue variable aléatoire, doc P(X = k) =1 d où : 1 = P(X = k) = soit P(X = 0) = 1 e 4 = e 4 4 k k 0 P(X = 0) = P(X = 0) = P(X = 0) e 4 k! k! et P(X = k) = e 4 4 k : X suit la loi de Poisso P (4). k! 4 k 7

8 Approcher ue loi biomiale par ue loi de Poisso ou ue loi ormale? Les calculatrices ot itégré les calculs de probabilités au programme de lycée, e particulier ceux cocerat la loi biomiale. Das ces coditios, les approximatios de cette loi par ue loi de Poisso ou ue loi ormale sot-elles ecore justifiées? Exemple 1 Source : Miistère de l Itérieur-Equête oyades 2012 Répartitio des oyades suivies de décès selo les coditios de surveue et de sexe : Hommes Femmes Maquat Total Accidetelles Suicide ou tetative de suicide Agressio Origie o coue Total Motrer que la fréquece de oyade sur ue aée das la populatio fraçaise est d eviro Das la suite de l exercice, o cosidère qu u idividu fraçais, pris au hasard, peut se oyer avec ue probabilité de Soit X la variable aléatoire mesurat le ombre auel de oyades das ue populatio de idividus. Quelle est la loi de X? 3. O s itéresse à ue ville de la taille de Clermot-Ferrad, soit ue populatio d eviro habitats. Quelle est la probabilité qu au plus 2 persoes décèdet de oyade das ue aée? 4. O s itéresse à ue ville de la taille de Paris, soit ue populatio d eviro deux millios d habitats. Quelle est la probabilité qu au plus 10 persoes décèdet de oyade das ue aée? Clermot-Ferrad, e 2011, était la 23 e commue de Frace avec habitats et la 19 e aire urbaie de Frace avec ses habitats. Le ombre d'habitats à Paris itra-muros atteigait persoes (populatio muicipale) e 2010 tadis qu au 1er javier 2011, persoes vivaiet e Ile-de-Frace. Exemple 2 O suppose que, lors d u grad jeu de loterie, il y ait u millio de participats. Chaque persoe a ue chace sur u millio de gager Quelle est la probabilité qu il y ait u seul gagat à ce jeu? Rappels : O peut approcher ue loi biomiale par ue loi de Poisso lorsque 30, p 0,1 et E(X) = p 15. O effectue alors les calculs avec la loi de Poisso de paramètre µ = p. O peut approcher ue loi biomiale par ue loi ormale lorsque 30, E(X) = p 5 et (1 p) 5. O effectue alors les calculs avec la loi ormale de paramètres µ = p et σ = p (1 p), sas oublier la correctio de cotiuité : si X suit la loi B ( ; p) et Z la loi N (µ ; σ 2 ), alors P(X = k) = P(k 0,5 Z k + 0,5). 8

9 Correctio de l exemple 1 1. f = 663 1, X suit B ( ; 10-5 ) ; E(X) = X le ombre auel de oyades das ue populatio de persoes. X suit B ( ; 10-5 ) ; E(X) = = 1,4 P(X 2) = 0,83 4. X le ombre auel de oyades das ue populatio de persoes. X suit B ( ; 10-5 ) ; P(X 10) : impossible avec la plupart des calculatrices. E(X) = = 20 : o e peut pas approcher la loi biomiale par ue loi de Poisso. O approche doc la loi de X par la loi ormale N (20 ; ( 20) 2 ) ; o obtiet : P(0 X 10) = 0,013 ou, si o tiet compte de la correctio de cotiuité, : P(-0,5 X 10,5) = 0,017. Remarque : avec u tableur, o obtiet pour la loi biomiale : P(X 10) = 0,011. Correctio de l exemple 2 1. O appelle X le ombre de gagats. X suit B ( ; 10-6 ) ; E(X) = 1 Calcul de P(X = 1) : impossible avec la plupart des calculatrices. E(X) = 1 : o peut approcher la loi de X par la loi de Poisso P (1). O obtiet : P(X = 1) = e 1 0,368. Remarques : avec u tableur, o obtiet pour la loi biomiale : P(X = 1) = 0,368. si o fait les calculs avec la loi ormale N (1 ; 1), o obtiet : P(X = 1) = P(0,5 Z 1,5) = 0,383. 9

10 Covergece de la loi biomiale B ; 1 vers la loi de Poisso P (1) Approche graphique Activité élève (sur tableur) : Travail à réaliser : 1. Créer ue feuille de calcul qui permet d obteir P(X = k) (pour 0 k 10) si X est ue variable aléatoire qui suit : d ue part, ue loi biomiale B ; 1 pour égal à 10, 50, 100 et 1000 ; d autre part la loi de Poisso de paramètre µ = 1 qui approche ces lois biomiales. Foctios utiles : LOI.BINOMIALE(k ; ; p ; FAUX) LOI.POISSON(k ;1; FAUX) Remarque : «FAUX» sigifie qu o e cumule pas. 2. Faire quatre diagrammes e bâtos : sur chacu serot représetées ue loi biomiale et la loi de Poisso P (1). 3. Que peut-o costater? 10

11 Correctio : 11

12 Démostratio : O cosidère ue variable aléatoire X qui suit la loi biomiale B ; 1 et u etier k tel que 0 k. O ote p (k) = P(X = k) = k 1 k 1 k. Calcul de la limite de p (0) lorsque ted vers +. p (0) = P(X = 0) = 1 = 1 1 = e 1 l 1 = e l ( 1 1 ) 1 e 1. + O ote p 0 cette limite. Gééralisatio : calcul de la limite de p (k) lorsque ted vers +. p (k) = P(X = k) = k 1 k 1 k! 1 = ( k)!k! k 1 k! 1 p (k +1) = ( k 1)!(k +1)! k = p (k) (k +1)( 1) k +1 1 k 1! = ( k)!k! k k k 1 k 1 Si la suite ( p (k)) coverge vers ue limite p k lorsque ted vers +, alors la suite ( p (k +1)) coverge vers p k +1 et cette limite vérifie : p k +1 = lim p k (k) + (k +1)( 1) = p k 1 k +1 O motre (par récurrece) que p k = e 1 1 k! La suite ( p k ) défiit ue loi de probabilité sur : p k = e 1 1 k! = 1 e 1 k! = e 1 e =1 Remarque : si o veut faire la démostratio avec les étudiats, o peut admettre les deux résultats suivats : lim = e 1 1 et lim = e + k! 12