Physique Statistique

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1 Paris 7 PH Physique Statistique EXERCICES Feuille 3 : Distribution microcanonique 1 Défauts de Frenkel Les N atomes qui constituent un cristal parfait sont régulièrement disposés sur les N sites du réseau cristallin. Lorsqu un atome se place dans un interstice de ce réseau, en laissant un site vacant, on dit qu il y a un défaut de Frenkel dans le cristal. L énergie nécessaire pour créer un défaut de Frenkel est ε > 0, et on appelle N le nombre de positions interstitielles dans le réseau (N et N sont du même ordre de grandeur). Considérons un cristal présentant n défauts de Frenkel (avec n N). Calculez le nombre d états accessibles du système et en déduire sa température microcanonique T. Montrez que la relation entre T et n peut s écrire n NN exp( ε/2kt ). 2 Oscillateurs harmoniques Rappelons-nous : les niveaux d énergie d un oscillateur harmonique à une dimension sont de la forme ε n = (n + 1/2) hω, avec n entier positif ou nul, et ils ne sont pas dégénérés. Considérons un système de N oscillateurs harmoniques à une dimension, discernables, faiblement couplés, de pulsation ω. Le système est isolé et son énergie vaut E. Un état du système est entièrement déterminé lorsqu on connaît l ensemble des valeurs des nombres quantiques n i caractérisant l état de chacun des oscillateurs. On pose Q df = N i=1 n i. 1. Calculez le nombre d états accessibles Ω(E, N) pour le système étudié. 2. En vous plaçant dans le cas où N 1 et Q 1, calculez l entropie S et la température T en fonction de E. 3. Calculez la probabilité P n pour qu un oscillateur donné soit dans l état d énergie ε n (n Q). En utilisant la relation entre Q/(N + Q) et exp( hω/kt ), exprimez P n en fonction de T. 4. Quelle est l énergie moyenne ε d un oscillateur donné? 3 Électrons piégés sur des sites Un solide contient N sites (discernables, forcément) et N électrons piégés sur ces sites. Chaque site est susceptible de piéger : soit un électron dont le spin est dans l état, d énergie ε = ε 0, soit un électron dans l état, énergie ε = ε 0, soit une paire d électrons d états de spins opposés, d énergie ε = 2ε 0 + g, où ε 0 est une constante négative et g une constante positive représentant l interaction entre deux électrons situés sur le même site. On néglige les interactions entre électrons situés sur des sites différents et on considère que le système est isolé. 1. Montrez que lorsque l énergie E du système est fixée, les nombres de site occupés par 0, 1 ou 2 électrons (respectivement n 0, n 1 et n 2 ) sont déterminés. Entre quelles limites peut-on choisir la valeur de l énergie imposée E? 2. Calculez le nombre d états accessibles du système quand son énergie est E. (Contrairement aux sites, les électrons sont indiscernables.) 3. Calculez la température microcanonique T du système (pour n 1 et n 2 pas trop petits). Représentez les allures des courbes Ω(E), S (E), β (E) et enfin T (E). Discutez et interprétez les variations de T avec E. 4. Calculez n 0, n 1 et n 2 en fonction de T. Représentez les allures des courbes n 1 (T ) et n 2 (T ). 4 Cristal paramagnétique. Températures de spin négatives On considère un système de N porteurs de spin 1/2 fixés aux nœuds d un réseau cristallin placé dans un champ magnétique uniforme et constant B. Supposant les porteurs immobiles et négligeant les interactions entre moments magnétiques, on ne prend en compte que l énergie des moments magnétiques avec le champ. Les valeurs propres d une composante du moment magnétique d un porteur sont notées ±µ. L ensemble est supposé isolé. 1. Calculez l entropie S et la température T du système en fonction de son énergie E.

2 2 Paris 7, Phy. Stat. 3 : description microcanonique. 2. Étudiez le signe de T et tracez la courbe représentant T en fonction de E. 3. Calculez, en fonction de T, les nombres n + et n de moments magnétiques dans les états parallèle et antiparallèle au champ. En déduire l aimantation du système et sa susceptibilité magnétique. 4. Calculez la probabilité p + qu un porteur donné ait son moment magnétique parallèle au champ. Exprimer p + en fonction de µ, B, T. Quelle est l énergie moyenne d un porteur? 5. Calculez la chaleur spécifique C = de/dt du système et donner l allure de la courbe C(T ). (Cette courbe présente un maximum caractéristique d un système à nombre de niveaux fini, que l on appelle anomalie de Schottky de la chaleur spécifique.) 5 Contact thermique entre deux systèmes de spins On considère un système composé des deux sous-systèmes placés dans un champ magnétique B : le sous-système (a), constitué de 3 particules de spin 1/2, moment magnétique µ, piégées sur 3 sites ; le sous-système (b), constitué de 2 particules de spin 1/2, moment magnétique 2µ, piégées sur 2 sites. Ces sous-systèmes n échangent éventuellement d énergie qu entre eux. 1. Les deux sous-systèmes étant isolés l un de l autre, on mesure leurs moments magnétiques. On trouve m a = 3µ et m b = 4µ respectivement. Calculez les entropies microcanoniques de chacun des soussystèmes et du système. 2. Les deux sous-systèmes sont en contact thermique. Calculez l entropie microcanonique du système. Calculez la probabilité P(m a ) pour qu à l équilibre le moment magnétique de (a) prenne la valeur m a. Calculez les valeurs moyennes des moments magnétiques de (a) et de (b). 6 Gaz parfait classique 1. Calculez l entropie, la température, la pression et le potentiel chimique d un gaz parfait de N atomes discernables (!) dans une caisse de volume V, dans le cas où N et V sont macroscopiques. 2. Calculez, dans l approximation classique de Maxwell-Boltzmann, l entropie, la température, la pression et le potentiel chimique du même gaz parfait composé d atomes indiscernables. 7 Contact thermique entre deux gaz parfaits et entropie de mélange 1. Deux gaz parfaits (1) et (2) sont situés dans deux parties d un récipient séparées par un piston diatherme, coulissant parfaitement. Ils sont constitués de N 1 (resp. N 2 ) molécules libres, ingénument supposées discernables, de masse m 1 (resp. m 2 ). Le récipient, de volume V, est isolé de sorte que l énergie totale E est fixée. i) Déterminer les valeurs les plus probables des variables internes E 1, V 1, E 2 et V 2 en fonction des paramètres extérieurs fixés. ii) Calculer l entropie microcanonique partielle maximale du système. En déduire, dans l approximation où les variables internes fluctuantes sont quasi certaines, l entropie microcanonique du système en fonction des paramètres extérieurs fixés. iii) En déduire la température et la pression microcanoniques du système en fonction des etc. 2. On considère maintenant un mélange des deux gaz décrits précédemment : les molécules sont réparties dans le récipient de volume V. i) Déterminer à l équilibre les valeurs les plus probables E 1m et E 2m des énergies E 1 et E 2 des gaz (1) et (2) en fonction des paramètres extérieurs E, V, N 1 et N 2. ii) Calculer, comme précédemment, l entropie microcanonique du système en fonction des etc. iii) Calculer la température et la pression microcanoniques du système en fonction des etc. 3. On veut étudier le processus de mélange des gaz parfaits. Les deux gaz sont initialement séparés par une cloison, comme dans la première partie, et le système est à l équilibre. On retire la cloison et on attend le nouvel état d équilibre qui est celui étudié dans la deuxième partie. i) Calculer la variation de l entropie microcanonique du système entre l état initial et l état final. Expliquer son signe. ii) Calculer la variation de température entre l état initial et l état final, puis celle de la pression. 4. Qu en est-il si les molécules des types (1) et (2) sont identiques?

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