FLEXION PLANE. 1. Définition : 2. Les efforts internes en flexion : M f. - T < 0 M f < 0. T > 0 M f >0. On dit une poutre est en flexion lorsque le

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1 FLEXION PLANE 1. Définition : On dit une poutre est en flexion lorsue le chargement coincide avec l un des plans pricnipaux de la section droite de la poutre (voir figure 1). F 2. Les efforts internes en flexion : En flexion, il apparait dans la section droite de la poutre des efforts internes ; (voir figure 2) : Monment fléchissant ; N Figure 1 (Q) : Effort tranchant ; N : Effort normal. a). Cas particulier : Figure 2 Flexion pure ( = 0, N = 0 et 0) Flexion simple : (N = 0, 0 et 0) En flexion, des contraintes normales dont la résultante est le moment fléchissant et des contraintes tangentielles dont la résultante est égale à l effort tranchant. Pour calculer les efforts internes (, ), on utlise la methode des sections. b). Convention de signe en flexion : + > 0 >0 Moment > 0 ; si la poutre a une concavité vers le haut ; - < 0 < 0 Effort tranchant >0 ; si l effort fait tourné la section au sens des aiguilles d une montre 1

2 c). Exemple d application : P Flèche P B Flèche Une poutre chargée au milieu reposant sur deux appuis Poutre encastrée chargée en B 3. Relation différentielle entre le moment fléchissant, l effort tranchant et la charge repartie Considérons un tronçon de la poutre soumis en flexion par une charge uniformement repartie (voir figure). /=0 ; M + d M + dm +.=0 y C d où : /=0 ; = dx Figure =0 Négligeant les termes du 2 ième ordre, il convient ; d où : = ; = 4. Représentation des diagrammes des et : Exemple : racer les diagrammes de et P 1 Données : P 1 =.a ; P 2 = 3.a A B a 2a P 2 2

3 Methode des sections : Section I : 0 x a Effort tranchant :.=0 ; =. = + ;! = ; " = 2 x 1 Moment fléchissant : 1 # =0 ; # =. $ 2 #! =0 ; # " = % $ $ Section II : 0 x 2a Effort tranchant : 2 $ + $ +=0 ; $= + $ + $= 2 + ;! = ; $" = a P 2 x 2 Moment fléchissant : #$ + + $.++. '" =0 ; #$ = 2 $ $ +$ $ #$! = % $ $ ; # " = % $ $ ( #$ : fonction uadratiue présente un maximum 2 = 0 ; x = a ; 2 = - a 2 ) P 1 A B a 2a P 2 a Effort tranchant : a -2a -a Moment fléchissant : Mf ( ) ( ) 3

4 5. Contrainte normale dans une poutre en flexion: Soit les hypothèses suivantes ; Sections planes restent plane même après déformation ; Pour Mf > 0, les fibres superieures s allongent et les fibres inferieures se raccoursissent ; Considérons la flexion est pure Découpons la poutre un élément de longueur dx, les sections planes (1-1, 2-2). Après le chargement, les sections tournent l une / à l autre (voir figure 4) ρ y 1 2 A B B dθ C 1 2 dx dθ Calculons l allongement unitaire d une couche de fibre uelconue située de la couche neutre de distance y. D Figure 4 Donc l allongement sera ; ε = **,* ;-. **/ =0.1θ 23,*=14 ε = 0.1θ 14 ; θ = 14 ρ Donc on aura ; ρ = 1θ 14 ; cette antité s/ appel rayon de courbure de la couche neutre de la poutre Et ε = 0 ρ ; D après la loi de hoocke, nous avons ; σ = ε.k; remplacons la valeur de ε σ= K. 0 ρ ce ui nous donne la linéairité de variation des contraintes dans les couches 4

5 on vérifié ue la contrainte normale est nule σ = 0 si y = 0 c es la couche neutre. Voir figure 5 Puisue la flexion est pure, l effort tranchant est nul ( = 0). L effort normal résultant dans la section est nul (figure 6) N =0 OdN=0 figure 5 dn : effort normal appliué dans la surface ds 1Q= σ.1r= K ρ.0.1r S 1Q= U K K ρ S 0.1R U ; S 0.1R ρ U ; cette uantité est le moment statiue / à l axe neutre de la poutre, l axe central ui passe par le centre de gravité de la section de la poutre. Z ds dn figure 6 D après la figure 6 ; d = dn.y = σ.ds.y Donc le moment résultant des forces sera le moment flexchissant ; V = O σ.w.x;éz[\[]-]x σ V = K S ρ W.X; S W X=^;\-\_]` / []_.`[_ V = a ρ.^ _` σ =a W ρ Donc ; σ = V.W : moment flechissant I x : moment d inertie de la section / àl axe centrale y : distance à l axe neutre de la finre sur lauelle la contrainte agit. ^ 5

6 Puisue le ; et I x constant dans une section droite de la poutre, alors la contrainte normale maximale agit sur la fibre la plus éloignée de l axe neutre, de ymax. σ max σ \) = V ^.W \) = V ^ W \) = V b \) Avec Wmax : appelé le module de résistance de la flexion. Quelues valeurs de module de résistance des sections simples : b \) = c.d e h X b b \) = π.f( (. f( D X b \) = π.f( ( αg ;)h_i α = f D d X 6

7 6. Condition de résistance en flexion : Condition de résistance en flexion est ; σ j54 = V\) b k [σ] On peut déterminer les dimensions de la section droite de la poutre à partir du module de résistance selon la condition de résistance. 7. Déplacements des poutres en flexion : Soit une poutre encastrée en A et chargée en B. ρ B P AB ; appelé la déformée de la poutre. En flexion, les déplacements se traduisent par des rotations (angle θ) des sections et des flèches (déplacement vertical). A θ θ y B Euation differentielle de la déformée : La déformée de la poutre en flexion est déterminée par : x L = V (1) ρ a^ On a dans un système ; nous avons : = W// ρ o'w p (/ (2) Les déformations étant infiniment petites ; ρ W Donc, on peut ecrire ; 0"= V (3) Kt On intégrant une fois (3), on trouve l euation des angles rotations des sections ; On integrant la 2 ième fois, on trouve l euation des flèches (déplacement vertical). a^w / = a^θ = +u (angle de rotation) a^w = +u+f (flèches) C et D sont des constants d intégrations, sont déterminés en utilisant les conditions aux limites (aux appuis et encastrements, ect.. l angle et flèches sont nulle) 7

8 Méthode des paramètres initiaux : En appliuant l éuation universelle de la déformée pour une poutre de plusieurs sections on arrive à éuation générale suivante : appelée Méthode des paramètres initiaux Soit une poutre suivantes : I II P III IV V a b c d a^w = a^w + a^θ! t + w)! tt +x wc( (! ttt + wig g! On dérive cette éuation on trouve l euation des angles de rotations. ty wg g! y et θ 0 flèche et angle de rotation initiale (paramètres initiaux), sont déterminés en utilisant les conditions aux limites (aux appuis et encastrements, ect.. l angle et flèches sont nulle) Voir l exemple,