Plan du cours : Vibrations

Transcription

1 Plan du ours : Vibraions I. Ssèmes à degré de liberé II. III. IV. Ssèmes à lusieurs degrés de liberé Ssèmes oninus inomressibles Proagaion du son dans les milieu omressibles

2 Ssèmes oninus inomressibles L équaion de d Alember Limie oninue de la haîne aomique Vibraions longiudinales dans les oures Vibraions de orsion dans un arbre irulaire Cordes vibranes Généralisaion Noions relaives au ondes Fron d onde, raon sonore Onde lane, onde shérique Proagaion en ondes lanes Soluions harmoniques Ondes saionnaires, au d ondes saionnaires Eemles déaillés Vibraions longiudinales d une oure, ondiions d enasremen. Osillaions de leion Méhode de Raleigh Prinie Aliaions

3 Un ssème es oninu ininié oninue de variables La dnamique es aramérée ar des variables qu on aelle hams. Ce son des onions oninues du ems e de l esae. L équaion de d Alember Limie oninue de la haîne aomique k m k m k m k n- n n u n- u n u n mu&& n ( u ) n un n N kun k

4 mu&& n ( u ) n un n N kun k (, na) Aos( qna) u n (, ) Aos( q) u n reère la osiion de n ième aome : es une variable disrèe. On onsidère la limie a, alors devien une variable oninue. (, ) Aos( q) u C es mainenan une onion oninue du ems e de l esae. On eu la dériver ar raor à e à.

5 u, u( ) Aq os( q), A os ( q) u(,) vériie l équaion, q u(, ) u / q on ose qui es homogène à une viesse., u(, ) u C es l équaion de d Alember, enore aelée équaion des ordes vibranes.

6 L équaion de d Alember Vibraions longiudinales dans les oures [RDM] saique : raion sur une oure F/S F FES δ l/l d l F S δl E l δl/l F Avan raion Arès raion Allongemen relai d ( d ) ( ) d d d d F S E d d

7 Aliaion de la RFD à la ranhe de oure omrise enre e d. [de seion droie S, de densié ρ] d d F() F(d) d F F d F F Sd e ρ sahan que E S F ES F d ES Sd ρ ρ ρ / ; E E

8 L équaion de d Alember Vibraions de orsion d un arbre irulaire θ θ dθ Γ Γ dγ d momen d inerie de la ranhe RFD : θ d dγ I aéléraion angulaire oule des ores aliquées

9 Lois de Hooke [RDM] : Γ G θ κ S ds r κ : es le momen quadraique de la seion droie Γ d d I θ d G G d d θ κ θ κ θ κρ ρ θ ρ θ / ; G G

10 L équaion de d Alember Cordes vibranes B α( d) A α d d Corde soumise à une ension, de masse linéïque µ, don les délaemens veriau son reérés ar (,). On suosera les angles eis.

11 RFD sur le segmen de orde de longueur d O : df F ( d) F os ( α( d) ) os( α ) O : df F ( d) F sin α d ( α( d) ) sin( α ) ( α( d) α ) de lus, α( ) df d

12 O : µ µ µ µ / ; d d df d Résumé µ µ / ; ρ θ ρ θ / ; G G ρ ρ / ; E E Poure [omression-raion] Arbre [orsion isaillemen] Cordes [délaemen longiudinal]

13 L équaion de d Alember Généralisaion D une manière générale, la dnamique d un ébranlemen déri ar un ham ( r, ), dans un milieu oninu, es généralemen déinie ar l équaion de d Alember : m - m.s - m.s -! Il au reser dans un domaine linéaire des ores de rael! Les soluions de ee équaion son aelées ondes.

14 Ssèmes oninus inomressibles L équaion de d Alember Limie oninue de la haîne aomique Vibraions longiudinales dans les oures Vibraions de orsion dans un arbre irulaire Cordes vibranes Généralisaion Noions relaives au ondes Fron d onde, raon sonore Onde lane, onde shérique Proagaion en ondes lanes Soluions harmoniques Ondes saionnaires, au d ondes saionnaires Eemles déaillés Vibraions longiudinales d une oure, ondiions d enasremen. Osillaions de leion Méhode de Raleigh Prinie Aliaions

15 Noions relaives au ondes Fron d onde, raon sonore

16 Noions relaives au ondes Ondes lanes, ondes shériques Onde longiudinale Onde ransverse Les rons d onde son lans ondes lanes

17 Noions relaives au ondes Ondes lanes, ondes shériques Les rons d onde son des shères ondes shériques r r r,,,,, ϕ θ r z U U U U sin sin sin ϕ θ θ θ θ θ U r U r ru r r U

18 sin sin sin ϕ θ θ θ θ θ U r U r ru r r U ru r r U r r r,,,,, ϕ θ r On hange de desriion en osan r ξ ; r r r r ξ ξ ξ r ξ ξ

19 Noions relaives au ondes Proagaion en ondes lanes Soi une soluion de hangemen de variable q ; ; ; q q

20 q q q q q q q q q q q q q

21 4 q q on inègre ar raor à q K q g q q G q ) (, ) ( on inègre ar raor à q K q F ) (, ) (

22 (, q) g( q) ( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

23 ( ) ( ( ) ( ) g ) Onde rogressive Onde rérograde orresond bien à la viesse de roagaion dans le milieu, our haune des ondes. Si la viesse ne déend as de la orme de l onde, on di que le milieu es non disersi. Quelle que soi l onde qui s roage, elle le ai à la viesse. Dans le as onraire, il [le milieu] es disersi [raelez vous le as de la haîne aomique].

24 Noions relaives au ondes Soluions harmoniques Quand il s agissai des aomes d une haîne aomique, on i( φ ) Ae n herhai les soluions sous la orme. C esà-dire que ous les oins du ssème vibren à la même ulsaion. [indéendane linéaire des eonenielles sinon on obien la soluion riviale : il ne se asse rien.] u n On herhe des soluions sous la orme i, e iφ i Ae e n un

25 i e, [ ] i i e e [ ] i i i e e e k k / ; & & ik ik e C C e k i k i e C C e

26 i( k) i( k) C e C e Onde rérograde Onde rogressive k π π λ k ulsaion nombre d onde viesse de roagaion

27 Noions relaives au ondes Ondes saionnaires, au d ondes saionnaires i( k) Ae i( k) Ae Les déendanes emorelles e saiales son déoulées : on observe une onde saionnaire.

28 onde saionnaire onde ariellemen saionnaire Ae i ( k) i( k) Be Si A±B, l onde es oalemen saionnaire Si A B, l onde es ariellemen saionnaire au d onde saionnaire OS ma min

29 Ssèmes oninus inomressibles L équaion de d Alember Limie oninue de la haîne aomique Vibraions longiudinales dans les oures Vibraions de orsion dans un arbre irulaire Cordes vibranes Généralisaion Noions relaives au ondes Fron d onde, raon sonore Onde lane, onde shérique Proagaion en ondes lanes Soluions harmoniques Ondes saionnaires, au d ondes saionnaires Eemles déaillés Vibraions longiudinales d une oure, ondiions d enasremen. Osillaions de leion d une oure Méhode de Raleigh Prinie Aliaions

30 Eemles déaillés Vibraions longiudinales d une oure, ondiions d enasremen ρ E ; E / ρ i( k) i( k), Ae Be a) La oure es enasrée des oés : L (, ) ; ( L, )

31 a) La oure es enasrée des oés : L (, ) ; ( L, ) i( k) i( k), Ae Be Enasrée en : i i, Ae Be A B Enasrée en L : [ ] i ikl ikl L, Ae e e iae i sin kl kl π i se, iae sin k, C sin k sin k π ; L E ρ π L

32 se, C sin k sin k π ; L E ρ π L 3 4

33 a) La oure es enasrée en, libre en L : L (, ) ; F ES, i( k) i( k), Ae Be Enasrée en : i i, Ae Be A B i ( ik ik Ae e e ) i, iae sin k Libre en L : π kl π i, ikae os k ( L, ) os kl π ( )

34 se, C sin k sin k π L E ρ ( ) ; ( ) π L 3 4

35 Suerosiion linéaire d ondes saionnaire : enasrée-enasrée Suerosiion linéaire d ondes saionnaire : enasrée-libre

36 Eemles déaillés Osillaions de leion d une oure L d d L M MdM Fores : Momens : ρs d dm d M : momen léhissan. : eor ranhan. (,) : lèhe de la oure ar raor à l ae neure longiudinal. E : module d Young. ρ : masse volumique. I : momen quadraique.

37 M S ρ RDM : EI M 4 4 EI S ρ 4 4 EI S ρ Méhode de séaraion des variables g, 4 4 EI S ρ 4 4 g EI S g ρ

38 ρ ρ se C g g S EI g EI S g [ ] r e EI S 4 4 ρ () B A g g g os sin F E D C α α α α osh sinh os sin 4 EI ρs α

39 n (, ) ( A sin B os ) n n n 4 ρs n α n ; α nl n n EI L n EI ρs La lèhe es dérie ar l évoluion d une enveloe [()] au ours du ems [g()]. Chaque mode es araérisé ar son nombre d onde [α, l eension saiale] e sa ulsaion [, l eension emorelle]. La ulsaion es liée au nombre d onde, lui-même déerminé ar les ondiions au limies, es-à-dire le e d aui à haune des erémiés de la oure.

40 Condiions au limies enasremen & aui simle/harnière M erémié libre 3 3 M aui élasique (ressor) ± EI k k M 3 3

41 3 4 n osαl oshαl 3,5,4 6,7,9 ~((n-)π/) 3 4 n sin αl 9,87 39,5 88,8 57,9 (nπ) 3 4 n osαl oshαl,4 6,7,9 99,8 ~((n)π/) 3 4 n an αl anhαl 5, ,

42 Ssèmes oninus inomressibles L équaion de d Alember Limie oninue de la haîne aomique Vibraions longiudinales dans les oures Vibraions de orsion dans un arbre irulaire Cordes vibranes Généralisaion Noions relaives au ondes Fron d onde, raon sonore Onde lane, onde shérique Proagaion en ondes lanes Soluions harmoniques Ondes saionnaires, au d ondes saionnaires Eemles déaillés Vibraions longiudinales d une oure, ondiions d enasremen. Osillaions de leion d une oure Méhode de Raleigh Prinie Aliaions

43 Méhode de Raleigh Prinie La méhode de Raleigh ser à esimer les ulsaions rores d un ssème. Les ondiions d aliaion son : réonse harmonique as de dissiaion les modes rores son onnus Idée : endan une osillaion, es-à-dire endan une ériode du mouvemen, l énergie inéique e l énergie oenielle s éhangen. Leur maimum es le même : ma V ma

44 Le as d une masse oulée à un ressor k m sin M m& V k km sin Vma k M ma V ma m os ma m M M km m M k m

45 Le as de la orde vibrane d α d α A B d Son énergie oenielle vien de la ension V V F µ

46 L d d V V L d d µ µ µ es le roil de la orde our un mode ariulier. Connaîre, es onnaîre la ulsaion. L L d d V ma ma µ

47 Méhode de Raleigh Aliaion Soluion eae our la orde vibrane enasrée au deu erémiés : i( k) i( k), Ae Be (, ) ( L, ) (, ) π Asin k sin ; k ; L π L µ

48 mode (, ) Asin k sin π L µ aroimaion [linéaire] : L A L < : L L < L : A µ l erreur n es que de % L

49 aroimaion [quadraique] : 4 L L L A µ L l erreur n es que de.66%! En «devinan» l enveloe du mode don on veu déerminer la ulsaion, e en onnaissan la orme héorique des ulsaions, on eu obenir la valeur de la ulsaion du di mode ave une réision aeable.

50 Formules uiles our diérens roblèmes Vibraions longiudinales d une oure Vibraions de leion d une oure L E L ρ d d EI L L ρs d d Vibraions de orsion d une oure Vibraions ransversales d une orde L G L ρ θ θ d d L L µ d d