Sur l équation vectorielle stochastique Y n+1 = A n Y n + B n à coefficients iid
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- Marie-Françoise Ducharme
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1 1/35 Sur l équation vectorielle stochastique Y n+1 = A n Y n + B n à coefficients iid INRIA Sophia Antipolis Projet OMEGA Yves Guivarc h (Université de Rennes 1 Emile (Université de Bretagne Sud Séminaire Probabilité et Théorie Ergodique Amiens, 23 mars 2006
2 Plan 2/
3 Plan 3/
4 Modèle Auto-Régressif 4/35 Modèle AR(1 : Y n+1 = A n Y n + B n n N, Y n R d (A n, B n va iid sur Gl(d, R R d d 1 séries chronologiques, processus de branchement, marches aléatoires en milieu aléatoire, modèles AR(d, GARCH...
5 Solution Stationnaire 5/35 BRANDT 1986, BOUGEROL et PICARD 1992 Si α = lim 1 n log A 1 A n < 0 et E log + B 0 <, unique solution stationnaire de même loi que R = A 1 A n 1 B n n=1
6 Moments de la loi stationnaire 6/35 0 < s 1 s 1 E R s (E R s 1/s E A 1 A n 1 s E B n s n=0 (E A 1 A n 1 s 1/s (E B n s 1/s n=0 Si B 0 a des moments à tout ordre, R a un moment d ordre s si k(s = lim n (E A 1 A n s 1/n < 1
7 Queue de la loi stationnaire 7/35 Fonction log-convexe de s : k(s = lim n (E A 1 A n s 1/n KESTEN 1973, 1974, LE PAGE 1983, GOLDIE 1991 E R s < si et seulement si k(s < 1 Si k(κ = 1, queue polynômiale : P( R > t Ct κ
8 Queue de la loi stationnaire 7/35 Fonction log-convexe de s : k(s = lim n (E A 1 A n s 1/n KESTEN 1973, 1974, LE PAGE 1983, GOLDIE 1991 E R s < si et seulement si k(s < 1 Si k(κ = 1, queue polynômiale : P( R > t Ct κ
9 Plan 8/
10 Notations 9/35 µ loi de A 1 S µ support de µ R d vecteurs ligne de dimension d S d 1 vecteurs ligne de norme 1 S + vecteurs ligne de norme 1 à coordonnées positives P d 1 espace projectif Action de Gl(d, R sur S d 1 x a = xa xa
11 Hypothèses de 10/35 Condition d existence de la loi stationnaire P(A 0 0 = 1, P(A 0 a une ligne de 0 = 0 le sous-groupe engendré par {log ρ(a a Γ µ, a 0} est dense dans R Condition d intégrabilité : il [ existe σ > { 0 tel que d σ E min 1 i d j=1 A 0(i, j}] d σ/2 et E[ A 0 σ log + A 0 ] <
12 Résultats de 11/35 Théorème 1 κ dans ]0, σ] tel que pour tout x dans S + lim t + tκ P(max xa 1 A n > t > 0 n Théorème 2 Si P(B 0 = 0 < 1, P(B 0 0 = 1, E B 0 κ < alors pour tout x dans S + lim t + tκ P(xR > t > 0
13 Preuve Première étape 12/35 Opérateurs sur les fonctions continues sur S + P s f (x = E[ xa 1 s f (x A 1 ] = xa s f (x aµ(da Propriétés Pour tout 0 s σ il existe ν s proba sur S + et k(s réel ν s P s = k(sν s il existe e s continue, strictement positive sur S + P s e s = k(se s il existe κ> 0 tel que k(κ = 1
14 Preuve Deuxième étape 13/35 Opérateur Markovien Q sur S + Qf (x = 1 P κ (e κ f (x e κ 1 = xa κ e κ (x af (x aµ(da e κ (x n Chaîne de Markov (X n, U n sur S + X n = X 0 A 1 A n U n = log X 0A 1 A n+1 X 0 A 1 A n avec X n de transition Q
15 Preuve Troisième étape 14/35 Théorème 1 théorème de renouvellement de pour (X n, U n lim t + tκ P(max xa 1 A n > t = Ke κ (x. n Théorème 2 Positivité comparaison entre P(max n xa 1 A n > t et P(xR > t
16 Hypothèses de 15/35 condition d existence de la loi stationnaire pour tout ouvert U de S d 1 et tout x S d 1, n=0 1I U (x aµ n (da > 0 le sous-groupe engendré par l ensemble des log ρ(a tels que a Γ µ et a a une valeur propre simple réelle dominante est dense dans R pour tout x P(A 1 x + B 1 = x < 1 σ > 0 tel que E[p(A 1 σ ] 1, où p(a 1 est la plus petite valeur propre de (A 1 t A 1 1/2 δ > 0 tel que E[sup{ A 1, B 1 }] σ+δ < +, et E( A 1 δ < +
17 Résultats de 16/35 Théorème Il existe κ ]0, σ] tel que lim n (E A 1 A n κ 1/n = 1 et pour tout x S d 1 lim t tκ P(xR > t = H κ ( x, où H κ fonction continue sur P d 1, strictement positive et vérifiant pour tout v dans P d 1, H κ (v = ṽa κ H κ (vaµ(da.
18 Preuve 17/35 Etape 1 : étude des opérateurs P s sur P d 1 P s f (v = E[ ṽa 1 s f (va 1 ] = ṽa s f (vaµ(da Etape 2 : définition d un opérateur Markovien Q sur P d 1 puis sur S d 1 Etape 3 : théorème de renouvellement de Etape supplémentaire : la limite trouvée est non nulle
19 Plan 18/
20 Irréductibilité et Proximalité 19/35 Γ µ semi-groupe engendré par le support S µ de la loi µ de A 1 Irréductibilité Γ µ irréductible : pas de sous-espace invariant non trivial Γ µ fortement irréductible : pas de réunion finie de sous-espace invariants proximalité Γ µ proximal sur l espace projectif P d 1 : v, v P d 1, (a n Γ µ t.q. d(va n, v a n 0 a Γ µ est proximale si a a une unique valeur propre dominante. v a P d 1 direction propre associée
21 La Condition 20/35 Définition Γ µ vérifie la condition s il est irréductible proximal Définition équivalente Γ µ vérifie la condition si fortement irréductible contient un élément proximal
22 21/35 Semi-goupes engendrés par deux matrices a, a matrices de Gl(2, R telles que a et a ont chacune deux valeurs propres réelles de modules distincts, les quatre espaces propres correspondants sont deux à deux distincts. Alors le semi-groupe Γ engendré par a et a vérifie la condition Exemple vérifiant : ( 2 1 a = 0 1 a = (
23 Action de Γ µ sur l espace projectif 22/35 Ensemble limite L(Γ µ = {v a, a Γ µ, a proximale} P d 1 Proposition Sous la condition L(Γ µ est non vide Unique fermé Γ µ -invariant minimal sur P d 1 L(Γ µ = v P d 1 vγ µ
24 Action de Γ µ sur la sphère 23/35 Deux cas possibles 1 unique ensemble fermé Γ µ -invariant minimal, symétrique, d image projective L(Γ µ 2 deux ensembles fermés Γ µ -invariants minimaux disjoints, symétriques l un de l autre, d image projective L(Γ µ Caractérisation des deux cas Cas 2 ssi Γ µ préserve un cône convexe fermé saillant d intérieur non vide
25 Deux ensembles limite 24/35 Exemple 1 a = ( a = ( Γ engendré par a et a vérifie la condition Cône convexe invariant : vecteurs positifs
26 Un seul ensemble limite 25/35 Exemple 2 a = ( a = ( Γ engendré par a et a vérifie la condition a envoie les vecteurs positifs sur les négatifs, donc un seul ensemble limite symétrique a et a préservent l ensemble des vecteurs positifs ou négatifs : l ensemble limite n est pas égal à toute la sphère
27 Plan 26/
28 Hypothèses 27/35 Condition d existence de la loi stationnaire Γ µ vérifie la condition pas de cône convexe fermé saillant d intérieur non vide invariant pour tout x P(A 1 x + B 1 = x < 1 Conditions d intégrabilité : k(s = lim n ( 1/n a s µ n (da σ = sup{s 0 k(s < + } > 0 lim s σ k(s > 1 pour κ tel que k(κ = 1 E[ A 1 κ log + A 1 + B 1 κ ] < +
29 28/35 Théorème CRAS 2004 Pour tout x dans S d 1 avec l > 0 lim t tκ P(xR > t = le κ ( x
30 Les opérateurs P s 29/35 Pour 0 s σ, opérateurs P s sur P d 1 P s f (v = E[ ṽa 1 s f (va 1 ] = ṽa s f (vaµ(da GUIVARC H ET LE PAGE 2004 Pour tout 0 s σ il existe une unique proba ν s sur P d 1 ν s P s = k(sν s il existe une unique e s continue, strictement positive sur P d 1 P s e s = k(se s ν s (e s = 1
31 Preuve 30/35 définition d un opérateur Markovien Q sur P d 1 à partir de P κ et e κ extension de Q et de ses bonnes propriétés à S d 1 théorème de renouvellement de la limite trouvée est non nulle
32 Conditions d existence de κ 31/35 Si σ = sup{s 0 k(s < + } = + Proposition log k(s 1 lim = lim sup s + s n n sup{log ρ(a a Sn µ} Dans ce cas κ existe si et seulement si Γ µ est dilatant i.e. contient une matrice de rayon spectral > 1
33 Exemple I Un exemple qui ne vérifie pas les hypothèses de 32/35 B n N (0, 1, A n µ avec µ = 1 2 (δ a + δ a a = ( a = ( E log A1 < 0 donc existence d une loi stationnaire conditions d intégrabilité condition par étude des valeurs propres et espaces propres, et dilatant un seul ensemble limite différent de S d 1 loi de An discrète, loi de B n continue, donc pas de point fixe
34 Exemple I Un exemple qui ne vérifie pas les hypothèses de 32/35 B n N (0, 1, A n µ avec µ = 1 2 (δ a + δ a a = ( a = ( E log A1 < 0 donc existence d une loi stationnaire conditions d intégrabilité condition par étude des valeurs propres et espaces propres, et dilatant un seul ensemble limite différent de S d 1 loi de An discrète, loi de B n continue, donc pas de point fixe
35 Exemple I Un exemple qui ne vérifie pas les hypothèses de 32/35 B n N (0, 1, A n µ avec µ = 1 2 (δ a + δ a a = ( a = ( E log A1 < 0 donc existence d une loi stationnaire conditions d intégrabilité condition par étude des valeurs propres et espaces propres, et dilatant un seul ensemble limite différent de S d 1 loi de An discrète, loi de B n continue, donc pas de point fixe
36 Exemple I Un exemple qui ne vérifie pas les hypothèses de 32/35 B n N (0, 1, A n µ avec µ = 1 2 (δ a + δ a a = ( a = ( E log A1 < 0 donc existence d une loi stationnaire conditions d intégrabilité condition par étude des valeurs propres et espaces propres, et dilatant un seul ensemble limite différent de S d 1 loi de An discrète, loi de B n continue, donc pas de point fixe
37 Exemple I Un exemple qui ne vérifie pas les hypothèses de 32/35 B n N (0, 1, A n µ avec µ = 1 2 (δ a + δ a a = ( a = ( E log A1 < 0 donc existence d une loi stationnaire conditions d intégrabilité condition par étude des valeurs propres et espaces propres, et dilatant un seul ensemble limite différent de S d 1 loi de An discrète, loi de B n continue, donc pas de point fixe
38 Exemple I Un exemple qui ne vérifie pas les hypothèses de 32/35 B n N (0, 1, A n µ avec µ = 1 2 (δ a + δ a a = ( a = ( E log A1 < 0 donc existence d une loi stationnaire conditions d intégrabilité condition par étude des valeurs propres et espaces propres, et dilatant un seul ensemble limite différent de S d 1 loi de An discrète, loi de B n continue, donc pas de point fixe
39 Exemple II Un modèle AR(2 33/35 X n = a 1,n X n 1 + a 2,n X n 2 + b n Y n = A n Y n 1 + B n avec Y n = t (X n, X n 1 B n = t (b n, 0 A n = ( a1,n a 2,n 1 0 Ex : µ = 1 4 δ a δ a avec a = ( a = ( 1/4 1/8 1 0 b 1 N (0, 1 ou discrète prenant des valeurs autres que 2 et 9/8
40 Exemple de Enoncé 34/35 Problème posé dans KESTEN 1973 dimension d = 2 m 1 et m 2 matrices à coefficients strictement positifs telles que log ρ(m 1 et log ρ(m 2 engendrent un sous-goupe dense dans R m 3 = r θ une rotation d angle θ µ = p 1 δ m1 + p 2 δ m2 + p 3 δ m3 avec p i > 0 et p 1 + p 2 + p 3 = 1 Est-ce-que cette µ peut donner une loi invariante à queue polynômiale?
41 Exemple de Réponse 35/35 Irréductibilité dès que θ 0[π] Proximalité dès que θ 0[ π 2 ] Unique fermé invariant minimal dès que θ π θ π = 2k+1 n / Q ou Si θ = π 2 m 1 = ( e e e e m 2 = ( e π +1 2 e π 1 2 e π 1 2 e π +1 2 Γ µ ne vérifie pas la condition
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