Induction électromagnétique

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1 Induction électromagnétique Sommaire I) Théorie de l induction électromagnétique..2 A. Introduction 2 B. Notion de force électromotrice 3 C. Loi de Faraday..5 D. Quelques applications.7 Spire circulaire plongée dans un champ magnétique variable..7 Spire circulaire entourant une bobine parcourue par un courant..8 II) Auto et mutuelle induction..10 A. Auto induction 10 B. Mutuelle induction..13 III) Compléments.15 A. Induction de Neumann et de Lorentz 15 B. Rails de Laplace.17 C. Haut-parleur.21 Pierre-Simon de Laplace Mathématicien, astronome et physicien français (23 Mars Mars 1827) 1

2 I) Théorie de l induction électromagnétique : A. Introduction Qu est ce que l induction? 1 L induction électromagnétique est un phénomène physique conduisant à l apparition d une force électromotrice dans un conducteur électrique soumis à un champ magnétique à flux variable. 2 Mouvement des électrons : Le courant électrique, dans un conducteur métallique, est dû aux électrons qui sont mis en mouvement par la force de Lorentz. Chacune de ces charges transporte la puissance =. ( ) : dans ces conditions, seul le champ électrique peut véritablement être à l origine d un courant électrique. Le champ magnétique, lui, ne modifie que de manière marginale le courant électrique (cf. effet Hall) Rappel concernant la force de Lorentz : La force de Lorentz est donnée par : = ( + ) q est la charge transportée par la particule en coulomb est la vitesse de la particule en. est le champ électrique en. est le champ magnétique en T Changement de référentiel : Dans les conditions suivantes 3 (R étant le référentiel du laboratoire et le référentiel du conducteur pouvant être mobile 4 ) : conducteur de vitesse très faible devant la vitesse de la lumière dans R forces d inerties négligées devant les forces électromagnétiques On admet que le champ magnétique est invariant par changement de référentiel. 1 : L induction électromagnétique sera étudiée dans le cadre de l ARQS, de manière à pouvoir appliquer les lois de l électrocinétique. 2 : Si c est le conducteur qui se déplace et le champ magnétique qui reste fixe dans le temps, on se placera dans le référentiel du conducteur afin de «voir» un champ magnétique variable. 3 : non exigibles car seule la mécanique classique est compatible avec l électromagnétisme. 4 : Le référentiel doit nécessairement être galiléen (ainsi que R) car les équations de Maxwell ne sont valables que dans des référentiels galiléens. Donc doit être en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à R galiléen. Attention : le champ électrique n est pas invariant par changement de référentiel galiléen. 2

3 B. Notion de force électromotrice Lien entre le champ électrique et la force électro motrice : La force électromotrice d un circuit est en fait la circulation du champ électrique le long de ce circuit : ( ) = est la force électromotrice du circuit On a, en exprimant la force dans le calcul du travail reçu : Considérons un circuit électrique en exhibant le générateur et en regroupant tout le reste sous un seul et même dipôle. Cherchons l expression de l énergie reçue de la part du champ électrique par la charge qui va du point A au point B. Il s agit d exprimer le travail fourni par la force de Lorentz entre A et B. =. =. =. Nous voyons apparaitre la définition de la circulation : = ( ) Afin de trouver l énergie reçue, nous pouvons utiliser le fait que nous avons affaire à une force conservative : = = ( ) ( ) = ( ) ( ) Ainsi, en introduisant la force électromotrice du circuit, nous obtenons : = Ainsi, nous arrivons bien au résultat recherché : ( ) = Expression de la force électromotrice : Pour un circuit orienté C fermé ou non, la f.é.m. d induction comptée dans le sens d orientation de C est le travail fourni par le champ électrique à une charge unitaire, et s écrit (en Volts) : 5 = ( ). 5 : La f.é.m. se calcule dans le référentiel lié au conducteur, mais reste valable dans tout référentiel galiléen : la f.é.m. est invariante par changement de référentiel. 3

4 Application : travail reçu par une charge libre sur une trajectoire fermée : On considère une charge libre q se déplaçant dans un conducteur fixe selon une trajectoire fermée et soumis à un champ électromagnétique. 1) Exprimer le travail de la force de Lorentz sur un tour de trajectoire en fonction de la circulation d un champ vectoriel. 2) Que vaut ce travail si le champ magnétique est statique? 3) Que vaut ce travail si la trajectoire est presque fermée? 1) La force de Lorentz est donnée par : = ( + ) Son travail s écrit donc : =. Or, on a : = = Alors : Sur un tour, nous obtenons donc : On a ensuite : Donc : =. = (, ). = (, ). = =. Or, par définition : Donc :. = On obtient donc le résultat recherché : = +. =, 2) Si est statique, alors est statique car =, alors : = 3) De même, si la trajectoire est quasiment fermée 6, comme V est spatialement continu, le terme en gradient de V serait incapable de fournir suffisamment d énergie sur un tour, seul le potentiel vecteur le peut. 6 : à retenir = 4

5 C. Loi de Faraday Loi de Faraday : Dans un circuit fermé et indéformable, la f.é.m. induite s écrit : ( ) = ( ) est la force électromotrice induite dans le circuit est le flux du champ magnétique calculé à partir du vecteur surface orienté dans le sens de i (où i est le courant) D après l équation de Maxwell Faraday, nous avons alors : Considérons un circuit électrique quelconque, mais fermé, plongé dans un champ magnétique variable et calculons la circulation de sur el contour qui coïncide avec le circuit. D après le théorème de Stokes, nous avons : = ( ). = ( ). = = ( ). Comme le circuit est immobile, le contour l est aussi, donc S l est aussi, ce qui nous mène à : = ( ). La surface S ne dépendant pas du temps, nous pouvons donc sortir la dérivée : = ( ). Nous voyons ainsi apparaitre la définition du flux, ce qui nous donne le résultat recherché, en notant que la circulation de vaut la f.é.m. comme vu précédemment : ( ) = Questions importantes à se poser : Quelle est la nature de l induction? Quelle est la cause de ( )? Contrairement à ce que l on pourrait penser, ce n est pas le champ magnétique en lui-même qui crée le courant induit, mais ses variations. Quel est l effet du courant ( )? La réponse est immédiate, c est le champ magnétique. 5

6 Loi de Lenz Loi de modération : L induction, par ses effets, s oppose à la cause qui lui a donné naissance. Il s agit là d une loi qualitative qui permet : lors de l analyse, de «deviner» ce qui va se passer ; lors de l interprétation des résultats, de vérifier les signes obtenus Ainsi, cela signifie que les effets de i(t) ne doivent pas s opposer au champ magnétique mais doivent s opposer aux variations du champ magnétique. Vérification : Vérifions que le champ magnétique ( ) créé par le courant induit s oppose aux variations de. Regardons ce qu il se passe autour de Cas particulier de la bobine : = 0. A cet instant, le champ diminue. D après la loi de Lenz, il faut donc que s oppose à cette diminution et soit donc dirigé vers le haut. Or, ( ), qui est créé par ( ), est dirigé vers le haut quand ( ) > 0 (règle de la main droite). On constate alors qu autour de = 0, le courant i(t) est bien positif : ( ) = sin( ) > 0 autour de = 0 La force électromotrice induite aux bornes d une bobine s écrit : = e est la force électromotrice induite aux bornes d une bobine N est le nombre d enroulements de la bobine (son nombre de spires) est la f.é.m. qui serait associée à une spire de courant Comment augmenter le phénomène d induction? L induction est d autant plus forte que : le champ magné que est intense Le champ magné que varie rapidement Le conducteur présente de nombreux enroulements 7 le conducteur présente une grande surface 7 : Dans une bobine, N varie entre 500 et 1000 spires. 6

7 D. Quelques applications Spire circulaire plongée dans un champ magnétique variable : Pour une spire circulaire plongée dans un courant uniforme mais non constant parallèle à l axe de la spire et d expression ( ) = cos( ), montrer que le courant induit s exprime par : ( ) = + R est la résistance du circuit équivalent a est le rayon de la spire Analyse physique : Nous sommes face à un phénomène d induction de Neumann dans un circuit filiforme. Les grandeurs pertinentes sont le rayon a (géométrie), la résistance R de la spire (comportement électrocinétique), et (sources et contraintes). Phénoménologiquement, le champ crée une tension qui crée un courant. ( ) Loi de Faraday : Faisons apparaitre le vecteur surface orientée dans le sens de i : Calculons le flux de à travers la surface définie par le disque de rayon a : = ( ). Or, comme le champ est uniforme : ( ) = =. Comme nous avons : = ² ( ) = cos( ) 7

8 On arrive à : = ²cos( ) D après la loi de Faraday, nous avons ensuite : Donc : ( ) = ( ) = ( ) = ² ( ) (cos( )) Vision électrocinétique : Voyons la spire sous l angle purement électrocinétique en faisant attention de bien mettre la f.é.m. induite et le courant dans le même sens : Alors, d après la loi de Pouillet : Donc : ( ) = ( ) = ( ) Spire circulaire entourant une bobine parcourue par un courant : Montrer que une spire circulaire entourant une bobine idéale de rayon a et parcourue par un courant d intensité variable ( ) crée une f.é.m. induite donnée par : n est le nombre de spires de la bobine est la perméabilité du vide a est le rayon de la spire considérée i est le courant parcourant cette spire = ² ( ) Situation : Avec le repérage usuel ci-dessous, nous savons que le champ magnétique créé par la bobine est nul en dehors de celle-ci et vaut = ( ) à l intérieur. 8

9 Détermination du potentiel vecteur : Comme nous ne connaissons pas ( ), il faut le déterminer et, pour cela, commencer par chercher les symétries et les invariances. Les invariances sont les mêmes que celle de la bobine infinie, à savoir une invariance par translation et une invariance par rotation. De plus, les plans contenant l axe de la bobine sont des plans d antisymétrie pour le champ. Dans ces conditions, le potentiel vecteur s écrit : (, ) = (, ) En utilisant le théorème de Stokes et la définition de : = ( ). = ( ). En rapprochant les deux résultats, nous obtenons : Choisissons un point M quelconque dans l espace et calculons la circulation de sur le cercle centré sur l axe passant par M. Nous avons alors : = ( ). = ( ). = = ( ) ² = ( ) 2 (, ) = ( ) Déduction du champ électromoteur et de la f.é.m. induite : Nous pouvons maintenant calculer le champ électromoteur : = = ( ) 2 Calculons la circulation du champ électromoteur sur le circuit électrique C : = ( ). On arrive bien au résultat recherché : = (, ) 2 = ² ( ) 9

10 II) Auto et mutuelle induction : A. Auto induction Origine physique : L auto induction est un phénomène de rétroaction qui peut apparaître dès lors qu un courant circule dans un conducteur. Elle est d autant plus forte que le champ magnétique créé est intense, autrement dit, le phénomène est important avec les bobines. Flux propre : Le flux propre d une bobine (ou d un circuit) est le flux du champ magnétique créé par la bobine à travers elle-même (lui-même). Flux propre créé par une bobine idéale : Une bobine idéale constituée de N spires a pour flux propre : l est la longueur de la bobine a est son rayon i est le courant qui la traverse = ² On considère la bobine représentée ci-dessous : Comme la bobine est constituée d une juxtaposition de N spires indépendantes, nous pouvons dire que le flux propre vaut : =

11 Comme le champ est uniforme dans toute la bobine, le flux traversant chaque spire est le même et s écrit : Ainsi : = Donc, nous arrivons au résultat recherché : = ²= ² = ² Inductance d une bobine : L inductance d une bobine (ou d un circuit) est la grandeur notée L, mesurée en henry, telle que : = i est le courant traversant le circuit ou la bobine L inductance est toujours positive, et le flux magnétique s exprime en Weber. Aspect électrocinétique : La tension aux bornes d une bobine s écrit, en convention récepteur : L est l inductance de la bobine R est sa résistance interne ( ) = ( ) + ( ) Considérons une bobine parcourue par un courant. Elle va alors créer un champ magnétique qui va engendrer un phénomène d induction. Cherchons la f.é.m induite : Pour cela, calculons la circulation du champ électromoteur sur la bobine court-circuitée : Sur le circuit fermé, la loi de Faraday s applique. Le flux à travers le circuit se réduit au flux à travers la bobine car le flux à travers la portion qui «referme» le circuit est négligeable. Dans ces conditions, nous avons : 11

12 = Et : = = ( ) Donc : = ( ) Dans ces conditions, la situation devient modélisable de la manière suivante : En convention récepteur, nous avons donc : Ainsi, nous obtenons bien le résultat recherché : ( ) = ( ) + ( ) Aspect énergétique : L énergie contenue dans le champ magnétique d une bobine d inductance L parcourue par un courant d intensité i(t) s écrit : ( ) = ²( ) Preuve sur un exemple : Considérons une bobine idéale : Nous savons alors qu elle crée un champ magnétique de norme dans un volume : = ² L énergie contenue dans le champ magnétique s écrit donc : = = = ( ) = 1 ² ²( ) 2 2 On reconnait l expression de l inductance d une bobine idéale, ce qui nous amène bien au résultat souhaité : 12

13 ( ) = ²( ) B. Mutuelle induction Théorème de Neumann : Lorsque deux circuits sont en interaction magnétique, le flux que 1 crée à travers 2 et le flux que 2 crée dans 1 s écrivent : = et = M est appelé coefficient de mutuelle inductance et est homogène à une inductance. Il dépend de la géométrie des bobines et est positif ou négatif selon l orientation des courants. Sur l exemple suivant, > 0 lorsque ( ) > 0, donc > 0. Ici, la bobine 2 est orientée dans l autre sens, ce qui implique < 0 pour ( ) > 0, donc < 0. Aspect qualitatif : Le coefficient d auto-induction d une bobine est proportionnel au carré du nombre de spires : = ². Le coefficient de mutuelle induction de deux bobines est proportionnel au produit de leurs nombres de spires : =. Aspect électrocinétique : Deux bobines idéales en interaction magnétique dans des circuits électrocinétiques ont pour loi caractéristique, en convention récepteur : ( ) = + ( ) + ( ) 13

14 Et : > 0 et > 0 ( ) = + ( ) + ( ) Considérons deux bobines en interaction électrocinétique et représentons-les par leurs modèles électrocinétiques équivalents : Négligeons leur résistance interne. Par linéarité du champ magnétique, et donc du flux, nous pouvons dire que le flux traversant la bobine 1 est dû au champ magnétique propre et au champ magnétique engendré par l autre bobine. Nous obtenons alors : = + = ( ) + ( ) D après la loi de Faraday, la f.é.m. qui apparaît aux bornes de la bobine dans le sens du courant, i.e. en convention générateur, est : Donc : = ( ) = ( ) ( ) En repassant en convention récepteur, nous obtenons bien le résultat recherché : ( ) = + ( ) + ( ) Aspect énergétique : Dans le cas de deux bobines en influence mutuelle, l énergie contenue dans le champ magnétique s écrit : = ( ) + ( ) + ( ) ( ) Coefficient de couplage : Le coefficient de couplage k de deux bobines est défini par : = Ce coefficient est compris entre -1 et 1 largement. 14

15 Couplage parfait : Pour deux bobines couplées, le coefficient de mutuelle inductance est tel que : Ces bobines sont dites en couplage parfait lorsque qu il y a égalité : = III) Compléments : A. Induction de Neumann et de Lorentz Qu est ce que l induction de Neumann? On parle d induction de Neumann lorsque l on étudie un conducteur fixe dans un champ magnétique variable. 8 Caractéristiques de l induction de Neumann : Le courant électrique, dans un conducteur métallique, est dû aux électrons qui sont mis en mouvement par la force de Lorentz. Chacune de ces charges transporte la puissance =. ( ) : dans ces conditions, seul le champ électrique peut véritablement être à l origine d un courant électrique. Le champ magnétique, lui, ne modifie que de manière marginale le courant électrique (cf. effet Hall). Qu est ce que l induction de Lorentz? On parle d induction de Lorentz lorsque l on étudie un conducteur en mouvement dans un champ magnétique statique. 9 Champs dans des référentiels mobiles : Dans un référentiel R en translation à la vitesse par rapport à R, les champs électrique et magnétique s écrivent : 10 = et = + Considérons une charge dans un conducteur. Les forces qu elle subit dans les référentiels R et R s écrivent respectivement : = + et = + Or, l invariance galiléenne des forces nous dit que la force subie par un point matériel est la même quel que soit le référentiel galiléen choisi, donc : = 8 : Dans le cadre du cours, on se ramène toujours à cette situation. 9 : Dans ce cas, si l on se place dans le référentiel du conducteur, on «voit» un champ magnétique variable. 10 : On retrouve le fait que le champ magnétique est invariant par changement de référentiel. 15

16 Ce qui implique : + = + Or, d après la loi de composition des vitesses, nous avons : = + Donc : + + = + Ce résultat doit être vrai quel que soit la vitesse dans R, cela implique le résultat attendu : = et = + Courant dans des référentiels mobiles : Le courant est le même quel que soit le référentiel. Rappelons que, dans un conducteur, il y a trois types de charges : les électrons libres, qui bougent par rapport au conducteur les électrons de valence, fixes par rapport au conducteur les noyaux atomiques, fixes aussi par rapport au conducteur La densité de courant en volume pour le référentiel R s écrit, par définition, en notant i chaque type de charge, la densité particulaire associée et la charge d un porteur : = ( ) Avec la loi de composition des vitesses, nous pouvons écrire cette densité de courant sous la forme : = ( + ( )) En séparant la somme en deux, nous obtenons : Alors, nous reconnaissons : = + ( ) = + Or, le conducteur étant globalement neutre, nous avons : = 0 Donc : = 16

17 B. Rails de Laplace Rappel sur la force de Laplace : La force de Laplace est la force exercée par un champ magnétique sur un conducteur parcouru par un courant d intensité I. Elle s exprime de la manière suivante : = Dispositif : On considère une barre métallique posée sur deux rails horizontaux et plongée dans un champ magnétique uniforme. A = 0, la vitesse de la tige est. Observons l évolution de la tige. Analyse du problème : Nous avons, ici, un conducteur en mouvement dans un champ magnétique statique. Nous pouvons donc résumer la situation de la manière suivante : un circuit est en mouvement dans un champ magnétique il y a donc induction et apparition d une f.é.m. induite comme le circuit est fermé, cela implique la création d un courant la présence du courant implique l existence d une force de Laplace la force de Laplace va influencer le mouvement de la tige Comme la loi de Lenz implique que les effets de l induction doivent s opposer à la cause, nous pouvons dire que la force de Laplace va freiner la tige. Les grandeurs pertinentes sont : pour l inertie : m pour les actions : pour l aspect électrique : R la résistance totale du circuit Hypothèses simplificatrices : On négligera : le roulement de la tige les frottements l aspect auto inductance, et donc L 17

18 Aspect mécanique : La f.é.m. induite s écrit : ( ) = ( ) est la norme (constante) du champ magnétique La loi de Faraday nous donne : Représentons la situation clairement : ( ) = Le flux du champ magnétique est calculé dans le sens de i. Comme est uniforme, nous avons : = ( ). =. Or, géométriquement, d après la figure, nous voyons que : = ( ) Soit : = ( ) Et, ainsi : ( ) = ( ) Aspect électrocinétique : La vitesse de la tige vérifie l équation différentielle suivante : R est la résistance du circuit ( ) + ( ) = Le schéma électrocinétique équivalent du dispositif est clairement : 18

19 Nous avons immédiatement : ( ) = Couplage par force de Laplace : Pour trouver la résultante de la force de Laplace qui s exerce sur la tige, découpons-la en morceaux. Nous avons alors, en faisant attention de ne sommer que sur la tige, et plus précisément sur la portion de la tige parcourue par un courant : ( ) Avec : = = Or, sur un point de la tige, comme la sommation se fait dans le sens de i : = et = Donc : Ainsi : = Donc les forces de Laplace valent : = = rassemblement : Nous avons quatre lois, donc 4 équations : ( ) =, ( ) = ( ) ( ) ( ) = = En remplaçant successivement, nous avons tout d abord : ( ) ( ) = Donc :, = ( ) Cette force étant opposée à la vitesse, c est une force de frottement. En remplaçant encore : ( ) = ( ) 19

20 Nous arrivons bien au résultat recherché : ( ) + ( ) = Bilan énergétique du freinage : = ² Le théorème de l énergie mécanique nous donne : + = + Or la variation d énergie potentielle de pesanteur est nulle et la réaction normale du support ne travaille pas car nous avons supposé que le contact se faisait sans frottement. Il reste ainsi, entre l instant initial et = + : 1 2 Ainsi, nous arrivons au résultat recherché : ²= = ² Loi de couplage parfait : Dans le cadre d une induction de Lorentz, la puissance (resp. l énergie) fournie par le générateur induit au circuit électrique est l opposé de la puissance (resp. l énergie) fournie par les forces de Laplace au conducteur qui bouge :, +, = Considérons un volume dv. La puissance fournie par la force de Laplace dans ce volume est donnée par :, =. =. A l aide du produit mixte, nous pouvons réécrire ce résultat sous la forme :, =. Or, dans ce même volume, la puissance fournie par le champ électromoteur au circuit électrique s écrit, parce que l induction est une induction de Lorentz :, =. =. Ainsi, nous pouvons constater :, +, = Interprétation : C est une loi qui a de très grandes répercussions pratiques, car elle signifie que toute l énergie mécanique est transformée en énergie électrique. Ainsi, le couplage électromécanique en induction de Lorentz est parfait. 20

21 Aspect technique : Dans le cadre de l induction de Lorentz, pour un circuit d une seule maille en translation, le couplage parfait se traduit par : + = Dans le cadre de l induction de Lorentz, pour un circuit d une seule maille en rotation, le couplage parfait se traduit par : + = C. Haut parleur Dispositif : Un haut parleur est un dispositif électro mécanique qui transforme une tension en un son. Une bobine, reliée à un circuit externe, est mobile sans frottement le long d un aimant. Cette bobine, lors de son mouvement, entraîne une membrane dont la fixation (modélisée ici par les ressorts) la ramène à sa position de repos. L aimant est un peu particulier car il est fabriqué de telle sorte que les lignes de champs soient radiales. Analyse qualitative : la tension imposée par le circuit extérieur crée un courant qui traverse la bobine. la bobine parcourue par un courant et plongée dans un champ magnétique, subit une force de Laplace. la bobine, mue par la force de Laplace se déplace et entraîne avec elle la membrane. la membrane engendre des mouvements d air qui se propagent, c est le son. Il s agit bien, ici, d induction de Lorentz puisque la bobine est un conducteur mobile dans un champ magnétique statique. Loi de fonctionnement : L équation différentielle vérifiée par la membrane et la bobine qui se déplacent selon l axe est telle que : k est la raideur des ressorts ( ) + ( ) + ( ) =, 21

22 λ est le coefficient de frottement fluide m est la masse du système bobine + membrane On considère le système bobine et membrane et on applique le théorème du centre d inertie projeté sur l axe : ( ) =, ( ( ) ) ( ) Choisissons l origine du repère telle que ( ) = ( ). Alors, nous arrivons au résultat recherché : ( ) + ( ) + ( ) =, Couplage par force de Laplace : Dans la bobine, la force de Laplace vaut : = l est la longueur de la bobine est la norme du champ magnétique i est le courant traversant la bobine Etudions la bobine : La force de Laplace s écrit, par découpage : = Avec : = Ici, nous avons = et, comme le champ magnétique est radial : = ( ). Or, comme la bobine est enroulée autour de l aimant, le circuit qui la constitue est à =. 22

23 Autrement dit, chaque point de la bobine voit un champ magnétique de norme uniforme, donc : = Ainsi, cela donne : = Ainsi, en sommant sur la totalité de la longueur de la bobine, nous arrivons au résultat recherché : = Force électromotrice induite : La force électromotrice induite par le haut parleur est donnée par : = ( ) Comme seule la bobine est mobile, nous pouvons limiter le calcul de la circulation du champ électromoteur sur elle, ce qui nous donne : = ( ). = ( ) ( ). Or, pour chaque point de la bobine, nous avons vu que : ( ) =, ( ) = et = Donc : = ( ) Ainsi, en sommant sur toute la bobine : = ( ) 23

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